Неискажающая линия

3.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОИСХОЖДЕНИИ
ВОЛН В ЛИНИЯХ
Однородная линия характеризуется мгновенными напряжениями и
токами:
u
i
i
u
  ri  L ;
  gu  C .
x
t
x
t
Первое уравнение отражает тот физический факт, что падение
напряжения по длине линии происходит за счёт активного и
индуктивного сопротивлений, а второе уравнение — что утечка тока
происходит за счёт активной и емкостной проводимостей. При
установившемся режиме имеем

dU
 rI  j LI ;
dx

dI
 gU  jCU ,
dx
или
d 2U
dx 2
 (r  j L)( g  jC )U  2 U ,
где   (r  j L)( g  jC )    j  . Решение уравнения есть
U  A1e x  A2e x ;
I

1 dU


( A1e  x  A2e x ) 
r  j L dx r  j L
g  jC
( A1e  x  A2e x ) 
r  j L
1
( A1e  x  A2e x ).
Z
Здесь Z  ( g  jC ) / (r  j L) , γ — коэффициент распространения,
α — коэффициент затухания; β — коэффициент фазы, причём α и β
всегда больше нуля; А1 и А2 — произвольные постоянные, которые
определяются заданием напряжения и тока. Если заданы ток I1 и
напряжение U1 в начале линии, то после определения постоянных
получаем
1
1
U  (U1  I1Z )e  x  (U1  I1Z )e x ;
2
2
1 1
1

I   (U1  I1Z )e  x  (U1  I1Z )e x  .
Z 2
2

Обозначим:
1
1
U  (U1  I1Z )e  x  U1 e  x ; U  (U1  I1Z )e x  U1 e x .
2
2
1
Тогда U  U  U ; I  U  U  . Если перейти от комплексного
Z
напряжения U к изображаемому им действительному напряжению u, то
u  u  u  2U1 e x sin t   x   2U1 e x sin t   x  .
Это выражение показывает, что напряжение представляет сумму
прямой u и обратной u бегущих волн, так как при каждом
фиксированном значении t имеем синусоидальное распределение (при
α = 0) как для u , так и u . При изменении времени волны начинают
двигаться с так называемой фазовой скоростью    /  , т.к. при
x  t /  , синус будет постоянной величиной с периодом или длиной
волны, равной  
2
.

Неискажающая линия — линия, в которой нет искажения формы
при передачи сигнала. Это можно выполнить, если отсутствуют
r / L  g / C   , тогда
отражённые волны, а также
волновое
сопротивление Z, коэффициент затухания α и фазовая скорость v = ω/β
не зависят от частоты. В такой линии   rg  j LC , z  L / C ,
причём коэффициент затухания и коэффициент фазы имеют
минимальные значения, а фазовая скорость равна скорости
электромагнитных
волн
в
воздухе
и
максимальна
vmax   / min  1/ LC  3 108 ì /c , что характерно для воздушных
линий (z ≈ 300 – 400 Ом). Если диэлектрическая проницаемость
изоляции больше диэлектрической проницаемости воздуха, что
характерно для кабельных линий, то z ≈ 50 Ом и v<3∙108 м/с.
Для
неискажающей
линии
( rC  gL, r / L  g / C   ,   rg )
напряжения и токи имеют вид:
u    x  vt    x  vt  e t ; i 
Так
как
L
  x  vt    x  vt   e  t .
C
 2  rg / LC   2 v2 ,
e t  e vt  e ( x vt )e x  e ( x vt )e x ,
затухания неискажающей линии, то
то
t  v t
где
 — коэффициент
и
u   ( x  vt )e x  ( x  vt )e x , i  C / L  ( x  vt )e x  ( x  vt )e x  .


Это общий вид решения. Конкретный вид функций  ( x  vt ) и
 ( x  vt ) определяется конкретными условиями задачи.
Неискажающая линия без потерь имеет
r = 0,
g = 0;
 = 0,  = 0, e- t = 1, e - x = e x = 1.
u   ( x  vt )  ( x  vt )  u  u , i  C / L [ ( x  vt )  ( x  vt )]  i  i ,
L / C  z — волновое сопротивление является вещественным числом.
Частные случаи. Допускается, что волны не затухают, а только
отражаются и преломляются.
а) соединение двух однородных линий. В месте соединения имеем
(см. рис. 3.1):
u1  u2 ,
i1  i2 ; 
u1  u1  u2 ,
u1 
u1  u1
z1

u2
z2
.
z2  z1
z z
2 z2
2 z1
u1 ; i1  1 2 i1 ; u2 
u1 ; i2 
i .;
z2  z1
z2  z1
z2  z1
z2  z1 1
Рис. 3.1. Волны с прямым фронтом при
соединении двух однородных линий
Выводы: Даже при очень больших значениях z2 преломленная
волна напряжения не может превышать падающую волну более чем в
два раза.
б) отражение волн от конца линии. При отсутствии
присоединений на конце линии имеем
u  u
u  u  u i  i  i 
,
z
откуда zi  u  u и i  (2u  u ) / z. Здесь u — напряжение на конце
линии, поэтому ток i можно найти как ток, возникающий в
эквивалентной схеме, включаемой под напряжение 2uφ. Полученная
таким образом схема справедлива для расчётов, пока отражённые волны
не подойдут к началам линий.
При замыкании линии на активное сопротивление r0 в выражении
для тока к волновому сопротивлению линии прибавляется значение
активного сопротивления:
2u
.
iz  2u  ir0 или i 
z  r0
u z  r0
r z
u  u  zi  0
u ; i  

i ; i  i  i .
r0  z
z
z  r0
Это такие же выражения, как и в предыдущем случае при r0 = z2.
В рассмотренных случаях отражение и преломление волн
происходит с прямым фронтом. Если линия замыкается на реактивные
сопротивления, то фронт отражённых и преломлённых волн
сглаживается.
3.2. ПРИМЕР РАСЧЁТА ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ ЕМКОСТНОГО
ОТВЕТВЛЕНИЯ В МЕСТЕ СТЫКА ЛИНИЙ
Рассмотрим две неискажающие линии, для которых потери
пренебрежимо малы: r = 0 и g = 0. Волновые сопротивления и длины
линий соответственно равны: z1 = 400 Ом, z2 = 50 Ом, l1 = 100 км,
l2 = 50 км. Фазовая скорость распространения волн в первой воздушной
линии v1 = 3∙105 км/c, и второй кабельной v2 = 2∙105 км/c. В месте стыка
линий включено ответвление в виде конденсатора c ёмкостью C = 5∙106
Ф (рис. 3.2).
На входе первой линии могут возникать различные по форме
напряжения u(t), имеющие либо постоянную (рис. 3.3, а), либо
затухающую по экспоненциальному закону (рис. 3.3, б), либо
импульсную зависимости от времени (рис. 3.3, в).
Рис. 3.2. Модель физической цепи
Рис. 3.3. Типы напряжений, возникающих в первой линии
Нужно получить выражения для помех за счёт отражения и
преломления волн напряжения и тока и построить распределение
напряжений и токов вдоль линий для момента времени
Tz  0,5  l2 / v2  0,5  50 / 2 105  1, 25 104 c , при котором преломлённые
волны достигнут середины второй линии. Если рассчитывать для
других моментов времени, то нужно учитывать, что выражения
справедливы лишь до момента прихода отражённых волн к началам
первой и второй линий.
Рис. 3.4. Эквивалентная схема для расчёта
переходного процесса от времени в месте стыка
линий
Составим эквивалентную схему (рис. 3.4), которая даёт
возможность выполнять расчёт переходного процесса от времени
только в месте стыка линий.
3.2.1. Включение под постоянное напряжение
Для проверки результатов решение задачи в учебных целях
производится различными методами: а) классическим, б) без
дифференциального уравнения для цепи 1- го порядка и в)
операторным.
а) классический метод решения. Задача с нулевыми начальными
условиями, так как конденсатор не заряжен. Постоянный ток
конденсатор не пропускает, поэтому при установившемся режиме
2U1z1 2 100  400
получаем
U 2 уст 

 2, 22 104.
z1  z2
400  50
На стыке линий, как и в любой точке имеем
u1l u 1l
u1l  u1l  u 1l , i1l  i1l  i 1l 

.
z1
z1
Решение системы есть
2u1l  z1i1l  u1l ,
что соответствует схеме (рис. 3.4).
Полученная схема годится для расчёта переходного процесса от
времени
только
в
месте
соединения
линий,
причём
u20  u 2 ,
i 20  i 2 и замыкание ключа происходит при t = 0.
Получим уравнение для переходного процесса. В месте соединения
линий выполняются соотношения:
du 2
u1  u2 ,
i1  C
 i2 ; 
dt
u1  u 1
du 2 u 2
u1  u 1  u 2 ,
C

;
z1
dt
z2
 u1  u 1  u 2 ;

+ 
du 2 u 2 z1
u

u

z
C
 1  1 1 dt  z
2





 .
В результате получим дифференциальное уравнение
z1C
du 2

u 2 ( z1  z2 )
dt
z2
Характеристическое уравнение
z1Cp 
 2u1.
z z 
p   1 2 ,
 z1 z2C 
z1  z2
0
z2

z1 z2C
.
z1  z2
Преходящее решение:
u 2  Ae
,,
pt

t
 Ae  .
u 2  U 2 уст  Ae
Решение дифференциального уравнения:

t

.
Постоянная А находится при t = 0:
u 2  0  0  U 2 óñò  A  A  U 2 óñò .
Тогда для прямоугольной по форме падающей волны получим
следующие волны:
u 2 
2u1 z2
z1  z2
(1  e

t

u 2
2u1
); i 2  z  z  z (1  e
2
1
2

t

)
2 z1i1
z1  z2
(1  e

t

);
t
2 z2
2 z2 
u 1  u 2  u1  (
1
e )u1 
z1  z2
z1  z2
t
z2  z1
2 z2 
(

e )u1;
z1  z2 z1  z2
t
z1  z2
2 z2 
i 1  
(

e )  i1.
z1
z1  z2 z1  z2
u 1
Результаты расчёта зависимостей тока и напряжения от времени в
месте соединения линий, а также распределения волн по длине линий
при фиксированном значении по времени приводятся в конце этого
раздела.
б) решение без дифференциального уравнения (для цепи 1 - ого
порядка) (рис. 3.4). Для такой цепи можно записать напряжение сразу в
виде установившейся и преходящей частей:
u  U устС  Ae pt .
Здесь p = -1/τ. Далее находим установившееся выражение для тока
и затем из обхода по контуру установившееся напряжение на ёмкости
U устС :
i óñò 
2u1 
2u1z1
z1  z2
2u1
z1  z2
;
 U устС  U устС  2u1 (1 
2u1z2
z1
)
 U 2 уст .
z1  z2
z1  z2
Ï ðè t  0, èì ååì 0  U 2 óñò  A  A  U 2 óñò .
Определяем полюс из узловой проводимости цепи:
1
1
z z
zzC
 pC   0, p   1 2 ,   1 2 .
z1
z2
z1z2C
z1  z2
Решение задачи (переходный процесс) имеет вид:
u 2 
2u1 z2
z1  z2

2u1 z2
z1  z2

e
t


2u1 z2
z1  z2
(1  e

t

).
Поскольку линия без потерь, то i 2  u 2 / z2 , и далее продолжаем
как в пункте а.
в) операторный метод. В данном случае имеем нулевые
начальные условия, тогда в частотной области ток изображения
U ( p)
(рис. 3.5) имеет вид I1 ( p ) 
,
Z ( p)
где
1
z2
z  z z pC  z2
pC
Z ( p )  z1 
 z1 
 1 1 2
.
1
z
pC

1
z
pC

1
2
2
z2 
pC
z2
Рис. 3.5. Схема для частотной области
Тогда I1 ( p ) 
2u1  z2 pC  1
p  z1 z2 pC  z1  z2 
U C ( p )  I1 ( p )
z2
pC
z2 
1
pC

,. и напряжение на конденсаторе
2u1 z2
p  z1  z1 z2 pC  z2 

G ( p)
.
H ( p)
Для перехода во временную область применим
разложения. Для этого вычисляем корни выражения H(p)
z z
p 2 z1z2C  p( z1  z2 )  0, p   1 2 .
z1 z2C
Вычисляем
производную
H1(p):
теорему
H 1 ( p)  2 pz1z2C  z1  z2 .
Подставляем полученное выражение для p в G(p) (в данном случае там
нет p) и в H1(p):
2u1 z2
2u1 z2 pt
G ( p) pt
U C ( p) 
e 
e pt  
e
2  z1  z2  z1 z2C
H `( p)
z1  z2
 z1  z2
z1 z2C
Решение имеет такой же вид, как и в предыдущих методах:
2u1 z2 2u1 z2 pt 2u1 z2
u 2  U 2 óñò  U C 

e 
(1  e pt ).
z1  z2 z1  z2
z1  z2
3.2.2. Падающая волна затухает от времени по экспоненте
Падающая волна в частотной области имеет вид (см. рис. 3.6):
2u1
U ( p) 
,
p  p1
где p1  1200 1/ c по заданию исходных данных. Отсюда можно
определить постоянную времени τ:
1
1
p1     
c.

1200
Рис. 3.6. Схема при возникновении волны
зависимой от времени по экспоненте
Частотные сопротивление, ток и напряжение получаем
соответственно в виде
1
z2
z2
z  z z pC  z2
pC
Z ( p )  z1 
 z1 
 1 1 2
;
1
z
pC

1
z
pC

1
2
2
z2 
pC
U ( p)
I ( p) 
;
Z ( p)
2u1 z2 ( z2 pC  1)
U ( p)
z2 pC
G ( p)
U C ( p) 


.
Z ( p) pC ( z2 pC  1) ( p  p1 )  z1 z2 pC  z1  z2  ( z2 pC  1) H ( p )
Отсюда получим
G ( p)  2u1 z2,
H ( p)  ( p  p1 )  z1  z1z2 pC  z2 .
Согласно теореме разложения, ищем корни H(p), затем берём
производную H’(p) и вычисляем её для каждого найденного корня:
корни — p1  1200, p2  (z1  z2 ) / z1z2C .
Производная H’(p):
H '( p)  2 pz1z2C  z1z2Cp1  z1  z2 ;
H '( p1 )  p1z1z2C  z1  z2 ;
H '( p2 )  2 p2 z1z2C  z1z2Cp1  z1  z2 .
Решение:
2u1 z2
2u1 z2
uC (t )  u 2 (t ) 
e p1t 
e p2t .
p1z1z2C  z1  z2
2 p2 z1z2C  z1z2Cp1  z1  z2
Дальнейшие вычисления для преломлённых и отражённых волн
производятся, как и при постоянном напряжении, например,
i 2 
u 2
z2
; u 1  u 2  2u1e p1t .
u1  u1  u 1.
3.2.3. Падающая волна в виде импульса
Расчёт выполним с помощью интеграла Дюамеля, который имеет
t
вид i (t )  y (t )u (0)   u '( x) y (t  x)dx, где i(t) — ток в цепи (рис. 3.7),
0
вызванный отдельными скачками напряжения в моменты времени dx;
y(t) — переходная проводимость цепи.
Рис. 3.7. Схема цепи для расчёта с
импульсным источником
Определяем переходную проводимость цепи. Для этого
рассчитываем переходный процесс в цепи при включении её под
постоянное напряжение.
Ток i1(t) в частотной области
U ( p)
I1 ( p ) 
Z ( p)
из решения предыдущего раздела имеет выражение
2u1 ( z2 pC  1)
I1 ( p) 
.
p  z1  z1 z2 pC  z2 
Для перехода во временную область находим корень знаменателя,
затем производную H’(p) и подставляем в неё выражение корня. Тогда
  z z 

   z1  z2  
2u1  z2   1 2  C  1
2u1 
 1
z
z
C
z
1
  1 2 
 e pt 

 e pt 
i1 (t ) 
  z1  z2 
  z1  z2 

2u1   z1  z2  z1 
  z1  z2  z1
e pt 
2u1 z2
z1  z1  z2 
e pt ; p  
z1  z2
.
z1 z2C
Отсюда получаем переходную проводимость цепи:
z2
y (t ) 
e pt .
z1  z1  z2 
Составим интеграл Дюамеля для различных интервалов времени.
Интервал t  T  104 c.
Здесь напряжение постоянно: u (0)  5 u `( x)  0 . Искомый ток на
этом интервале
i1 (t )  5
z2
e pt ï ðè
 z1  z2  z1
0t T .
Интервал T  t   .
Записываем интеграл Дюамеля
T 0
i1 (t )  u (0) y(t )  0
T 0
t
u '( x) y(t  x)dx  T 0 u '( x) y (t  x)dx  T 0 u '( x) y (t  x)dx.
На данном интервале интеграл содержит момент времени t = T,
при котором функция u(t) меняется скачкообразно. Тогда из трёх
интегралов останется один средний для промежутка T-0 – T+0, где
можно вычислить производную u’(x), так как для промежутков 0 – T-0 и
T+0 – t напряжение не меняется, и u’(x) = 0. Вычисляем средний
интеграл:
T 0
y(t  T )  T 0 du ( x)   y(t  T ) u (T  0)  u (T  0)  y(t  T )(5).


Этот интеграл определяет реакцию на скачок напряжения в
момент времени t = T. Тогда искомый ток

z2
z2
pt
i1 (t )  5
e 5
e
 z1  z2  z1
 z1  z2  z1


 t T 

 5 

5 z2
1  e p1T e p1t .
z1  z1  z2 
После решения задачи с помощью интеграла Дюамеля обязательно
выполняем проверку найденного решения операторным методом для
t>T
z  z  z z pC
1  z2 pC
G ( p)
Z ( p)  1 2 1 2
; Y ( p) 

;
1  z2 pC
z1  z2  z1z2 pC H ( p)
p1  
z1  z2
;
z1 z2C
H `( p)  z1z2C .
 z z 
z z
1  z2   1 2  C 1  1 2
G ( p1 )
z1
 z1 z2C  
resY ( p )  Âû ÷åò Y ( p ) 


H '( p1 )
z1 z2C
z1 z2C

z1  z1  z2
1
 2 .
z1 z1 z2C
z1 C

5
1  e  p1T
p1
i1 (t )  U ( p1 ) Âû ÷åò Y ( p ) 





   z 1C  e
p1t
2
1

5 z2
1  e p1T e p1t .
z1  z1  z2 
Таким образом, для t>T выражения, полученные с помощью
интеграла Дюамеля и операторного метода, полностью совпали.
Операторный метод всегда определяет преходящую составляющую
переходного процесса. Именно преходящая составляющая определяется
запасенной энергией и не зависит от того, с помощью какого импульса
эта энергия была запасена. Поэтому эта составляющая не зависит от
полюсов функции U(p), и реакция цепи по окончании действия
импульса будет равна сумме вычетов функции I(p)ept относительно
полюсов только функции Y(p), т. е.
i(t )   res U ( p)e ptY ( p)   U ( pky )e


pky t
resY ( p),
где pky — k-ый полюс Y(p). В данной задаче один полюс pky  p1 .
G ( p) G ( p)
Âû ÷åò Y ( p)  resY ( p)  res

.
H ( p) H ' ( p)
Эти
преобразования
существенно
упрощают
обратное
преобразование Лапласа, которое имеет достаточно сложный вид:
1 c  j
pt
 I ( p )e pt .
i (t ) 
I
(
p
)
e
dp

res




2 j c  j
pk
3.3. РАСЧЁТ ВОЛН В ДВУХ СОЕДИНЁННЫХ ЛИНИЯХ
Расчёт выполняется в среде MathCad для двух вариантов
соединения емкостей. Эти же варианты равнозначны для
индуктивностей.
А) — последовательно с линиями в месте их стыка включается
конденсатор (равнозначен с параллельным соединением индуктивности
в месте стыка линий).
Исходные данные:
u1  1.0 105 — падающая волна напряжения, В;
l1  100 ; l2  50 — длины линий, км;
v1  3 105 : v 2  2 105 — фазовые скорости волн, км/c;
z1  400 ; z2  50 — волновые сопротивления линий, Ом;
C1  5 106 — последовательная ёмкость на стыке линий, Ф;
  C1 ( z1  z2 ) ;   2.25 103 — постоянная времени, с.
Время фиксировано Tz  0.5
l2
; Tz  1.25 104 ;
v2
Maxx1  v1Tz ; Maxx1  37.5 км;
u 2  2u1
z2
; u 2  2.222 104 В.
z1  z2
1. Падающая волна тока в любой точке первой линии без потерь
u1
; i1  250 А.
i1 
z1
2. Место стыка. Волна подошла, и начинается переходный процесс
от времени. Волны напряжения и тока в первой линии.
Напряжение и токи на стыке в зависимости от времени (рис. 3.8):
t
i1l (t )  2
u1e 
z1  z2
; t  0 ; i1l (0)  444.4 А; i1l (Tz )  420.426 ;
u1l (t )  (2u1  i1l (t ) z1 ) ; u1l (t )  2.222 104 В; u1l (Tz )  3.183 104 .
Рис. 3.8. Волны напряжения и тока в месте стыка от времени
Шаг по времени выбирается, ориентируясь на постоянную
времени цепи
t  0,105..3 с, 3  6.75 103 .
На входных зажимах 1 и 1
t
i1l (t )  2
u1e 
z1  z2
;
u1l (t )  (2u1  i1l (t ) z1 ) ;
i2l (t )  i1l (t ) u2l (t )  z2i2l (t ) ;
u1l (t )  2.222 104 В; u1l (Tz )  3.183 104 .
В соответствии с расчётной схемой цепи имеем отражённые
волны, выражения которых в месте стыка
u 1l (t )  u1l (t )  u1 ,
i 1l (t ) 
u 1l (t )
z1
.
Преломлённые волны в месте стыка
u 2l (t )  u2l (t ) ; u 2l (0)  2.222 104 В;
i 2l (t ) 
u 2l (t )
z2
; i 2l (0)  444.444 А.
3. Расчёт распределения напряжения и тока вдоль линий в
фиксированный момент времени Tz = 0.5 l2/v2 (рис. 3.9).
Рис. 3.9. Напряжения и токи по длине первой линии в момент
времени Tz = 1,25∙10-4 с
В этом случае по сравнению с t = 0 волна будет запаздывать на
время t = 0.5 l2/v2, поэтому для учёта запаздывания волны подставляем
вместо t выражение t-x/v. Поскольку выражения для переходного
процесса по времени справедливы только для места стыка линий, то
можно зафиксировать время t = Tz и для этого времени находить
распределение волны по длине линий. При этом отсчёт x нужно вести
от стыка вправо для преломлённых волн и влево от стыка для
отражённых волн. Диапазон изменения координат по длине первой
линии
l v
x1  0,5.. 2 1 ; Í àï ðÿæ åí èå i1l (0)  z2  2.222 104 .
2v2
Распределение тока по длине первой линии в момент времени Tz
x
 (Tz  1 )
v1
i1 ( x1 )  2
u1e

;
u1 ( x1 )  (2u1  i1 ( x1 ) z1 ) 10 3
z1  z2
Отражённые волны напряжения и тока
3
u 1 ( x1 )  (2u1  i1 ( x1 ) z1 )  u1  10 , i 1 ( x1 )  2
u 1 ( x1 ) 103
.
z1
Для удобства анализа отражаем зеркально волны в первой линии
x1  Tz v1, Tz v1  5..0 , n  0,5..Tz v1 — обязательно целое (рис. 3.10,
табл. 3.1).
u1Tn  u1 (Tz v1  n) ; u 1Tn  u 1 (Tz v1  n) ;
i1Tn  i1 (Tz v1  n) ; i 1Tn  i 1 (Tz v1  n) ;
x1 (n)  Tz v1  n .
Таблица3.1
Зеркально повёрнутые значения координат и волн
x1
37.5
32.5
27.5
22.5
17.5
12.5
n
0
5
10
15
20
25
u1(x1)
22.222
23.534
24.837
26.129
27.412
28.686
i1(x1)
444.444
441.164
437.909
434.677
431.469
428.285
uψ1(x1)
-77.778
-76.466
-75.163
-73.871
-72.588
-71.314
iψ1(x1)
194.444
191.164
187.909
184.677
181.469
178.285
Tzv1-n
37.5
32.5
27.5
22.5
17.5
12.5
Рис. 3.10. Зеркально повёрнутые по координате волны
Преломлённые волны напряжения и тока (рис. 3.11).
u 2 ( x2 )
;
x2  0,5..25 ; v1Tz  37.5 ; Tz  1.25 104 i 2 ( x2 ) 
z2
x
u 2 ( x2 )  i1l (0) z2 exp((Tz  2 ) /  ) ; u 2 (0)  2.222 104 ;
v2
i1l (0) z2  2.222 104 .
Рис. 3.11. Преломлённые волны напряжения и тока
Результаты расчёта волн напряжения и тока по этой программе
для учебных вариантов приведены на рис. 3.12 – 3.13.
Рис. 3.12. Волны напряжения и тока для С = 0,125 мкФ, L1 = 120 км,
L2=60 км, z1 = z2 = 400 Ом, v1 = v2 = 3∙105 км/с
Левая половина рис. 3.12 и 3.13 характеризует изменение волн
тока и напряжения от времени только в месте стыка линий, а правая –
распространение волн по длине линий для конкретного момента
времени, равного T = const. Пунктирной линией для выбранного
фиксированного момента времени демонстрируется, что значения токов
и напряжений на левой и правой половинах должны точно совпадать,
поскольку волна представляет единое целое и изменяется как во
времени, так и в пространстве. Так, например, на стыке линий
напряжение u1L(T = 10-4 c) = 195,8 кВ по зависимости от времени точно
совпадает с u1(x1 = 0 м) по зависимости от координаты (рис. 3.12).
Б) — параллельное емкостное ответвление в месте стыка линий
(равнозначно последовательному подсоединению индуктивности).
Исходные данные
v1  3 105 км/с; v2  2 105 км/с; l1  100 км; l2  50 км;
z1  400 ; z2  50 ; C1  5 106 Ф;   C1 z1
z2
;   2.222 104 с.
z1  z2
Рис. 3.13. Волны напряжения и тока для С = 0,1 мкф, L1 = 100 км, L2=500 км,
z1 = 400 Ом, z2 = 50 Ом, v1 = 3∙105 км/с, v2 = 50 км/c
1. Падающие волны напряжения и тока в любой точке первой
линии без потерь
u1
u1  1.0 105 В; i1 
; i1  250 А.
z1
2. Переходный процесс от времени в месте стыка. Волны
напряжения и тока.
t
t  0 ; u 2  2
u1 z2 (1  e  )
z1  z2
;
u 2  0.
Шаг по времени выбирается,
постоянной времени цепи.
На выходных зажимах 2 – 2 цепи
ориентируясь
на
величину
t  0,106..103 ;
t
u 2 (t )  2
i1 (t ) 
u1 z2 (1  e  )
z1  z2
(u1  u 1 (t ))
z1
; u1 (t )  u1  u 1 (t );
; i2 (t ) 
u 2 (t )
z2
.
Строим волны напряжения и тока в зависимости от времени для
места стыка линий (рис. 3.14).
Рис. 3.14. Волны в месте стыка
3. Распределение волн по длине линий (рис. 3.15, 3.16).
Рис. 3.15. Преломлённая волна напряжения
Рис. 3.16. Преломлённые волны тока
l
( 2)
l
x2  0,1.. 2 ; Tz  2 ; Tz  1.25 104 ;
v2
2
u 2 ( x2 )  2
u1 z2 (1  e
x
 (Tz  2 )
v2
z1  z2

)
; i 2 ( x2 )  2
i2 ( x2 ) 
u 2 ( x2 )
z2
l
x1  0,1.. 2 ;
2
i1 z1 (1  e
x
 (Tz  2 )
v2

)
z1  z2
;
;
u 1 ( x1 )  u 2 ( x1 )  u1; u1 ( x1 )  u 1 ( x1 )  u1; i1 ( x1 ) 
u1  u 1 ( x1 )
z1
;
i 1 ( x1 )  u 1 ( x1 ) / z1.
Зеркальное отражение используется только для построения
результирующего графика по типу рис. 3.12 и дальнейшего анализа.
Рис. 3.17. Падающие и отражённые волны
Для удобства анализа отражаем зеркально волны в первой линии
x1  Tz v2 ; Tz v2  5..0 ; n  0,5..Tz v2 (рис. 3.18, табл. 3.2). Здесь число n —
шаг по координате и является обязательно целым.
u1Tn  u1 (Tz v2  n); u 1Tn  u 1 (Tz v2  n);
i1Tn  i1 (Tz v2  n); i 1Tn  i 1 (Tz v2  n).;
u 2  2
u1 z2
z1  z2
; u 2  2.222 104 ; i 2  2
i1 z1
z1  z2
; i 2  444.4.
Таблица3.2
Проверка зеркального отражения
x1
25
20
15
10
5
u1(x1)
0
2.365∙103
4.477∙103
6.366∙103
8.053∙103
uψ1(x1)
-1∙105
-9.764∙104
-9.552∙104
-9.363∙104
-9.195∙104
i1(x1)
500
494.089
488.806
484.086
479.868
iψ1(x1)
250
244.089
238.806
234.086
229.868
n
0
5
10
15
20
0
9.56∙103
-9.044∙104 476.099 226.099 25
Рис. 3.18. Волны с учётом отражения