Документ 3685960

О расчете показателей надежности в условиях неоднородных потоков событий
А.В. АНТОНОВ, К.А. БЕЛОВА, В.А. ЧЕПУРКО
Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ, Калужская обл.
О РАСЧЕТЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
В УСЛОВИЯХ НЕОДНОРОДНЫХ ПОТОКОВ СОБЫТИЙ
При расчете показателей надежности необходимо учитывать то, что потоки отказов и восстановлений могут быть
неоднородными во времени. Доклад посвящен построению новой математической модели, учитывающей возможные
«искажения» (например, учащение, разрежение) потоков отказов и восстановлений и позволяющей определять
показатели надежности систем (элементов) в новых условиях. Суть модели сводится к преобразованию
неоднородного потока отказов в однородный обратной НФП.
В работе строится новая математическая модель, учитывающая возможные "искажения"
потоков событий и позволяющая определять показатели надежности систем (элементов) в
изменяющихся с течением времени вероятностных характеристиках процесса.
Рассмотрим поток событий, в котором под событием понимается либо отказ (0) некоторого
элемента, либо его восстановление (1). Время работы до отказа 0 и время восстановления 1 –
случайные величины. Пусть i0 независимы и 1i также независимы.
Модель нормализующей функции потока. Основной идеей модели нормализующей
функции потока (НФП) является построение непрерывного строго монотонно возрастающего
отображения  абстрактного рекуррентного потока событий в реальный поток событий (см.
[1]–[8]). При этом абстрактный поток будет иметь размерность функции 1 (t ) , где t – время.
Предположим сначала, что восстановление системы происходит мгновенно. Пусть  k – момент
k
наступления k-го события абстрактного потока, т.е. k   i , где i – интервал между двумя
i1
последовательными событиями потока (отказами). В случае однородного (рекуррентного) потока
отказов все i – независимые одинаково распределенные случайные величины. Моменты
реального потока событий будут определяться формулой
 n

 i 1

 n     i      n  
где n  1 2 0  0    – некоторая непрерывно-дифференцируемая строго монотонно
возрастающая на  0  функция, причем (0)  0 .
Тогда i-я наработка между отказами
i  i  i 1    i    i 1  
Понятно, что в этом случае 1  2  будут зависимы, если только ( x)  const  x . Величину
 i будем называть продолжительностью цикла работы системы. Под циклом работоспособности
будем понимать временной промежуток между двумя последовательными отказами системы.
В рамках НФП модели получены следующие результаты.
Ведущая функция потока отказов:
(t )     1 (t )  
t
где (t )  F (t )   (t  ) f ()d  – функция восстановления. Асимптотически   t  ~
0
Параметр потока отказов
 1  t 
.
E
(t )    1 (t )     1 (t )  
t
  1  t 
где (t )  f (t )   (t  ) f ()d  Асимптотически   t  ~ 
.
E
0
Закон распределения для i-го цикла работоспособности  i . Функция распределения:
О расчете показателей надежности в условиях неоднородных потоков событий

Fi (t )   fi 1 (u ) F   1  t  (u )   u  du
0
t
где fi 1 (t )   fi 2 (t  u ) f  (u )du .
0
Рассмотрим пример нахождения закона распределения для цикла работоспособности. Пусть
 1  0  t  T

и   t   t   В [6] получены аналитические решения: при   05 и   2 . На
f (t )   T

 0 t   0;T 
рис. 1 приведены графики 1-го и 2-го циклов работоспособности для каждого случая.
Рис. 1. Плотности распределения 1-го и 2-го цикла:
а –   2 , T  2 ,   1 ; б –   0,5 , T  2 ,   1
Можно заметить, что для молодеющей системы (при   2 ) носитель плотности
расширяется, и за счет распределения вероятностной меры на более широком множестве вторая
наработка  2 будет стохастически больше 1 . Для стареющей системы тенденция абсолютно
противоположная: носитель сжимается и вторая наработка становится стохастически меньше
первой.
Ресурсные характеристики надежности: N (t ) – число событий потока, произошедших к
моменту времени t,  k – k-й момент времени наступления события неоднородного потока, Rt –
обратное остаточное время, Vt – прямое остаточное время. Продолжительность цикла работы
системы на момент времени t Zt  Rt  Vt 
  1 (t )

(u ) F    1 (t )  u  du x  t ,
Функция распределения Rt : FRt ( x)   1
 (t  x )

1 x  t 

Функция распределения Vt : FVt ( x)  F 
 1 (t
 x)  
 1 (t )

(u ) F    1 (t  x )  u  du
0

Среднее обратное остаточное время ERt  t F    1 (t )    g R ( x t ) f  ( x)dx
0
 1 (t )
где g R ( x t ) 



 1 (t )  x  0
 t   ()  ()d  .
О расчете показателей надежности в условиях неоднородных потоков событий

Среднее прямое остаточное время
 1 (t )
где gV ( x t ) 
В



EVt 
 1 (t )
0
  (  x)  t  ()d  .
 1 (t )  x  0
[4]
получены
аналитические
решения
экспоненциального закона с интенсивностью
ERt  EVt ~


(( x)  t ) f ( x)dx   gV ( x t ) f  ( x)dx
при
условии,
что
f  (t ) –
плотность
 , ( x)   x ,   0,5. Асимптотически
2
. На рис. 2 представлены графики средних остаточных времен и их
2t
асимптотические значения. Если поток отказов однороден, то асимптотически и прямое и
обратное остаточные времена стремятся к константе. В нашем случае обе характеристики
стремятся к 0 при t   , что характерно для стареющей системы.
Рис. 2. Ресурсные характеристики надежности: среднее прямое (а) и среднее обратное (б) остаточные
времена (1 – аналитическое решение в случае α = 3, 2 – асимптотическое решение)
Неоднородный альтернирующий процесс.
Модель совместного потока
событий. Для нахождения коэффициента готовности системы, находящейся в двух
альтернативных состояниях отказа и восстановления (1) разработана модель совместного потока
событий.
 i0 и 1i – время работы и время восстановления системы, i0 и 1i – i-й момент отказа и i-й
момент восстановления системы. Момент отказа
1i  i0  1i .
Тогда
i0   0
 i0   i  0 1…–
i0  i0  1i1
момент восстановления
автономный поток отказов, 1i  1  1i   i  0 1… –
автономный поток восстановлений.
Функции  i  x   i  0 1 удовлетворяют условиям:  i  0   0 i  x   C10  ,  i  x   0 и
применяются независимо к потоку отказов и восстановлений.
Определим характеристики совместного потока событий:    t0  t1  – ведущая функция
совместного потока с равным числом отказов и восстановлений;    t0  t1  – ведущая функция
совместного потока с числом отказов, на единицу большим;   t0  t1  – параметр совместного
потока с равным числом отказов и восстановлений;   t0  t1  – параметр совместного потока с
числом отказов, на единицу большим.
В [6] получены некоторые свойства характеристик совместного потока событий, в частности
показано, что коэффициент готовности системы
   x1  x2     x1 x2   dx1dx2 ,
P1  t  

 0  x1  1  x2 t
О расчете показателей надежности в условиях неоднородных потоков событий
где   t0  t1  и   t0  t1  являются решениями аналогов уравнений восстановления для
характеристик совместного потока:
t0 t1
  t0  t1     t0    t1     f 0 1  t0  x0  t1  x1    x0  x1  dx0 dx1
0 0
t0 t1
  t0  t1   f 0  t0    t1     f 0 1  t0  x0  t1  x1    x0  x1  dx0 dx1
0 0
  t  – обобщенная дельта-функция
Дирака.
Пусть
НФП
 i (t )  t i 
 i  0 i  0 1 Случайные величины,
распределенные по закону Вейбулла с
m0  m1  2 ,
параметрами формы
параметрами масштаба 0  5 1  2 .
Рассмотрим
следующие
варианты:
1)  0  1 1  1 ;
2)  0  1, 2 1  1 ;
3)  0  0,8 1  1 ;
4)  0  0,5 1  1 . 5)  0  0,8 1  12 .
На рис.3 представлены графики
коэффициентов готовности для всех
вариантов.
Рис. 3. Коэффициент готовности
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Волников И.С., Чепурко В.А. Неоднородный поток отказов и восстановлений //
Сборник научных трудов кафедры АСУ. № 14. Обнинск: ИАТЭ, 2002. С. 36.
2.
Никитина А.Г., Чепурко В.А. Об учете неоднородности потока отказов // Сборник
научных трудов кафедры АСУ. № 15. – Обнинск: ИАТЭ, 2004. С. 31.
3.
Антонов
А.В.,Караулов
И.Н.,Чепурко
В.А.
Оптимизация
проведения
профилактических работ с учетом деградации и старения оборудования // Сборник научных трудов
кафедры АСУ. № 16. Обнинск: ИАТЭ, 2006. С. 31.
4.
Саакян С.П., Острейковский В.А., Чепурко В.А. // Известия ВУЗов. Ядерная
энергетика. 2007. № 3. Вып. 1. С. 30.
5.
Чепурко В.А. Характеристики надежности систем с учетом неоднородности потока
отказов // Сборник научных трудов кафедры АСУ. № 17. – Обнинск: ИАТЭ, 2007. С. 29.
6.
Иванова К.А., Чепурко В.А. Математическая модель совместного потока событий //
Сборник научных трудов кафедры АСУ № 18. Обнинск: ИАТЭ, 2007. С. 64.
7.
Скиба М.А., Чепурко В.А. Об одном показателе надежности системы, в
изменяющихся со временем условиях эксплуатации // Сборник научных трудов кафедры АСУ. №
17. Обнинск: ИАТЭ, 2007. С. 29.
8.
Скиба М.А. О среднем ресурсе и остаточных временах неоднородного потока
отказов // Сборник научных трудов кафедры АСУ. № 17. Обнинск: ИАТЭ, 2007. С. 41.