космос_2014x

Государственное бюджетное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №727
Исследовательская работа
«Применение математических методов при определении
формы и оптимальных геометрических параметров для
функционирования космического беспилотного аппарата»
Авторы исследования:
Туркова Мария,
ученица 11 «а» класса
Лобанова Анна,
ученица 11 «а» класса
Актуальность: Точные расчеты размеров летательных аппаратов являются
необходимым условием при их проектировании и создании. Именно
ошибочные расчеты приводят к неэффективному функционированию
приборов, или к аварии аппаратов при их выводе на орбиту, а это огромные
напрасно потраченные средства государственного бюджета.
Гипотеза исследования: Если создать математическую модель, то можно
решить задачу оценивания параметров летательного аппарата и по
результатам обработки измерительной информации рассчитать возможности
функционирования в ожидаемом режиме.
Цель исследования: применить математические методы для определения
формы, оптимальных параметров и принципов работы модели космического
модуля.
Задачи исследования:
1) Выбор формы модели. Определение центра масс .
2) Определение оптимальных параметров модели.
3) Выполнение расчетов для функционирования
космического аппарата в ожидаемом режиме:
а) расчет рикошета фрагментов космического мусора о щит космического
аппарата
б) расчет скатывания фрагментов по щиту космического аппарата
Выбор геометрической формы
летательного аппарата.
Обратившись к гипотезе, согласно которой ускоренное движение центра масс
тела можно реализовать за счет всего лишь формы этого тела, если
обеспечить ослабление сцепления тела с вакуумом. Это сцепление может
быть ослаблено за счет достаточно быстрого вращения массы. Если взять
цилиндр, то это тело будет находиться в статическом равновесии со всей
вакуумной средой. Размещение же конического тела в вакууме вызывает
скрытую гравитационную силу вдоль оси конуса. Например, сплошной
стальной прямой конус с радиусом основания 6 см и высотой 6 см при
угловой скорости вращения вокруг своей оси 400 об/с испытывает ускорение
своего центра тяжести 1 см/с2 .Чем больше размеры конического тела, тем
меньше меньшая угловая скорость требуется для такого ослабления
сцепления, при котором произойдет ускоренное движение центра масс.
Теория вакуума Шипова Г.И. подтверждает, что движение летательных
аппаратов, имеющих форму обоюдовыпуклого конуса, происходит не за счет
какой-либо материальной струи, а за счет создания торсионного
возмущения вакуума необходимой мощности, амплитуды, частоты.
Космическое пространство неоднородно, так как вакуум в разных его частях
возмущен неодинаково, именно это позволяет летательным аппаратам такой
формы перемещаться в разных направлениях космического пространства и
возвращаться назад.
Принимая во внимание то, что для создания ускоренного движения центра
масс, необходимо такое соотношение параметров обоюдовыпуклого конуса,
чтобы радиус основания превосходил высоту конуса. Но при этом площадь
его поверхности может принимать минимальные значения, что приведет к
неэффективной работе аппарата по взаимодействию с космическими
фрагментами. Поэтому мы считаем, что математическая модель
создаваемого летательного аппарата должна представлять внутренний
обоюдовыпуклый конус, заключенный в корпус другого обоюдовыпуклого
конуса, меньшей плотности. При этом вершины внутренней части должны
совпадать с точками центров масс защитного корпуса. Этим достигается и
сохранение блока питания (это может быть ядерный реактор), электронной
аппаратуры, и сохранение соотношения параметров, необходимых для
экономии энергетических ресурсов при движении.
Выбор оптимальных параметров модели
Основной функцией работы летательного аппарата будет взаимодействие с
частицами космического мусора. Поэтому необходимо решить задачу
оптимизации: найти такое соотношение параметров тела, чтобы оно имело
наибольшую площадь поверхности. Применим производную к
исследованию функции на наибольшее значение. Обозначим R расстояние
от центра тяжести внешней конической поверхности до вершины. Оно
должно равняться образующей внутреннего конуса. ∝
−угол при основании осевого сечения внешнего конуса
𝑆 = 𝜋𝑟𝑙
𝐴𝑂1 = 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 ∝
2𝑅 = 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛𝑥 => 𝐴𝐵 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝑥
Рассмотрим площадь поверхности как
функцию зависимости от угла ∝
𝑆(𝑥) = 𝜋2𝑅𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝑥
= 2𝜋𝑅𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
Найдем производную этой функции:
𝑆 / (𝑥) = 2𝜋𝑅2 (𝑠𝑖𝑛/ 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥)
= 2𝜋𝑅2 (𝑐𝑜𝑠2𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)
Найдем критические точки функции: решив уравнение 𝑆 / (𝑥)=0
2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 0
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0, 0 <∝<
𝜋
2
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1,
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
3
1
√3,
−1
√3
∝= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
√3
Отрицательному значению косинуса угла соответствует тупой угол,
который мы не рассматриваем. На промежутке [0;
положительно, а на промежутке [
1
√3
1
] значение производной
√3
𝜋
; ] ,значение производной
2
отрицательно, поэтому в найденной критической точке максимум функции
зависимости площади конической поверхности от угла наклона образующей
внешнего конуса к плоскости наибольшего сечения.
Расчет рикошета фрагментов КМ о щит КА
Определим возможность утилизации мусора при рикошете (рассматриваем
удар как абсолютно упругий).
Рис….. Рикошет ФКМ от защитного экрана.
Где Vm2 - скорость космического мусора после удара
Va - начальная скорость аппарата
Va2 - скорость аппарата после удара
Vm2 - скорость космического мусора после удара
Гравитационная постоянная Земли:
  3.986 1014
м3
с2
Радиус Земли:
Rз  6,3711014 м
Выбранная высота орбиты:
h  400км
Радиус орбиты:
R  Rз  h  6, 77 103 км
Вероятная масса аппарата:
ma  20т
Масса частиц мусора:
mФКМ  0,5кг
Зададим угол наклона пластины:
  40
Тогда угол отражения частиц:
  90    50
В первом приближении примем, что мусор движется по орбите, близкой к
круговой:
Vм 

R
 7,673 103
м
с
Зададим максимальную относительную скорость аппарата относительно
космического мусора ( Vа-Vm):
V  103
м
с
Определим скорость аппарата в перигее:
Va 

R
 V  8, 673 103
м
с
Для определения скоростей аппарата и мусора после удара, запишем
уравнения закона сохранения импульса и энергии:

Va1  ma  cos(1 )  Vм 2  mм  sin(2    )  Va  ma  Vм  mм
2

Va1  sin(1 )  Vм1  mм  sin(2    )  0
2
2
2
2
2
Va1  ma  Vм 2  mм  Va  ma  Vм  mм
Где Va1 - скорость аппарата после рикошета
Vм - скорость ФКМ после рикошета
1 - направление скорости аппарата после рикошета
После решения системы уравнения в среде Mathcad получаем:
Va1  8, 673 103
Vм 2  0,19
м
с
м
с
1  1, 089 10 5
Определим, заденет ли мусор границы атмосферы при таком векторе
скорости:
Трансверсальная составляющая скорости:
Vм1  Vм 2  cos(2  90)  0,189
м
с
Нормальная составляющая скорости:
Vм1n  Vм 2  sin(2  90)  0, 033
Константа энергии:
h  Vм12  2

R
 1,177 108
м2
с2
Большая полуось орбиты:
a

 3,385 106 м
h
Константа площадей:
 x  y  Vz  z  Vy  0
 y  z  Vx  x  Vz  0
 z  x  Vy  y  Vx  2, 256 105
 z
Найдем эксцентриситет:
e  1 h
2
 0,99
2
Фокальный параметр:
2
p
 1, 277 104 м

Радиус перигея:
R 
p
 6,385 105 м
1 e
м2
с
м
с
Высота перигея:
h  R  Rз  0
Следовательно новая орбита ФКМ задевает плотные слои атмосферы и его
фрагменты сгорают в ней.
Легко заметить, что при неупругом ударе щит так же выполняет свою задачу.
Для изменения орбит ФКМ используются симметричные щиты, после
рикошета от которых, ФКМ принимает зеркальные орбиты, рис …….
Рис…. Принцип поведения ФКМ
Расчет скатывания фрагментов КМ по щиту КА
Скорость космического мусора после скатывания:

Vм 
R
 7,673 103
м
с
Направление скорости:
  40
Определим, заденет ли мусор границы атмосферы при таком векторе
скорости:
Трансверсальная составляющая скорости:
Vм  Vм  cos( )  5,878 103
м
с
Нормальная составляющая скорости:
Vмn  Vм  sin( )  4,93 103
м
с
Константа энергии:

м2
h  Vм  2  5,88 10 2
R
с
2
7
Большая полуось орбиты:
a

 6, 77 106 м
h
Константа площадей:
 x  y  Vz  z  Vy  0
 y  z  Vx  x  Vz  0
м2
 z  x  Vy  y  Vx  2, 256 10
с
 z
5
Найдем эксцентриситет:
2
e  1  h 2  0,99

Фокальный параметр:
p
2
 1, 277 104 м

Радиус перигея:
R 
p
 6,385 105 м
1 e
Высота перигея:
h  R  Rз  0
Следовательно новая орбита ФКМ задевает плотные слои атмосферы и его
фрагменты сгорают в ней.
Вывод: Принимая во внимание все проведенные нами исследования, можно
заключить, что оптимальной моделью беспилотного управляемого
многофункционального летательного аппарата может быть тело, имеющее
форму двояковыпуклого конуса, состоящего из двух корпусов: внешнего,
имеющего наибольшую площадь контактной поверхности, но меньшую
плотность, и внутреннего, содержащего блок питания и центр управления
аппаратом. При этом вершины внутреннего тела должны совпадать с
центрами масс наружного корпуса, и расстояние от вершины до центра масс
должно ровняться образующей внутренней конической поверхности. Для
достижения наибольшей площади поверхности, угол наклона внешней
образующей к плоскости большого сечения должен равняться ∝= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
√3
, тогда при r=5 м (большого сечения), масса аппарата будет не более 20 тонн,
и он сможет изменять орбиту фрагментов космического мусора массой до 1
кг, при взаимодействии под углом 40 (+- 5 градусов) к радиус-вектору
скорости движущейся частицы.