Апробация работы

На правах рукописи
СМИРНОВ Павел Альбертович
ЭФФЕКТЫ САМОМОДУЛЯЦИИ И ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ
КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИМИ ИЗГИБНЫМИ ВОЛНАМИ
В НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов – 2011
Работа выполнена в Нижегородском филиале Учреждения Российской
академии наук Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Ерофеев Владимир Иванович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор
Волков Иван Андреевич
доктор физико-математических наук
Кондратов Дмитрий Вячеславович
Ведущая организация: Нижегородский государственный технический
университет им. Р.Е. Алексеева
Защита состоится «17» января 2012 г. в 13.00 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.242.06 при ФГБОУ ВПО «Саратовский
государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по
адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский
государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет
имени Гагарина Ю.А.».
Автореферат размещён на сайте ФГБОУ ВПО «Саратовский
государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»
www.sstu.ru «_____»_____________20__ г.
Автореферат разослан «____» ___________ 20__г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
2
Попов В.С.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Балки, лежащие на упругом основании, давно
привлекают внимание исследователей благодаря их широкому
использованию в технике. К такой расчетной модели могут быть сведены:
дисковые тормоза, площадки на основе шариков, роликов или
подшипников скольжения, вибрационные машины на упругом
фундаменте, сеть балок в конструкции пола для судов, зданий и мостов,
подводные
плавучие
тоннели,
подземные
трубопроводы,
железнодорожные пути и т.д.
Дж. Эллингтон (1957) показал, что балка на отдельных упругих
закреплениях, расположенных через равные промежутки друг от друга,
функционирует аналогично балке на упругом основании. Точность этой
аналогии зависит как от изгибной жесткости балки, так и от коэффициента
упругости закрепления и расстояния, на которое они удалены друг от друга.
При исследовании динамического поведения конструкций с
подвижными нагрузками наибольший интерес представляет нахождение
их критических скоростей. Эти скорости зависят от дисперсионных свойств
направляющей и частоты источника колебаний. Поэтому изучение
дисперсионных свойств направляющей относится к первоочередным
вопросам.
При движении поездов со скоростью, близкой к скорости волн Рэлея
в окружающем железнодорожное полотно грунте, возникает усиление
вибрации поезда и железнодорожного полотна. В зависимости от типа
почвы эта скорость может варьироваться от 250 до 800 км/ч. Современные
высокоскоростные поезда уже достигают нижнего предела. Усиление
вибраций на высоких скоростях – опасное явление, которое приводит к
быстрому изнашиванию железнодорожного полотна и может вызвать сход
поезда с рельсов. Поэтому при строительстве высокоскоростных
железнодорожных магистралей, особенно на мягких почвах, увеличивают
жесткость грунта. Увеличение жесткости, в свою очередь, обязывает
увеличивать при расчетах нелинейность упругого основания. Вводятся в
рассмотрение балки, лежащие на нелинейно-упругом основании. Параметр
нелинейности является малой добавкой к жесткости основания. При
положительном значении этой добавки имеем систему с «жестким» типом
нелинейности, а при отрицательном – с «мягким».
Основные результаты диссертации были получены в рамках
«Программы фундаментальных научных исследований государственных
академий наук на 2008-2012 г.г.» в ходе выполнения работ по теме:
«Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов,
хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в
3
машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты»
(№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)
и по грантам РФФИ:
– «Теоретические и экспериментальные исследования волновых
процессов в подземных сооружениях и методы их подавления на путях
распространения в окружающую среду» (Проект № 05-01-00406; 2005–
2007 гг.);
–
«Системы
виброизоляции с внутренними инерционнодемпфирующими элементами для защиты операторов мобильных машин и
инженерных сооружений рельсового и дорожного транспорта. Теория.
Эксперимент. Компьютерное моделирование» (Проект № 08-08-97057р_поволжье).
Цель работы состоит в изучении влияния изгибной жесткости,
жесткости и нелинейности упругого основания, геометрической упругой
нелинейности на параметры распространения и энергетические
характеристики квазигармонических волн в балке.
Научная новизна работы заключается в определении:
– скорости движения энергии, переносимой изгибными волнами,
распространяющимися в балке, лежащей на нелинейно-упругом
основании, и влияния характеристики нелинейности и параметров
упругого основания на эту скорость;
– влияния характеристики нелинейности упругого основания на
модуляционную неустойчивость (самомодуляцию) квазигармонических
изгибных волн;
–
возможности
формирования
спиральных
(циркулярнополяризованных) изгибных волн.
Практическая значимость. Дисперсионные и энергетические
характеристики изгибных волн могут найти применение при расчете на
прочность, устойчивость и определение виброактивности стержневых
систем
различного
назначения,
подверженных
динамическому
воздействию, в частности, несущих движущуюся нагрузку. Соотношения,
связывающие групповую скорость и скорость переноса энергии для
нелинейных систем, могут найти применение в технической диагностике.
Знание истинной скорости переноса энергии упругими волнами весьма
важно, поскольку многие методы диагностики материалов и конструкций
(например, метод акустоупругости) основаны на измерении скорости
волнового пакета.
Методы
исследования.
При
проведении
исследований
использованы аналитические методы механики деформируемого твердого
тела, теории колебаний и волн.
4
Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается
их согласованностью с общими положениями механики деформируемого
твердого тела, теории колебаний и волн.
На защиту выносятся:
– Результаты исследования дисперсионных и энергетических
характеристик изгибных волн, распространяющихся в балке, лежащей на
нелинейно-упругом основании.
– Результаты исследования эволюции квазигармонических изгибных
волн и возможности их трансформации в последовательность волновых
пакетов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и
обсуждались: на Второй Всероссийской научной конференции по
волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 28-31
октября 2007 года); на VIII Всероссийской научной конференции
«Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 22-26
сентября 2008 года); на XIII Нижегородской сессии молодых ученых
(Технические науки) (Нижний Новгород – Татинец, 17-21 февраля 2008
года). В полном объеме диссертация обсуждалась на семинарах отдела
волновой динамики и виброзащиты машин НФ ИМАШ РАН (2010, 2011).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, 3
из которых статьи в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения,
четырех глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем
составляет 106 страниц, включая 21 рисунок, библиография содержит 59
наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее
цель, основные положения, выносимые на защиту, определены научная
новизна и практическая значимость диссертации.
Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней приводятся
общие сведения о волнах, описаны типы нормальных волн в стержнях,
дается вывод уравнения изгибных колебаний балки.
Во второй главе приводятся взятые из литературы нелинейные
математические модели, описывающие интенсивные продольные и
крутильные вибрации стержней, интенсивные изгибные вибрации балки и
изгибные вибрации балки, лежащей на нелинейно-упругом основании.
Интенсивные изгибные вибрации балки (модель Бернулли-Эйлера)
описываются уравнением
3
4
c02   W 
 2W
2 2  W
 c0 ry


 ,
2 x  x 
t 2
x 4
(1)
5
Iy
где W – поперечное перемещение частиц срединной линии; ry2 
2
осевой радиус инерции; I y   z dF – осевой момент инерции.
Проведено сравнение
F
фазовых скоростей  фаз ( ) 
на частотах ω и 3ω. Определено, что их отношение будет равно
 фаз ( 3 )

 фаз ( )
F

k
–
волн
3.
3.
(2)
Проведено сравнение групповых скоростей  гр ( ) 
d
dk
волн на
основной и утроенной частотах, определено, что такому же значению
равно и их отношение
 гр ( 3 )
 3.
 гр ( )
(3)
Уравнение динамики балки, совершающей изгибные колебания и
лежащей при этом на нелинейно-упругом основании, имеет вид
FU tt  EI yU xxxx  hU  h1U 3  0 .
(4)
Здесь U(x,t) – поперечное перемещение частиц срединной линии
балки, ρ – удельная плотность материала, F – площадь поперечного
сечения, Jy – осевой момент инерции сечения, E – модуль Юнга, h –
жесткость упругого основания; h1 – характеризует нелинейную добавку к
жесткости.
Частота ω и волновое число k связаны соотношением

EI y k 4  h
,
(5)
F 2  EI y k 4  h .
(6)
F
которое получено из дисперсионного уравнения
Минимальное значение частоты  
h
достигается при k=0.
F
Выражение волнового числа через частоту получается также из
дисперсионного уравнения (6)
6
k 1, 2 , 3 , 4   4
F 2  h
EI y
.
(7)
Выражение для фазовой скорости имеет вид
 фаз
Отношение
EI y



  
2

F


h


1/ 4
.
(8)
 фаз ( 3 )
изображено на рис. 1.
 фаз ( )
Рис. 1
При    отношение фазовых скоростей стремится к значению
3.
Выражение для групповой скорости имеет вид
 гр  2
Отношение
4

EI y F 2  h

3/4
F
.
(9)
 гр ( 3 )
изображено на рис. 2. При    отношение
 гр ( )
групповых скоростей стремится к значению
3.
То есть скорости изгибных волн основной частоты и третьей
гармоники отличаются между собой не на проценты (как для продольной и
крутильной волн), а в разы. Синхронизировать такие волны
7
затруднительно, эффективного обмена энергией между гармониками не
будет, следовательно, гармонические волны, распространяясь по стержню,
превратятся в квазигармонические, но не станут существенно
несинусоидальными.
Рис. 2
Третья глава посвящена анализу энергетических характеристик
изгибных волн, распространяющихся в балке, лежащей на нелинейноупругом основании.
Умножая уравнение (4) на Ut и приводя к дивергентной форме, получим
W S

 0,
t
x
где W 
(10)
h
1
1
h
2
FU t2  EI yU xx
 U 2  1 U 4 , S  EI yU xxU xt  EI yU xxxU t .
2
2
2
4
Поскольку W есть плотность энергии в балке, S следует
рассматривать как плотность потока энергии в балке, а уравнение (10) –
как уравнение переноса энергии или локальный закон сохранения энергии.
Аналогично, домножая уравнение (4) на Ux и приводя к
дивергентной форме, получим уравнение переноса волнового импульса
или локальный закон сохранения волнового импульса.
8
p T

 0,
t x
где T 
(11)
h
1
1
h
2
FU t2  EI yU xx
 EI yU xxxU x  U 2  1 U 4 ,
2
2
2
4
p   FUtU x , p – плотность волнового импульса, T – плотность
потока волнового импульса в балке.
Средние значения этих величин за период волны будут иметь вид
 W  U 0 ( F 2  EJ y k 4  h  1,5h1 U 0 ),
2
2
 S  4 U 0 EJ yk 3
2
(12)
 p  2 U 0 Fk ,
2
 T  U 0 ( F 2  3 EJ y k 4  h  1,5h1 U 0 ).
2
2
Величина отношения плотности потока волновой энергии к
плотности энергии определяет величину скорости переноса энергии, т.е.
Скорость же переноса волнового импульса определяется как
отношение величин <T> к <p>, т.е.
 имп
T 


 p
2 EJ y k 4  0,25h1 U 0
2
F EJ y k 4  h  2h1 U 0 k
2
.
(14)
В линейных диспергирующих средах без диссипации средняя
плотность потока энергии, переносимого волной, равна произведению
средней плотности энергии на групповую скорость. Аналогично связаны
средние значения плотностей потока и волнового импульса. В связи с этим
групповую скорость трактуют как скорость движения энергии,
переносимой волновым полем. Действительно, если h1→0, то из
выражений (12) с учетом дисперсионного уравнения получаем
 S   гр  W  ,  T2   гр  p  , следовательно
 эн   имп   гр .
(15)
Из сравнений (13), (14) и (9) видно, что при наличии нелинейности
упругого основания скорости переноса энергии и скорости переноса
волнового импульса описываются выражениями:
9
~ 2 3/4
~ 2  1  2h
~  1) 3 / 4
(
(
нел
лин
1a )
~
~
,
 гр  2
,  гр  2
~
~


~
эн
где
~ 2 3/4 ~
~ 2
~ 2  1  2h
~ 2  2  3,75h
2(
 ~
2
1a )
1a

,  имп  ~ 2
~ 2
~ 2 1/ 4 ~ .
2
~
(  1  2h1 a ) 
  0,25h1 a
F
~  
4
h1 J y
~
~   F , h
,
, a  U0
1 
hF
h
EJ y h
F
Jy
–
безразмерные
величины.
На рис. 3, 4 представлены частотные зависимости этих скоростей в
случае «жесткой» (h1 > 0; рис. 3) и «мягкой» (h1 < 0; рис. 4) нелинейности.
2
 эн
EJ y k 3 EJ y k 4  h  2h1 U 0 )
S

2
.
2
W 
F ( EJ y k 4  h  1,75h1 U 0 )
(13)
Рис.3. Зависимость скоростей от частоты в системе с жестким типом елинейности
~
~
~
~
~
~  1  2h a
~2 )
при h1=0,1, a=1:1-  гр , 2-  им п , 3-  эн , 4-  гр . (
0
1
лин
При
«жестком»
типе
нел
нелинейности
упругого
основания
 гр   эн   имп   гр , если
расположение
скоростей
такое
~
~
~
~  0,25  13h1a~ 2  8  2089h1 2 a~ 4  2192h1a~ 2  576 . При «мягком» типе
нелинейности в зависимости от соотношений между параметрами системы
нел
10
лин
возможны следующие ситуации:
либо
 грлин   эн   имп   грнел (рис.
4 а),
 грлин   имп   грнел   эн (рис. 4 б).
а
б
Рис.4. Зависимость скоростей от частоты в системе с мягким типом нелинейности
~
~
~
~
а - при h1= -0,5, a=1:1-  гр , 2-  им п , 3-  эн , 4-  гр ;
нел
лин
~
~
~
~
б - при h1= -0,1, a=1:1-  эн , 2-  гр , 3-  им п , 4-  гр
нел
лин
В четвертой главе изучается эволюция квазигармонических
изгибных волн, возможность их трансформации в последовательность
волновых пакетов.
Из теории нелинейных волн известно, что квазигармоническая волна,
распространяющаяся в нелинейной диспергирующей среде, может
вследствие модуляционной неустойчивости разбиться на отдельные
волновые пакеты. Наличие такой неустойчивости определяется по
критерию Лайтхилла:
dVгр
dk
 0,
(16)
где Vгр – групповая скорость, k – волновое число, α – коэффициент,
характеризующий нелинейность среды.
Решение уравнения (4) ищется в виде одной гармоники с медленно
меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой:
U  A(x, t )e i (t kx )  A* (x, t )e  i (t  kx ) ,
(17)
Сохраняя члены не выше второго порядка малости для линейной
части и  0 для нелинейной части, получим следующее уравнение:
11
 2 FAtt  6 EJ y k 2 Axx   2i FAt  2 EJ y k 3 Ax    h1 A A . (18)
2
Так как слагаемое при Ax равно групповой скорости, целесообразна
  x  V гр t ;
замена: 
, приводящая (18) к нелинейному уравнению



t

Шредингера:
 2 A
d гр
 гр
k
2
d 2 3 гр  гр
где



dk
k

dk 2
 2i 2 A  A A0  0 ,
2
и
(19)
h1
.
F 
Найдена область неустойчивости
использованием критерия (16):
для
данной

EJ y k 4 

  0.
 32
4
4

F ( EJ y k  h) 
EJ y k  h 
системы
с
2 EJ y k 2 h1
(20)
Рассмотрены отдельно случаи «мягкой» ( h1  0 ) и «жесткой» ( h1  0 )
нелинейностей. При «жесткой» нелинейности критерий неустойчивости
Лайтхилла не удовлетворяется. Таким образом, для «жесткого» типа
нелинейности имеет место устойчивость. В случае же «мягкой»
нелинейности критерий неустойчивости Лайтхилла удовлетворяется
всегда. Таким образом, для «мягкого» типа нелинейности имеет место
неустойчивость при любом значении параметров.
Периодические последовательности волновых пакетов, на которые в
результате модуляционной неустойчивости разбивается изгибная волна,
качественно изображены на рис. 5.
а
б
Рис. 5
В этой же главе показано, что в нелинейно-упругой балке, точки
срединной линии которой совершают движения в двух взаимно
12
перпендикулярных плоскостях, возможно формирование спиральных
(циркулярно-поляризованных) изгибных волн. Качественный вид
модулированных спиральных волн приведен на рис. 6.
Рис. 6
Рассмотрены пространственные колебания ограниченного стержня
длиной l.
а
б
Рис. 7
В зависимости от знака постоянной интегрирования уравнение имеет
различные фазовые «портреты». Так, например, при отрицательной
постоянной интегрирования в фазовом «портрете» содержатся только
устойчивые особые точки – «центры» (рис. 7 а). Форма периодического
решения для A приведена на рис. 7 б.
13
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ
В результате проведения теоретических исследований показано, что:
1. Из-за наличия сильной аномальной дисперсии изгибные волны в
нелинейно-упругих балках на основной и кратных частотах
распространяются с существенно различными скоростями, поэтому в
результате воздействия нелинейности преобладает формирование
квазигармонических волн, а не волн импульсной формы.
2. Если в балке, лежащей на линейно-упругом основании, энергия
изгибных волн переносится с групповой скоростью, то в балке, лежащей
на нелинейно-упругом основании, значения этих скоростей отличаются
друг от друга и определяются характером нелинейности. Для систем с
«жесткой» характеристикой нелинейности скорость переноса энергии во
всем частотном диапазоне превосходит групповую скорость, но обе они
меньше соответствующей групповой скорости линейной волны. Для
систем с «мягкой» характеристикой упругого основания в зависимости от
его параметров скорость переноса энергии может быть как больше, так и
меньше групповой скорости, при этом обе они во всем частотном
диапазоне превосходят групповую скорость линейной волны.
3. Квазигармонические изгибные волны при распространении в балке,
лежащей на нелинейно-упругом основании, будут по-разному
эволюционировать в зависимости от свойств упругого основания. При
«мягкой» характеристике нелинейности во всем частотном диапазоне
проявляется модуляционная неустойчивость, приводящая к разбиению
квазигармонической волны на отдельные волновые пакеты. Для систем с
«жесткой» характеристикой нелинейности модуляционная неустойчивость
не проявляется и слабо промодулированные волны остаются таковыми по
мере их распространения.
4. В нелинейно-упругой балке, точки срединной линии которой
совершают движения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях,
возможно формирование спиральных (циркулярно-поляризованных)
изгибных волн. Исследованы условия проявления модуляционной
неустойчивости таких волн и стационарные волны огибающих.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА
ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ
1. Смирнов, П.А. Скорости переноса энергии и волнового импульса
изгибными волнами, распространяющимися в балке Бернулли-Эйлера,
лежащей на нелинейно-упругом основании / В.И. Ерофеев, Е.Е. Лисенкова,
14
П.А. Смирнов // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2008. –
№6. – С. 40-43.
2. Смирнов, П.А. Модуляционная неустойчивость крутильных и
изгибных волн в стержне / В.И. Ерофеев, А.В. Серов, П.А. Смирнов //
Нелинейный мир. – 2009. – Т.7. – №12. – С.943–946.
3. Смирнов, П.А. О скорости переноса энергии упругими волнами,
распространяющимися в струне и балке / Т.С. Денисова, В.И. Ерофеев,
П.А. Смирнов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.
Лобачевского. – 2011. – № 6. – С. 49-52.
Публикации в других изданиях
4. Смирнов, П.А. Скорости переноса энергии и волнового импульса
изгибными волнами, распространяющимися в балке Бернулли-Эйлера,
лежащей на нелинейно-упругом основании / В.И. Ерофеев, Е.Е. Лисенкова,
П.А. Смирнов // Прикладная механика и технологии машиностроения: сб.
науч. тр. – Н. Новгород: Интелсервис, 2007. – №1(10). – С. 173-178.
5. Смирнов, П.А. О модуляционной неустойчивости крутильных и
изгибных волн / В.И. Ерофеев, А.В. Серов, П.А. Смирнов // Нелинейные
колебания механических систем: тр. VIII Всерос. конф. Н. Новгород, 22-26
сент. 2008 г. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та им.
Н.И. Лобачевского, 2008. – Т.2. – С. 336–339.
6. Смирнов, П.А. Перенос энергии и волнового импульса изгибными
волнами, распространяющимися в балке, лежащей на нелинейно-упругом
основании / П.А. Смирнов // Материалы XIII Нижегородской сессии
молодых ученых (Технические науки). – Н. Новгород, 2008. –C.78.
7. Смирнов, П.А. Спиральные изгибные волны в нелинейно-упругом
стержне / В.И. Ерофеев, В.М. Сандалов, П.А. Смирнов // Прикладная
механика и технологии машиностроения: сб. науч. тр. – Н. Новгород:
Интелсервис, 2010. – № 2 (17). – С.252-260.
8. Смирнов, П.А. О соотношениях скоростей упругих волн основной
частоты и высших гармоник в нелинейно-упругих стержнях / В.И.
Ерофеев, А.С. Зинченко, П.А. Смирнов // Моделирование динамических
систем: сб. науч. тр. – Н. Новгород, 2011. – Вып. 3. – С. 54-64.
15
Подписано в печать 12.12.11
Формат 6084 1/16
Бум. офсет.
Усл. печ. л. 0,93 (1,0)
Уч.-изд. л. 0,9
Тираж 100 экз.
Заказ 320
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Тел.: 24-95-70; 99-87-39, е-mail: izdat@sstu.ru
16