X - WordPress.com

Оглавление
Предисловие.....................................................................................................4
Раздел 1.Случайные события…………………………………...... 5
§1. Элементы комбинаторики……………………………….................. 5
§2. Случайные события. Алгебраические операции над событиями
7
§3. Классическое определение вероятности ……………..................... 9
§4. Геометрическое определение вероятности……………................. 10
§5. Вероятность суммы несовместных событий …….......................... 11
§6. Вероятность произведения событий ………………........................ 12
§7. Вероятность суммы совместных событий ………........................... 14
Задания для текущей диагностики по разделу 1 ........................ 15
Задания для самостоятельной работы по разделу 1 ................. 17
Раздел 2. Случайные величины ....................................................... 22
§8. Случайные величины ……………………......................................... 22
§9. Распределение дискретной случайной величины .......................... 23
§10. Математическое ожидание.Дисперсия и среднее квадратичное
отклонение .......................................................................................... 24
§11. Распределение непрерывной случайной величины …................... 27
Задания для текущей диагностики по разделу 2 ........................ 29
Задания для самостоятельной работы по разделу 2 ................. 31
Раздел 3. Элементы математической статистики .............. 35
§12. Генеральная и выборочная совокупности . Статистическое
распределение частот и относительных частот............................... 35
§13. Полигон и гистограмма ………………………................................ 37
§14. Выборочная и генеральная средние. Выборочная дисперсия ...... 39
§15. Оценка параметров распределения ………………......................... 41
§16. Эмпирическая плотность распределения ……............................... 42
§17. Статистические гипотезы ……………………………..................... 43
§18. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с
предполагаемой генеральной дисперсией нормальной
совокупности ...................................................................................... 45
Задания для текущей диагностики по разделу 3 ........................ 46
Задания для самостоятельной работы по разделу 3 ................. 47
Домашняя контрольная работа по разделу 3 ............................. 51
Итоговый тест по элементам теории вероятностей и
математической статистики .................................................... 53
Приложение Фрагмент таблицы критических точек
распределения χ2…........................................................................... 55
Список литературы ……………………........................................ 56
3
Предисловие
Изучение математической науки играет важную роль в подготовке
высококвалифицированных специалистов, в том числе юристов и экономистов.
Математика необходима для познания общественной жизни, для исследования
любых социальных явлений, в том числе и правовых. Современный специалист
в области общественных наук должен ориентироваться в основных вопросах
теории вероятностей и математической статистики: ее предмете и методе,
значении теории вероятностей для учета и статистики. Изучение этих разделов
расширяет кругозор студентов, помогает им разбираться в общественноэкономических вопросах и способствует, как показывает опыт, лучшему
освоению других дисциплин. Без теории вероятностей невозможно изучение, а
главное - понимание статистики.
Работа студентов над учебным материалом включает следующие
элементы: слушание и проработка лекций, изучение материала по учебнику,
решение задач на практических занятиях и дома, посещение консультаций,
выполнение контрольных работ (аудиторных и домашних), сдача зачета или
экзамена. Для облегчения выполнения всей этой работы и написано данное
пособие. Так как настоящее издание имеет своей целью помочь студентам в
самостоятельной работе над теоретическим материалом при подготовке к
практическим занятиям и экзамену и является задачником, в котором
приводятся задания для практических занятий и самостоятельной работы,
предусмотренных учебным планом.
Кроме того, в конце каждого раздела (модуля) приведены задания для
текущей
или итоговой диагностики, которую можно проводить на
практическом занятии или дома; задания для самостоятельной работы, которые
можно использовать как при выполнении домашнего задания, так и на занятии.
По материалу раздела "Элементы математической статистики" приведена
домашняя контрольная работа.
4
Раздел 1. Случайные события
§ 1. Элементы комбинаторики
Пусть Х = {х1, х2, .., хn} – конечное множество, состоящее из n элементов.
Если выбрать некоторые элементы из Х, то они составят выборку. Выборкой
является, например, {х2,х3,х5}, если n5. Элементы, входящие в выборку,
определяют ее состав. Две выборки могут отличаться составом, например,
{х2,х3,х5}{х1,х3,х4}, Выборка называется упорядоченной, если указано, какой ее
элемент является первым, какой вторым и т.д. Упорядоченные выборки
принято записывать в круглых скобках. Например, (х3, х2, х5) – упорядоченная
выборка, в которой первым элементом является х3, вторым – х2, третьим – х5.
Упорядоченные выборки могут отличаться не только составом, но и порядком.
Например, (х3, х2, х5) (х5, х3, х2), так как у них первые элементы разные.
Комбинаторными
называют такие задачи, в которых участвуют
упорядоченные или неупорядоченные выборки. В решение такой задачи входит
доказательство существования требуемых выборок и подсчет их числа.
Пример. Пусть Х = 0,1,2,…,9 - множество цифр.
Задача 1. Сколько существует трехэлементных подмножеств множества Х?
Задача 2. Сколько существует трехзначных чисел, содержащих попарно
различные цифры?
Трехэлементным подмножеством является, например, 3,2,4. Это
неупорядоченная выборка, т.к. 3,2,4=4,2,3= …. Во второй задаче выборки
упорядоченные, т.к. 324  423, т.е. два числа могут отличаться порядком
расположения цифр, а не только составом.
Правило суммы. Пусть из множества Х1сделано r1 выборок, а из Х2 – r2
выборок. Если среди r1 выборок из Х1 нет таких, которые входили бы в r2
выборок из Х2, то общее число r выборок равно сумме r1 + r2, т.е. r = r1 + r2.
Это правило распространяется на любое число множеств Х1, Х2, …, Хk, если
никакие два из них не имеют общих выборок:
r = r1+r2 + … + rk (1)
Заметим, что множества Х1, Х2, …, Хk могут иметь общие элементы или
даже совпадать.
Правило произведения. Пусть Х1, Х2, …, Хk, - некоторые множества.
Если элемент х1 можно выбрать из Х1 r1 способами, после выбора х1 элемент
х2 из Х2 можно выбрать r2 способами, …, после выбора х1,…,хk-1 элемент хk
из Хk можно выбрать rkспособами, то число r всех упорядоченных выборок
(х1, х2, …, хk)равно произведению r1r2…rk, т.е.
r= r1r2…rk (2)
5
Пример. Игральный кубик бросается два раза. Сколько имеется
различных вариантов выпадения очков при обоих бросаниях?
Пусть х – число очков при первом бросании игрального кубика, а у – при
втором. Тогда очки при двух бросаниях составляют упорядоченную пару (х,у).
Для х имеется шесть возможностей: 1, 2, 3, 4, 5, 6; для у – те же шесть
возможностей. По правилу произведения число таких пар равно r1r2 = 6·6 = 36.
Размещения.
Упорядоченная выборка, содержащая m элементов
множества Х, называется размещением.
Ясно, что если множество Х состоит из n элементов, то 1 m  n. При
подсчете числа всех размещений характер элементов множества Х не играет
никакой роли. Важно лишь, что элементов n. Поэтому говорят о числе
размещений из n элементов по m элементам, которое обозначается Аnm . Для
его нахождения заметим, что выбор первого элемента размещения можно
осуществить n способами. После того, как выбран первый элемент, выбор
второго элемента можно осуществить n-1 способом. Если выбраны два
первых элемента, то выбор третьего элемента можно осуществить n-2
способами и т.д. Последний m –й элемент мы можем выбирать из n-m+1
элементов, оставшихся после выбора m-1 предыдущих элементов. По правилу
произведения:
Аnm = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (3)
Пример. В соревновании участвуют 7 спортсменов. Сколько имеется
возможностей для занятия ими первых трех мест?
Каждый исход соревнования определяет выборку из трех спортсменов.
Поскольку распределение мест в этой выборке важно, то выборка
упорядоченная. Значит задача сводится к нахождению числа размещений из 7
элементов по 3. Имеем: А73 = 7·6·5=210. Последний множитель равен 5, т.к.
n–m+1 = 7-3+1 = 5.
Перестановки. Упорядоченная выборка из всех элементов множества Х
называется перестановкой Х.
Обозначим число всех перестановок из n элементов через Рn. Легко
видеть, что перестановка является размещением из n элементов по n
элементам, т.е.
Рn= Аnn = n(n-1)(n-2) … 2·1. Число, равное произведению
натуральных чисел от 1 до n обозначается n! (эн- факториал). Таким образом,
Рn = n! (4)
Мы можем выразить через факториалы и число размещений при любом
значении m.
Поскольку
n(n-1)(n-2)…(n-m+1 )=
n(n  1)...( n  m  1)( n  m)...2  1
n!

, то
(n  m)...2  1
(n  m)!
6
Anm 
n!
(5)
(n  m)!
Пример. Сколькими способами можно усадить на лавочку 5 человек?
Каждое расположение пяти человек на лавочке есть перестановка из 5 –ти
элементов. Поэтому искомое число равно Р5 = 5! = 1·2·3·4·5=120.
Сочетания. Неупорядоченная выборка, содержащая m элементов
множества Х, называется сочетанием.
Число всех сочетаний из n элементов по m элементам обозначается С nm .
Каждое сочетание {х1, х2, .., хm} можно упорядочить m! способами. Поэтому
произведение С nm · m! есть число всех размещений из n элементов по m
элементам, т.е. Anm  C nm m!
Из формулы (5) находим:
C nm 
n!
(n  m)! m!
(6)
Пример. Сколькими способами можно разбить группу из 7 человек на две
подгруппы из 3 и 4 человек?
Каждая подгруппа из трех человек есть сочетание из 7 элементов по 3.
Ясно, что требуемых разбиений столько, сколько таких подгрупп, т.е. С 73 =
7!
3!4!
= 35.
§ 2. Случайные события. Алгебраические операции над событиями
В теории вероятностей понятия события и испытания являются
основными. Испытание представляет собой комплекс условий, при выполнении
которого происходит событие. Событие есть результат испытания.
Пример 1. Бросается игральный кубик. Это испытание. При этом
выполняется следующий комплекс условий: кубик сделан из однородного
материала, грани его занумерованы от 1 до 6, падает он на ровную
горизонтальную поверхность. Выпадение, например, шести очков - событие.
События обозначаются большими латинскими буквами, возможно с
индексами или штрихами: А, В, С, … А1, …,А2', … .
Событие называется
случайным, если в результате испытания оно
может произойти, а может и не произойти. Событие, которое в результате
испытания обязательно происходит, называется достоверным и обозначается
I, а событие, которое не может произойти, называется
невозможным и
обозначается О.
События А и В называются равновозможными, если нет основания
считать, что одно из них более возможно, чем другое.
Пример 2. Бросается игральный кубик. Рассмотрим события:
А – событие, состоящее в том, что выпадет четное число очков;
В – нечетное число очков; С – 7 очков; Д – меньше семи очков.
7
Здесь события А и В – случайные, событие С - невозможное, событие Д –
достоверное. События А и В – равновозможные, т.к. у каждого из них имеется
по 3 возможности из 6.
События называются противоположными, если одно из них происходит
тогда и только тогда, когда не происходит другое. Событие, противоположное
событию А, обозначается А.
События А и В называются несовместными,
если они в одном
испытании не могут произойти одновременно. В противном случае они
называются совместными. События А1, А2, …., Аn называются попарно
несовместными, если любые два из них несовместны.
Пример 3. В ящике белые, красные и синие шары. Наудачу вынимается
один шар. Рассмотрим события: А – вынут белый шар, В – красный, С –
синий, Д – цветной.
Здесь события А, В, С – попарно несовместны, события А и Д –
противоположные, события В и Д , а также С и Д - совместные. Заметим,
что любые противоположные события несовместны.
Говорят, что событие А
благоприятствует событию В или, что
событие В есть следствие события А, если при выполнении события А
обязательно происходит и событие В.
События А и В называются
равносильными, если они благоприятствуют друг другу. Это означает, что
событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В. Если
события А и В равносильны, то пишут: А = В.
Пример 4. Бросается игральный кубик. Пусть А – событие, состоящее в
том, что выпало 6 очков, В – выпало четное число очков, С – выпало больше
пяти очков. Здесь А благоприятствует В, А = С.
Суммой событий А и В называется событие А + В, состоящее в том, что
происходит хотя бы одно из этих событий, т.е. А или В. Суммой нескольких
событий А1, А2, …, Аn называется событие А1+А2+…, +Аn , состоящее в
осуществлении хотя бы одного из слагаемых.
Произведением событий А и В называется событие А·В, состоящее в
том, что происходят оба события.. Произведением нескольких событий А 1,
А2, …, Аn называется событие А1·А2·…·Аn , состоящее в осуществлении
каждого из множителей.
Пример 1. Бросается игральный кубик. Пусть Еi –событие, состоящее в
выпадении i очков, где i {1,2,3,4,5,6}, А – выпадение четного числа очков, В
– выпадение числа очков, большего четырех. Тогда А=Е2+Е4+Е6, В = Е5+Е6,
А+В = Е2+ Е4+ Е5 +Е6, АВ = Е6.
Для противоположных событий имеем: А + А = , А·А = О.
8
Заметим, что события А и В несовместны тогда и только тогда, когда АВ
= О; события А1, А2, …, Аn попарно несовместны тогда и только тогда, когда
Аi·Аj = О
при ij.
Говорят, что события Е1, Е2, …, Еn образуют полную группу событий,
если при каждом испытании хотя бы одно из этих событий происходит, т.е.
Е1+Е2+…, +Еn = I.
Операции над событиями обладают следующими свойствами:
1. А + А = А, А·А = А.
2. А + В = В + А, А·В = В·А - коммутативность.
3. А + ( В + С) = (А + В) + С , А·(В·С) = (А·В)· С - ассоциативность.
4. А·(В + С) = А·В + А·С - дистрибутивность умножения относительно
сложения.
5. А+ О = А, А·I = А.
§ 3. Классическое определение вероятности
Пусть А – событие, являющееся результатом испытания с исходами Е1, Е2,
…, Еn . При этом события Е1, Е2, …, Еn: 1) попарно несовместны, т.е. Еi·Еj =
О, ij ;
2) образуют полную группу, т.е. Е1+Е2+…,+Еn = 1; 3) равновозможны.
При выполнении этих условий вероятностью Р(А) события А называется
отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу
исходов. Имеем:
Р(А ) =
m
,
n
где m – число исходов, благоприятствующих событию А, n – общее число
исходов.
Пример 1. При бросании игрального кубика исходами являются события
Е1, Е2, …, Е6, где Еi : выпало i очков. Эти исходы удовлетворяют условиям 1),
2), 3). Найдем вероятность события А: выпало число очков, большее четырех.
Событию А благоприятствуют исходы Е5 и Е6. Поэтому m=2, n = 6 и Р(А) =
m 2 1
=  .
n 6 3
Вероятность события является
количественной характеристикой
возможности его появления.
Свойства вероятностей
1. Вероятность достоверного события равна 1: Р(I) = 1. Действительно,
достоверному событию благоприятствуют все исходы, так что m=n и Р(I) =
=1.
9
m
n
2. Вероятность невозможного события равна 0: Р(О) = 0. Действительно,
невозможному событию не благоприятствует ни один из исходов, т.е. m = 0 и
0
n
Р(О) = =0.
3.
Для любого события А: 0 Р(А) 1. В самом деле, 0  m n, так что
0 m n
  .
n n n
Поскольку
0
 0,
n
n
 1,
n
m
 P( A) , то 0 Р(А) 1.
n
4. Чтобы найти вероятность противоположного события, надо из 1 вычесть
вероятность данного события: Р(А) = 1 – Р(А). Действительно, если событию
А благоприятствуют m исходов из общего числа n исходов, то событию А
благоприятствуют n-m остальных исходов, т.е. Р(А) =
nm
m
 1   1  Р ( А).
n
n
Пример 2. В ящике 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара.
Какова вероятность того, что: а) оба шара белые; б) оба шара черные; в) один
шар белый, а другой черный?
Решение. Поскольку вынимается два шара, то речь идет о выборке из 5
элементов по 2 элемента. Выборка неупорядоченная. Поэтому общее число
5!
 10 . Два белых шара выбираются из трех
2!3!
3!
3
 3 . Поэтому в случае а) вероятность р1 =
шаров. Таких выборок С 32 
.
2!1!
10
таких выборок равно
n= С52 
Поскольку возможна лишь одна пара, состоящая из черных шаров, то в случае
1
. Все остальные пары будут содержать белый и черный
10
6 3
шар: 10 –3 –1 = 6. Поэтому в случае в) вероятность р3 =  .
10 5
б) вероятность р2 =
§ 4. Геометрическое определение вероятности
Пусть А – промежуток на прямой, или область на плоскости, или
некоторое тело в пространстве. Символом m(A) обозначим: длину А, если А –
промежуток на прямой; площадь А, если А – область на плоскости; объем А,
если А – некоторое тело. Пусть ВА. В некоторых задачах требуется найти
вероятность того, что наудачу взятая точка множества А принадлежит В, т.е.
найти вероятность события хВ.
При этом формула для вычисления
вероятности имеет вид:
Р(хВ) =
m( B )
.
m( A)
Пример. Лиса Алиса предлагает коту Базилио игру: каждый из них
записывает число из промежутка 0,3. Если оба числа меньше 1 или оба
10
больше 1, то выигрывает Алиса; в противном случае выигрывает Базилио.
Стоит ли Базилио играть с Алисой?
Решение. Пусть лиса задумала число х, а кот – число у.
Тогда точка (х,у) принадлежит квадрату
y
3
А со стороной 3. Если х1 и у1 или х1
и у1, тоточка (х,у) принадлежит
2
заштрихованной на рисунке части В
1
квадрата
А.
Имеем:
m(A)=9,
m(B)=11+22=5. Вероятность выигрыша
x
0
1
2
3
Алисы р = 5 9 , а Базилио q=1- 5 9  4 9 , так
что случай играет на стороне Алисы.
Базилио игра невыгодна.
§ 5. Вероятность суммы несовместных событий
Рассмотрим некоторые события А и В, вероятности которых известны.
Как найти вероятность события А+В?
Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий А и В равна
сумме их вероятностей:
Р(А+В)= Р(А) +Р(В) (1)
Доказательство.
А
В
Пусть испытание имеет n исходов,
событию А благоприятствует m1 из них, а
m1
m2
событию В - m2. Поскольку события А и В
несовместны, то событию А + В
n
благоприятствуют
m1 + m2
исходов.
Следовательно,
P A  B  
m1  m2 m1 m2


 P A  PB  .
n
n
n
Эта теорема распространяется на любое число попарно несовместных
событий.
Теорема 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий А1, А2,
…, Аn равна сумме их вероятностей:
Р(А1+ А2 + …+ Аn) = Р( А1) +Р( А2) + … Р(Аn) (2)
Равенство (1) является частным случаем равенства (2).
Пример 1. Телефонный звонок с поздравлениями ожидается от лиц А, В
и С. Вероятность того, что первым позвонит А равна 0,3, а того, что первым
позвонит В – 0,25. Звонит телефон. Какова вероятность того, что звонит С?
11
Для ответа на вопрос учтем, что события А, В и С попарно несовместны,
т.к. два абонента не могут дозвониться одновременно. Поэтому Р(А +В + С) =
Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,3 + 0,25 + Р(С). Но события А, В и С образуют полную
группу, поскольку кто-то обязательно позвонит первым, так что А + В + С = I и
Р(А+В+С) = Р(I) = 1. Значит, 1= 0,55 + Р(С), т.е. Р(С) = 0,45.
§ 6. Вероятность произведения событий
События А и В называются независимыми, если вероятность одного из
них не зависит от того, произошло или не произошло другое. Если же,
например, вероятность события А зависит от того, произошло или не
произошло событие В, то эти события называются зависимыми.
Пример 1. Бросается монета. Рассмотрим события: А – при первом
бросании выпал орел; В – при втором бросании выпал орел. Ясно, что события
А и В независимы, т.к. вероятность каждого из них равна ½ независимо от
того, состоялось или не состоялось другое событие.
Пример 2. В ящике 4 белых и 4 черных шара. Шары вынимаются по
одному и не возвращаются в ящик. Рассмотрим события: А – первый вынутый
шар – белый; В – второй вынутый шар - белый. Если событие А состоялось,
3
7
т.е. вынут белый шар, то Р(В)= . Если же событие А не состоялось, т.е. вынут
4
7
черный шар, то Р(В) = . Вероятность события В зависит от того, состоялось
или нет событие А. Значит, события А и В зависимы.
На практике о независимости событий можно говорить, если они никак
не связаны. Так если одна фирма выпускает обувь, а другая телевизоры, то
события, состоящие в банкротстве этих фирм независимы.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А
состоялось, называется условной вероятностью В и обозначается РА(В). В
примере 2 условная вероятность события В равна
3
3
, т.е. РА(В) = . Если
7
7
события А и В независимы, то состоялось событие А или нет, оно не повлияет
на вероятность события В, так что для независимых событий
РА(В) = Р(В) (1)
Теорема 1. Вероятность произведения событий АВ равна произведению
вероятности события А на условную вероятность события В при условии, что
событие А состоялось:
Р(АВ) = Р(А) · РА(В) (2)
Доказательство. Пусть число исходов
А
испытания равно n, причем событию АВ
k
m
l
благоприятствуют l исходов, событию А 12
В
l
n
k+ l исходов, событию В - l +m исходов. Тогда Р(АВ)= , P( A) 
=
k l
,
n
РА (В)
l
k l
l
l
·. Отсюда находим: Р(А)РА(В)=

 =Р(АВ).
k l
n k l n
Теорема 2. Вероятность произведения независимых событий А и В равна
произведению этих событий.
Доказательство. Так как события А и В независимы, то имеет место
равенство (1). Воспользовавшись теоремой 1, получаем:
Р(АВ) = Р(А) · Р(В) (3)
Пример 3. В ящике 5 белых и 4 синих шара. Шары вынимаются по
одному и не возвращаются в ящик. Какова вероятность того, что два первых
вынутых шара будут белыми?
Пусть событие А состоит в том, что первый вынутый шар белый, а
событие В – второй вынутый шар белый. Тогда Р(А) = 5/9. Найдем условную
вероятность события В. Если один белый шар вынут, то осталось 4 белых
шара и 4 синих шара, т.е. РА(В) = 4/8 = ½. Событие С –оба вынутых шара
белые – равно произведению АВ. По теореме 1 Р(С) = Р(А) ·РА(В) =
5 1 5
  .
9 2 18
Пример 4. Игральный кубик бросается два раза. Какова вероятность того,
что оба раза выпадут 6 очков? Рассмотрим события: А – при первом бросании
кубика выпадет 6 очков; В – при втором бросании кубика выпадет 6 очков; С –
при каждом бросании выпало по 6 очков. Ясно, что С=АВ, причем события А и
В независимы. Поскольку Р(А)=Р(В) = 1/6, то по теореме 2 находим: Р(С) =
Р(А) Р(В) = 1/36.
Теорема 3. Пусть А, В, С – некоторые события. Тогда
Р(АВС) =Р(А)·РА(В)· РАВ(С) (4)
Доказательство. Поскольку АВС=(АВ)С, то по теореме1 Р(АВС)=Р(АВ)·
РАВ(С), Р(АВ) = Р(А) ·РА(В). Отсюда следует формула (4). Выясним теперь, в
каком случае верна формула
Р(АВС)= Р(А)·Р(В)·Р(С) (5)
Из формулы (4) находим, что для этого достаточно, чтобы Р А(В) = Р(В),
РАВ(С) = Р(С), т.е. чтобы события А и В были независимы, а также
независимыми были события АВ и С. Это приводит к определению событий,
независимых в совокупности.
События А1, А2, …, Аn называются независимыми в совокупности, если
каждое из этих событий не зависит от остальных событий и от их
всевозможных произведений.
Например, события А,В,С независимы в
совокупности, если независимы события А и В, А и С, В и С, А и ВС, В и АС,
С и АВ.
13
Теорема 4. Вероятность произведения событий А1, А2, …, Аn,
независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей:
Р(А1 А2 … Аn) = Р(А1)Р( А2) …Р( Аn) (6)
Рассмотрим доказательство этой теоремы для случая трех событий:
А,В,С. Так как события А и В независимы, то РА(В) = Р(В), а так как события
АВ и С независимы, то РАВ(С) = Р(С). Имеем: Р(АВС) =Р(А)·РА(В)· РАВ(С)=
Р(А)·Р(В)·Р(С).
Замечание. Если события независимы в совокупности, то они попарно
независимы. Можно показать, что обратное неверно.
§ 7. Вероятность суммы совместных событий
Теорема 1. Вероятность суммы событий А и В равна сумме вероятностей
этих событий без вероятности их произведения:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (1)
Доказательство.
А
В
Пусть испытание имеет n исходов,
m
k
l
из которых событию АВ благоприятствует
n
l исходов, событию А - k+ l исходов,
событию
В - l +m
исходов. Тогда
k l
lm
l
, P ( AB)  . Имеем:
, P( B) 
n
n
n
k l m k l l ml k l l m l



  Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Р(А+В) =
n
n
n
n
n
P  A 
Следствие 1.
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) РА(В) (2)
Доказательство. В силу теоремы 1 §6 Р(АВ) = Р(А) РА(В). Подставляя в
равенство (1) значение Р(АВ), получаем (2).
Следствие 2. Если события А и В независимы, то
Р(А+В) = Р(А)+Р(В)- Р(А)Р(В) (3)
Доказательство. Поскольку события А и В независимы, то по теореме 2
§6: Р(АВ) = Р(А) Р(В). Остается воспользоваться формулой (1).
Замечание. Если события А и В несовместны, то АВ=О и Р(АВ) = Р(О) =
0. Поэтому из теоремы 1 получаем: Р(А+В) = Р(А) + Р(В), что уже было
доказано в §5.
Пример 1. Вероятности попадания в цель первого и второго орудия равны
соответственно 0,9 и 0,8. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одного
из орудий при залпе.
Рассмотрим события: А – попадает в цель первое орудие, В – попадает в
цель второе орудие. Тогда А+В – событие, состоящее в попадании в цель хотя
14
бы одного из орудий.
События А и В независимы. Поэтому можно
воспользоваться формулой (3):
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В) = 0,9 + 0,8 – 0,9·0,8 =0,98.
Задания для текущей диагностики по разделу 1
Выберите один вариант ответа:
1. Вероятность каких событий можно оценивать?
а) только прошлых
б ) только настоящих
в) только будущих
г) только прошлых и настоящих
д) только настоящих и будущих
е) только прошлых и будущих
ж) всех
2. В каких единицах измеряется вероятность?
а) в баллах от 1 до 10
б) в баллах от 1 до 100
в) в физических единицах измерения (метры, килограммы, вольты и т. д.)
г) в безразмерных единицах (от 0 до 1).
д) в безразмерных единицах (от –1 до 1).
3. Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на
верхней грани выпадет 5 очков, равна …
а)
1
6
б) 0,1
в)
1
5
г)
5
6
4. Вероятность достоверного события равна …
а) 0,5
б) 0
в) 1
г) -1
5. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна
а) 2
б) 0
в) 1
г)
6. Определите, чему равно A93 ?
а) 3; б) 9; в) 504; г) 39.
7. Определите, чему равно C53 ?
а) 3; б) 5; в) 10; г) 53.
8. Определите, чему равно P7 ?
15
1
2
а) 7; б) 5040; в) 77; г) 504.
9. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в
цель для первого и второго стрелков равны 0,6 и 0,3 соответственно. Тогда
вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна …
1) 0,28
2) 0,15
3) 0,18
4) 0,9
10.
Устройство
представляет
собой
параллельное соединение элементов S1, S2, S3;
каждый из них может выйти из строя с
вероятностью p. Функционирование схемы
нарушается, если все они выходят из строя. Тогда
вероятность правильной работы устройства равна:
S1
S2
S3
1) 1–3p
2) 1–p3
3) (1–p)3
4) p3
11. Устройство представляет собой последовательное соединение
элементов S1, S2, S3; которые могут
S1
S2
S3
выйти из строя с вероятностями 0,1; 0,15;
0,25. При неисправности любого элемента функционирование схемы
нарушается. Тогда вероятность правильной работы устройства равна …
1) 0,10,150,25
2) (1–0,1)(1–0,15)(1–0,25)
3) 1–(1–0,1)(1–0,15)(1–0,25)
4) 0,1+0,15+0,25
12. В первом ящике 7 красных и 11 синих шаров, во втором – 5 красных и
9 синих шаров. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того,
что он синий, равна …
1)
1  11 9 
  
2  18 14 
2)
11 9

18 14
3)
11  9
18  14
4)
11 9

18 14
13. В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7
черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность
того, что этот шар окажется белым, равна …
1) 0,15
2) 0,9
16
3) 0,4
4) 0,45.
Задания для самостоятельной работы по разделу 1
§1
1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
если цифры в числах не повторяются?
2. Сколько "слов", каждое из которых состоит из семи различных букв,
можно составить из букв слова выборка?
3. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно
выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского,
французского, немецкого, испанского на любой другой из этих пяти языков?
4. Сколько четырехзначных нечетных чисел можно составить из цифр
числа 3694, если каждую цифру можно использовать не более одного раза?
5. Из полного набора шахмат вынули 4 фигуры или пешки. Во скольких
случаях среди них окажется: а) два коня; б) не менее двух коней?
6. В коробке находится 4красных и 6 зеленых карандашей. Из нее
случайно выпали 3 карандаша. Какова вероятность того, что два выпавших
карандаша окажутся красными?
7. Из 60 вопросов, включенных в экзамен, студент подготовил 50. Какова
вероятность, что из предложенных ему трех вопросов он знает: а) два; б) не
менее двух?
8. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд
кубиков, на которых написаны буквы А, А, Н, С, Н, получится слово "ананас"?
9. В урне 7 белых, 4 синих, 9 красных шаров. Из урны наугад выбирают 4
шара. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров окажется 2 синих и
2 желтых.
10. В одном ящике имеется 12 однотипных деталей, из которых 4
нестандартные, в другом 15 деталей, из них 3 нестандартные. Из каждого
ящика наудачу извлекаются по две детали. Найдите вероятность того, что из
первого ящика извлекли 2 нестандартные, а из второго ящика - 2 стандартные
детали.
11. Вычислить
а) С106 ; б)
Р37
Рn
n!

; в)
;
Р35
(n  1)! Pn1
12. Докажите, что С mn  C nnm .
17
г)
C 75 Р4
А54
13. Найдите натуральное число х из уравнения:
1
2
а) 2 С х2  20 ; б) С 2х С х3  10 ; в) С х2  Р х .
14.Из города А в город В можно ехать поездом, автобусом и лететь
самолетом. Из В в С самолеты не летают, но ходят автобусы и поезда. Из С в Д
можно проехать либо на автобусе, либо по реке теплоходом. Сколько
существует возможностей проезда из А в Д с остановками в В и С?
15.Сколькими способами можно выбрать 2 буквы из слова «педагогика»,
если одна из них является гласной, а другая согласной.
§2-4
16. В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Из него
наудачу вынули один шар. какова вероятность того, что номер извлеченного
шара: а) не превышает пяти; б) не содержит цифру 1; в) делится на 3?
17. В урне 12 шаров, из которых 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова
вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется: а) черным;
б) синим?
18. Даны числа от 1 до 30 включительно. Какова вероятность того, что
наудачу выбранное целое число является делителем числа 30?
19. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке
нового календаря: а) кратно 5; б) равно 29, если в году 365 дней?
20. В вашей группе по жребию разыгрывается один билет в кинотеатр.
Какова вероятность, что билет получит девушка? юноша?
21. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика
одинакового размера. Определите вероятность того, что извлеченный наудачу
кубик будет иметь: а) ровно три окрашенные грани; б) ровно две окрашенные
грани; в) ровно одну окрашенную грань.
22. Какова вероятность того, что наудачу выбранный день из числа дней
одного столетия обладает следующим свойством: число, номер месяца и
последние две цифры года записаны с помощью одной из цифр 1, 2, ..., 9?
23. Из тщательно перемешанного полного набора костей домино наудачу
извлечена одна кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу
извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась
"дублем"; б) не есть "дубль".
18
24. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5
нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления
нестандартных деталей?
25. Относительная частота прорастания семян равна 0,85. Найдите число
проросших из посаженных 120.
26. На отрезке А длины 10 см помещен меньший отрезок В длины 5 см.
Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок,
попадет также и на меньший отрезок.
27. В круг радиуса 5 см помещен меньший круг радиуса 3 см. Найти
вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет и в
малый круг.
28. Плоскость стола разбита параллельными прямыми на полосы
шириной 6,4 см. Найти вероятность того, что монета радиуса 1,2 см, наудачу
брошенная на стол, окажется внутри одной из полос.
29. Из 33 букв русского алфавита случайно выбираются две буквы.
Какова вероятность того, что обе они будут гласными?
30. Игральный кубик бросается дважды. Какова вероятность того, что а)
сумма выпавших очков равна 8; б) произведение выпавших очков равно 12?
31. Из коробки, содержащей карточки с буквами: е, м, с, х , наудачу
извлекают одну карточку за другой и располагают их в порядке извлечения.
Какова вероятность того, что в результате получится слово «смех»?
32. Из пруда, в котором плавают 12 карасей, выловили 5 карасей,
пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 8 карасей.
Какова вероятность того, что среди них окажутся два помеченных карася?
33. Налоговый инспектор в торговом предприятии проверил наугад треть
сделок от 90 сделок, совершённых за месяц. Среди проверенных сделок в пяти
были обнаружены нарушения. Что можно сказать о вероятности
необнаружения нарушения в очередной проверяемой сделке?
34. В районе имеется 60 фермеров, которые пользовались банковскими
услугами в различных банках. Известно, что 12 из них хотя бы один раз не
возвратили вовремя банковский кредит. Какова вероятность, что случайно
взятый фермер из данного района окажется добросовестным заёмщиком?
35. В милицию поступило сообщение, что на улице N после драки остался
лежать труп. Длина улицы – 3 км. Какова вероятность, что труп находится на
отрезке 500 метров в середине улицы.
19
§5-7
36. В квадратную таблицу 22 вписаны крестики и нолики. Какова
вероятность того, что вписан либо один крестик, либо один нолик?
37.
На столе экзаменатора 20 билетов по теории и 20 билетов с
задачами. Студент подготовился к ответу на 18 билетов по теории и знает
решение 16 задач. Какова вероятность того, что студент: а) ответит на билет и
решит задачу; б) или ответит на билет, или решит задачу?
38. Вероятность того, что зерно пшеницы взойдет при посеве равна
0,8. В грунт поместили для пробы два зерна пшеницы. Какова вероятность того,
что: а) не взойдут оба зерна; б) взойдет только одно зерно; в) взойдет хотя бы
одно зерно?
39. Некто записал двузначное число. Какова вероятность того, что в
этой записи есть цифры 5 или 9?
40. Какова вероятность того, что последняя цифра случайно
выбранного телефонного номера равна 0 или 1?
41. На шахматную доску случайным образом поставили две фигуры.
Какова вероятность того, что эти фигуры стоят на одной диагонали?
42. Найти вероятность того, что при четырех подбрасываниях монеты:
а) герб выпадет 4 раза; б) герб выпадет хотя бы один раз.
43. Вероятность попадания в цель орудий А и В равна соответственно
0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что: а) оба орудия попадут в цель; б) первое
орудие попадет, а второе промахнется?
44. Буквы слова «барабан» написаны на семи карточках. Наудачу по
одной извлекаются 4 карточки и расставляются в ряд. Какова вероятность того,
что при этом получится слово «араб»?
45. В сосуде 5 белых шаров и 15 цветных. Сначала вынимаются два
шара, а затем еще один. Какова вероятность того, что два первых шара
окажутся белыми, а третий шар цветной?
46. Студент сдает по математике зачет и экзамен. Вероятность сдачи
зачета равна 0,7. Если он сдаст зачет, то допускается к экзамену, вероятность
сдачи которого равна 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст и зачет и
экзамен?
47. Помещение освещается тремя светильниками. Вероятность
безотказной работы каждого светильника равна 0,9. Какова вероятность того,
что помещение будет освещено?
48. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500
рублей, на 10 билетов - выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов – выигрыши
по 5 рублей, остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть
не менее 20 рублей владельцу одного билета?
20
49. Из группы туристов 60% владеют английским языком, 50% французским и 20% - обоими языками. Найти вероятность того, что случайно
взятый турист из этой группы будет нуждаться за границей в переводчике с
английского и французского языков.
50. На книжной полке стоят 5 томов сочинений Пушкина. Какова
вероятность того, что сначала стоят тома с четными номерами, а за ними - с
нечетными?
51. На предприятии работают 30% женщин. 25% работников этого
предприятия получают высокую зарплату. Из них число мужчин относится к
числу женщин как 19:6. Выяснить, не имеет ли места на этом предприятии
дискриминация в оплате труда женщин.
52. 4% студентов учатся неудовлетворительно, а среди успевающих
студентов 75% учатся на «хорошо» и «отлично». Найти вероятность того, что
случайно встреченный студент учится на «хорошо» и «отлично».
53. Игральный кубик бросается дважды. Найти вероятность события
Х< 10, где Х – сумма выпавших очков.
54. Вероятность того, что каждый из трех кассиров занят
обслуживанием покупателей, равна 0,8. Найдите вероятность того, что при
однократном выстреле: а) все три стрелка попадут в цель; б) все стрелки
промахнутся; в) цель будет поражена одним или двумя стрелками.
55.
Имеются две одинаковые урны, первая из которых содержит 2
красных и 3 белых шара, а вторая - 1 красный и 4 белых шара. Из наугад
выбранной урны наудачу извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что
будет вынут белый шар?
56. Студент пришел на экзамен, зная 25 билетов из 30. Перед ним был
взят только один билет. Какова вероятность того, что студент знает наудачу
вытянутый билет? Что вероятнее: вытянуть билет, который студент знает, если
он берет билет первым; вторым?
57. Два автомата производят детали. Вероятность получения
нестандартной детали на первом автомате равна 0,06; на втором - 0,09.
Производительность второго автомата вдвое больше производительности
первого. Найдите вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется
нестандартной.
58.
Имеется 3 одинаковых урны. В первой находится 4 белых и 6
черных шаров; во второй - 7 белых и 3 черных; в третьей - только черные шары.
Из наугад выбранной урны наудачу извлекается один шар, который оказался
черным. Какова вероятность того, что шар извлечен из первой урны?
59.
Согласно оценкам одной клиники 50% мужчин и 30% женщин
имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. В этой клинике женщин
21
лечится в 2 раза больше, чем мужчин. У случайно выбранного пациента
клиники оказалось серьезное нарушение сердечной деятельности. Какова
вероятность того, что этот пациент - мужчина?
60.
Установлено, что в среднем один из 700 детей мужского пола
рождается с лишней У-хромосомой и что у таких детей крайне агрессивное
поведение встречается чаще в 20 раз. Опираясь на эти данные, найдите
вероятность того, что мальчик с крайне агрессивным поведением имеет
лишнюю У-хромосому.
61. Жили у бабуси 5 гусей: 2 белых и 3 серых. Ночью воры украли 2-х
гусей. Наутро бабуся послала внука принести гуся. Найти вероятность того, что
он принесет белого гуся.
62. Вася пошел навестить Катю, проживающую в семье из 5 чел.
Соседи сказали, что в квартире 3 чел. Какова вероятность, что дверь откроет
Катя?
63.
В аквариуме было 6 рыбок, из них – один сомик. Петя прибежал к
маме и сказал, что кот съел одну рыбку. Мама попросила его пересадить одну
рыбку в банку. Какова вероятность, что сомик остался в аквариуме?
64. Маша спрятала сторублевую денежную купюру в одну из пяти
книг. Вскоре одну из этих книг мама отдала соседке. Затем папа отдал почитать
еще 2 книги из этих пяти. Какова вероятность того, что денежная купюра
осталась дома?
Раздел 2. Случайные величины
§ 8. Случайные величины
Пусть R - множество действительных чисел. Подмножество M  R
назовем конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. Будем
говорить, что М дискретно, если для каждой точки хМ существует такой
интервал , который не содержит других точек из М, кроме х. Если же
множество М содержит некоторый интервал, то оно называется непрерывным.
Ясно, что конечное множество является дискретным.
Случайной величиной
называется такая величина, которая при
проведении испытания принимает значения из R, зависящие от исхода
испытания. Хотя значением случайной величины является число, это число
заранее неизвестно. Оно становится известным только после того, когда
испытание завершено.
Множество значений случайной величины вполне определено.
Случайная величина называется дискретной или непрерывной в зависимости
от того, является ли множество ее значений дискретным или непрерывным.
22
Случайные величины обозначаются прописными буквами X, Y, ..., X1,…
Пример 1. Пусть испытание состоит в том, что случайным образом
указывается слово в книге. Положим: Х – номер страницы, содержащей это
слово; Y – число букв в этом слове. Здесь Х и Y – дискретные случайные
величины.
Пример 2. Стрелок стреляет по мишени. Пусть Х – номер выстрела, при
котором произошел первый промах; Y – время, потраченное при этом на
стрельбу. Величина Х принимает значения 1,2,3,4,… и является дискретной.
Величина Y – непрерывная, так как завершение серии выстрелов может
произойти в любое время.
Пример 3. Измеряется длина отрезка. Х – отклонение результата
измерения от истинной длины отрезка. Ясно, что Х может принимать значения
из некоторого промежутка и потому является непрерывной случайной
величиной.
§ 9. Распределение дискретной случайной величины
Пусть Х - случайная величина. Если величина Х является дискретной, то
ее значение можно расположить в последовательность: х1, х2, х3, …хn, … Если
величина Х принимает значение хi, то имеем событие Х=хi.
Распределением дискретной случайной величины Х называется
отображение, которое каждому значению хi величины Х ставит в соответствие
вероятность события Х=хi.
Положим рi= Р(Х=хi). Удобно задавать распределение дискретной
случайной величины в виде таблицы
Х х1 х2 х3 … хk
р р1 р2 р3 … рk
(1)
Пример. Монета бросается три раза.
Составить
распределение
случайной
величины Х – числа выпадения орла.
Поскольку при каждом бросании монеты возможны два исхода, то при
трех бросаниях будет восемь исходов. Перечислим их: {ооо, оор, оро, роо, орр,
рор, рро, ррр}. Случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3. Имеем: р1=
Р(Х=0) = 1/8, так как лишь один исход ррр благоприятствует событию Х=0,
когда нет ни одного орла. Далее, р2 = Р(Х=1) = 3/8, р3=Р(Х=2) = 3/8, р4 =
Р(Х=3) = 1/8. Распределение имеет вид:
Х 0
1
2
3
р 1/8 3/8 3/8 1/8
(2)
Заметим, что 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1. Это не случайно.
23
Теорема. Сумма вероятностей любого дискретного распределения равна
единице: р1 + р2 + … + рk = 1 (3)
Доказательство. События Х=х1, Х=х2, Х = х3, … попарно несовместны.
Их сумма (Х=х1)+(Х=х2)+(Х = х3)+…есть достоверное событие I. По теореме
сложения вероятностей попарно несовместных событий Р(Х=х 1)+Р(Х=х2)+Р(Х
= х3)+…= Р(I) = 1.
§ 10. Математическое ожидание.
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение
Математическим ожиданием
М(Х)
дискретно распределенной
случайной величины Х называется сумма произведений значений величины Х
на их вероятности:
М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хkрk (1)
Пример 1. Найдем математическое ожидание величины Х, имеющей
1
8
3
8
3
8
1
8
3
2
распределение (2) § 9. Имеем: 0·  1   2   3   .
Пример 2. В сосуде 4 белых и 3 черных шара. Найти математическое
ожидание случайной величины Х – числа белых шаров при вынимании наудачу
выбранных трех шаров.
Случайная величина Х принимает значения 0,1,2,3. Число возможностей
выбора
3-х шаров из 7 равно
С 73 
7!
 35. Событию Х=0 благоприятствует
3!4!
только одна возможность, так как черных шаров только три. Поэтому р 1 = 1 .
35
Событие Х=1 предполагает, что из трех вынутых шаров 1 белый и 2 черных.
Белый шар можно выбрать 4-мя способами, а два черных шара С 32 
3!
3
2!1!
способами. По правилу произведения событию Х=1 благоприятствует 4·3 = 12
исходов. Поэтому р2 =
12
. Два белых шара из четырех шаров можно выбрать С
35
4!
 6 способами, а один шар из трех черных шаров – 3 способами. Поэтому
2!2!
6  3 18
вероятность события Х=2 равна р3 =
.= . Наконец, три белых шара из
35
35
4!
 4 способами,
4-х шаров можно выбрать С 34 
3!1!
4
т.е. Р(Х=3) = р4 = . Получаем распределение:
35
2
4

24
Х 0
1
2
3
р
1
12 18
4
35 35 35 35
1 12 18 4



 1 . Вычислим математическое ожидание:
Заметим, что
35 35 35 35
1
12
18
4 60 12
М(Х) = 0·  1   2   3    .
35
35
35
35 35 7
Математическое ожидание является вероятностным аналогом среднего
арифметического значений Х. Оно характеризует среднее значение случайной
величины Х при данном распределении.
Приведем свойства математического ожидания.
Пусть Х и Y – случайные величины, С – постоянная величина. Тогда:
М(С) = С; М(СХ) = С М(Х); М(Х) = М(Х) М(); М(Х) =
М(Х)М(), если Х и  независимые. (2)
Пусть Х – дискретная случайная величина,
a = М(Х) – ее
математическое ожидание. Значения случайной величины Х рассеяны в
окрестности ее математического ожидания a. Важно оценить степень этого
рассеяния.
Случайная величина Х-a называется отклонением Х от математического
ожидания a. Она имеет распределение:
Х-a х1-а х2-а х3-а … хk-а
р
р1
р2
р3
… рk
Подсчитаем математическое ожидание отклонения:
М(Х-а)= (х1-а)р1 + (х2-а)р2 + …+ (хk-а)рk = х1р1 + х2р2 + …+ хkрk - а (р1 +
р2 + …+ рk). Но х1р1 + х2р2 + …+ хkрk = а, р1 + р2 + …+ рk = 1.
Поэтому М(Х-а)=0.
Итак, математическое ожидание отклонения Х – а
равно нулю.
Поэтому оно не может служить мерой рассеяния Х. В качестве такой меры
принимают дисперсию.
Дисперсией D(Х) случайной величины Х называют математическое
ожидание квадрата отклонения:
D(Х) = М((Х-а)2) (3)
Квадрат отклонения имеет распределение:
(Х-a)2 (х1-а)2 (х2-а)2 (х3-а)2 … (хk-а)2
р
р1
р2
Р3
… рk
Из (3) следует, что D(Х) =(х1-а)2р1 + (х2-а)2р2 + …+ (хk-а)2рk (4)
Для вычисления дисперсии используют также следующую формулу:
25
D(Х) = М(Х2) - (М(Х))2, (5)
где М(Х2) = х1 2р1 + х2 2 р2 + …+ хk 2 рk
Пример 1. Испытание состоит в одновременном бросании двух игральных
кубиков. Составить закон распределения и найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х – суммы очков, выпавших на этих кубиках.
Пусть Х – число очков, выпавших на первом кубике, а Y – на втором
кубике. Исходом испытания будет упорядоченная пара (х,у). Следовательно,
всех исходов будет 6 · 6 = 36. При этом возможны следующие суммы очков:
у
х
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Распределение Х задается таблицей:
Х
р
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Подсчитаем математическое ожидание:
а= М(Х) =
12·1)=
1
(2·1 + 3·2 + 4·3 + 5·4 + 6·5 + 7·6 + 8·5 + 9·4 + 10 3 + 11·2 +
36
252
=7.
36
Вычислим дисперсию:
4
1
2
3
5
6
+ (3-7)2· +(4-7)2 + (5-7)2 36 + (6-7)2
+ (7-7)2 +
36
36
36
36
36
5
4
3
2
1
+ (9-7)2
+ (10-7)2
+(11-7)2
+ (12-7)2
=
36
36
36
36
36
D(Х)=(2-7)2·
+ (8-7)2
35
 5,83
6
Свойства дисперсии
1) D(С) = 0, где С – постоянная величина;
2) D(СХ) = С2D(Х),
где
С – постоянная величина;
3) D (ХY) = D(Х) + D(Y), если Х и Y независимы.
Средним квадратичным
отклонением
σ(Х)
называется
квадратный корень из дисперсии:  ( X )  D( X ) (5)
Пример 2. Найти среднее квадратичное отклонение дискретной
случайной величины, заданной следующим законом распределения:
Х 1
2
4
р 0,1 0,3 0,6
26
Сначала подсчитаем математическое ожидание: М(Х) = 1·0,1 + 2·0,3 + 4·0,6 =3.
Вычислим теперь дисперсию, используя формулу (5). Для этого запишем закон
распределения для случайной величины Х2:
Х2 1
4
16
р 0,1 0,3 0,6
М(Х2) = 1·0,1 + 4·0,3 + 16·0,6 =10,9. Тогда D(Х) = М(Х2) – (М(Х))2= 10,9(3,1)2 =1,29,  ( X )  D( X )  1,136 .
§ 11. Распределение непрерывной случайной величины
1.
Рассмотрим неотрицательную функцию f(х), f(х)0.
Кривая у=f(х) является графиком
y
функции f(х). Так как f(х) 0, то каждая
точка графика либо принадлежит, либо
B
A
лежит выше оси Ох. Рассмотрим на оси Ох
интервал (,) и криволинейную трапецию
ВА, площадь которой обозначим SВА.
x
Пусть Х – некоторая непрерывная случайная
0
α
β
величина. Рассмотрим событие: Х(,),
или, что то же самое . Это событие
имеет определенную вероятность Р().
Неотрицательная функция f(х) называется плотностью распределения
вероятностей случайной величины Х, если вероятность события <X< равна
площади SВА криволинейной трапеции для любого интервала (.
Имеем:
Р() = SВА. (1)
Из школьного курса алгебры известно, что площадь криволинейной
трапеции SВА равна определенному интегралу от функции f(х) в пределах
от  до . Следовательно, Р() =

 f ( x)dx
(2)

Распределение непрерывной случайной величины Х характеризуется
плотностью f(х). График у=f(х) плотности называется кривой распределения.
Нормальное распределение.
Говорят, что случайная величина Х распределена нормально, если
плотность распределения вероятностей этой величины имеет вид:
f ( x) 
1
2 
27

e
( x а )2
2 2
(3)
Здесь е – основание натурального логарифма: e 2,7. Числа а и  параметры распределения: а – математическое ожидание,
 - среднее
квадратичное отклонение величины Х.
График функции (3) называется
y
x=a
нормальной кривой.
Он симметричен
относительно прямой х=а и имеет вид,
показанный на рисунке. Важность изучения
нормального распределения объясняется тем,
что многие с практической точки зрения
x
a
0
важные признаки различных явлений имеют
нормальное
распределение:
результаты
измерений однотипных объектов, например, роста или веса людей; величины,
связанные с контролем качества определенного вида продукции; время работы
однотипных приборов до выхода их из строя и т.п.
Вычисления показывают, что в случае нормального распределения
Р (а-σ Х а +σ) 0,68, Р (а-2σ Х а +2σ) 0,95, Р (а-3σ Х а +3σ) 0,997.
Это значит, что 68% значений
y
нормально
распределенной
99, 7%
величины Х отстоит от а не более,
95%
чем на ; 95% значений Х
содержится
в
интервале
68%
(а-2,а +2); 99,7% значений Х
содержится в интервале
(а3,а +3), т.е. практически все
значения
нормально
x
распределенной
случайной
a a+δ a+2δ a+3δ
0 a-3δ a-2δ a-δ
величины
Х
отстоят
от
математического ожидания а не
далее, чем на 3.
Этот вывод получил в теории вероятностей название правила трех сигм.
3. Равномерное распределение.
y
Говорят, что случайная величина Х,
принимающая значение в интервале ,
A
B
распределена равномерно,
если ее
плотность постоянна:
f(х) = С = соnst.
Поскольку
Р(Х) =1, то
x
1=SАВ=(·c. Следовательно, с=
1
.
 
28
0
α
β
Для равномерного распределения имеем:
а=М(Х)=

2
(   ) 2
(4); D(Х) =
(5)
12
Показательное распределение.
4.
Плотность
распределения
вероятностей
показательного
распределения имеет вид:
y
λ
0, если............х  0,
f(х)= 
  e
x
, если...х  0.
График
показательного
0
распределения показан на рисунке.
При х+ график неограниченно
приближается к оси Ох. Число 
есть параметр распределения. Для показательного распределения:
x
а =М(Х)=
1

, дисперсия D(Х) =
1

2
и (Х)=
1

(6)
5. Распределение «хи-квадрат».
Широкое применение в статистических исследованиях имеют случайные
величины,
распределенные по закону χ2 (хи-квадрат). Мы не приводим
плотности f(х) этого распределения в виду ее сложности. Заметим лишь, что
если Х1, Х2,…Хn – нормально распределенные независимые случайные
величины, причем для каждой из них М(Хi)=0, σ(Хi)=1, то случайная величина
Х12+Х22+…+Хn2 распределена по закону χ2. Фрагмент таблицы критических
точек распределения χ2 приведен в приложении.
Задания для текущей диагностики по разделу 2
1. Дан закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины X:
X
1
2
3
4
p
0,2
0,3
0,4

Тогда значение  равно …
1) 0,2
2) 0,7
3) 0,1
4) –0,7
2. Пусть X – дискретная случайная величина, заданная законом
распределения вероятностей:
29
X
–1
3
p
0,4
0,6
Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно …
1) 2,2
2) 1,4
3) 2
4) 1
3. График плотности распределения вероятностей
непрерывной
случайной
величины
X, распределенной
f(x)
равномерно в интервале (-1; 4), имеет вид:
Тогда значение a равно …
a
-1 0
4
x
1) 1
2) 0,25
3) 0,33
4) 0,20
4. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [2; 5].
Распределение случайной величины Y = 3X – 1 имеет …
другой (кроме равномерного и нормального) вид распределения
равномерное распределение на отрезке [5; 14]
нормальное распределение на отрезке [2; 5]
равномерное распределение на отрезке [6; 15].
5. Какая из следующих формул справедлива всегда?
а) Р(а<X<b) = F(b) – F(а)
б) Р(а X<b) = F(b) – F(а)
в) Р(а <Xb) = F(b) – F(а)
г) Р(а Xb) = F(b) – F(а)
д) Р(а<X<b) = F(а) – F(b)
е) Р(а X<b) = F(а) – F(b)
ж) Р(а <Xb) = F(а) – F(b)
з) Р(а Xb) = F(а) – F(b)
6. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [2; 5].
Распределение случайной величины Y = 3X – 1 имеет …
а) другой (кроме равномерного и нормального) вид распределения;
б) равномерное распределение на отрезке [5; 14];
в) нормальное распределение на отрезке [2; 5];
г) равномерное распределение на отрезке [6; 15].
7. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
1)
2)
3)
4)
( x4)2

1
e 18 . Тогда математическое ожидание этой
вероятностей f ( x) 
3 2
нормально распределенной случайной величины равно …
1) 18
2) 3
3) 4
4) 9.
30
Задания для самостоятельной работы по разделу 2
§8-10
1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
xi
2
3
pi
0,1
0,2
6
?
7
8
10
0,2 0,15
0,1
Найдите: а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение
х=6; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины Х.
2. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной
величины Х соответственно равны
М(Х)=7, Д(Х)= 1,2. Найдите
математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) 2Х+3; б) 4Х; в)
5-3Х.
3. Случайные величины Х и У имеют М(Х) =4, М(У)= 5,5. Найдите
математическое ожидание случайной величины Z=2X+3У-1,5.
4. Предположим, что скрещиваются мышь-альбинос и мышь
гомозиготного нормального типа (цветная). Какова вероятность двух
альбиносов из шести мышей во втором поколении?
5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
xi
pi
2
4
6
0,3
0,1
0,2
8
0,4
Найдите: а) числовые характеристики случайной величины Х; б)
функцию распределения. Постройте график функции распределения.
6. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 - красные. Пусть Х случайная величина, значения которой совпадают с числом красных
карандашей среди трех извлеченных. Составьте закон распределения случайной
величины Х, найдите ее функцию распределения и числовые характеристики.
7. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в
запасе 6 патронов, ведет огонь по мишени до первого попадания или до
полного израсходования всех патронов. Пусть Х - случайная величина,
значения которой совпадают с числом израсходованных стрелком патронов.
31
Составьте закон распределения случайной величины Х и найдите ее числовые
характеристики.
8. В партии изделий на каждые 100 приходится 30 изделий с дефектом.
Найдите вероятность того, что из 5 случайно взятых изделий окажутся без
дефекта: а) ровно 2; б) не более двух; в) хотя бы одно изделие.
9. Студент знает 30 вопросов из 50 вошедших в экзамен. Какова
вероятность того, что на экзамене он ответит на 4 вопроса из 5 заданных ему?
Найдите наивероятнейшее число правильных ответов на 5 вопросов.
10. Лечение одного заболевания приводит к выздоровлению в 75%
случаев. Лечилось 6 больных. Какова вероятность того, что: а) выздоровеют все
шестеро; б) ни один не выздоровеет; в) выздоровеют по крайней мере четверо?
11. Всхожесть семян составляет 80%. Посажено 5 семян. Постройте закон
распределения случайной величины Х - числа взошедших семян и найдите ее
числовые характеристики. Найдите функцию распределения случайной
величины Х и постройте ее график.
12. Известно, что из каждых 20 ремонтов крыш домов в среднем 5 крыш
ремонтируются плохо. Какова вероятность того, что из запланированных 5
ремонтов плохо отремонтированных крыш будет а) ровно три б) две или три.
13. Известно, что в 1 дм3 воздуха в среднем находится 20 пылинок. На
пробу берётся 10 см3. Найти вероятность того, что в пробе будет обнаружена
хотя бы одна пылинка.
14. На пяти карточках написаны числа 0,1,2,3,4. Вынимают дважды по
одной карточке с возвращением. Найти распределение случайной величины Х –
суммы чисел на этих карточках, и вычислить вероятность события 2<Х<7.
В условиях задачи 73 найти распределение и числовые характеристики
случайной величины Х – числа четных чисел на вынутых карточках.
15. Экзаменатор вручил трем студентам их зачетки, не сверившись с
фамилиями. Найти распределение случайной величины Х – числа зачеток,
попавших к их владельцам. Найти числовые характеристики этого
распределения.
16. Парадокс де Мере. Известный французский игрок XVII в. шевалье
де Мере заметил, что при подбрасывании трех игральных кубиков сумма
выпавших очков чаще равна 11, чем 12. Но при этом Мере подсчитал, что
шансы игроков, поставивших на 11 и 12 равны, т.к. если кубики неразличимы,
то 11 очков можно получить шестью способами (6+4+1, 6+3+2, 5+5+1, 5+4+2,
32
5+3+3, 4+4+3) и число случаев, соответствующих получению 12 очков, также
равно 6 (6+5+1, 6+4+2, 6+3+3, 5+5+2, 5+4+3, 4+4+4). Ясно, что теоретический
результат противоречит эмпирическому выводу. О возникших трудностях Мере
сообщил Паскалю. Предложенный Паскалем ответ был весьма простым. Как
была разрешена возникшая трудность?
17. На трех гранях кубика изображено число 1, на двух его гранях –
число 2 и на одной грани число 3. Найти числовые характеристики случайной
величины Х – числа выпавших очков при одном бросании кубика.
18. Монета бросается четыре раза. Найти математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х - числа
выпавших орлов.
19. В сосуде восемь белых шаров и четыре черных. Найти
распределение, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное
отклонение случайной величины Х – числа белых шаров, если опыт состоит в
том, что вынимаются два шара.
20. Из чисел 1,2,3,4,5 случайным образом выбирают три числа. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
случайной величины Х – числа четных чисел в выборке.
21. На книжной полке десять книг, из них три по математике. Найти
числовые характеристики случайной величины Х – числа книг по математике в
случайной выборке, содержащей две книги.
22. В сосуде три шара : белый, красный и черный. Вынимается шар и
возвращается в сосуд. Найти числовые характеристики случайной величины Х
– числа появлений белого шара в двух испытаниях.
23. От рулона материи отрезали некоторую часть. Положим: Х –
длина отрезанной части материи; Y – ширина материи в рулоне; Z –
количество швейных изделий, которые можно пошить из отрезанной части; U –
площадь отрезанной части. Какие из указанных величин являются
дискретными? Непрерывными?
§11
24. В приведенных ниже таблицах даны значения плотности f(х)
распределения
случайной величины Х в некоторых точках. Постройте
примерный график плотности распределения
и определите
наиболее
вероятный вид распределения:
а) х
-3 -2 -1 0 1 2 3 б) х
1
2
3
4
5
f(х) 1,1 1,4 6,3 10 6,3 1,4 1,1
f(х) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
в)
х -1
f(х) 0
0 1
2 г) х
2
3
4
5
6
7
8
2 0,27 0,04
f(х) 0,07 0,13 0,18 0,20 0,18 0,13 0,07
33
д)
х 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f(х) 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5
е)
х
f(х)
-2
0
-1 0 1
2
3
0 0,5 0,32 0,18 0,10
25. Для распределений а) – е) задачи 24 найдите приближенное значение
математического ожидания а, дисперсии D и среднего квадратичного
отклонения σ .
26. Непрерывная случайная величина Х задана своей функцией
распределения
0, если х  3,

F ( x)  C ( x  3) 2 , если

1, если х  5.
3  x  5,
Найдите: 1) значение параметра С; 2) плотность вероятности f(x)
случайной величины Х и постройте графики F(x) и f(x); 3) вероятность того,
что случайная величина Х примет значения в интервале (3;4).
27. Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью
3
, если x  1,
вероятности f ( x)   x 4
0, если x  1.

Найдите функцию распределения непрерывной случайной величины Х и
постройте графики F(x) и f(x).
28. Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью
вероятности
0, если x  0 и x  5,8,
f ( x)  
bx, если 0  x  5,8.
Найдите: 1) значение параметра b; 2) функцию распределения F(x)
непрерывной случайной величины Х и постройте графики F(x) и f(x); 3)
вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (3,3;
7,8).
29. Случайная величина Х подчинена равномерному распределению на
отрезке 3,7 . Запишите функцию распределения и плотность вероятности этой
случайной величины, постройте их графики, найдите числовые характеристики.
30. Случайная величина Х подчинена нормальному распределению с
параметрами а=6,   3 . Запишите плотность вероятности этой случайной
34
величины, постройте ее график, найдите вероятность того, что случайная
величина примет значение в интервале (0;9).
31. Известно, что непрерывная случайная величина Х задана своей
2
плотностью вероятности
f ( x) 
1  x2
e .
2
Найдите вероятность того, что
случайная величина Х примет значение в интервале (1;3).
32. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному
распределению со средним квадратическим отклонением   20 г. Найдите
вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не
превосходящей по абсолютной величине 10 г, если при взвешивании имеется
систематический недовес 10г.
33. Известно, что для человека pH крови является нормально
распределенной случайной величиной
со средним значением 7, 4 и
стандартным отклонением 0,2. Какова вероятность того, что уровень pH крови
человека: а) превосходит 7,43; б) находится между 7,35 и 7,45?
34. Случайная величина подчинена равномерному распределению на
отрезке  3;2 . Запишите функцию распределения и плотность вероятности этой
случайной величины, постройте их графики, найдите числовые характеристики.
Раздел 3. Элементы математической статистики
§12. Генеральная и выборочная совокупности.
Статистическое распределение частот и относительных частот
На практике часто приходится исследовать свойства объектов каких-либо
совокупностей. Множество объектов, подлежащих обследованию, называется
генеральной совокупностью. Как правило, подвергать обследованию все
элементы совокупности нецелесообразно или даже невозможно. Поэтому
ограничиваются статистическим обследованием генеральной совокупности. С
этой целью обследуют некоторую выборку из генеральной совокупности и по
полученным результатам делают выводы обо всей генеральной совокупности.
Чтобы эти выводы были верными, выборка должна отражать характерные
признаки всей совокупности объектов и объем ее не должен быть чрезмерно
мал, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной). Для этого
необходимо, чтобы она была случайной и чтобы вероятность попасть в
выборку для каждого объекта генеральной совокупности была бы одна и та же,
т.е. никакой элемент не имел бы в этом отношении преимуществ.
35
Пример 1. При определении подготовленности по математике 400
студентов-гуманитариев (генеральная совокупность) случайным образом
отобрали 20 студентов (выборочная совокупность) и дали им по три задания.
О подготовленности студентов решили судить по признаку Х - числу
правильно выполненных заданий. Ясно, что признак Х подчиняется
количественной оценке и может принимать четыре различных значения: от 0 до
3.
В данном примере возможны следующие значения Х: 0,1,2,3. Каждое
значение в выборке может наблюдаться несколько раз. Пусть 0 наблюдался 2
раза (т.е. два студента из двадцати не справились ни с одним заданием),
значение 1 наблюдалось 3 раза, значение 2 наблюдалось 10 раз и значение 3
наблюдалось 5 раз. Заметим, что сумма числа наблюдений различных значений
равна объему выборки, т.е. 2 + 3 + 10 + 5 = 20.
Пусть в общем случае выборка состоит из n элементов и наблюдаются k
различных значений признака Х: х1, х2, х3, . . ., хk. Эти значения называются
вариантами. Варианты, расположенные в порядке возрастания, образуют
вариационный ряд. Пусть х1 наблюдалось n1 раз, х2 наблюдалось n2 раза и т.д.,
хk наблюдалось nk раз. Числа n1, n2,… nk называются частотами. Сумма
частот всех вариант выборки всегда равна ее объему, т.е. n1 + n2 + … +nk = n.
Отношение частоты появления варианты к объему выборки называется
n
n1
n
, w2  2 ,..., wk  k . Например, относительная
n
n
n
n
2
частота появления значения 0 в примере 1 равна w1= 1   0,1 , значения 3
n 20
n
5
- w4 = 4 
 0,25 . Легко проверить, что w1+ w2+…+wk = 1.
n
20
относительной частотой: w1=
Функция, ставящая в соответствие каждой варианте хi выборки ее
частоту ni , называется распределением частот. Если же варианте хi ставится в
соответствие ее относительная частота wi, то имеем распределение
относительных частот.Обычно распределение частот и относительных частот
задают в виде таблицы.
Пример 2. Укажем распределение частот и относительных частот
выборки, приведенной в примере 1. Имеем:
а)
хi
0 1 2 3
б) xi 0
1
2
3
ni
2 3 10 5
ni 0,1 0,15 0,5 0,25
В таблице а) задано распределение частот. При этом 2 + 3 + 10 + 5 = 20
– объему выборки. В таблице б) дано распределение относительных частот,
причем
0,1 + 0,15 + 0,5 + 0,25 = 1.
Распределение может быть интервальным.
36
Пример 3.
При изучении суточного надоя молока обследовалась
случайная выборка, состоящая из 100 коров. Результаты обследования
приведены в таблице
Суточный
надой
7-10 10-13 13-16 16-19 19-21
(в литрах)
Число коров
8
18
36
25
13
Здесь показано, что суточный надой молока, например, в интервале от 7
до 10 литров имеют 8 из 100 отобранных коров. Все интервалы имеют
постоянную длину h, в данном примере h= 3.
§ 13. Полигон и гистограмма
На практике большое значение имеет наглядное представление
статистических данных. Часто используются полигон и гистограмма.
Пусть дано статистическое распределение частот:
хi х1 х2 х3 … хk
ni n1 n2 n3
nk , где n1 + n2 + n3 + …+ nk = n
Рассмотрим систему координат Оху и отметим в этой системе точки (х1,
n1),
(х2, n2), …, (хk, nk),. Если соединить отрезками эти точки в указанной
последовательности, то получим ломаную, которая называется полигоном
частот.
Пример 1. Построим полигон частот статистического распределения
хi
ni
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 12 3
2 3 10 5 , где n= 2 + 3+
+10+ 5 = 20
Сумма длин всех вертикальных отрезков,
соединяющих вершины полигона (хi,ni) с
точками хi на оси Ох, равна объему
выборки.
Полигон
относительных
частот
строится точно также, только вершинами
ломаной являются точки
(хi, wi), где
wi =
x
1
2
3
ni
- относительные частоты. В этом
n
случае сумма длин всех вертикальных
отрезков равна сумме относительных
частот, т.е. 1.
37
Для
наглядного
представления
интервального
распределения
используется гистограмма. Пусть h – длина частичного интервала. Для
построения гистограммы частот на каждом интервале строят столбик высоты
ni
n
. При этом площадь столбика будет равна h  i  ni , поэтому площадь всей
h
h
гистограммы будет равна объему выборки: n1 + n2 + …+ nk = n.
Пример 2. Построим гистограмму интервального распределения частот
(пример 2, § 12): .
хi - хi +1
ni
7-10 10-13 13-16 16-19 19-21
8
18
36
25
13
Здесь n = 8 +18+36+25+13 = 100.
Длина частичного интервала h = 3.
Находим
высоты
столбиков:
y
14
12
8
2 18
36
25
1 13
1
 2 ,  6,
 12,
8 , 4 .
3
3 3
3
3
3 3
3
10
Площадь этой гистограммы равна 100
– объему выборки.
8
6
Чтобы построить гистограмму
относительных частот, надо на
частичных
интервалах
строить
4
2
0
7
10
13
16
19
21
wi ni
. Площадь

h nh
столбики высотой
x
всей
гистограммы
частот равна 1, поскольку площадь одного столбика равна
относительных
wi
 h  wi : w1+ w2+
h
…+wk=1. Гистограммы удобно использовать в тех случаях, когда выборки
имеют большие вариационные ряды и полигон становится громоздким. В этом
случае находят размах вариационного ряда
R, равный разности между
максимальным значением хk вариационного ряда
и его минимальным
значением х1: R = хk – х1 = хmax- хmin. Весь промежуток от х1 до хk делят на
несколько равных по длине интервалов. Частоты всех значений величины Х,
попавшие в частичный интервал, складываются и их сумма является
интервальной частотой. Если какое - то из значений Х попало на границу
интервалов, то соответствующая частота делится пополам и одна из половинок
относится к левому, а другая – к правому интервалам.
Пример. Получено статистическое распределение выборки
хї 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0
ni 1
1
2
2
2
3
3
2
2
1
1
38
Построим интервальное распределение с четырьмя частичными
интервалами. Имеем: размах R= 6,0 – 5,0 = 1. Разделим на 4 части. Длина
частичного интервала
h = R/4 = ¼ = 0,25.
Имеем:
Частичные интервалы 5,00 – 5,25 5,25 – 5,50 5,50 – 5,75 5,75-6,00
Суммы частот
4
5,5
6,5
4
§ 14. Выборочная и генеральная средние. Выборочная дисперсия
Пусть для изучения признака Х из генеральной совокупности извлечена
выборка объема n, имеющая статистическое распределение частот:
хi х1 х2 … хk
ni n1 n2
nk , причем n1 + n2 + … + nk =n (1)
Выборочной средней хв называется среднее арифметическое всех
значений признака выборочной совокупности, т.е.
n1 x1  n2 x 2  ....  nk x k
n
хв =
(2)
При этом если n1= n2 = … = nn = 1, то
хв =
x1  x2  ....  xn
n
(3)
Генеральной средней хг называется среднее арифметическое всех
значений признака генеральной совокупности. Выборочная средняя хв
используется в качестве приближенного значения генеральной средней, т.е. 
хв является оценкой хг.
Генеральная средняя вычисляется по аналогичным формулам:
хг =
N1 x1  N 2 x 2  ....  N k x k
, (4)
N
где N1+ N2 +….+ Nk = N - объему генеральной совокупности;
хг =
x1  x 2  ....  x N
N
(5)
(случай, когда все значения х1,х2, …, хΝ признака генеральной совокупности
различны).
Пример 1. Найти выборочную среднюю по данному распределению
выборки объема n = 4
хi 0,9 1,0 1,1 1,2
ni 1
1
1
1
По формуле (3) имеем: хв =
0,9  1,0  1,1  1,2.
 1,05 .
4
39
Пример 2. В улове содержится рыба четырех весовых категорий: 0,2 кг;
0,3 кг; 0,5 кг; 0,9 кг. Случайная выборка дала следующее статистическое
распределение:
Вес рыбы
0,2 0,3 0,5 0,9
Количество рыб 5
10 12 8
в выборке
Оценим средний вес рыбины в данном водоеме. Средний вес рыбины есть
генеральная средняя хг . Для ее оценки подсчитаем выборочную среднюю
(среднюю данного улова): хв =
0,2  5  0,3  10  0,5  12  0,9  8
 0,49 . Если оценку
35
производить с точностью до одной десятой, то средний вес одной рыбины
исследуемого водоема равен 0,5 кг.
Рассмотрим статистическое распределение выборки объема n
относительно некоторого количественного признака Х генеральной
совокупности:
хi
х1
х2
х3
… хк
ni
n1
n2
n3
…nк
Пусть n=n1+n2+…+nk - объем выборки, хв – выборочная средняя. Разности
х1 - х в ,
х2 - хв , …,хк -
хв называются
отклонениями значений признака
выборки х1, х2, …, хк от выборочной средней хв .
Выборочной дисперсией
квадратов отклонений:
Dв
х

1

2

Dв
называется среднее арифметическое


2

2
 х в n1  х2  х в n2  ...  х к  х в nк
(6)
n
Выборочная дисперсия характеризует рассеяние значений выборки от
средней выборочной.
Пример 3. Найдем выборочную дисперсию выборки из примера 1 §14.
Имеем: n =4, хв =1,05. Следовательно,
Dв 
0,9  1,052  1  1,052  (1,1  1,05) 2  1,2  1,052  0,0125
4
Пример 4. Вычислим выборочную дисперсию выборки из примера 2 §14.
Здесь объем n= 35, выборочная средняя хв  0,49. Имеем:
Dв
2
2
2

0,2  0,49 5  0,3  0,49 10  (0,5  0,49) 2 12  0,9  0,49 8

 0,061 .
35
Чем меньше дисперсия Dв, тем меньше рассеяние выборочных значений, тем
стабильнее поведение случайной величины.
40
§15. Оценка параметров распределения
Если установлен закон распределения случайной величины, то возникает
задача оценки параметров распределения. Например, если известно, что
случайная величина распределена по нормальному закону f ( х) 
1
2 

e
( х а )2
2 2
,
то неизвестными остаются два параметра: математическое ожидание а и
среднее квадратичное отклонение σ. Эти параметры можно оценить по
репрезентативной выборке.
Оценкой математического ожидания является выборочная средняя хв .
Оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия, которая
обозначается s2 и вычисляется по формуле s 2 
n
Dв , где Dв – выборочная
n 1
дисперсия, n –объем выборки.
Оценкой среднего квадратичного отклонения является s, то есть
квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии: s=
n
Dв .
n 1
Пример. При определении рейтинга мэра города случайным прохожим
предлагалось оценить его деятельность по пяти-бальной шкале. Были получены
следующие результаты:
Баллы хi
1
2
3
4
5
Частота ni
5
25
40
20
10
Подсчитаем оценки математического ожидания и дисперсии. Объем выборки
n= 5+25+40+20+10=100. Найдем выборочную среднюю:
хв 
1  5  2  25  3  40  4  20  5  10 305

 3,05
100
100
Вычисляем выборочную дисперсию:
(1  3,05) 2 5  (2  3,05) 2 25  (3  3,05) 2 40  (4  3,05) 2 20  (5  3,05) 2 10
 1,0475
Dв=
100
Определим теперь исправленную выборочную дисперсию:
s2 =
n
100
Dв 
1,0475  1,058 . Исправленное выборочное среднее квадратичное
n 1
99
отклонение равно s= 1,058  1,029.
Итак, оценкой математического ожидания является х в =3,05; оценкой
дисперсии число s2 = 1,058; оценкой среднего квадратичного отклонения число
s=1,029. Деятельность мэра оценивается в среднем тремя баллами, но рассеяние
значительно, так как превышает один балл.
41
§16. Эмпирическая плотность распределения
Пусть Х – некоторый количественный признак генеральной совокупности.
Чтобы выяснить характер плотности распределения Х, производят случайную
выборку и рассматривают статистическое распределение относительных частот
х i х1 х2 х3 … х k
w w1 w2 w3
wk , где w1 + w2 + … wk = 1
Если построить полигон относительных частот и его вершины соединить
плавной непрерывной кривой, то полученная линия будет соответствовать
графику плотности распределения
Х.
Она
называется
графиком
эмпирической плотности. Эмпирическая плотность является приближением
плотности распределения Х, тем более точным (при репрезентативных
выборках), чем больше объем выборки.
Пример 1. Чтобы оформить заказ магазина на партию мужской обуви,
были выявлены ее размеры у 100 случайным образом выбранных мужчин.
Распределение по частотам представлено в таблице:
Размер хi 37 38 39 40 41 42 43 44
Частота ni 1 5 14 30 31 14 4 1
Построить график эмпирической плотности распределения и сделать вывод
о характере функции плотности распределения случайной величины Х –
размера обуви мужчин.
Статистическое распределение относительных частот в данном случае имеет
вид:
хi 37
38
39
40
41
42
43
44
wi 0,01 0,05 0,14 0,30 0,31 0,14 0,04 0,01
Построим вершины полигона относительных частот и соединим их плавной
линией
y
0, 35
0, 3
0, 25
0, 2
0, 15
0, 1
0, 05
0
x
37
38
39
40
41
42
42
43
44
Построенный график близок к графику плотности нормального распределения,
что позволяет обоснованно предположить, что случайная величина Х
распределена нормально.
Пример 2. Магазин собирается закупить 1000 пар обуви (пример 1).
Отнесем к первому виду обувь, пользующуюся пониженным спросом, ко
второму – средним, а к третьему – повышенным спросом. Сколько пар обуви
каждого вида должен заказать магазин, чтобы соответствовать спросу?
Для решения воспользуемся правилом 3σ. Поскольку интервал длиной
6σ содержит практически весь товар, то разобьем интервал 37- 44 на 6
частей. Учитывая, что распределение нормальное, из рисунка заключаем, что
следует заказать 68% обуви повышенного спроса, т.е. 680 пар размеров 40-41,
27% обуви среднего спроса, т.е. размеров 39 и 42 по 135 пар, и 5% обуви
пониженного спроса, т. е. 50 пар обуви размеров 37,38,43,44.
§ 17. Статистические гипотезы
При изучении случайной величины может оказаться, что неизвестен
закон распределения, или же закон распределения известен, но неизвестны
параметры распределения. Поэтому приходится выдвигать некоторые
предположения о характере распределения или параметрах распределения
случайной величины, т.е. выдвигать гипотезы. Гипотезы о том, какой вид имеет
неизвестный закон распределения, или чему равны параметры известного
закона распределения, называются статистическими гипотезами.
Выдвинутая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается
Н0. Гипотеза, противоречащая нулевой, называется альтернативной или
конкурирующей гипотезой и обозначается Н1.
Пример 1. Н0: случайная величина распределена по нормальному закону.
Это нулевая гипотеза. Конкурирующей гипотезой будет, например, гипотеза
Н1: закон распределения не является нормальным.
Пример 2. Пусть случайная величина распределена нормально, однако, не
известно значение математического ожидания
а. Рассмотрим нулевую
гипотезу Н0: а = 13. Конкурирующими будут, например, следующие гипотезы:
1) Н1: а  13;
2) Н1: а13; 3) Н1: а  13; 4) Н1: а = 12. Но гипотеза Н1:
а 10 не будет конкурирующей, так как она не противоречит гипотезе Н 0.
Легко видеть, что в этом случае гипотеза Н1 есть следствие гипотезы Н0.
43
Для проверки статистических гипотез разработаны статистические
методы, основанные на использовании репрезентативных выборок. При этом
могут возникнуть ошибки двух родов.
Ошибки 1-го рода. В этом случае нулевая гипотеза Н0 признается
ложной и отвергается, хотя на самом деле она верна. Происходит это из-за
неточностей показаний измерительных приборов или принятых методик
исследования, не репрезентативности выборки, ошибок в вычислениях и т.п.
Ошибки 2-го рода. В этом случае нулевая гипотеза Н0 принимается, хотя
на самом деле она является ложной, неверной. В результате получаем
следующий граф:
Н0 отвергается – ошибка 1-го рода
Н0 истинная
Н0
Н0 принимается – нет ошибки
Н0 отвергается – нет ошибки
Н0 ложная
Н0 принимается – ошибка 2-го рода
Роль ошибок 1-го и 2-го родов различна. Рассмотрим это на примере.
Пусть обследуется партия консервов с целью дальнейших их продаж.
Выдвигается гипотеза Н0: консервы соответствуют сертификату качества.
Альтернативной является гипотеза Н1: консервы бракованные. Если допущена
ошибка первого рода, то качественные консервы будут признаны
бракованными и в продажу не пойдут. Поэтому в книгах по контролю качества
ошибка первого рода называется риском производителя, т.к. при этом
производитель терпит убытки. Если же допущена ошибка 2-го рода, то
непригодные для употребления консервы признаются качественными и
пускаются в продажу. При этом могут наступить более серьезные последствия,
покупатель не только терпит убытки, но может и отравиться. При ошибке
второго рода налицо риск потребителя.
Ошибка первого или второго рода – случайное событие. Вероятность
ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают . При
проверке
статистических гипотез уровень значимости задается заранее.
44
Обычно полагают = 0,05,
 = 0,01,  = 0,001. Статистическая проверка
гипотезы проводится с заданным уровнем значимости. Пусть, например,  =
0,05 и статистическая проверка показала, что нулевая гипотеза не отвергается.
Это означает, что нулевая гипотеза согласуется с опытом с вероятностью 0,95,
т.е. можно считать, что она верна в 95% случаев. Таким образом, результаты
статистической проверки гипотез не дают абсолютного знания об их
истинности или ложности, так как носят вероятностный характер.
§ 18. Сравнение исправленной выборочной дисперсии
с предполагаемой генеральной дисперсией нормальной совокупности
Пусть некоторый признак Х распределен на генеральной совокупности
нормально. На практике часто требуется, чтобы дисперсия Х равнялась данной
величине σ02. Например, если производятся измерения некоторым прибором,
то требуется, чтобы они имели определенную точность, что связано с
величиной дисперсии. При этом нулевой является гипотеза: Н0: σ2=σ02, а
конкурирующей одна из гипотез: σ2σ02, σ2σ02, σ2σ02. Пусть α- уровень
значимости. Проверка нулевой гипотезы осуществляется по следующей схеме.
По случайной выборке объема n находим исправленную выборочную
дисперсию Ѕ2 и вычисляем наблюдаемое значение критерия
χ2набл.=
(n  1) S 2
 02
.
Далее находим критические точки χ2кр. распределения χ2 (см. приложение) в
зависимости от вида конкурирующей гипотезы:
1. Н1: σ2σ02. χ2кр= χ2(α,n-1). Если . χ2набл. χ2кр., то нет оснований отвергнуть
гипотезу Н0, если же χ2набл. χ2кр, то нулевая гипотеза отвергается.
2. Н1: σ2 σ02. χ2 л. кр. = χ2(1-  2 , n-1) ; χ2 пр.кр = χ2(  2 , n-1).
Если . χ2набл. χ2
или χ2набл. χ2 пр.кр, то нулевая гипотеза отвергается. Если же
χ2 л.кр.  χ2набл.χ2 пр.кр , то гипотеза согласуется с результатами выборки.
3. Н1: σ2σ02. χ2кр= χ2(1-α; n-1). Если χ2набл. χ2кр., то гипотеза Н0 отвергается,
если же χ2набл. χ2кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Пример. Точность работы станка, нарезающего заготовки из проволоки,
определяется дисперсией, которая не должна превышать σ02=0,1 см2. Взята
проба, давшая следующие результаты:
л.кр.
Длина заготовки
хi
Частота ni
10,0
10,3
10,5
10,8
11,0
2
6
9
7
1
45
При уровне значимости α = 0,05 выяснить, обеспечивает ли станок требуемую
точность, если Н1: σ2 0,1.
Решение. Объем выборки n =2+6+9+7+1=25. Найдем исправленную
выборочную дисперсию. Имеем:
хВ 
DВ =
S2 =
2  10  6  10,3  9  10,5  7  10,8  1  11 262,9

 10,5
25
25
(10  10,5) 2  2  (10,3  10,5) 2  6  (10,8  10,5) 2  7  (11  10,5) 2  1 1,62

 0,0648
25
25
n
25
DB 
 0,0648  0,0675  0,07 .
n 1
24
Найдем наблюдаемое значение критерия: χ
2
набл.=
(n  1) S 2

2
0
=
24  0,07
 16,8 .
0,1
По таблице критических точек распределения χ2 найдем критическую точку:
χ2кр= χ2(0,05; 24)=36,4. Поскольку χ2набл. χ2кр , то нет оснований отвергнуть
гипотезу Н0, выборка подтверждает, что станок обеспечивает нужную точность.
Замечание. В приложении приведен фрагмент таблицы критических
точек распределения χ2 , при этом при решении задач данного типа число
степеней свободы k=n-1.
Задания для текущей диагностики по разделу 3
1. В результате некоторого эксперимента получен статистический ряд:
xi
2
4
5
8
9
pi
0,1
0,3
__
0,1
0,1
Тогда значение относительной частоты при x = 5 будет равно …
1) 0,5
2) 0,4
3) 0,3
4) 0,2
2. Из генеральной совокупности
извлечена выборка объема n=50,
полигон частот которой имеет вид:
ni
20
Тогда число вариант xi=4 в выборке
равно …
11
1)14
4
0
1
2
3
4
xi 46
2) 16
3)15
4) 50
3. Мода вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 5 равна: 1) 3;2) 5; 3) 2; 4) 17
4. Медиана вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 равна …
1) 2
2) 3 3) 11,5
4) 6.
5. В каком интервале находится множество возможных значений оценки
коэффициента корреляции: а) [0;1]
б) (–;)
в) [–1;1]
г) [0; ).
Задания для самостоятельной работы по разделу 3
§ 12-13
1. Постройте полигон по данному распределению:
xi
1
4
6
7
ni
10
14
6
20
2. Найдите моду и медиану вариационного ряда: 1, 3, 4, 4, 6, 8, 9, 9.
3. На телефонной станции производились наблюдения за числом
неправильных соединений в минуту. Результаты наблюдений в течение часа
представлены в виде статистического распределения.
xi
0
1
2
3
4
5
6
ni
8
17
16
10
6
2
1
Постройте полигон статистического распределения выборки. Найдите
моду, медиану распределения, выборочную среднюю, выборочную и
исправленную выборочную дисперсии.
4.
Дано статистическое распределение
хi 1 3 6 9
ni 2 9 8 1
частот:
Найдите распределение относительных частот и постройте полигон
относительных частот.
5.
Установлены размеры одежды (Х) и обуви (У) ста посетителей
магазина. Распределения частот даны в таблицах:
хi 44 46 48 50
уi 35 36 37 38 39 40
ni 12 26 42 20 ;
ni 10 15 30 20 18 7 .
Постройте полигоны частот.
6.
Имеются данные об урожайности ржи на различных участках поля
(в центнерах с гектара):
47
Урожайность:
хi - хi+1
9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24-27
Процент
площади
участка
от
всей
6
12
33
22
19
8
площади: ni
Постройте гистограмму частот и относительных частот. На участке какой
площади (в %) урожайность не превышает 16 центнеров с гектара?
7.
Из 400 коммерческих фирм налоговой инспекцией было проверено
100, данные о сокрытии налогов среди которых приведены в таблице
сумма в тыс. руб. 40-42 42-44 44-46 46-48 48-50
количество фирм 7
24
38
19
12
Постройте гистограмму частот. Оцените число фирм, укрывающих налоги в
количестве от 45 до 48 тысяч рублей.
8.
Получены данные наблюдений за посещением сайта университета в
течение 20 дней:
60 75 80 90 80 100 80 75 80 90
80 90 75 100 80 90 80 80 60 90
Постройте статистическое распределение частот, относительных частот и
полигон частот.
9.
При опросе случайно отобранной группы студентов фиксировалось
число допущенных ими ошибок при ответах:
5 4 3 2 3 1 3 2 3 2 5 0 2 4 1 3 2 3 0 2
5 1 3 2 3 2 4 1 3 2 4 2 1 4 2 3 0 2 5 4
Постройте статистическое распределение частот, относительных частот и
полигон частот.
10. При проверке зерна на всхожесть выбрали случайным образом 50
групп по10 зерен в каждой группе. При этом число погибших зерен в каждой
группе составило:
1 2 3 2 4 3 2 1 5 4
2 3 3 1 3 2 4 5 2 1
3 2 5 3 2 4 0 1 3 2
4 1 2 3 5 2 3 2 1 4
2 3 2 1 4 3 2 3 1 4
Постройте статистическое распределение частот, относительных частот и
полигон относительных частот.
11.
При измерении некоторой величины одним и тем же прибором
получены следующие данные (в единицах измерения):
5,2 5,4 5,3 5,5 5,8 5,4 5,5 5,0 5,4 5,2
5,6 5,3 5,1 5,4 5,6 5,4 5,1 5,3 5,6 5,2
5,9 5,0 5,7 5,4 5,3 5,7 5,3 5,5 5,4 6,0
Постройте интервальное распределение частот и относительных частот, разбив
полученные данные на 4 частичных интервала. Постройте гистограмму частот
и относительных частот.
12. Даны полигоны частот выборок объема 100: Найдите частоту:
48
а) n4; б) n2 и n4.
a)
б)
y
y
35
20
15
10
5
0
x1
x2
x3
x4
x5
20
15
10
5
0
x
x1
x2
x3
x4
x5
x
13. Пусть Х – цифра числа π. Постройте статистическое распределение
и полигон частот величины Х для следующего приближенного значения
числа π: π  3, 141 592 653 589 793 238 462 643.
§14-16
14. Соберите данные о выборке студентов группы, присутствующих на
занятии, относительно количественного признака Х, значения которого равны:
а) оценке студента на экзамене по математике (без учета пересдач); б) размеру
обуви студента. Постройте вариационный ряд. Найдите частоту и
относительную
частоту
каждой
варианты.
Составьте
дискретное
статистическое распределение выборки. Постройте полигон. Найдите точечную
несмещенную оценку математического ожидания признака Х, точечную
несмещенную и смещенную оценки дисперсии признака Х.
15. Соберите данные о выборке студентов группы, присутствующих на
занятии, относительно количественного признака Х, значения которого равны:
а) росту студента; б) весу студента. Составьте непрерывное статистическое
распределение выборки. Найдите частоту и относительную частоту каждого
интервала. Постройте гистограмму. Найдите точечную несмещенную оценку
математического ожидания признака Х, точечную несмещенную и смещенную
оценки дисперсии признака Х, заменив при вычислениях каждый интервал его
серединой.
16. Произведено 5 независимых измерений диаметра отверстия.
Получены следующие результаты: 35,1; 35,2; 35,0; 34,8; 34,9. Оценить
истинный диаметр отверстия с помощью доверительного интервала с
доверительной вероятностью γ = 0,95.
49
17. Производятся независимые испытания, в каждом из которых успех
может наступить с одной и той же вероятностью р, которая неизвестна. Из 100
испытаний успех наступил в 80 случаях. Найти доверительный интервал для
оценки вероятности успеха с доверительной вероятностью γ = 0,99.
18. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенного
признака генеральной совокупности  =3. По выборке объема n=36 найдена

выборочная средняя x в  4,1 . Найдите доверительный интервал для оценки

генеральной средней x r c надежностью: а)  =0,95; б)  =0,99; в)  =0,999.
19. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка
которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с  =15.
Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря
с ошибкой не более 5 м при надежности  =0,9?
§17-18
20. Какие из следующих гипотез являются статистическими:
а) на Марсе есть жизнь; б) предстоящее лето будет жарким; в) большинство
студентов НГПУ ведут здоровый образ жизни; г) если измерить длины сторон
прямоугольного треугольника, то квадрат длины гипотенузы будет равен сумме
квадратов длин катетов; д) к 2020 году население Земли уменьшится на 10%; е)
информационно-аналитическую программу «Время» смотрят около 80%
взрослого населения России; ж) за последние десять лет изменение численного
состава одной из политических партий России подчиняется нормальному
распределению; з) известно, что численный состав одной из политических
партий России изменяется равномерно. Математическое ожидание прироста
численности этой партии равно С (С – некоторое конкретное число); и) после
проведения полной детской вакцинации от вирусной болезни заболеваемость
детей будет снижаться в соответствии с показательным распределением.
21.
Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально.
Рассмотрим нулевую гипотезу Н0: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных
дисперсий этих совокупностей.
Какие из следующих гипотез нельзя
рассматривать в качестве конкурирующих:
а) D(X) D(Y); б) D(X)  D(Y); в) D(X) D(Y);
г) D(X)  5;
д) D(У)  5;
е) D(X) =5;
22. Пусть известно, что генеральная совокупность распределена
нормально. Рассмотрим нулевую гипотезу Н0: D(X) = 0,18 (о равенстве
неизвестной генеральной дисперсии предполагаемому значению 0,18). Какие из
следующих гипотез нельзя рассматривать в качестве конкурирующих:
50
а) D(X)  0,1;
б) D(X)  0,2;
в) D(X)  0,15;
г) D(X) 0,18 ; д) D(X)  0,18 ; е) D(X)  0,18.
23. Пусть известно, что генеральные совокупности Х и У распределены
нормально. Рассмотрим нулевую гипотезу Н0: М(Х) = М(У) о равенстве
математических ожиданий. Какие из следующих гипотез нельзя рассматривать
в качестве конкурирующих:
а) D(X) = D(Y) ;
б) М(Х)  М(У);
в) D(X) D(Y);
г) М(Х)М(У);
д) М(Х) = 10;
е) М(Х)  М(У).
24. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности
равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. Рассмотрим нулевую
гипотезу Н0: генеральная совокупность Х распределена нормально. Какие из
следующих гипотез нельзя рассматривать в качестве конкурирующих:
а) распределение Х не является нормальным; б) М(Х) = 5; в) D(X)  2,5;
г) генеральная совокупность распределена равномерно;
д) генеральная совокупность Х имеет показательное распределение.
25. Пусть исследуется вопрос о безопасности строительства жилого дома.
Выдвигается гипотеза Н0: строительство жилого дома опасно обвалом земли.
К чему приведут ошибки 1–го и 2-го рода?
26. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема
n=15 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S2=0,28. Требуется
при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н 0: σ2=σ02=0,14,
приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н1: σ20,14.
Домашняя контрольная работа по разделу 3
Задание 1. Постройте гистограмму непрерывного статистического
распределения выборки.
Задание 2. Составьте дискретное статистическое распределение выборки,
постройте полигон, найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию
по представленным данным.
Задание
3.
Среднее
квадратическое
отклонение
нормально
распределенного признака генеральной совокупности равно  . По выборке

объема n найдена выборочная средняя x в . Найдите доверительный интервал

для оценки генеральной средней x r с надежностью  .
Вариант № 1
1. интервал
ni
3-6
6-9
9-12
12-15
4
10
5
6
51
2. Возраст 10 студентов второго курса: 20, 18, 18, 19, 18, 21, 19, 18, 20, 18.

3.  =4, n=20, x в =6,3,  =0,99.
Вариант № 2
1. интервал
1-5 5-9 9-13 13-17
ni
8
5
4
10
2. Количество студентов в 10 группах: 23, 19, 20, 28, 23, 27, 20, 28, 23, 20.

3.  =2, n=15, x в =24,6,  =0,95.
Вариант № 3
1. интервал 3-8 8-13 13-18 18-23
ni
6
8
10
2
2. Количество пропущенных занятий по математике 10 студентов: 1, 5, 7,
2, 0, 1, 2, 1, 0, 3.

3.  =3, n=35, x в =0,35,  =0,99.
Вариант № 4
1. интервал
ni
15-17 17-19 19-21 21-23
16
12
15
8
2. Размер обуви10 студентов: 37, 38, 40, 36, 38, 37, 38, 39, 38, 37.

3.  =5, n=40, x в =23,6,  =0,95.
Вариант № 5
1. интервал
ni
2-6
6-10
10-14
8
10
12
14-18
5
2. Возраст 12 студентов второго курса: 20, 18, 20, 18, 19, 18, 21, 19, 17, 18,
20, 18.

3.  =2, n=40, x в =8,3,  =0,999.
Вариант № 6
52
1. интервал
3-5
5-7
7-9
9-11
3
6
14
17
ni
2. Количество студентов в 8 группах: 23, 19, 20, 28, 23, 28, 23, 20

3.  =5, n=25, x в =21,3,  =0,95.
Вариант № 7
1. интервал
ni
4-8
8-12
12-16
16-20
16
4
10
6
2. Количество пропущенных занятий по математике 14 студентов: 1, 5, 0,
6, 7, 2, 0, 1, 4, 1, 2, 1, 0, 3.

3.  =10, n=15, x в =2,38,  =0,99.
Вариант № 8
1. интервал
ni
5-11 11-17
6
22
17-23
23-29
11
2
2. Размер обуви 9 студентов: 37, 40, 36, 38, 37, 38, 39, 38, 37.

3.  =3, n=60, x в =13,  =0,999.
Итоговый тест по элементам теории вероятностей и
математической статистики
1. Из урны, в которой находятся 5 белых и 6 черных шаров вынимают
наудачу один шар. Тогда вероятность того, что этот шар будет белым, равна...
а) 1/2 б) 1/5
в) 1/12 г) 5/12
2. Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что число
очков, равное двум, выпадет на верхней грани только один раз, равна...
а) 1/36 б) 1/12 в) 5/8
г) 5/36
3. В ящике содержится 20 деталей, изготовленных на заводе № 1, и 30
деталей, изготовленных на заводе № 2. Вероятность того, что деталь,
изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,85, а вероятность
того, что деталь, изготовленная на заводе № 2, отличного качества, равна 0,75.
Тогда вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного
качества, равна...
53
а) 0,675 б) 0,8 в) 0,79 г) 0,81
4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
вероятностей:

0, если x  0,

1

F ( x)  3x, если 0  x  ,
3

1

1, если x  3 .
Тогда плотность распределения вероятностей имеет вид:

0, если x  0,

1
а) f ( x)  3, если 0  x  ,
3

1

1, если x  3 .

0, если x  0,

1
б) f ( x)  3, если 0  x  ,
3

1

0, если x  3 .

0, если x  0,
 2
x
1
в) f ( x)  3 , если 0  x  ,
3
 2
1

 x, если x  3 .
5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
вероятностей:
Х
-1
4
Р
0,2
0,8
Тогда ее математическое ожидание равно: а) 1,5 б) 4,0 в) 3,0 г) 3,4
6. Статистическое распределение выборки имеет вид:
xi
1 2 3 4
ni
6 5 4 3
54
Тогда объем выборки равен: а) 18 б) 4 в) 10 г) 38
7. Размах варьирования вариационного ряда 1, 2, 4, 7, 10 равен...
а) 9 б) 4,5
в) 10 г) 5
8. В результате измерений некоторой физической величины одним
прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в
мм): 5, 6, 7. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна...
а) 6 б) 0 в) 1 г) 2
9.
Точечная
оценка
математического
ожидания
нормально
распределенного количественного признака равна 21. Тогда его интервальная
оценка может иметь вид...
а) (21; 21,5)
б) (20,5; 21,5)
в) (20,4; 21,4) г) (20,5; 21)
10. Соотношение вида Р(К<-2,44)=0,05 может определить ...
а) правостороннюю критическую область
б) двустороннюю критическую область
в) область принятия гипотезы
г) левостороннюю критическую область.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Фрагмент таблицы критических точек распределения χ2
Число
степеней
свободы k
14
15
19
20
24
25
Уровень значимости α
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
29,1
30,6
36,2
37,6
43,0
44,3
26,1
27,5
32,9
34,2
39,4
40,6
23,7
25,0
30,1
31,4
36,4
37,7
6,57
7,26
10,1
10,9
13,8
14,6
5,63
6,26
8,91
9,59
12,4
13,1
4,66
5,23
7,63
8,26
10,9
11,5
55
Список литературы
1. Баврин, И.И. Высшая математика: Учебник / И.И. Баврин. – М.: И.Ц.
«Академия», 2003. – 611 с.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.
пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2002. - 479 с.
3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов / В.Е.
Гмурман. - М.: Высшая школа, 1999. - 400 с.
4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш.
Кремер. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2007. – 551 с.
5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической
статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс,
2008. – 288 с.
6. Степанов, Н.А., Никитина, Г.Н. Элементы теории вероятностей и
математической статистики: Учеб.пособие / Н.А. Степанов, Г.Н. Никитина. Н. Новгород: НГПУ, 2008. - 47 с.
7. Чикина, Т.Е. Математика: Элементы теории вероятностей и математической
статистики: Практикум / Т.Е. Чикина. - Н. Новгород: НГПУ, 2013. - 32 с.
56