Уравнения высших степеней. Программа элективного курса для учащихся 9-го класса.

Программа элективного курса
для учащихся 9-го класса.
Уравнения высших степеней.
Составила
учитель математики высшей
квалификационной категории
МОУ СОШ №42 г. Твери
Зорицова Л.П.
г. Тверь, 2012 г.
1
Пояснительная записка
Этот элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-го
класса посвящён одной из важнейших тем алгебры - решению уравнений
высших степеней.
В основной школе этой теме не уделяется достаточно внимания. Важные
приёмы, необходимые для решения уравнений, вообще отсутствуют, и в итоге
всё сводится к решению уравнений одного вида (биквадратные уравнения).
Предполагаемый курс является развитием системы ранее приобретённых
знаний. Задания данного курса часто не просты в решении, что позволяет
повысить учебную мотивацию учащихся. Ознакомление с методами и
приёмами решения уравнений высших степеней необходимо для успешного
обучения в старшей школе, а также для сдачи вступительных экзаменов в
высшие учебные заведения.
Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами
повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять
нетрадиционные методы и приёмы. При направляющей роли учителя
школьники смогут самостоятельно найти приёмы решения уравнений,
комбинируя данные. В курсе заложена возможность дифференцированного
обучения.
Помимо общетеоретических сведений и разнообразных задач в данный курс
включены и задачи для самостоятельного решения, работа над которыми будет
способствовать лучшему усвоению материала и закреплению приобретенных
технических навыков.
Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные
в общем курсе школьной математики вопросы. Стоит отметить, что навыки в
применении этих подходов совершенно необходимы каждому ученику,
желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи конкурсных экзаменов,
а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на
математических олимпиадах.
Данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к
предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на
профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля
дальнейшего обучения.
Курс рассчитан на 17 часов, предполагает компактное и четкое изложение
теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. Каждое
занятие состоит из двух частей: задач, решаемых с учителем, и задач для
самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации
учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар.
Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать
дополнительный материал для учащихся разной степени подготовки. Все
занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на
расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и более
интересных задач.
Содержание данного курса ориентировано на достижение следующих целей.
2
Цели курса
1. Выработать прочные навыки преобразования и решения разнообразных,
довольно сложных алгебраических уравнений.
2. Создать целостное представление о теме, значительно расширить спектр
задач, посильных учащимся.
3. Восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса,
придающие ему необходимую целостность.
4. Показать некоторые нестандартные приемы решения уравнений.
5. Рассмотреть основные методы, приемы, способы и подходы решения
уравнений высших степеней.
6. Развивать у учащихся интерес к решению таких уравнений, видеть красоту
решения.
7. Помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике
и оценить свои математические способности и возможности.
8. Воспитывать чувство уверенности в себе, чувство удовлетворенности от
успешно найденного решения той или иной задачи.
Задачи курса
- познакомить школьников с различными, основанными на материале
программы общеобразовательной средней школы методами решения, казалось
бы, трудных задач,
- проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных
школьных знаний,
- привить школьникам навыки употребления нестандартных методов
рассуждения при решении задач, что будет способствовать развитию
познавательного интереса и творческих наклонностей учащихся.
Освоение данного курса позволит развить интеллект, интерес к
познавательной деятельности, будет способствовать приобретению опыта
поиска информации, позволит осуществить сознательный выбор учащимися их
будущего профиля.
Применяемые формы и методы работы должны располагать к
самостоятельному поиску решений. При изучении курса предполагается
использование и таких форм и методов работы, как семинарские занятия,
самостоятельная работа, работа в парах и группах сменного состава, метод
учебного проекта и озвучивание проектов решения уравнений.
3
Учебно – тематический план
№
Кол-во
часов
Тема
Формы контроля
1.
Общие сведения об алгебраических
уравнениях.
2
2.
Деление многочлена на многочлен.
Корни многочлена.
2
3.
Основные способы решения алгебраических
уравнений.
9
тест,
контрольная
работа
4.
Проверка усвоения знаний учащихся
2
зачет
5.
Итоговое занятие.
2
самостоятельная
работа
презентации,
защита проектов
Содержание курса
Тема. Общие сведения об алгебраических уравнениях. (2 часа)
Понятие алгебраического уравнения. Равносильность уравнений.
Следствия уравнений. Основная теорема высшей алгебры.
Из истории решения алгебраических уравнений.
Методы обучения: лекция, объяснение.
Формы обучения: фронтальная работа.
Тема. Деление многочлена на многочлен. Корни многочлена. (2часа)
Деление многочленов нацело. Деление многочленов с остатком.
Теорема Безу. Корни многочлена.
Методы обучения: лекция, объяснение.
Формы обучения: фронтальная работа, индивидуальная работа.
Форма контроля: проверка индивидуальной домашней работы,
самостоятельная работа.
4
Тема. Основные способы решения алгебраических уравнений.
(9 часов)
Способ разложения на множители (способ группировки и метод проб).
Способ введения новой переменной: а) решение симметрических и
обобщенных возвратных уравнений, б) решение однородных уравнений,
в) решение уравнений вида (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = A, если a+d = c+b.
Методы обучения: лекция, объяснение нового материала.
Формы обучения:
фронтальная работа, индивидуальная работа,
дифференцированная работа, индивидуальные домашние задания,
групповая работа.
Форма
контроля:
проверка индивидуальной домашней работы,
самостоятельная работа, тестовые задания, контрольная работа.
Тема. Проверка усвоения знаний. ( 2 часа.)
Проверку усвоения знаний учащихся можно провести в форме зачета или
индивидуальной контрольной работы с учетом возможностей учащихся.
Тема. Итоговое занятие.
Обобщение темы проводится в виде групповой защиты проектов по всей
теме, а также в форме презентаций.
Методические рекомендации
1. Вводная беседа. Общие сведения об алгебраических
уравнениях.
Даются общие сведения об алгебраических уравнениях n- ой степени:
определение алгебраического уравнения, его степени, а также, что
называется корнем уравнения. Рассматривается вопрос о количестве
корней, как вещественных, так и мнимых. С введением комплексных
чисел удалось доказать следующую фундаментальную теорему (основная
теорема высшей алгебры): Всякое алгебраическое уравнение n-ой степени
имеет n корней. Эти корни могут быть как комплексными, так и
вещественными числами, и некоторые из них могут совпадать.
Идея доказательства этой теоремы принадлежит Даламберу(1717-1783).
Строгое доказательство теоремы дано Гауссом(1777-1855).
Дадим другую формулировку основной теоремы высшей алгебры:
Для любого уравнения вида аnxn + an-1xn-1 + … +a1x + a0 = 0 cуществуют
числа x1, …, xn такие, что имеет место равенство:
аnxn + an-1xn-1 + … +a1x + a0 = аn (x-x1) ∙ … ∙ (x-xn). Эти числа и являются
корнями уравнения.
Вопросы нахождения решений алгебраических уравнений давно
интересовали математиков. Уже в 16 веке были известны формулы для
5
решения уравнений второй, третьей, четвертой степени. Поиски общих
формул для решения уравнений более высоких степеней безуспешно
велись до начала 19 века, когда был получен следующий удивительный
результат: для n ≥ 5 нельзя указать формулу, которая выражала бы корни
любого уравнения n-ой степени через его коэффициенты при помощи
радикалов.
Доказательство невозможности отыскания общих формул для решения
таких уравнений было получено Абелем (1802-1829). Существование
уравнений с целыми коэффициентами, неразрешимых в радикалах
установил Галуа (1811-1832).
2. Деление многочлена на многочлен. Корни многочлена.
В этой теме необходимо дать некоторые сведения из алгебры.
1) Если x=a является корнем многочлена P(x), то P(x) делится без остатка
на двучлен x- a.
2) Пусть все коэффициенты многочлена P(x) целые числа, причем старший
коэффициент равен 1. Если такой многочлен имеет своим корнем
рациональное число, то это число целое.
3) Пусть все коэффициенты многочлена P(x)= а0xn + a1xn-1 + … +an-1x + an
целые числа. Если корнем многочлена является целое число b, то b делитель свободного члена an ( необходимое условие существования
целочисленного корня).
3. Основные способы решения алгебраических уравнений.
При решении рациональных уравнений основными являются
следующие методы: 1) разложение на множители; 2) введение новых
(вспомогательных) переменных.
Метод разложения на множители основан на следующей теореме:
Если f(x) = f1(x) ∙ f2(x) ∙ … ∙ fn(x), то всякое решение уравнения f(x) = 0
является решением совокупности уравнений f1(x) = 0; f2(x) = 0; … fn(x) = 0.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Таким методом можно решить следующие уравнения:
1) x3 + 2x2 + 3x +6 = 0;
2) x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2 = 0;
3) x3 + 4x2 – 24 = 0.
Это уравнение хорошо решается также методом подбора, с помощью
которого отыскивается целый корень уравнения.
4) 21x3 + x2 – 5x – 1 = 0.
Уравнения, левая часть которых представляет собой многочлен с
целыми коэффициентами и свободным членом, равном 1 или -1, легко
преобразуются в приведенные уравнения с помощью почленного
деления на x в старшей степени (такое деление не приводит к потере
корней, т.к. x=0 не является корнем такого уравнения) и последующей
заменой 1/x на y.
6
5) 4x3 – 10x2 + 14x – 5 = 0
Здесь применим еще один способ преобразования неприведенного
уравнения в приведенное (приведенное уравнение имеет своими
рациональными корнями только целые числа). Умножим обе части
заданного уравнения на такое число, что коэффициент при x3 стал бы
кубом некоторого целого числа. В нашем случае надо умножить на 2:
8x3 – 20x2 + 28x – 10 = 0. Положим теперь y = 2x, тогда уравнение примет
вид: y3 – 5y2 + 14y – 10 = 0.
Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения
уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку y = q(x)) и
выражают f(x) через y, получая новое уравнение R(y) = 0. Решая его
находят корни: y1, y2, …, yn. После этого получают совокупность n
уравнений q(x) = y1; q(x) = y2; …; q(x) = yn, из которого и находят корни
исходного уравнения.
Методом введения новой переменной решаются следующие уравнения.
1) x6 – 9x3 + 8 = 0;
2) (x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2 = 0.
Заменой переменной решаются возвратные уравнения. Возвратным
уравнением называется алгебраическое уравнение вида а0xn + a1xn-1 + …
+an-1x + an = 0, если его коэффициенты , одинаково удаленные от
начала и от конца, равны между собой:
3) 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0,
а также обобщенные возвратные уравнения:
4) 3x4 – 2x3 – 31x2 + 10x + 75 = 0.
С помощью замены также эффективно решаются однородные
уравнения. Уравнение вида Р(u,v) называется однородным
уравнением степени k относительно u и v, если Р(u,v) однородный
многочлен степени k, т.е. степень каждого его члена равна одному и
тому же числу k:
5) (x2 – x + 1)3 + 2x4(x2 – x + 1) – 3x6 = 0;
6) (3x + 2)4 – 13(3x + 2)2 + 36 = 0.
Метод введения новой переменной применим и к решению уравнений
вида: (x + a)(x + b)(x+c)(x+d) = A, если a+d = b+c или имеется
равенство сумм других пар этих чисел.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Упражнения
10x – 3x2 – 2x + 1 = 0;
6x3 - 13x2 + 9x – 2 = 0;
32x3 – 24x2 – 12x – 77 = 0;
(x+1)(x2 + 2) +(x + 2) (x2 + 1) = 2;
x8 – 15x4 – 16 = 0;
x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 15;
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =3.
3
7
4. Проверка усвоения знаний.
Данный элективный курс задает примерный объем знаний, умений и
навыков, которыми должны овладеть школьники. Сюда входят знания,
умения и навыки, обязательное приобретение которых предусматривает
программа общеобразовательной школы, однако предполагает умение
решать более сложные, нетрадиционные задачи. Одна из целей
преподавания данного курса – помочь осознать ученику степень
значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- уверенно решать уравнения третьей и четвертой степеней, применяя
изученные приемы и способы решения;
- хорошо владеть системой определений и алгоритмов.
Проверка усвоения знаний проводится в форме зачета, а также презентаций
и защиты проектов.
8
Литература
1. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.
Практикум по элементарной математике.
2. Чирский В.Г., Шавгулидзе Е.Т.
Уравнения элементарной математики.
3. Алгебра-8 под ред. Виленкина Н.Я.
4. Алгебра-9 под ред. Виленкина Н.Я.
5. «О корнях уравнения четвертой степени» (Математика №7 2004г.)
6. А.Г. Мордкович «Общие методы решения уравнений»
( Математика №17- 19 1993г.)
7. Журнал «Математика в школе», №6, 1998 год.
8. Сканави М.И. Решение конкурсных задач по математике.
9