возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

МБОУ- Хотимль-Кузменковская
средняя общеобразовательная школа
Открытый урок по
алгебре в 7классе
по теме:
« Возведение в
квадрат суммы и
разности двух
выражений»
Копанёва Т.А.
Февраль 2014 год
ТЕМА УРОКА:
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ». Слайд 1
Тип урока: урок изучения нового материала (урок-исследование)
Вид урока: проблемно-поисковый.
Цели урока: Слайд 2
Образовательные:
-вывести формулы квадратов суммы и разности двух выражений.
-сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения
выражений.
Развивающие:
- развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы;
-развивать логическое мышление, внимание, память, сообразительность, культуру
математической речи и культуру общения;
Воспитывающие:
-воспитывать ответственное отношение к деятельности, познавательной активность и
самостоятельность;
-воспитывать
интерес к математике как учебному предмету через современные
технологии преподавания;
- воспитывать чувство ответственности, культуры диалога.
Формы организации познавательной деятельности:
фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.
Методы и приёмы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемно-поисковый,
исследовательский, словесный, наглядный (демонстрация компьютерной презентации),
практический.
Оборудование:
-компьютер, мультимедийный проектор, экран, портрет Евклида, набор геометрических
фигур, раздаточный материал.
Средства обучения:
План урока Слайд 3











Организационный момент.
Актуализация опорных знаний (устная работа).
Изучение нового материала (исследовательская работа)
Первичное закрепление материала.
Геометрический смысл формул квадрата суммы двух выражений.
Физкультминутка.
Закрепление изученного материала.
Проверка усвоения изученного материала (первичный контроль знаний).
Домашнее задание.
Подведение итога урока.
Рефлексия
Ход урока.
I. Организационный момент. Вступительное слово учителя.
Эпиграф урока:
Знание только тогда знание,
когда оно приобретено усилиями
своей мысли, а не памятью.
Слайд 4 (Л.Н.Толстой)
- Ребята. Мы приступаем к изучению новой темы “ Формулы сокращенного умножения”.
Начать наше занятие мне бы хотелось со слов прекрасной женщины- великого математика
Софьи Васильевны Ковалевской “ У математиков существует свой язык- это формулы.»
Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать
короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их
несколько. Сегодня вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих
формул.
Итак, тема нашего урока: «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений».
( запись в тетради темы урока). Слайд 1, Слайд 2, Слайд 3, Слайд 4
Чтобы открыть формулы нам необходимо, вспомнить изученный материал, что мы знаем
и умеем.
II. Актуализация опорных знаний
1) Теоретическая разминка «Без знания теории, не осилишь практику»
Учащиеся отвечают на заранее заготовленные вопросы, цепочкой, задавая их друг другу.
( вопросов 12, по количеству уч-ся)
Вопросы
1. Что называют многочленом?
2. Что называют одночленом?
3. Какие слагаемые называют подобными?
4. Как привести подобные слагаемые?
5.Как перемножить одночлены?
6. Как умножить одночлен на многочлен?
7. Как умножить многочлен на многочлен?
8. Что называется тождеством?
9.Дать определение степени числа а с натуральным показателем п
10. Что значит возвести в квадрат число?
11.Как возвести в степень произведение?
12. Что значит разложить многочлен на множители?
2)Ученик выполняет у доски задание на карточке
Содержание карточки
Записать в виде выражения:
а) квадрат разности двух выражений 2а и 7в;
б) разность квадратов двух выражений 3х и 8у;
в) удвоенное произведение двух выражений 7в и a2;
г) квадрат суммы двух выражений 2х и 3у;
д) сумма утроенного произведения а и в и числа 9.
3)Устные упражнения
1.Прочитайте выражения.
а) а + b ;
в) (c + d)2 ;
Слайд 5
г) x – у ;
е) b2 – c2;
- что значит: (c + d)2 ; (z –a)2
б) n2 + m2 ;
ж) 2ху.
д) (z –a)2;
(значит, выражение умножается на себя два раза)
2. Найдите квадраты выражений: a; - 2 ; 5b ; 4х2, 6х2 у3. Слайд 6
(вспомнить правило возведения в степень произведения).
3. Найдите удвоенное произведение выражений: Слайд 7
1
y и 6.
а) а и b;
б) 3b и -5с;
в) 0,4х и 2х2;
г)
2
(вспомнить правило умножения степеней одночленов).
4. Перемножьте данные многочлены: Слайд 8
а) (x +2) ·(y - 1)
б) ( 3 – c) · (4 + b)
(вспомнить правило умножения многочлен на многочлен)
5.Вычислить значения выражений: (200+1)2, (200-1)2 Слайд 9
Уч-ся стараются вычислить, но это оказывается трудно. Учитель предлагает вычислить,
используя калькулятор.
- Возможно, ли сосчитать устно? (Позже ответим на этот вопрос)
III. Изучение нового материала (Исследовательская работа).
Исследовательскую работу уч-ся выполняют в парах
1. Упростите выражения I столбца, запишите ответы в III столбце, проанализируйте
результат. Слайд 10
Ученики раскрывают скобки по правилу умножения многочлена на многочлен (столбец
I), полученные ответы записывают в Ш столбце таблицы. II часть таблицы закрыта.
№
1)
2)
3)
4)
5)
I
(y + b) (y +b)
(с + d ) (c +d)
(х + 2)(х+2)
(x + y) (x + y)
(m +n) (m+ n)
II
(y +b)2
(c + d)2
(х+2)2
(x + y)2
(m+ n)2
III
y + 2yb + b2
c2 + 2cd + d2
х2 + 4х + 4
x2 +2xy + y2
m2 + 2mn + n2
2
6)
(a + 2) (a + 2)
(a + 2)2
a2 + 4a + 4
. После того, как задания выполнены в тетрадях один из пары выходит к доске и в правом
столбце таблицы записывает полученный ответ из тетради.
Обратить внимание на то, что при умножении многочлена на многочлен обязательно
должны быть приведены подобные слагаемые.
Обсуждение полученных результатов:
-
Ребята, посмотрите внимательно на получившиеся результаты.
Есть ли нечто общее в условиях и ответах данных упражнений?
Можно ли выражения в левом столбце записать короче?
Что обозначает умножение двух одинаковых выражений? (возведение в квадрат)
( Обращается внимание на то, что находилось произведение двух одинаковых двучленов,
т.е. возводили в квадрат сумму двух выражений, I и II столбики таблицы.)
- Давайте обсудим полученные результаты (III столбик таблицы).
- Что служит во всех случаях результатом умножения?
( Ответ: в результате умножения получился многочлен, состоящий из суммы трёх
одночленов, т.е. трёхчлен).
-
Что представляет собою каждый член данного трёхчлена?
Ответ:
первый член – квадрат первого слагаемого данного двучлена
второй – удвоенное произведение первого и второго слагаемых
третий – квадрат второго слагаемого.
Предлагается учащимся записать общую формулу квадрата суммы двучлена (название по
выражению, стоящему в левой части) и дать её словесное описание:
(а+b)2 = а2+2аb+b2 Слайд 11 (1 часть)
эта формула записывается на доске и в тетрадях.
Итак, в дальнейшем формулу (а+b)2 = а2+2аb+b2 будем применять для возведения в
квадрат суммы двух выражений.
- Давайте продумаем, изменится ли результат, если возводить в квадрат не сумму (а+b),
а разность (а-b)?
- Как при этом может измениться выражение?
(Необходимо, чтобы учащиеся предположили, что появится знак "-" перед 2аb)
Выполним умножение двумя способами:
1) как умножение многочлена на многочлен;
2) рассматривая разность как сумму первого слагаемого и слагаемого, противоположного
второму.
Первым способом решает ученик:
– учитель:
вторым
.
- Чем же новые произведения отличаются от ранее записанных?
Ответ: только знаком перед удвоенным произведением.
Далее предложить записать общую формулу квадрата разности двучлена и дать её
словесное описание:
(а-b)2 = а2-2аb+b2 Слайд 11 (2 часть)
Обратить внимание на то, что в обоих произведениях квадраты первого и второго
одночленов имеют знак "+".
Записанными формулами будем пользоваться для возведения в квадрат суммы и разности
двух выражений. Слайд 11
(а+b)2 =а2+2аb+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
- Чем они отличаются? (знаком перед удвоенным произведением).
-Эти формулы называются формулами сокращенного умножения, они применяются для
упрощения выражений, для рационального вычисления некоторых числовых выражений.
2. Работа с учебником. Чтение правил по учебнику, парный пересказ правил .
Приступаем
к
работе
компактным
методом.
Первый шаг. Ученики выполняют упражнение: «Разделить правило чёрточками на
отдельные
указания».
Квадрат суммы двух выражений ║ равен квадрату первого выражения ║ плюс удвоенное
произведение первого и второго выражений ║ плюс квадрат второго выражения.
Расстановку чёрточек сверяют Слайд 12
Второй шаг. Учитель даёт образец выполнения упражнения с помощью подготовленного
к работе правила. Возведём в квадрат выражение 8х – 7у
Третий шаг. В соответствии с образцом, указанным учителем, вызванный ученик читает
правила по учебнику и, останавливаясь после каждой чёрточки, выполняет
соответствующую часть упражнения:«Квадрат суммы двух выражений (убеждается, что
дан именно квадрат суммы
(4х+5у)2, а не что-либо другое) равен квадрату первого выражения , далее на доске.
3. Первичное закрепление .
Заполнить таблицу. Слайд 13 (показать образец заполнения по 1 строке)
Выражение
Квадрат
Удвоенное
Квадрат
1 выражения
произведение
2 выражения
(а + 4)2
(8 - х)2
(2y + 1)2
(0,5b - 2)2
Итог
4. . Вставьте пропущенные одночлены: Слайд 14
( * – 1)2 = 9х2 - * х + 1;
(5а + * )2 = * а2 + 40а + 16
5. Геометрическое истолкование формулы или ещё один способ доказательства
формулы. (а+b)2. Слайд 15
А теперь давайте и мы с помощью рисунка объясним геометрический смысл формулы
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2.
-Объясните геометрический смысл выражения (а+в)2 (квадрат со стороной a+b). (У
каждого ученика – вырезанные из бумаги 2 квадрата со сторонами а и b и 2
прямоугольника со сторонами a и b). Каждый моделирует свой квадрат.
- Чему равна площадь полученного квадрата? (Сумме площадей квадрата со стороной а,
двух площадей прямоугольника со сторонами а и в и площади квадрата со стороной в).
III. Физминутка.
IV.Закрепление изученного материала. Слайд 16.
Работа у доски и в тетрадях. При выполнении заданий - проговаривать правила.
1 .№ 800 (а, в, д, ж). I вариант
.№ 800 (б, г, е, з).
II вариант
Возвратимся к устному заданию: вычислить (200+1)2,
(200-1)2
Делается вывод, что рационально можно найти значения данных выражений используя
выведенные на уроке формулы сокращенного умножения. .
2.Вычислить:
512 ; 492 .
3. .№ 803(а, в, д, ж)., №810 (д,е)
V. Этап предварительного контроля. (карточки)
1. Выбрать правильный ответ. Слайд 17
1
(y - 9)2
(5x+4y)2
(2a – 0,5x)2
1
( с  2т ) 2
4
y2 - 9y +81
25x2 - 20xy +16 y2
4a2 - 2ax +0,25 x2
1 2
с  сm  4m 2
16
1 2
с  сm  4m 2
16
1 2 1
с  сm  4m 2
16
2
1 2 1
с  сm  4m 2
16
2
2 y2 + 18y +81 25x2 + 40xy +16 y2 4a2 + 2ax +0,25 x2
3
y2 -18y +81
25x2 +20xy +16 y2
4a2 - ax +0,25 x2
4
y2 + 9y +81
25x2 - 40xy +16 y2
4a2 + ax +0,25 x2
Проверка. Слайд 18
2. № 804
VI. Домашнее задание: п. 32, (выучить формулы и соответствующие правила)
Творческое задание. Дать геометрическое истолкование формулы (a-b)2 с помощью тех
же геометрических фигур, какие у вас на столах.
№ 399;№ 803(б, г, е, з). , №810(в-г). Слайд 19
VII. Итог урока. Слайд 20
-С какими формулами мы познакомились сегодня на уроке?
-Почему эти формулы называются формулами сокращенного умножения?
(формулы сокращают преобразование левой части в правую на 2 операции)
-Чему равен квадрат суммы двух выражений?
-Чему равен квадрат разности двух выражений?
-Как вы думаете, зачем нужны нам эти формулы и стоит ли их запоминать?
(С помощью формул результат можно получить гораздо проще и быстрее).
Выставление отметок.
Учащиеся анализируют свою работу на уроке, обсуждают, высказывают свое мнение.
VIII. Окончание урока (Рефлексия.)
Притча: Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем
тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.
У первого спросил «Что ты делал целый день? И тот с ухмылкой ответил, что целый день
возил камни. У второго мудрец спросил «А что ты делал целый день?» и тот ответил «А я
добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось
радостью и удовольствием «А я принимал участие в строительстве храма»
8. Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.
9. Кто возил камни? (подними синий жетон)
10. Кто добросовестно работал? (подними зелёный жетон)
11. Кто строил храм? (подними красный жетон)