Задачи заочной олимпиады по математике

Сентябрь 2011
Волгоградский государственный университет
приглашает школьников принять участие
в заочной математической олимпиаде.
Участвовать в ней может любой ученик любого класса. Не обязательно решать все задачи. Решение
предлагаемых задач нужно до 1 октября прислать или принести на кафедру математических методов и
информатики в экономике Волгоградского государственного университета (400062, Волгоград,
Университетский проспект, 100) Копылову Георгию Николаевичу или принести на занятия в воскресную
математическую школу, которая работает по воскресеньям с 10 до 12 в помещении лицея 10 (Кировский
район). В работе укажите обратный адрес, имя и фамилию, школу, класс, телефон, email (если есть). В
письмо желательно вложить конверт с написанным на нём своим адресом и наклеенными марками (в
этом конверте будут посланы результаты проверки). Справки по телефонам 23-05-43 (по будням с 8-00
до 16-30), 53-63-24 (после 18-00), 8-927-256-84-52, 8-917-642-63-54.
1. Миша выписал подряд все числа от 1 до 2011. Сколько цифр получилось в этом
числе? Какая цифра на 2011 месте?
2. Шахматную доску (8х8 клеток) разрезали на 11 прямоугольников. Оказалось, что
длины сторон прямоугольников больше 1. Может ли среди этих прямоугольников
не оказаться ни одного квадрата?
3. Укажите три такие цифры a, b, c, чтобы сумма ab+bc+ca являлась квадратом
целого числа
4. Таня хочет разложить 2011 конфет по 14 вазам так, что в каждой следующей вазе
либо на 3 конфеты больше, либо на 4 конфеты меньше, чем в предыдущей. Удастся
ли ей это сделать?
5. Есть 21 монета, среди них 1 фальшивая, она легче остальных. В городе живёт 3
эксперта. Каждому из них утром можно дать две группы монет, что бы он их
взвесил (при этом в группах должно быть равное количество монет). Вечером
эксперт сообщает результат: либо указывает, какая группа монет легче, либо
говорит, что они весят одинаково. Проблема в том, что два эксперта порядочные, а
третий – лжец (он всегда сообщает неверный результат). За сколько дней можно
найти фальшивую монету?
6. Дан выпуклый четырехугольник АВСD. Его площадь равна S.
а) Докажите, что 2S ≤ AB·BC+AD·DC. б) Верно ли, что 2S ≤ AB·CD+BC·AD?
7. На плоскости даны 4000 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой.
Всегда ли можно построить 1000 непересекающихся четырёхугольников,
вершинами которых служат эти точки?
8. В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными
вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость
становится известной всем жителям посёлка. При каком наименьшем К верно
утверждение: «можно выбрать К жителей так, что если одновременно всем им
сообщить какую-то новость, то через 10 дней она станет известной всем жителям
посёлка»?
9. Числа a, b и 3 a  3 b рациональны, а число 3 a иррационально. Докажите
равенство a+b=0.
10. Ваня хочет придумать десятизначное число, чтобы в квадрате этого числа было как
можно больше нечетных цифр. Какое число ему выбрать?
11. В прямоугольной таблице чисел разрешается поменять знаки у всех чисел любой
строки и любого столбца. Эту операцию можно делать много раз. Всегда ли можно
получить таблицу без отрицательных чисел? Всегда ли можно получить таблицу у
которой суммы чисел во всех строках и столбцах неотрицательны?