Логические основы ЭВМ. Алгебра логики Основные понятия Логика – наука о законах и формах мышления, методах познания и условия определения истинности знаний и суждений. Понятие – форма мышления, фиксирующая основные свойства объектов. Высказывание (суждение, утверждение) – форма мышления, утверждающая или отрицающая определенные свойства объектов и связи между ними. Умозаключение – форма мышления, являющаяся получением новых знаний (суждений) – заключения из одного или нескольких суждений - посылок. 2 Примеры Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность. Треугольник – это геометрическая фигура Все роботы являются машинами Посмотрите на доску Не нарушайте правил дорожного движения! 3 Основные понятия Формализация (логико-математическое представление) – процесс представления информации в формализованном виде с помощью точного логико-математического языка. Логическая алгебра (алгебра Буля, алгебра логики или алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающей логические законы с помощью формул, построенных на высказывательных константах, переменных и символов логических связок. Логическое выражение – это формула, в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции. 4 Основные понятия Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. Логические величины - понятия, выражаемые словами ИСТИНА (1) и ЛОЖЬ (0) 5 Логические операции Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В называется логическая операция, соответствующая союзу «И», истинная только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Обозначается: F=A ∩ B = A ^ B =A×B =A*B=A&B 6 Логические операции Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний называется логическая операция, соответствующая союзу «ИЛИ» и истинная тогда, когда истинно хотя бы одно простое высказывание А или В. Обозначается: F=A ∪B = A ∨ B =A+B 7 Логические операции Инверсией (логическим отрицанием) или логической функцией «НЕ» называется функция одного аргумента А, которая истинна в том случае, если А ложно и ложна, если А истинна. Обозначается: F= Ā = ¬ А 8 Примеры Рассмотрим высказывание: «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3». К какому типу можно отнести данное высказывание? Представьте данное высказывание в виде логической формулы. Определите её значение. Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Представьте данное высказывание в виде логической формулы. 9 Таблица истинности Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов (входных переменных). 10 А В A^B A∨B Ā 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 Порядок выполнения логических операций Инверсия одной переменной. Действия под знаком инверсии нескольких переменных и действия в скобках. Конъюнкция. Дизъюнкция. 11 Пример Вычислите значение логической формулы: ¬X ∧ Y ∨ X ∧ Z если логические переменные имеют следующие значения: X = ложь, Y = истина, Z = истина 12 Законы булевой алгебры X, Y - переменные X⋅0 = 0 X∨0= X X ⋅1 = X X ∨1 = 1 X⋅X = 0 X ∨ X =1 X⋅X = X X∨X = X X ⋅ X ⋅ ⋅ X = X X ∨ X ∨ ∨ X = X X=X 13 X=X Законы булевой алгебры КОНЪЮНКТИВНАЯ ФОРМА ДИЗЪЮНКТИВНАЯ ФОРМА Законы Переместительный (Коммутативный) X⋅Y = Y⋅X X∨Y = Y∨X Сочетательный (Ассоциативный) X ⋅ ( Y ⋅ Z) = ( X ⋅ Y ) ⋅ Z Распределительный (Дистрибутивный) X ∨ ( Y ∨ Z) = ( X ∨ Y ) ∨ Z X ⋅ ( Y ∨ Z) = X ⋅ Y ∨ X ⋅ Z X ∨ Y ⋅ Z = ( X ∨ Y ) ⋅ ( X ∨ Z) ( X ∨ Y ) ⋅ (X ∨ Y ) = X X⋅Y ∨ X⋅Y = X X⋅ X ∨ Y = X⋅Y X ∨ X⋅Y = X ∨ Y Склеивания Свертки Поглощения Правило де Моргана Обобщенного склеивания 14 ( ) X ⋅ ( X ∨ Y) = X X ∨ X⋅Y = X X ⋅ Y = X ∨Y X ∨Y =X ⋅Y ( X ∨ Y ) ⋅ ( Y ∨ Z) ⋅ ( X ∨ Z) = ( X ∨ Y ) ⋅ ( Y ∨ Z) X⋅ Y∨ Y⋅ Z∨ X⋅ Z = X⋅ Y∨ Y⋅ Z Решение логических задач Задача №1 Фирма E продала компьютеров больше фирмы C; A меньше E; F больше D; A больше B; F меньше C. Больше всех компьютеров продала фирма… 15 Решение логических задач Решение: Так как фирма E продала компьютеров больше фирмы C, то фирме E присваиваем № 1, а фирме С - № 2. Рассматривая второе условие, фирме E оставляем № 1, а фирме A присваиваем № 3. По третьему условию имеем, что фирма F имеет № 4, а D - № 5. По четвертому условию можно допустить, что за A оставляем № 3, а фирме B присваиваем № 6. Последнее условие не противоречит тому, что фирма F имеет № 4, а С - № 2. Ответ: больше всех компьютеров продала фирма E. 16 Решение логических задач Задача №2 При каких из приведенных значений X и Y логическое выражение ((4X2+9Y2 ≥ 36) ИЛИ НЕ((X+Y)2 ≥ 4)) И (Y2 ≥ | X+Y|) будет ложным. 1) X=0, Y=0, 2) X=-2, Y=1, 3) X=1, Y=1, 4) X=0, Y=-2, 5) X=-1, Y=1. 17 Решение логических задач Решение: 18 Решение логических задач Пример №3 19 Решение логических задач Решение: Первые два ключа A и B соединены последовательно, следовательно, реализуют логическое умножение A*B. Далее три ключа имеют параллельное соединение и реализуют логическое сложение. При этом ключ A соединен параллельно с последовательно соединенными ключами A, B, которые как в первом случае реализуют логическое умножение A*B. Таким образом, соединенные три ключа реализуют логическое сложение A+ A*B, Общая логическая формула имеет вид: F = A*B*(A+ A*B). 20 Решение логических задач Формулу необходимо преобразовать: вынести за скобки A, тогда F = A*B*A*(1+ A*B). по закону логической алгебры сложение с 1 дает 1, значит 1+ A*B = 1, и тогда F = A*B*A*1. логическое умножение выражения на 1 в результате дает то же самое выражение, то есть F = A*B*A. к тому же логическое перемножение одинаковых выражений в результате дает то же самое выражение A*A = А, а значит F = A*B. Окончательный ответ: структурная логическая формула переключательной схемы равна F = A*B. 21 Решение логических задач Пример №4 22 Решение логических задач Решение: Последовательно определяем логические выражения, которые реализуются изображенными на рисунке логическими элементами: на выходе первого элемента инвертора НЕ логическое выходное выражение равно y = Ā, второй элемент – это логическая схема И, реализующая логическое умножение, тогда выходное логическое выражение равно z = y*B = Ā*B, третий логический элемент – логическая схема ИЛИ, реализующая логическое сложение, а значит, выходная логическая функция равняется: u = y + z = Ā + Ā*B, последний логический элемент - логическая схема И, реализующая логическое умножение, и в результате, выходное логическое выражение равно F = z*y = Ā*B*( Ā + Ā*B). 23 Решение логических задач следующий этап – упрощение полученного логического выражения: вынести за скобки Ā, тогда F = Ā *B* Ā *(1+ Ā *B). по закону логической алгебры сложение с 1 дает 1, значит 1+ Ā *B = 1, и тогда F = Ā *B* Ā *1. логическое умножение выражения на 1 в результате дает то же самое выражение, то есть F = Ā *B* Ā. логическое перемножение одинаковых выражений в результате дает то же самое выражение Ā * Ā = Ā, а значит F = Ā *B. полученный результат означает, что логическую схему устройства можно построить, используя одну схему НЕ и одну схему И, согласно рисунку 24 Решение логических задач Пример №5 25 Решение логических задач Решение: 26 Решение логических задач 27 Решение логических задач Пример №6 Переменные A, B, C являются истинными для точек, принадлежащих прямоугольнику, кругу и треугольнику соответственно. Составить логическую формулу для точек заштрихованных областей, показанных на рисунке 28 Решение логических задач Решение: Обозначим точки прямоугольника А, круга – В, треугольника – С. Общие заштрихованные области будут общими для круга и треугольника (В и С), но не будут принадлежать прямоугольнику (значит не А т. е. Ā). Каждая из площадей является логическим перемножением точек – Ā*В*С, что и является решением данной задачи. 29