Задачник для переаттестации по математике

В заданиях №1-10 проверяются умения студентов анализировать
реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по
формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических
расчетах
1. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов
можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет
35%?
2. Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее число флаконов
можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет
35%?
3. Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек
можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 25%?
4. Шариковая ручка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких ручек
можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 10%?
5. Шариковая ручка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких ручек
можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 15%?
6. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно
будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?
7. Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно
будет купить на 350 рублей после понижения цены на 15%?
8. Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно
будет купить на 350 рублей после понижения цены на 20%?
9. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 90 рублей за штуку и
продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно
купить в этом магазине на 1100 рублей?
10. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 90 рублей за штуку
и продает с наценкой 15%. Какое наибольшее число таких горшков можно
купить в этом магазине на 700 рублей?
В заданиях №11-15 проверяются умения студентов описывать с
помощью функций различные реальные зависимости между
величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию,
представленную в таблицах, на диаграммах, графиках
11. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля.
На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска
двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.
Определите по графику, за сколько минут двигатель нагреется с
до
.
12. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля.
На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска
двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.
Определите по графику, за сколько минут двигатель нагреется с
до
.
13. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в
электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость
напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси
отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси —
напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение
упадет с
вольт до
вольт.
14. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в
электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость
напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси
отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси —
напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение
упадет с
вольт до
вольт.
15. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в
электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость
напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси
отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси —
напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение
упадет с
вольт до
вольт.
В заданиях №16-21 проверяются умения студентов решать прикладные
задачи, в том числе социально-экономического и физического характера
16. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на
маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на
каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу?
Ответ дайте в часах.
Автобусом
Электричкой
Маршрутным
такси
1
2
От дома до
автобусной
станции — 20 мин.
Автобус в пути:
1 ч 50 мин.
От дома до станции
железной
дороги — 30 мин.
От дома до
остановки
маршрутного
такси — 10 мин.
3
От остановки
автобуса
до дачи пешком
10 мин.
Электричка в
пути:
1 ч 15 мин.
От станции до дачи
пешком 40 мин.
Маршрутное
такси в дороге:
1 ч 5 мин.
От остановки
маршрутного такси
до дачи пешком 1 ч
17. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на
маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на
каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу?
Ответ дайте в часах.
Автобусом
1
От дома до
автобусной
станции — 5 мин.
2
Автобус в пути:
2ч
3
От остановки
автобуса
до дачи пешком
10 мин.
От дома до станции
Электричка в
От станции до дачи
Электричкой
железной
пути:
пешком 40 мин.
дороги — 20 мин.
1 ч 20 мин.
От дома до
От остановки
Маршрутное
Маршрутным
остановки
маршрутного такси
такси в дороге:
такси
маршрутного
до дачи пешком
1 ч 10 мин.
такси — 25 мин.
50 мин.
18. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за
28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 25 секунд, а Миша
загружает файл размером 32 Мб за 28 секунд. Сколько секунд будет
загружаться файл размером 416 Мб на компьютер с наибольшей скоростью
загрузки?
19. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за
28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 25 секунд, а Миша
загружает файл размером 32 Мб за 27 секунд. Сколько секунд будет
загружаться файл размером 592 Мб на компьютер с наибольшей скоростью
загрузки?
20. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 125 кВт ч
электроэнергии в месяц, а в ночное время — 155 кВт ч электроэнергии.
Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю
электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,4 руб. за кВт ч. Год назад А.
установил двухтарифный счeтчик, при этом дневной расход электроэнергии
оплачивается по тарифу 2,4 руб. за кВт ч, а ночной расход оплачивается по
тарифу 0,5 руб. за кВт ч.
В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии
не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не
поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
21. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 125 кВт ч
электроэнергии в месяц, а в ночное время — 155 кВт ч электроэнергии.
Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю
электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,5 руб. за кВт ч. Год назад А.
установил двухтарифный счeтчик, при этом дневной расход электроэнергии
оплачивается по тарифу 2,5 руб. за кВт ч, а ночной расход оплачивается по
тарифу 0,5 руб. за кВт ч.
В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии
не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не
поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
В заданиях №22-35
проверяются умения студентов решать
рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и
логарифмические уравнения, их систем
22. Найдите корень уравнения
.
23. Найдите корень уравнения
.
24. Найдите корень уравнения
.
25. Найдите корень уравнения
.
26. Найдите корень уравнения
.
27. Найдите корень уравнения
.
28. Найдите корень уравнения
.
29. Найдите корень уравнения
.
30. Найдите корень уравнения
.
31. Найдите корень уравнения
.
32. Найдите корень уравнения
.
33. Найдите корень уравнения
.
34. Найдите корень уравнения
.
35. Найдите корень уравнения
В заданиях №36-50 проверяются умения студентов проводить по
известным формулам и правилам преобразования буквенных
выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и
тригонометрические функции
36. Найдите значение выражения
.
37. Найдите значение выражения
.
38. Найдите значение выражения
39. Найдите значение выражения
40. Найдите значение выражения
41. Найдите значение выражения
42. Найдите значение выражения
43. Найдите значение выражения
.
.
.
.
.
.
44. Найдите значение выражения
.
45. Найдите значение выражения
46. Найдите значение выражения
47. Найдите значение выражения
.
48. Найдите значение выражения
49. Найдите значение выражения
50. Найдите значение выражения
В заданиях №51-65 проверяются умения студентов вычислять
производные и первообразные элементарных функций; исследовать в
простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и
наименьшие значения функций
51. Прямая
52. Прямая
является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания
53. Прямая
является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
54. Прямая
является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
55. Прямая
является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
56. На рисунке изображен график
определенной на интервале
касательная к графику функции
совпадает с ней.
— производной функции
,
. Найдите количество точек, в которых
параллельна прямой
или
57. На рисунке изображен график
определенной на интервале
касательная к графику функции
совпадает с ней.
— производной функции
. Найдите количество точек, в которых
параллельна прямой
58. На рисунке изображен график
определенной на интервале
,
или
— производной функции
. В какой точке отрезка
принимает наименьшее значение.
,
функция
59. На рисунке изображен график
определенной на интервале
функция
— производной функции
,
. В какой точке отрезка
принимает наибольшее значение.
60. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где — расстояние от точки отсчета в метрах, —
время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в
секундах) ее скорость была равна 8 м/с?
61. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где
— расстояние от точки отсчета в
метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой
момент времени (в секундах) ее скорость была равна 18 м/с?
62. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где — расстояние от точки отсчета в метрах, —
время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в
секундах) ее скорость была равна 7 м/с?
63. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где — расстояние от точки отсчета в метрах, —
время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в
секундах) ее скорость была равна 77 м/с?
64. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где — расстояние от точки отсчета в
метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой
момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
65. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где — расстояние от точки отсчета в метрах, —
время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в
секундах) ее скорость была равна 28 м/с?
В заданиях №66-79 проверяются знания студентов по разделу
«Элементы теории вероятностей и математической статистики»
66. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до
сотых.
67. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до
сотых.
68. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до
сотых.
69. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых
70. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до
сотых.
71. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них
7 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Боливии. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым будет
выступать прыгун из Боливии.
72. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них
6 прыгунов из Швеции и 5 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятым будет
выступать прыгун из Швеции.
73. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них
6 прыгунов из Великобритании и 7 прыгунов из США. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятнадцатым
будет выступать прыгун из Великобритании.
74. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них
7 прыгунов из Германии и 2 прыгуна из Мексики. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет
выступать прыгун из Германии.
75. В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 7 из них
встречается вопрос по онтологии. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по
онтологии.
76. В сборнике билетов по биологии всего 35 билетов, в 14 из них
встречается вопрос по зоологии. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по
зоологии.
77. В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 19 из них
встречается вопрос по онтологии. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по
онтологии.
78. В сборнике билетов по физике всего 40 билетов, в 6 из них встречается
вопрос по конденсаторам. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по
конденсаторам.
79. В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 14 из них
встречается вопрос по членистоногим. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса
по членистоногим.
В заданиях №80-88 проверяются умения студентов решать прикладные
задачи, в том числе социально-экономического и физического
характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение
скорости и ускорения
80. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью
км/ч,
выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным
ускорением
км/ч . Расстояние от мотоциклиста до города,
измеряемое в километрах, определяется выражением
.
Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет
находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор
гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 48 км от города. Ответ
выразите в минутах.
81. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью
км/ч,
выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным
ускорением
км/ч . Расстояние от мотоциклиста до города,
измеряемое в километрах, определяется выражением
.
Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет
находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор
гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 60 км от города. Ответ
выразите в минутах.
82. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью
м/с, начал торможение с постоянным ускорением
м/с . За
t секунд после начала торможения он прошёл путь
(м).
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если
известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ выразите в
секундах.
83. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью
м/с, начал торможение с постоянным ускорением
м/с . За
t секунд после начала торможения он прошёл путь
(м).
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если
известно, что за это время автомобиль проехал 60 метров. Ответ выразите в
секундах.
84. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна
, где — ЭДС источника (в вольтах),
Ом — его
внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком
наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более
от силы тока короткого замыкания
? (Ответ выразите в омах.)
85. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и
сопротивлением электроприбора по закону Ома:
, где U —
напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В
электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока
превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть
у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть
продолжала работать. Ответ выразите в омах.
86. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и
сопротивлением электроприбора по закону Ома:
, где U —
напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В
электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока
превышает 25 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно
быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть
продолжала работать. Ответ выразите в омах.
87. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и
сопротивлением электроприбора по закону Ома:
, где U —
напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В
электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока
превышает 8 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть
у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть
продолжала работать. Ответ выразите в омах.
88. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и
сопротивлением электроприбора по закону Ома:
, где U —
напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В
электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока
превышает 10 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно
быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть
продолжала работать. Ответ выразите в омах.
В заданиях №89-100 проверяются умения студентов исследовать в
простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и
наименьшие значения функций
89. Найдите точку минимума функции
.
90. Найдите точку минимума функции
.
91. Найдите точку минимума функции
.
92. Найдите точку минимума функции
.
93. Найдите точку максимума функции
94. Найдите наименьшее значение функции
отрезке
.
на
95. Найдите наибольшее значение функции
отрезке
на
.
96. Найдите наибольшее значение функции
отрезке
на
.
97. Найдите наибольшее значение функции
отрезке
на
.
98. Найдите наибольшее значение функции
на
отрезке
99. Найдите наименьшее значение функции
отрезке
.
100. Найдите наименьшее значение функции
отрезке
на
.
на