Решения заданий отраслевой олимпиады школьников по

Решения заданий отраслевой олимпиады школьников по физике
II тур, 26 марта 2011 г.
1. На экране монитора в Центре управления полетами отображены графики скоростей двух
космических аппаратов после их расстыковки (рис.1). Масса первого из них равна 10т, масса
второго равна 15т. С какой скоростью двигались аппараты перед их расстыковкой?
Решение. Как видно из графиков, скорость первого аппарата после расстыковки V1 = 8 103 м/с, а скорость второго
V2 = 7 103 м/с. Запишем закон сохранения импульса:
( m1  m2 ) V =( m1 V1 + m2 V2 ),
где m1 - масса первого космического аппарата, m2 - масса
второго, V - скорость аппаратов до расстыковки. Тогда
m V  m2V2 104  8 103  1,5 104  7 103

=7,4 103 м/с.
V= 1 1
m1  m2
104  1,5 104
Рис.1
2. Сосуды, изображенные на рис.2 наполнены до одного уровня
водой. Сравнить давление воды на дно во всех трех сосудах. Как
изменится давление воды на дно в каждом сосуде при повышении температуры воды?
Рис. 2
Решение. Давление P воды на дно в сосудах определяется по формуле P=ρgh , где ρ – плотность воды, g – ускорение свободного падения, а h – высота столба жидкости. Так как первоначально h во всех трех сосудах была одинаковой, то и давление на дно тоже было одинаковым.
Рассмотрим сосуд б. При увеличении температуры изменяется плотность воды и, соответственно, высота столба жидкости в сосуде, но произведение ρh не изменяется, так как не изменяется
масса m воды в сосуде : m=ρhS, где S- площадь дна в сосуде б. Поэтому при повышении температуры воды давление на дно в сосуде б не изменяется.
В сосудах a и в дело обстоит иначе. Так как сосуды a и в не цилиндрические, то уровень воды в
сосуде а поднимется меньше, чем в сосуде б, а в сосуде в – больше, чем в сосуде б. Так как при
нагревании плотность воды изменяется во всех трех сосудах одинаково, то при повышении температуры давление на дно в сосуде а будет наименьшим, а в сосуде в – наибольшим из трех рассмотренных вариантов.
3. Для каждой из трех схем включения реостата (рис.3) нарисовать графики зависимости общего сопротивления цепи от сопротивления левой (по рисунку) части реостата (до движка).
Рис. 3
Решение. Обозначим, как и на всех схемах, буквой R - полное сопротивление реостата, а также
постоянное сопротивление на схеме в. Обозначим буквой R0 - общее сопротивление цепи, а
буквой r - сопротивление левой (по рисунку) части реостата (до движка).
Рассмотрим схему а. Как известно, сопротивление проводника увеличивается пропорционально его длине, поэтому R0 зависит от r линейно. R0 равно нулю при r =0 и достигает
максимума, равного R при R0 = R , что и отражено линией а на графике.
Эквивалентная схема для варианта б выглядит следующим образом :
r
R- r
Сопротивление R0 такой цепи определяется из соотношения:
1 1
1
 
, - поэтому
R0 r R  r
Rr  r 2
. Как видно из выражения для R0 , оно равно нулю при r  0 и при r  R . МаксиR0 
R
Rr  r 2
мальное значение выражения R0 
можно определить из условия равенства нулю проR
R0
изводной
= 0. Так как R - величина постоянная,
r
то достаточно приравнять к нулю производную от
числителя выражения для R0 . Получаем: R  2r  0 .
R
Rr  r 2
, то есть функция R0 
дости2
R
R
гает максимального значения при r  . Макси2
2
R R
R 
R
мальное значение R0  2 4  . Примерный
R
4
вид зависимости R0  r  отражен линией б на графике.
Откуда r 
Общее сопротивление R0 для варианта в определяется из соотношения для параллельного
1 1 1
Rr
  , откуда R0 
включения проводников:
. Из последнего соотношения видно,
rR
R0 R r
R
что при r  0 R0  0 , а при r  R R0  . Кроме того, из выражения для R0 видно, что зави2
R
R
симость R0  r  нелинейна. Подставив в выражение для R0 r  , получаем R0  . Пример2
3
ный вид зависимости R0  r  отражен линией в на графике.
4. Фотоэлемент освещают светом с определенными частотой и
интенсивностью. На рис.4 представлен график зависимости силы фототока в этом фотоэлементе от приложенного к нему
напряжения. Начертить график зависимости фототока от приложенного напряжения в двух случаях: а) при увеличении частоты падающего света; б) при увеличении интенсивности падающего света.
Решение.
I
0
Рис. 4
U
При увеличении частоты падающего света увеличивается энергия фотонов Eф  h . В этом случае увеличивается кинетическая энергия фотоэлектронов и, соответственно, увеличивается задерживающее
напряжение Uз (на графике точка Uз смещается влево), а напряжение,
при котором достигается ток насыщения, уменьшается. Вместе с тем,
при неизменной интенсивности и увеличении энергии каждого падающего фотона уменьшается их общее количество, что приводит к
уменьшению тока насыщения. Правильная вольтамперная характеристика для этого случая изображена сплошной линией на рис. 4а.
I
0
Рис. 4а
U
I
Во втором случае, при увеличении интенсивности падающего
света увеличивается количество падающих фотонов и, соответственно,
0
количество фотоэлектронов, поэтому значение всех ординат зависимоРис. 4б
сти I(U) увеличивается пропорционально увеличению интенсивности
падающего излучения. Соответственно, повышается ток насыщения.
Задерживающее напряжение Uз зависит от энергии каждого фотона. Поэтому оно остается
прежним. Правильная вольтамперная характеристика для этого случая изображена на рис.4б.
5. В ведре находится смесь воды со льдом. Масса смеси М=10кг.
Ведро внесли в комнату и сразу же начали измерять температуру
t смеси. Получившийся график зависимости температуры от
времени τ изображен на рис.5. Определить сколько льда было в
ведре, когда его внесли в комнату. Удельная теплоемкость воды
c = 4200 Дж/(кг∙К), а удельная теплота плавления льда λ = 3,4∙ 105
Дж/кг. Теплоемкостью ведра пренебречь.
Рис. 5
Решение.
В течение первого промежутка времени τ1 продолжительностью 50 мин лед таял, а затем вода
начала нагреваться. Пусть q - количество теплоты, получаемое сосудом от окружающей среды
за 1с. Тогда за время τ1 сосуд получает количество теплоты (q∙τ1). Поэтому
(1),
m  q∙τ1
где m- масса льда. При нагревании воды
Mc ΔT=q τ2
(2),
где ΔT- изменение температуры воды за время τ2. Выразив из уравнения (2) q и подставив в
уравнение (1) получаем
m 
Из последнего уравнения находим
m
Mc  T
2
1
Mc  T

  2 1
Из графика видно, что если τ2  10 мин, то ΔТ=20 С. Подставляя в выражение для массы льда
10кг  4200 Дж  кг 1  К 1  2 К  50 мин
 1,24 кг.
числовые значения, получаем m 
10 мин  3, 4 105 Дж  кг 1
6. Представим, что к центру Земли прорыли шахту. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить тело массой 1 кг из центра Земли на поверхность? Считать, что радиус Земли равен
6400км.
Указание. Принять во внимание, что шаровой слой в своей внутренней полости гравитационного поля не создает.
R
Рис. 6
Решение. Обозначим буквой R расстояние от центра Земли до тела, погруженного в шахту. Со
Mm
стороны Земли на тело действует гравитационная сила Fгр  G 2 , где G - постоянная всемирR
ного тяготения, m - масса тела, а M - масса части Земли, лежащей относительно тела «ниже»,
4
то есть ближе к центру: это шар радиусом R (см. рис.6). При этом M    R 3 , где  - плот3
4
ность Земли, которую будем считать постоянной. Тогда Fгр  Gm  R . Из последнего соот3
ношения видно, что Fгр изменяется линейно в зависимости от R . Fгр =0 при R =0 и Fгр достигает максимального значения при R  Rз , где Rз - радиус Земли. На поверхности Земли
4
4
Fгр = mg  Gm  Rз , где g - ускорение свободного падения: g  G   Rз .
3
3
mg
R , то работа, которую надо совершить, чтобы вытащить тело на поПоскольку Fгр 
Rз
Rз
верхность:
A  m
0
A
mgRз
g
.
RdR 
2
Rз
1кг  9,8 м / c 2  6400 103 м
 31 МДж.
2
Подставляя
числовые
значения,
получаем