Движение по стволу дерева

Некоторые вопросы, связанные с движением жидкости
в различных частях деревьев
Министерство народного образования Республики Башкортостан
МУ УНО г.Салават гимназия №2
Выполнил: Антохин Денис, ученик 10 А класса
Руководитель: Фролов Константин Васильевич, учитель физики
Введение.
Всем известно, что без воды жизни на Земле нет. Значит, все живые организмы должны поглощать воду. Все мы не раз видели, как это делают животные, но как же это делают растения, и, в частности, деревья? На уроках
биологии нам говорили, что деревья впитывают воду из земли при помощи
корней. И что же дальше происходит с этой водой? Не углубляясь в особенности питания дерева, можно сказать, что вода течёт по стволу и затем
испаряется с листьев. С какой скоростью вода всасывается корнями, течёт
по стволу, и испаряется с листьев; рвутся ли водные нити, пока она не достигнет верхушки дерева? Меня заинтересовали эти вопросы, и я попытался
ответить на них с помощью несложных опытов.
Я использовал довольно известный опыт с подкрашенной водой. Если
тополиные ветки поставить в воду, дождаться, пока они пустят корни, а затем
подкрасить воду, то через некоторое время можно будет видеть, на какой
уровень вода поднялась. Вот первые результаты этого опыта:
Параметры
расстояние, см
время, ч
скорость, см/ч
1-я ветка
20
24
0,83
2-я ветка
16
24
0,67
Теперь нужно проверить полученные результаты теоретически. Приглядимся к движению воды по дереву, которое связывает корни, ствол и листья воедино. Попытаемся оценить характерные скорости в трёх случаях:
 при всасывании воды корнями из почвы;
 при движении по стволу дерева;
 при испарении с листьев.
Пройдём эту цепочку сверху вниз, т. е. от верхушки к корням, от простых оценок к более сложным.
Испарение с поверхности. Из-за нагрева солнцем дереву нужно постоянное охлаждение, иначе крона перегреется и перестанет выполнять свою
функцию. Тепло может быть отведено испарением влаги с поверхности листьев.
Запишем уравнение поглощения тепла для листа площадью Sл, поглощающего солнечное излучение:
q c s л  Qисп  ж vв S л
Слева от знака равенства записан приход энергии от Солнца, а справа –
её уход при испарении воды с листа. Здесь qc – средний поток солнечного
тепла на поверхности Земли (qc ~ 103 Вт/м2). Естественно, что не вся энергия
поглощается листом. В этом уравнении  - доля энергии, поглощенная листом. С учётом отражения от его поверхности, угла наклона и других факторов,  ~ 0,2-0,3. Qисп – удельная теплота парообразования воды (Qисп~2106
Дж/кг), ж – плотность воды ( ж = 103 кг/м3 ). Отсюда для скорости:
vв 
q c
.
Qисп  ж
При указанных значениях параметров получаем vв ~ 10-7 м/с ~ 410-4
м/ч. Как видно из формулы, vв зависит только от освещенности и пропорциональна ей.
Движение по стволу дерева. В стволе дерева вода течёт по тонким каналам-«скелетам» когда-то живых клеток. Диаметр таких сосудов очень мал:
порядка 10-5 м у хвойных деревьев и до 210-4 м у лиственных. При медленном течении воды по таким каналам сила сопротивления Fc определяется
вязкостью воды. Если слои жидкости движутся с разными скоростями, то
между ними возникает сила трения (или сила вязкости). Для описания вязкости жидкости можно рассмотреть классический пример: жидкость между
двумя близко расположенными пластинами. Если одна из пластин покоится,
а другая движется со скоростью v, то возникающая между ними сила вязкости равна:
Fв  S
v
,
h
где S – площадь пластины, h – расстояние между ними, а  - коэффициент
вязкости, который характеризует вязкие свойства жидкости. Для воды
~103кг/(мс). Величина v/h – это градиент скорости. Он показывает, как
быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою. При движении жидкости по каналу градиент скорости от стенок к центру равен v/d, где d – диаметр канала. Площадь стенки S ~ ld, где l- длина канала. Следовательно,
Fв ~ vl.
В случае равномерного течения жидкости сила вязкости компенсируется перепадом давлений: Fв = pS = pd2/4. Отсюда для перепада давлений
на длине l получаем оценку:
p ~
lv
d2
.
По закону Пуазейля мы узнаем точную формулу:
p =
32lv
.
d2
Для подъема воды в поле тяжести Земли на некоторую высоту h со
скоростью vc по сосуду диаметром dc требуется перепад давлений
p c   ж gh 
32hvc
d
2
c

32vc
  ж h g 
d c2


,


где =ж ~ 10 м /с – так называемая кинематическая вязкость воды.
-6
2
Изобразим графически зависимость pc
от скорости воды (рис. 1). Видно, что при малых значениях vс величина pc не зависит от
скорости, а при больших – пропорциональна
ей. Характерное значение скорости, при которой происходит «излом» зависимости (т.е дереву всё труднее становится поднимать воду
наверх), равно:
v сх 
2
c
gd
~ 3  10 7 d c2 ,
32
pc
жgh
vс
vсх
Рис.1
где dс измерено в мкм, а vcх – в м/с.
Мы получили, что vc квадратично зависит от диаметра сосудов (рис.2).
Для хвойных деревьев диаметр сосудов dc~10-5 м, и, соответственно, характерная скорость vсх~10 см/ч, для лиственных
dc~10-4 м и vсх~10 м/ч. Интересно, v ,,10 м/с
что, несмотря на оценочный характер формулы для vсх, измеренные
значения скорости передвижения
воды по сосудам деревьев, приводимые в литературе, близки к моим
оценкам. При характерном значении
скорости перепад давлений по стволу дерева составляет pc~2жgh и
d , мкм
для очень высоких деревьев (h~100Рис.2
150 м) величина pc порядка 20-30
атм.
Интересно, а может ли дерево при vc~10 м/ч иметь диаметр сосудов того же масштаба, что и хвойное дерево, т.е.105 м? Если это так, то
pc(атм)~10h (м). И тогда уже при высоте около 10 м перепад составит ~100
атм. Эта величина близка к максимально возможному давлению, при котором
еще не рвутся силы сцепления молекул воды. Таким образом, сосуды ствола
при увеличенной скорости прокачки воды «обязаны» утолщаться, чтобы водная нить не порвалась. Именно так и «поступают» лиственные деревья, «увеличивая» dc до величин ~ 10-4 м.
Всасывание воды из почвы. Попадая в корни дерева, вода пересекает
оболочку корневого волоска. Для этого нужно преодолеть клеточную мемcх
-5
c
брану, т. е. двухслойную, практически непроницаемую перегородку толщиной ~10-8 м. Диффузия воды через мембрану сильно замедляет скорость её
движения. Описанным выше способом я установил, время, через которое
окрашиваются корни изнутри. И после несложных преобразований я получил
следующее оценочное значение для vн:
vн~10-8 м/с~4105м/ч.
Итак, все характерные скорости передвижения воды определены.
Их сопоставление между собой и с моими результатами очень любопытно. Действительно, потоки массы воды чрез корни, ствол и крону должны
быть одинаковы. Поэтому площади корневой системы (точнее, корневых волосков) Sн, водопроводящей системы ствола Sc и кроны Sв должны относиться обратно пропорционально соответствующим скоростям. Приняв Sс за
единицу площади, получим для хвойных деревьев (при vc ~ 0,1 м/ч) при хорошем освещении дерева и достаточно увлажнённой почве
Sв:Sс:Sн = (200-300):1:(2500-3000).
Отсюда следует, что площадь корней больше площади кроны и каждая
из них существенно превышает сечение водопроводящих каналов ствола.
При переходе от ствола к кроне или корням дерево «обязано» сильно нарастить поверхность. Как это выполнить при малом расходе материала? Нужно
просто разделяться и разделяться на более мелкие структуры, где и происходит основной процесс (всасывание воды корневыми волосками, испарение с
листьев).
Но обратимся всё же к моим результатам. Я думаю, что такое сильное
различие связано не с одной причиной. Во-первых, состав жидкости. В моём
опыте я использовал простую воду, а вода, впитываемая деревьями из земли,
содержит примеси различных солей. Упомянутая выше величина максимального растягивающего давления воды в деревьях (pmax ~ 100 атм) требует некоторых пояснений. Для идеальной воды (без примесей и посторонних включений) величина pmax существенно больше (рис.3, кривая а) – она порядка
тысячи атмосфер и уменьшается с ростом температуры. Переход к технической воде (водопроводной или
колодезной) кардинально меняет ситуацию. Для такой
воды величина pmax масштаба одной или нескольких
атмосфер. Вода же в деревьях проходит через тонкое
сито мембран корневых волосков, что в значительной
степени очищает её. Для тщательно очищенной воды
pmax ~ 100-300 атм. В качестве примера на рисунке 3
(кривая б) проведена в зависимости pmax(T). Вовторых, уровень pmax порядка 200-280 атм, с ростом
температуры величина давления уменьшается. При
значении разрывающего давления 100-300 атм даже с
Рис.3
учётом потерь на трение воды о стенки сосудов
величина предельной высоты дерева больше 500 метров! Это значит, что для
реальных деревьев водные нити не рвутся.
В-третьих, зависимость скорости от диаметра каналов. Напомню, я
получил формулу:
v сх 
gd c2
~ 3  10 7 d c2 .
32
Очевидно, диаметр каналов деревьев больше диаметра каналов тонкой
ветки. Плюс ко всему, зависимость квадратичная.
Настоящая работа имеет прикладное значение для ухода за деревьями в
черте города, так как изменение любого из этих параметров влечет за собой
изменение водных потоков, питающих деревьев.