Гл.I.п.1.

Глава I. Делимость в кольце целых чисел.
§ 1. Отношение делимости в Z, свойства. Деление с остатком.
1. Определение и основные свойства делимости. Во
множестве натуральных чисел N определены операции сложения и
умножения, но не всегда выполнены обратные им операции
вычитания и деления. Чтобы операция вычитания всегда была
выполнима, в математике вводят число 0 и целые отрицательные
числа –1,-2,-3,… . Во множестве целых чисел Z определены
операции сложения и умножения, и выполнима операция вычитания.
Операции сложения и умножения целых чисел, как известно,
ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом.
Таким образом, множество целых чисел есть кольцо; его называют
кольцом целых чисел.
Определение. Если для целых чисел a и b существует такое
целое число q , что a  b  q , то говорят, что a делится на b или b
делит a , и пишут соответственно ab или b a . Число a при этом
называют кратным числу b , а b называют делителем a (понятно,
что q также делитель a ). Если в кольце Z не существует числа q ,
такого, что a  b  q , то говорят, что a не делится на b , или b не
делит a , и пишут a  b или b a .
Приведем некоторые свойства отношения делимости целых
чисел, вытекающие из определения.
1º a  Z 0 a , так как a  0  0.
2º a  Z a(a) и a (1) (в частности, отношение рефлексивно).
3º a, b  Z ab  (a)(b) , отношение делимости сохраняется
при изменении знака делимого и делителя, но не является
симметричным, так как 4 2 , но 2  4 .
4º a, b, c  Z ab, bc  ac .
Действительно, a  b  q1 , b  c  q2  a  c  (q1  q2 ) и, следовательно, a c
(отношение транзитивно).
5º a, b, c  Z
a c, bc  (a  b)c , обратное не верно, так как
(35  13)12 
 3512  1312 .
6º a, b, c  Z ab  (a  c)b , обратное не верно.

n

Следствия. 1. ai , bi , c  Z , где i  1, n bi  c    ai  bi  c .
 i 1
2. ai , bi , c j , d j , k  Z ,где i  1, n , j  1, m , bi  k  d j  k

 n
  m
  ai  bi     c j  d j  d m 1   d m 1  k
 i 1
  j 1

9

3. a, b, c  Z ab, b  c  (a  b)  c .
4. Если a  0 , то не существует q , что 0  q  a (на нуль делит
нельзя!).
q  Z 0  q  0 , поэтому частное 0:0 не определено однозначно.
Приведем несколько задач, решение которых опирается на
свойства отношения делимости в Z.
Задача. Пусть n  N. Тогда:
1) так как a n  b n  (a  b)  (a n1  a n2  b  ...  a  b n2  b n1 ), то при
a  b имеем (a n  b n )(a  b);
2) так как А(n) = 112n  312n  38  11n  31n  (11n  31n ) 2  40  11n  31n ,
то на основании предыдущего имеем А(n)  40;
3) ((n  1) 3n  n 2n (n  3) n )(3n  1);
4) индукцией по n получаем ((a  1) 2n1  a n1 )(a 2  a  1) .
2. Деление с остатком. Важную роль в теории делимости
целых чисел играет следующая теорема.
Теорема 1. a, b  Z , где b  0 , существует одна и только одна
пара целых чисел q и r такая, что a  b  q  r , 0  r  b , причем q
называют неполным частным, а r – остатком.
Доказательство. Докажем сначала существование деления с
остатком. Рассмотрим все случаи, которые здесь могут
представиться.
1) a – любое целое число, b  0 . Рассмотрим множество всех чисел,
кратных числа b , и расположим его в порядке возрастания:
..., b  (2), b  (1), b  0, b  1, b  2,... . Пусть b  q – наибольшее кратное числа
b , не превышающее a . Тогда a  b  q , но a  b  (q  1) , то есть
b  q  a  b  (q  1) , откуда 0  a  b  q  b . Положив a  b  q  r , получим:
a  bq  r , 0 r b.
2) a – целое число, b  0 . Так как  b  0 , то согласно случаю 1)
деление a на  b возможно, а это означает существование таких
целых чисел q и r , что a  b  q  r , 0  r   b , или a  b  (q)  r ,
0r  b .
Теперь докажем единственность деления с остатком. Пусть
деление a на b не единственно, то есть существуют два неполных
частных q1 и q 2 и два остатка r1 и r2 такие, что
a  b  q1  r1 , 0  r1  b , a  b  q2  r2 , 0  r2  b . Тогда b  q1  r1  b  q2  r2 ,
или b(q1  q2 )  r2  r1 , но так как r2  r1  b , то равенство возможно
лишь при условии r2  r1  0 . Следовательно, r2  r1 , но тогда q2  q1 .
Единственность доказана.
10
Следствие. a, b  Z , где b  0 ,
ab  r  0 , то есть целое
число a тогда и только тогда кратное целому числу b  0 , когда
остаток от деления a на b равен нулю.
Примеры. При делении с остатком: 1) 28 на 6 получаем
28  6  4  4 ; 2) 28 на -6 получаем 28  (6)  (4)  4 ; 3) –28 на 6
получаем  28  6  (5)  2 ; 4) –28 на –6 получаем  28  (6)  5  2 .
Из теоремы о делении с остатком вытекает, что каждое целое
число a может быть представлено:
либо в виде a  b  q ,
либо в виде a  b  q  1 ,
либо в виде a  b  q  2 ,
…………………………..
либо в виде a  b  q  (b  1) .
Задача. Используя бином Ньютона, доказать, что если остатки
при делении a и b на m равны, то при любом натуральном n
остатки при делении a n и b n на m равны.
Введенное понятие деление с остатком позволяет решать и
задачи на делимость.
Задача. Для натурального n :
n
1) (2  1)7  n  3  k  1, где k  N ;
2) a  Z ((a  1) n  a n  1)(a 2  a  1)  n  6  k  1, где k  N .
Тест для самоконтроля.
Укажите верные и неверные утверждения (a, q  Z ) .
1. Если a  12  q  6 , то остаток при делении a на 12 равен 6.
2. Если a  12  q  4 , то остаток при делении a на 12 равен 4.
3. Если a  12  q  6 , то остаток при делении a на 12 равен 6.
4. Если a  12  q  16 , то остаток при делении a на 12 равен 8.
5. Если a  12  q  21 , то остаток при делении a на 12 равен 3.
Образцы решения задач.
Задача 1. Доказать, что произведение k последовательных
натуральных чисел
делится на k! 1 2  3  ...  k . Применить это для доказательства
утверждения: n  N n  (n 2  5)6 .
Решение. Так как число сочетаний
C nk 
n(n  1)( n  2)...( n  k  1)
n!

1  2  3  ...  k
k!(n  k )!
является натуральным числом, то произведение k последовательных
натуральных чисел (n  (k  1))...( n  2)( n  1)n делится на k! .
По доказанному (n  1)n(n  1)  n(n 2  1) делится на 3! = 6, а так
как 6n6 , то их сумма также делится на 6: n(n 2  1)  6n  n(n 2  5) .
11
Задача 2. Доказать, что n  N A(n)  (2 n2  3n  5n  4) 25 .
Решение. Доказательство проведем методом математической
индукции.
1) Проверим справедливость утверждения при n  1 :
A(1)  2 3  3  5  4  25 , A(1) 25 .
2) Предположим, что при n  k A(k ) 25 , то есть (2 k 2  3k  5k  4) 25 .
3)
Докажем,
что
при
то
есть
n  k  1 A(k  1) 25 ,
(2 ( k 1) 2  3k 1  5(k  1)  4) 25 .
A(k  1)  2 k 3  3k 1  5k  1  (6(2 k  2  3k  5k  4)  25(k  1))  25 .
Итак,
при
любом
( A(1) 25  A(k ) 25  A(k  1) 25)  A(n) 25
натуральном n , то есть по принципу полной математической
индукции данное утверждение справедливо при любом натуральном
n.
Задача 3. Доказать, что если (ax  by)(a  b) , то (ay  bx)(a  b) ,
где a, b, x, y  Z .
Решение. I способ. Так как ay  (a  b) y  by и bx  (a  b) x  ax ,
то ay  bx  (a  b)( y  x)  (ax  by)(a  b) .
II способ. Пусть ay  bx  (a  b)k , требуется доказать, что k  Z . Так
как ax  by  (a  b)n , где n  Z , то
ax  by ay  bx a ( x  y )  b( x  y )


 x y.
ab
ab
ab
Отсюда, следует, что k  x  y  n  Z . Аналогично, можно показать,
nk 
что (ay  bx)(a  b) .
Задача 4. Доказать, что из n последовательных натуральных
чисел только одно делится на n .
Решение. Пусть a, a  1, a  2,..., a  n  1
(1)
есть требуемая последовательность. Два числа из набора (1)
одновременно на n делиться не могут, так как их разность меньше
n и, значит, на n делиться не может. Пусть a  n  q  r , где 0  r  n .
Если r  0 , то a n . Если r  1 , то a  n  r принадлежит множеству (1)
и a  n  r  n  q  r  n  r  n(q  1) . Следовательно, a  n  r делится на
n.
Задача 5. Найти наибольшее целое число, дающее при
делении на 17 частное 23.
Решение. a  17  23  r , где 0  r  17 . Очевидно, что a будет
наибольшим при r  16 , то есть a  407 .
Задача № 6. Найти делитель и остаток, если делимое и
частное соответственно равны 25 и 3.
Решение. Получаем 25  b  3  r , где 0  r  b .
12
Очевидно, что b  0 . Далее, b  r  25  3  b  0 , т.е. 4  b  25  3  b. Так
как b целое, то b равно 7 или 8. Соответственно r равно 4 или 1.
Упражнения.
№1. Доказать, что если a  b и (a  b) делятся на c, то
4
4
2
2
3
3
1) (a  b )c; 2) (a  b )c; 3) (a  b )  c.
№2. Дробь
a
ab
сократима. Сократима ли дробь
?
b
ab
№3. Докажите, что для любого целого n (n3  n)3, (n5  n)5, (n7  n)7.
(n4  n)4, (n6  n)6 ? (Г.В.Лейбниц
Верно или неверно, что
k
предполагал, что (n  n)k , где k – нечетное целое число, но 292=510 не делится на 9).
№4. Верно ли, что выражение
m m 2 m3


- является целым числом, для любого целого числа m;
5
2
6
a a 2 a3
2)  
- является целым числом, если a – четное целое число.
12 8 24
1)
№5. Показать, что если целое число a не кратно 5, то
1) (a 4  1)5;
2) Одно и только одно из чисел (a 2  1) и (a 2  1) кратно 5;
3) (a12  1)5.
№6. Известно, что числа a и b делятся на m , а разность (a  b) этих
чисел делится на c .
Следует ли отсюда, что число
a b

делится на c .
m m
№7. Доказать методом математической индукции, что для любого
n N
1) (4n  15  n  1)9;
2) (11n  2  122n 1 )133;
3) (32n  5) не делится на 8;
4) (2  23  25  ...  26n 1 )7;
5) (2  23  25  ...  24n 1 )5;
6) (22  24  26  ...  28n )17;
7) (42  44  46  ...  44n )5.
№8. При делении a на b получается частное q и ненулевой остаток r.
На какое натуральное число n нужно умножить a, чтобы при
делении на b частное увеличивалось в n раз?
№9. Пусть y – последняя цифра числа 2n. Тогда 2n  10  x  y.
Доказать, что ( x  y)6.
№10. Доказать, что из любых n целых чисел можно выбрать одно
или несколько так, чтобы сумма выбранных чисел делилась на n.
13
№11. Доказать, что 1k  2 k  3k  ...  (n  1) k , где k – нечетное число,
делится на n.
№12. Найти частное и остаток от деления:
1) 10 на 10;
5) 134 на –26;
2) 100 на 101;
6) –134 на 26;
3) –4 на 3;
7) –134 на (-26).
4) 134 на 26;
№ 13. Найти делитель и остаток, если делимое и частное
соответственно равны 371 и 14.
№ 14. По делимому a и остатку r найти делители и соответствующие
частные, если
1) а = 100, r = 6; 2) а = 148, r = 47.
№ 15. Разность двух целых чисел кратна 17, одно их них при
делении на 17 дает остаток 2. Каков остаток при делении второго
числа на 17?
№ 16. При делении чисел a, b, c на 15 получили соответственно
остатки 4, 7, 10. Разделится ли произведение a  b  c на 15?
№ 17. Произведение a  b  c кратно 12. Причем при делении на 12 a и
b дают соответственно остатки 3 и 5. Показать, что c  4 .
№18. При делении на 2 число дает в остатке 1, а при делении на 3
остаток 2. Каков остаток это число дает при делении на 6?
№19. Найдите цифру x в числе 2x78, если известно, что это число
делится на 17.
№20. Докажите, что если число a дает при делении на b остаток r, то
(a-r) делится на b. Верно ли обратное?
№21. Известно, что число a дает при делении на (m  n) остаток r.
Можно ли сказать, что a дает при делении на m остаток r? В каком
случае это будет верно?
№22. Про натуральные числа a, b и c известно, что частное от
деления a на b больше удвоенного остатка от деления a на b, а
частное от деления b на c больше удвоенного остатка от деления b
на c. Докажите, что частное от деления a на c больше удвоенного
остатка от деления a на c.
№23. Докажите, что для любых целых a и b разной четности
найдется такое целое c, что с  a  b, c  a, c  b - точные квадраты.
№ 24. Доказать, что для Fn  2
№ 25*. Доказать, что
n
2
а) (m  m  n  n  1)(m  1) ;
б) (m n 1  m  n  m  n)  (m  1) 2 ;
в) (2  mn 1  (1  m)n )(2  m  1);
2n
F
 1 при n N (2 n  2) Fn .
14
m
m
n 1
г) ((m  1)  (1) )m ;
д) ((m  1) m  1) m n1 , где m, n  N.
№ 26. Доказать, что для каждого натурального числа n существует
такое натуральное число r, что каждый из членов бесконечной
n
n
последовательности k  1, k  1, k  1,... делится на n.
№ 27. Доказать, что существует бесконечно много нечетных чисел n,
для которых ни при каком четном k ни одно из чисел бесконечной
kk
k
последовательности k  1, k
 1,... не делится на n.
n!
№ 28*. Доказать, что для нечетных n имеем (2  1)  n.
k
kk
№ 29*. Доказать:
а) что каждое натуральное число имеет натуральных делителей вида
(4  k  1) не меньше, чем вида (4  k  3);
б) что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих
натуральных делителей вида (4  k  1) столько же, сколько и вида
(4  k  1)
в) что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих
натуральных делителей вида (4  k  1) более, чем вида (4  k  1) .
№ 30. Числа (7  n  1) и (8  n  3) делятся на некоторое натуральное
число d  1. Найдите d .
№ 31. Число 17  a  3  b делится на 61. Докажите, что 8  a  5  b тоже
делится на 61 (a и b – целые числа).
№ 32. Найдите остатки от деления чисел:
а) n на n-1 и на n-2;
б) n2+n+1 на n+1 и на n+2;
в) n4+1 на n+3 (n  80).
№ 33. Найдите все целые n, при которых будет целым число
n2  1
n5  3
а)
; б) 2 .
n 1
n 1
№ 34. Найти все трехзначные числа, такие, что
а) они при делении на сумму своих цифр, увеличенную на 1, дают в
остатке 1;
б) число, записанное теми же цифрами в обратном порядке,
обладают тем же свойством.
15