Типы задач на проценты

Содержание:
Введение
Стр.1
Проценты в прошлом и настоящем.
Стр.3
Типы задач на проценты
Стр.4
Применение процентных расчетов в различных видах жизнедеятельности Стр.5
человека.
Стр.5
1. Занимательные задачи на проценты
2. Процентное содержание, процентный раствор. Концентрация. Стр.6
Смеси и сплавы.
3. Примеры современных задач на проценты.
Стр.7
4. Хитрые задачки
Стр.8
5. Задачи с историческими сюжетами
Стр.9
6. Задачи с литературными сюжетами
Стр.10
Кроссворды
Стр.11
Заключение
Стр.12
Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной
жизни. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты,
необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает
финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие
стороны нашей жизни. Данная тема сейчас весьма актуальна, ибо понятие «кредит» (будь то
ипотека, или авто-кредит) прочно вошло в жизнь современного человека. Люди берут банковские
кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты. Любой человек
должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать
различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее
выгодные. Текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс
основной школы и средней (полной) школы.
1
Родителям участников проекта были предложены следующие вопросы:
1. Считаете ли вы необходимым в современной жизни
умение выполнять процентные вычисления?
5%
да-19чел
нет-1 чел
95%
2. Вам часто приходится выполнять процентные
вычисления в жизненных ситуациях?
45%
50%
да-10 чел
нет-1 чел
очень часто-9 чел
5%
3.Можете ли вы без посторонней помощи справиться с
выполнением процентных вычислений?
15%
25%
да, всегда-5 чел
не всегда- 12 чел
не могу-3 чел
60%
2
С помощью проведённых исследований можно также увидеть важность изучения процентов.
Проценты в прошлом и настоящем.
Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за
сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают
части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко
сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и
тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян,
которые пользовались шестидесятиричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян
содержатся задачи на растет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы
процентов, которые позволяли быстро определять сумму процентных денег. Были известны
проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое
тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные
вычисления с применением процентов.
Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме.
Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с
должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От
римлян проценты перешли к другим народам.
В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания
обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только
проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время.
Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов
разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин - инженер из
города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в
том числе - особой записи десятичных дробей.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100
рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения
расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и
технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за
единицу).
Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в
процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в
скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения
процента.
Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак
произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была
опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо
cto напечатал %.
3
В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые
«промилле» (от латинского pro mille -«с тысячи»), обозначаемые, по аналогии со знаком %.
Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и
способствовало дальнейшему ее развитию.
Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности - деньгах,
зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых
частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100 процентов».
Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %.
Например, 1 % от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это сто сотых частей
зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от
зарплаты. Надпись «60 %» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е.
более чем на половину состоит из чистого хлопка. 3,2 % жира в молоке означает, что 3,2 сотых
массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта
содержится 3,2 грамма жира).
Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или
иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой
изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень
подростковой преступности повысился на 3 %, в этом ничего страшного нет - быть может, эта
цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на 30 %, то это уже
говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятии
соответствующих мер.
Типы задач на проценты
Существует три основных типа задач на проценты:
Задача 1.
Найти указанный процент от заданного числа.
Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение
делится на 100.
П р и м е р . Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада
равнялась 10000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?
Р е ш е н и е : 10000 · 6 : 100 = 600 руб.
Задача 2.
искомого числа.
Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от
Заданное число делится на его процентное выражение и результат умножается на 100.
П р и м е р . Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7.5% от годовой
зарплаты. Какова была годовая зарплата?
Р е ш е н и е : 1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб.
Задача 3.
Найти процентное выражение одного числа от другого.
Первое число делится на второе и результат умножается на 100.
4
П р и м е р . Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году – только
36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего
года?
Р е ш е н и е : 36000 : 40000 · 100 = 90% .
Применение процентных расчетов в различных видах
жизнедеятельности человека
Столкнувшись с процентами в первый раз мы вдруг замечаем, что они сопровождают нас
повсюду - не только в школе (на уроках математики, физики, химии, биологии, географии и т.д.),
но и в повседневной жизни: в магазине (особенно во время предпраздничных скидок), на работе
(повышение и понижение зарплаты), в банке, в СМИ, интернете и многом другом.
Ориентироваться в мире процентов на хорошем уровне не так уж и просто! Предлагаю вашему
вниманию подборку задач на проценты.
1.Занимательные задачи на проценты
Решение занимательных математических задач на проценты.
Задача 1. Сколько человек работало на заводе?
В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей
численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5
женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось.
Сколько человек работало на заводе в начале года?
Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших
там женщин
Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года
20%.
Общая численность работавших на заводе в это время - 11:0,2 = 55 человек.
Задача 2. Сколько процентов составляет возраст сестры?
Возраст брата составляет 40% от возраста сестры.
Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста
брата?
Примем возраст сестры за 100%.
Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата
равно: (100/40) · 100% = 250%.
Задача 3. Как изменилась масса арбуза?
Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате
длительного хранения влажность снизилась до 98%.
Как изменилась масса арбуза?
Свежий арбуз на 99% процентов состотит из жидкости и на 1% - из
сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и
составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза.
5
Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы
арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе)
увеличилось вдвое.
Следовательно масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.
Задача 4. Сколько времени потребовалось второму путнику ?
Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту
В.
Шаг второго был на 20 % короче, чем шаг первого, но зато второй успевал
за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени
потребовалось второму путнику для достижения цели,
если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А ?
Шаг второго путника составлял 80% или 0,8 шага первого путника.
На каждые 100 шагов первого путника второй успевал сделать 120 шагов,
т.е. за то же время второй путник успевал сделать в 1.2 раза больше шагов, чем первый.
Следовательно, расстояние, пройденное за некоторое время вторым путником, составляло 0,8 *
1,2 = 0,96 расстояния, пройденного за то же время первым. Путь, пройденный телом за некоторое
время, прямо пропорционален скорости движения. Поэтому, скорость второго путника составляла
0,96 скорости первого.
Время, которое затрачивает тело на прохождение определенного пути, обратно
пропорционально скорости движения. Поэтому, продолжительность движения первого путника
из А в В составляет 0,96 продолжительности движения второго путника на этой дистанции. Для
перехода из А в В второму путнику потребовалось 5 : 0,96 = 5,2 часа = 5ч 12 мин.
2.Процентное содержание, процентный раствор. Концентрация.
Смеси и сплавы.
При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное
содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия.
Процентное содержание. Процентный раствор.
Задача 1:
Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м
раствором, например, 15%-й раствор соли.
Задача 2:
Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка
в сплаве?
Решение:
6
Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного
вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Концентрация.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что
масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого
серебра в сплаве 261 г.
300 . 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется
объемной концентрацией этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае
концентрация - безразмерная величина.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по
формуле:
к=
р /100%
к - концентрация вещества;
р - процентное содержание вещества (в процентах).
Задача 3. Слиток сплава серебра с цинком весом в 3.5 кг содержал 76% серебра. Его
сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10.5 кг, содержание серебра в котором
было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?
Решение:
1) 3.5-0.76 = 2.66 (кг) серебра в первом слитке.
2) 10.5-0.84 = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава.
3) 8.82 - 2.66 = 6.16 (кг) серебра во втором слитке.
4) 10.5 - 3.5 = 7 (кг) вес второго слитка.
5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во втором слитке.
3.Примеры современных задач на проценты
Задача
7
На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь на 24%. Сколько рублей можно
сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 рубля?
Задача о квитанции.
За оформление права собственности нотариус возьмет с вас 1,5% от стоимости автомобиля
в виде нотариальной пошлины. Во сколько рублей вам обойдется ваша покупка вместе с
нотариальной пошлиной? Будьте особенно внимательны при заполнении этой квитанции, можно
обращаться за помощью к менеджерам.
4.Хитрые задачки
1) Число увеличили на 10%, потом ещё на 10%. На сколько процентов увеличили
число за два раза?
Только не торопитесь отвечать "на 20%" - здесь проценты считаются от разных количеств,
поэтому их нельзя складывать.
РЕШЕНИЕ:
Пусть число было равно m . Сначала его увеличили на 10% , т. е. на 0,10m . Получили
m+0,10m=1,10m.
Теперь полученное число увеличим на 10%, умножив его на 1,10: 1,10х(1,10m)=1,21m.
ОТВЕТ: последний результат на 21% больше данного числа.
2) Хранили 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в
ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получилось в результате?
РЕШЕНИЕ:
На первый взгляд, кажется, что вес ягод мало изменился, но это только на первый взгляд!
Вес сухого "вещества" в ягодах составлял 100-99=1(%), или 20х0,01=0,2(кг). После сушки его вес
составляет 100-98=2(%) от нового веса ягод. Найдём новый вес ягод: 0,2:0,02=10(кг).
ОТВЕТ: после сушки вес ягод уменьшился в два раза!
Да, на самом деле при решении задач на проценты надо быть очень внимательным,
чтобы не допустить ошибки!
ЗАДАЧИ:
1. Скорость Мартышки на 100% больше скорости Слоненка. Скорость Слоненка 15км/ч.
Какова скорость Мартышки?
2. Мартышка собиралась съесть за неделю 30 бананов, но съела на 20% больше. Сколько
бананов съела Мартышка?
3. Попугай подлетел к Удаву и сообщил: «Ура! Цена на шоколад понизилась на 10%.
Сколько теперь будет стоить 10-рублевая шоколадка?
4. Число увеличили на 10%,потом уменьшили на 10%. Увеличилось или уменьшилось
число за два раза? На сколько процентов?
8
5. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять
похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если
изменился, то на сколько и в какую сторону?
6. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда
директор всех успокоил, сказав: "В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять
98% всех деревьев". Какую часть леса планирует вырубить леспромхоз?
ОТВЕТ: Если бы экологи лучше знали проценты, то директору леспромхоза не удалось бы
их так легко перехитрить. Ведь условию задачи можно удовлетворить, оставив 49 сосен и 1
берёзу.
Учитесь! Не давайте себя обманывать!
Новые интересные задачи вы сможете найти в книгах:
1) И. Ф.Шарыгин, А. В. Шевкин "Математика. Задачи на смекалку".
2) А. В. Шевкин "Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах"
5.Задачи с историческими сюжетами.
1.
Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец
поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20 % от этой
суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая
долг?
О т в е т: 60 сестерциев.
2.
Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено
соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80 %
суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернет
ростовщику?
Ответ: 140 р.
3.
Завещание Бенджамена Франклина: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов
бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее
отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем
молодым
ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131 000фунтов. Я желаю, чтобы
тогда 100 000 фунтов употреблены былина постройку общественных зданий, а остальные 31
000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма
возрастет до 4 061 000 фунтов, из коих 1 061 000 фунтов оставляю в распоряжении
бостонских жителей, а 3 000 000 - правлению Массачусетекой общины. Далее не осмеливаюсь
простирать своих видов». Мы видим, что завещав всего 1000 фунтов, Б. Франклин
распоряжается миллионами. Проверьте, не ошибся ли он в своих расчетах.
Ответ: к концу второго столетия эта сумма будет равна 4 142 422,7 фунтов. Б. Франклин
действительно мог распоряжаться миллионами.
9
6.Задачи с литературными сюжетами.
Различные истории, связанные с процентными вычислениями, встречаются в ряде
художественных произведений, в исторических документах и преданиях.
1.
В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод:
«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы
бумаги. На этот раз его занимает вопрос: «Сколько было бы теперь у него денег,
если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей
ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия?
Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями». (Предположить,
что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года.)
Сколько процентов в год платил ломбард?
Ответ: 4%.
2.
В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» сын Порфирия
Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги
взаймы.
Он
говорил:
«Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитай те, сколько денег готов
вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия.
Ответ: 4800 рублей.
3.
В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у
ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под 15 % годовых. Вычислите,
какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока.
Ответ: 606 833,6 франка.
10
Кроссворды.
По горизонтали:
1. С какого языка слово процент
означает "со ста"?
5. Как называется 1% от центнера?
7. Как называется процент, если он
начисляется на начальный капитал?
8. Какое действие надо произвести,
чтобы перевести проценты в
десятичную дробь?
9. Если 1% равен сотой части величины,
то чему равна вся величина?
10. Какое действие надо произвести,
чтобы обратить десятичную дробь в
проценты?
По вертикали:
2. Как называется 1 % от метра?
3. Как называется десятая часть
процента?
4. Как называется одна сотая часть?
6. Как называется 1 % от гектара?
9. Как называется процент, если он
начисляется на наращенный капитал?
По горизонтали:
1. Каким является зависимое слово,
когда используется сочетание
«несколько процентов (чего?)…»?
2. В каком городе в 1685 году в книге
"Руководство по коммерческой
арифметике" по ошибке было
напечатано вместо cto - %?
3. В каком городе возникла идея
процентов?
4. Как называется одна сотая часть
числа?
По вертикали:
1. Каким является зависимое слово,
когда используется сочетание
«несколько процентов (от чего?)…»?
2. Как называются тысячные доли
целого?
3. Как называется 1% от метра?
4. Благодаря чему произошел знак %?
11
Заключение.
Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой
сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений
учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.
В своей брошюре мы показали применение понятия процента при решении реальных задач
только из некоторых сфер жизнедеятельности человека (торговля, статистика, химия, биология,
быт…) В ходе исследования я пришла к выводу, что проценты помогают нам:

Грамотно разбираться в большом потоке информации

Правильно вкладывать деньги

Грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант.

Совершать выгодные покупки, экономя на скидках

Решать математические задачи.
Трудно назвать область, где бы не применялись проценты.
Как известно, выводы опираются на анализ. Люди не знают более удобного способа
анализировать, чем процентный.
Наиболее точен и прост в применении. Его суть понятна даже ребёнку.
Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как
проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет
широкое поле для дальнейших исследований.
12