Чтобы мы не делали, будь то разные вычисления, производили

Горожанкин А.А.
(псевдоним Галан)
«Теория погрешностей»
1. Чтобы мы не делали, будь то разные вычисления,
производили
физические
измерения,
создавали
различные методики, законы, теории, а также чертежи,
схемы, рисунки, при производстве товаров и изделий,
везде присутствуют погрешности, это касается и наших
органов чувств, язык, на котором мы говорим – тоже
неточен, мы не можем абсолютно точно выразить наши
мысли, идеи, чувства, вся природа обладает
погрешностями – начиная от микромира и заканчивая
космосом, даже деление ДНК сопровождается
ошибками, везде, абсолютно везде присутствуют
погрешности. Существует действительная часть и в
противоположность ей погрешностная часть. Это как
материя и антиматерия, порядок и хаос, две стороны
медали, где обе части составляют единое целое. Мы
описываем окружающий мир с помощью чисел, зная их законы, их природу, их
погрешности – можно многое постичь.
Вы думаете, что знаете числа, что хорошо изучили их погрешности, что можете
правильно вычислять числа – Вы глубоко заблуждаетесь, поверьте мне, Я Вам это
докажу!
В книге изложены основы современной теории погрешностей округления.
2. Сегодня повсеместно используется лишь один всеми известный метод округления
чисел, хотя на самом деле их существует целых три:
 L-округление
 C-округление
 R-округление.
3. Казалось бы – числа, что в них может быть особенного? Вы скажете – это же
полный беспорядок, хаос, и уж тем более никакой закономерности в их
распределении на числовой прямой не существует, это невозможно. Вы не
поверите, но она существует, эта закономерность, и формируют эту закономерность
как раз те самые погрешности чисел. Образуются так называемые ЧИСЛОВЫЕ
УРОВНИ, которые как две капли воды похожи друг на друга, только разного
порядка. В каждом числовом уровне есть частичка другого уровня, образуя одно
целое. Это как фракталы, по мере углубления встречается та же самая природа,
только меньшего порядка. Так что никакого хаотичного распределения чисел не
существует, они распределены в строгом порядке и по определенным законам.
Впервые построено распределение погрешностей и точностей чисел на всей
числовой прямой, на основе которого сформированы числовые уровни, которые
являются основой не только теории погрешностей округления, но и основой для
всех остальных погрешностей и точностей, имеющих место в десятичной
системе счисления; существуют числовые уровни и для других систем счисления.
4. До сих пор был представлен механизм изменения теоретических (т.е. максимально
возможных по модулю) погрешностей, да и то не особо точно и не в полном объеме,
а вот изменение погрешностей по факту при различных видах вычислений чисел
как то не особо рассматривалось, полагая, что они должны изменяться также.
Вообще то это не совсем так. Это основа – сначала рассмотреть изменение
фактических погрешностей и точностей, а затем на основе всего этого выводить
формулы теоретических погрешностей и точностей. Что и было восполнено.
Полноценно представлен механизм расчета как погрешностей, так и точностей и
других числовых характеристик при различных видах вычислений чисел:
умножении, делении, сложении, вычитании и др., а также при смешанном
вычислении чисел.
5. В природе все стремится к равновесию – это закон, поэтому чтобы правильно
вычислять числа, делать различные расчеты и т.д., нужно всегда стремиться к
равновесию погрешностей и точностей, их числовых уровней.
Впервые выведены законы равновесия погрешностей и точностей для различных
видов вычислений чисел, а также закон сложения погрешностей.
6. Чуть ли не повсеместно принято при вычислениях оставлять одинаковое количество
знаков после запятой, но с точки зрения закона равновесия погрешностей это в
корне не верно. Еще можно оставлять одинаковое количество знаков от начала
числа, но это все тоже самое, тоже получается большой разброс погрешностей, т.е.
погрешностный хаос.
А теперь ВНИМАНИЕ! Создан УНИВЕРСАЛЬНЫЙ СПОСОБ оставления знаков у
чисел, который с точки зрения погрешностей самый правильный, самый точный и
менее затратный в вычислениях.
Впервые разработан универсальный способ оставления знаков у чисел, который
немного меняет представление о действующих правилах вычисления чисел.
7. В расчетах погрешность образуется не только у чисел, входящих в расчет
(погрешность 1 рода), но также и у промежуточных результатов (погрешность 2
рода). Сами величины погрешностей тоже округляют в расчетах (погрешность 3
рода). Казалось бы, все очень сложно и запутанно, тем не менее в книге на все есть
ответы.
Впервые даны понятия и выведены формулы числовых характеристик 1 и 2 рода, а
также числовых характеристик 3 рода.
8. Учитывая, что каждое число обладает определенной погрешностью, возникает
резонный вопрос – а как же тогда сравнивать приближенные числа, да и вообще все
числа? Ведь в отличие от точных чисел здесь не все так просто.
Представлена методика сравнения чисел с учетом погрешностной составляющей.
9. Все вышеперечисленное касалось фактических погрешностей и точностей, которое
по большому счету было мало изучено, а вот формулы изменения теоретических
погрешностей (про точность вообще речи не было), т.е. максимально возможных
были более или менее изучены, по которым можно оценить погрешность
окончательного результата, да и то каких-то отдельно взятых небольших расчетов.
А как насчет того, чтобы знать погрешность окончательного результата до
выполнения самих расчетов, т.е. заранее знать, сколько точных знаков оставлять у
чисел при вычислении. Думаете это невозможно? Как бы не так. Это и многое
другое позволяет так называемое проектирование числовых характеристик, которое
может выполняться как со 100 %, так и с 50 % вероятностью.
Впервые дано понятие и в полном объеме разработано так называемое
проектирование числовых характеристик с вероятностью 100 % и 50 %, которое
представлено соответствующей компьютерной программой-алгоритмом.
10. Разработано проектирование числовых характеристик как при умножении,
делении, сложении, вычитании, так и при смешанном вычислении чисел.
11. Разработаны и в полном объеме представлены 3 метода проектирования:
- Zа-проектирование
- Проектирование по погрешности и точности
- Z-проектирование.
12. Проектирование позволяет осуществлять контроль числовых характеристик
на разных стадиях вычислений чисел.
13. На основе проектирования можно произвести оценку погрешности и точности
окончательного результата до выполнения каких-либо расчетов, таким
образом, можно заранее знать, какую точность использовать при вычислении
чисел, чтобы получить заданную точность окончательного результата.
14. Главной
особенностью
программы-алгоритма
по
проектированию
погрешностей и точностей, выполненной в наиболее популярной
математической среде MATHCAD, является наличие четкого сочетания
компьютерных вычислений и ручного человеческого анализа, что придает
этой программе широчайшую разветвленность проектирования числовых
характеристик.
15. Хотя теория погрешностей чисел занимается вопросами определения
числовых характеристик при вычислении чисел, тем не менее, ее механизм
при определенной корректировке можно использовать:
- При обработке результатов измерений различными физическими приборами
и инструментами
- При определении точности методов расчета
- Для внедрения в формулы и законы статистики и теории вероятностей
- В разработке системы контроля качества
- В чертежной графике и масштабировании
- В философии и смежных с ней наук
-
В широком круге задач математики
Во многих других случаях, ведь погрешности и точности присутствуют везде.
16. В полном объеме представлены многочисленные приложения к книге, которые
могут служить в качестве справочного материала.
Учебное пособие предназначено как для узкого круга специалистов, занимающихся в
области погрешности и точности, владеющих навыками работы на компьютере, так и для
ученых, которым в своих научных работах приходиться сталкиваться с определением или
оценкой погрешности и точности полученных результатов.
Приобрести
книгу Галан «Теория погрешностей»
можно в интернет-магазине автора:
store7561463.ecwid.com
или в магазине соцсети «Вконтакте»:
vk.com/app1800176_-105010816
Отзывы можно направлять на электронные адреса автора:
galan11@mail.ru
galan@samaradom.ru
Спасибо за поддержку
Российской науки!
___________________
/Горожанкин Алексей Анатольевич/