Стереометрия Призма - многогранник, две параллельные грани которого (основания) угольники, а остальные граней - параллелограммы. Очевидно, что все боковые ребра призмы равны, и в основаниях - равные -угольники с соответственно параллельными сторонами. Имеют место формулы: где - площадь боковой поверхности призмы, - периметр перпендикулярного сечения, - длина бокового ребра, - объем, - площадь основания, - высота призмы. Параллелепипед - призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Прямой параллелепипед - параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Прямоугольный параллелепипед - это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Пирамида - многогранник, в основании которого -угольник, а остальные граней - треугольники с общей вершиной. Объем пирамиды вычисляется по формуле: где - площадь основания пирамиды, - высота пирамиды. Правильная пирамида - пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр основания. Усеченная пирамида - это часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: где - высота усеченной пирамиды. и - площади ее оснований. Прямой круговой цилиндр - это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Имеют место формулы: где - объем, - площадь боковой поверхности, - площадь полной поверхности цилиндра, - радиус основания, - высота цилиндра. Прямой круговой конус - это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Имеют место формулы: где - объем конуса, - площадь боковой поверхности, основания, - высота, - образующая конуса. - радиус Усеченный конус - это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. Имеют место формулы: где - объем усеченного конуса, - площадь его боковой поверхности, - высота усеченного конуса, и - радиусы верхнего и нижнего оснований, - его образующая. Шар - это тело, полученное вращением полукруга вокруг диаметра. Поверхность шара называется сферой. Объем шара радиуса вычисляется по формуле: Площадь сферы радиуса вычисляется по формуле: Шаровой сегмент - это часть шара, ограниченная секущей плоскостью. Имеют место формулы: Здесь - объем шарового сегмента, - площадь его поверхности, - радиус шара, - высота сегмента. При решении задач на комбинацию тел вращения и многогранников необходимо знать следующее: 1. Если шар описан около многогранника, то все его вершины лежат на поверхности шара. 2. Если многогранник вписан в шар, то вокруг каждой из его граней можно описать окружность. 3. Если шар вписан в многогранник (все грани касаются шара), то его центр равноудален от всех граней. Этот центр лежит на пересечении плоскостей, делящих двугранные углы многогранника пополам. Пример 1. Если в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно , а угол между ним и плоскостью основания равен пирамиды равен , то объем 1) 2)16 3)18 4) 5)24 Решение. Основание пирамиды - квадрат, и вершина пирамиды проектируется в центр квадрата точку (рис.1). По условию задачи и - равнобедренный и прямоугольный. Следовательно, - высота пирамиды. Из . Из : : . Тогда объем пирамиды , и выбираем ответ 3. Ответ: 3. Пример 2. Шар вписан в усеченный конус, радиус меньшего основания которого равен 4 см, а радиус большего 16 см. При этих условиях объем шара равен 1) 2) 3) 4) 5) Решение. Изобразим центральное сечение шара, вписанного в усеченный конус (рис.2). По условию задачи см, см. По свойству многоугольника, описанного около окружности, и .Следовательно, длина образующей усеченного конуса см. Из прямоугольного треугольника , в котором см, см, см, где вписанного шара. Тогда объем шара Ответ: 4. - радиус Пример 3. Конус вписан в шар радиуса 3 см, угол при вершине осевого сечения конуса равен . При этих условиях площадь боковой поверхности конуса равна 1) 2) 3) 4) 5) Решение. Изобразим осевое сечение конуса, вписанного в шар с центром в точке (рис.3). - равносторонний. По условию задачи см. В , следовательно см и см. Тогда площадь боковой поверхности конуса Ответ: 1. . Пример 4. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Объем пирамиды равен . Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом и этот угол равен 1) 2) 3) 4) 5) Решение. Так как боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то эти ребра равны, а вершина пирамиды проектируется в точку - середину гипотенузы (рис.4). По условию и см и см. Так как объем пирамиды , где - высота пирамиды и - площадь основания, то см. Следовательно, и . Ответ: 1. - равнобедренный и прямоугольный ( см) Пример 5 Прямоугольник со сторонами и вращается вокруг большей стороны. Тогда площадь полной поверхности тела вращения равна l) 2) 3) 4) 5) Решение. Тело вращения представляет собой цилиндр с высотой радиусом основания и . Площадь полной поверхности цилиндра . Ответ: 4. Пример 6. Равнобедренный треугольник с основанием 4 см и высотой 3 см вращается вокруг основания. Тогда объем тела вращения равен 1) 2) 3) 4) 5) Решение. Тело вращения представляет собой два конуса, сложенные основаниями, причем высоты конусов равны 2 см, а радиусы оснований 3 см. Тогда объем тела вращения равен Ответ: 3. Пример 7. Пусть , и - соответственно число вершин, ребер и граней усеченной пирамиды, основанием которой служит 12-угольник. Тогда равно 1)68 2)66 3)70 4)76 5)74 Решение. Если основанием усеченной пирамиды является -угольник, то число ее вершин ; число ребер складывается из числа сторон в основаниях усеченной пирамиды и числа боковых ребер, т.е. ; число граней складывается из числа боковых граней и двух оснований, т.е. . Следовательно, для -угольной усеченной пирамиды . Ответ: 5. Пример 8. Наибольший объем цилиндра, вписанного в конус с высотой радиусом основания , равен и 1) 2) 3) 4) 5) Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписан цилиндр (рис. 5). По условию задачи , .Обозначим радиус вписанного цилиндра и выразим высоту цилиндра через . Из треугольников и следует, что . Тогда объем цилиндра . Найдем наибольшее значение объема цилиндра на интервале изменения от 0 до . С этой целью вычислим . Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение отрезка и и в точке Очевидно, что Ответ: 1. . Найдем значения на концах и выберем из них наибольшее значение. .