Проблема восстановления предпочтений из функций спроса

Определение.
x, ~
y ) и вектор цен ~
p  0) образуют равновесие по
Распределение ( ~
p  (~
p1 , ~
p 2 , , ~
pN )  0 ( ~


Вальрасу с трансфертами T  T 1 ,, T M , если:
j вектор чистых выпусков ~y j Y j максимизирует прибыль фирмы j на
p~
yj  ~
p y j для всех yj  Y j ;
множестве Y j , то есть ~
1)
для любого
k
x k является наилучшим согласно ~
2)
для любого потребителя k набор ~
 набором в бюджетном
k
k
k
k
~
~
~
~
k
 j py j  T } ;
множестве: {xk  X : px  p 

j
3)
xik  i   ~
y ji и ~
pi ( ~
xik  i   ~
y ji )  0 ;
для любого i имеем  ~
k
M
4)
T
k
j
k
j
 0.
k 1
Замечание: мы рассматриваем X k  RN , если не сказано иначе.
Вторая теорема экономики благосостояния.
x, ~
y ) – парето-оптимальное распределение, в котором любой агент имеет положительное
Пусть ( ~
x k  0 ). Предположим, что предпочтения всех потребителей выпуклы,
количество любого товара ( ~
непрерывны, локально ненасыщаемы и хотя бы у одного потребителя предпочтения слабо
монотонны. Пусть, кроме того, производственные множества Yj – выпуклы. Тогда существует вектор
p  0 (~
p  0) и трансферты T  T 1 ,, T M такие, что ( ~
p, ~
x, ~
y ) – равновесие по Вальрасу в
цен ~


экономике с трансфертами T  T , , T
1
M

.
План доказательства.
x k : V k  {xk  X k : xk k ~
x k} и
1. Определим для каждого k множество V k наборов лучших, чем ~
определим V 
V
k
 { x   xk  R N : xk V k  k } .
k
k
Определим агрегированное производственное множество Y 
Yj  { y   yj  R N : yj Y jj } .
j
j
Множества V и Y  {} удовлетворяют условиям теоремы о разделяющей гиперплоскости
(непустые, выпуклые, их пересечение пусто).
p  0 можно рассматривать в качестве вектора цен, то
2. Нормаль разделяющей гиперплоскости ~
есть все координаты неотрицательны (в силу слабой мнонотонности).
3.
Проверить,
что
~
p~
x~
p  ~
p~
y,
откуда
с
учетом
 ~x
i
k
 i   ~
y ji
k
следует
j


~
pi   ~
xik  i   ~
y ji   0 для всех i , т.е. все рынки уравновесшены.
j
 k

py j  ~
p~
y j для любого yj  Yj .
5. Проверить рациональность производителей: ~

 
p k  ~
xk 
6. Определить трансферты T k  ~
k
j
~
p~
y j и проверить баланс трансфертов
j
k
x k , то ~
px k  ~
p~
xk .
7. Проверить рациональность потребителей: если x k  ~
T
k
k
 0.
Существование равновесия по Вальрасу
Утверждение
Пусть избыточный спрос z ( p ) для каждого товара является функцией, определенной для всех
неотрицательных ненулевых векторов цен p  0, p  0 . Если функции избыточного спроса z ( p ) –
непрерывны для всех p  0, p  0 , однородны нулевой степени и удовлетворяют закону Вальраса, то
p такой, что z i ( ~
существует вектор цен ~
p)  0 и ~
pi z i ( ~
p )  0 для всех i  1,..., N .
Утверждение
Если в экономике обмена все потребители имеют локально ненасыщаемые, непрерывные, строго
выпуклые предпочтения и положительные начальные запасы каждого блага (  k  0 для всех
k  1, , M ), то равновесие существует.
Утверждение
Если в экономике обмена все потребители имеют строго монотонные, непрерывные, строго
выпуклые предпочтения и совокупные начальные запасы каждого блага в экономике положительны
( i  0 для всех 1  1, , N ), то равновесие существует.
Единственность равновесия
Рассмотрим экономику, где нет свободных благ, то есть в равновесии все цены положительны.
Определение.
Функции избыточного спроса z( p ) обладают свойством валовой заменимости, если для любых
векторов цен p и p  таких, что для некоторых i pi  pi и pl  pl для всех l  i , имеет место
z l ( p  )  z l ( p ) для всех l  i .
Утверждение
Пусть функции избыточного спроса z( p ) удовлетворяют свойству валовой заменимости. Тогда,
если равновесие существует, то вектор равновесных цен единственен.
Утверждение
Пусть функции полезности всех потребителей аддитивно сепарабельны u k ( x k ) 


u
k
i
( xik ) , дважды
i
непрерывно дифференцируемы и, кроме того, x u / x возрастает по x для всех k и i , тогда
избыточный спрос экономики обмена удовлетворяет свойству валовой заменимости для любых
первоначальных запасов.
k
i
k
i
k
i
k
i