Электрон-электронное рассеяние между уровнями ландау в

Электрон-электронное рассеяние между уровнями Ландау...
М.П. ТЕЛЕНКОВ, П.Ф. КАРЦЕВ1, Ю.А. МИТЯГИН, М.А. САХБЕТДИНОВ1
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва
1
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННОЕ РАССЕЯНИЕ МЕЖДУ УРОВНЯМИ ЛАНДАУ
В КВАНТОВЫХ ЯМАХ В СИЛЬНЫХ МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ
Выполнено теоретическое исследование процессов рассеяния и релаксации электронов на уровнях Ландау в резонансно-туннельных структурах из квантовых ям в сильном перпендикулярном слоям структуры магнитном поле в
условиях последовательного резонансного туннелирования. Показано, что в ситуации, когда расстояние между нижними подзонами меньше энергии оптического фонона (т.е. когда рассеяние на оптических фононах подавлено), населенность основного (0-го) уровня Ландау вышележащей подзоны может существенно превышать заселенность первого
уровня Ландау нижней подзоны. Это открывает возможность получения на этом разрешенном правилами отбора переходе перестраиваемой по частоте генерации вынужденного электромагнитного излучения терагерцового диапазона.
Работа посвящена теоретическому исследованию процессов рассеяния и релаксации электронов на уровнях Ландау в резонансно-туннельных структурах с квантовыми ямами в сильном
перпендикулярном слоям структуры магнитном поле в условиях последовательного туннелирования. Основное внимание уделено изучению структур с широкими квантовыми ямами, в которых
расстояние между нижними подзонами размерного квантования меньше энергии оптического фонона. В квантующем магнитном поле из-за больших расстояний между уровнями Ландау процессы межуровневого и межподзонного упругого рассеяния (на примесях и шероховатости гетерограниц) значительно подавляются [1, 2]. Поэтому в такой ситуации существенное влияние на заселенности уровней Ландау в квантовых ямах оказывают процессы электрон-электронного рассеяния.
Несмотря на значительное количество работ, посвященных свойствам низкоразмерных электронных систем в магнитных полях, вопрос о временах электрон-электронного рассеяния, связанных с переходами между уровнями Ландау, изучен достаточно слабо. В частности, для структур из
квантовых ям существует всего лишь несколько работ [1–3], в которых был проведен расчет времен рассеяния между уровнями Ландау первой и второй подзоны для ограниченного набора
структур. Данные же о временах рассеяния между уровнями Ландау, принадлежащих одной и той
же подзоне, в литературе отсутствуют.
В данной работе в рамках одной модели проведен расчет времен электрон-электронного
рассеяния как между уровнями Ландау различных подзон, так и впервые между уровнями Ландау
одной и той же подзоны размерного квантования. Показано, что в широкой области магнитных
полей времена внутриподзонного рассеяния существенно меньше времен рассеяния между уровнями Ландау различающихся подзон, что открывает возможность получения инверсии заселенности для соответствующих оптических переходов при резонансно-туннельной накачке верхних
подзон (рис. 1).
Будем рассматривать кинетику электронов в стационарном режиме в структурах из квантовых ям GaAs/AlGaAs в квантующем магнитном поле B  Вe z в режиме последовательного туннелирования из ямы в яму, полагая, что характерное время туннелирования существенно превышает
времена внутриямной релаксации. При достаточно широких барьерах кинетику носителей заряда в
стационарном режиме можно с хорошей степенью точности описать, рассматривая одиночную
квантовую яму при заданных плотностях втекающего и вытекающего из ямы тока.
В настоящей работе мы изучаем структуры со сравнительно малыми энергиями размерного
квантования (т.е. с широкими квантовыми ямами) в области внешних полей, при которых кинетика электронов определяется переходами между уровнями Ландау, лежащими достаточно глубоко в
квантовой яме. Поэтому в дальнейшем влиянием непрерывного спектра на эти состояния, а также
эффектом понижения барьера с ростом номера уровня Ландау [4] будем пренебрегать. Расчет стационарных состояний электрона в квантовой яме осуществляем в приближении эффективной массы формализма огибающих функций. При этом мы также пренебрегаем взаимодействием спина
электрона с магнитным полем, в силу его малости в рассматриваемом классе структур [5]. В качестве полного набора квантовых чисел одноэлектронных состояний выступают номер v подзоны
размерного квантования, номер n уровня Ландау в подзоне, волновой вектор k вдоль оси х, а также
спиновое квантовое число .
Электрон-электронное рассеяние между уровнями Ландау...
Рис. 1. Предлагаемая схема генерации в каскадной резонансно-туннельной структуре из квантовых ям.
Штрихпунктирными стрелками показаны резонансно-туннельные переходы, осуществляющие накачку
верхнего рабочего уровня (2,0). Сплошной стрелкой показан излучательный переход на нижний рабочий
уровень (1,1). Пунктирными стрелками показаны опустошающие нижний рабочий уровень переходы на
уровень Ландау (1,0)
В приближении «обобщенного» правила Ферми [6] вклад в плотность потока электронов на
уровень Ландау f, вносимый переходами (i, j )  ( f , g ) , обусловленными процессами электронэлектронного рассеяния, дается выражением [1, 2]
Ni
1
2
1
, где
j(ei, je)( f , g ) 
 2

( i , j ) ( f , g )
(i , j )( f , g ) L 
(i, j )( f , g ) (ki )

ki
интегральная скорость перехода (i, j )  ( f , g ) ,
1
(i , j )( f , g ) (ki )

4

k j ,k f ,k g
V(i , j ) ( f , g ) (ki , k j , k f , k g )
2
N j  N f   Ng 
1
1

 
  
 
F(i , j ) ( f , g ) ( Ei  E j  E f  Eg ) 
скорость перехода из начального состояния, содержащего электрон в одночастичном состоянии
уровня Ландау i с волновым вектором k i и электрон на уровне Ландау j , в конечное состояние,
содержащее электроны на уровнях Ландау f и g;  – кратность вырождения уровня Ландау, и
матричный элемент электрон-электронного взаимодействия


e2
V(i , j ) ( f , g ) (ki , k j , k f , k g )  dr1dr2  f ,k (r1 )i ,k (r1 )
 g ,k (r2 ) j ,k (r2 ) .
i
j
f
g
 s r1  r2
Для определения времени рассеяния возникает необходимость вычисления аналитически не берущихся многомерных интегралов с особенностями в виде расходимости подынтегральных функций. Решение этой задачи потребовало разработки специальной численной методики. Результаты
выполненных расчетов времен электрон-электронного рассеяния как между уровнями Ландау различающихся подзон, так и между уровнями Ландау одной и той же подзоны для квантовых ям
GaAs/AlGaAs с шириной 25 нм приведены на рис. 2.
Здесь представлены зависимости от напряженности магнитного поля времени рассеяния с
основного (0-го) уровня Ландау 2-й подзоны (уровень (2,0)) и времени рассеяния с 1-го уровня
Ландау нижней (1-й) подзоны (уровень (1,1)). Эти уровни Ландау интересны тем, что оптический
переход между ними разрешен правилами отбора. При этом, как видно из схемы переходов
(рис.3), время жизни уровня (2,0) определяется в основном процессами электрон-электронного
рассеяния с переходами на уровни Ландау нижней подзоны (межподзонное рассеяние), в то время
как время жизни на уровне (1,1) определяется процессами электрон-электронного рассеяния только между уровнями Ландау нижней подзоны (внутриподзонное рассеяние).

Электрон-электронное рассеяние между уровнями Ландау...
Рис. 2. Рассчитанные зависимости от магнитного поля времен жизни на основном уровне Ландау
второй подзоны и на первом уровне Ландау нижней подзоны. N (2,0)  109 см–2, N (1,1)  109 см–2
и N (1,0)  109 см–2. Относительная погрешность точек на графике составляет 10 –2
Отметим, что нами были впервые рассчитаны времена рассеяния между уровнями Ландау
одной и той же подзоны. Зависимость времени жизни уровня (1,1) от напряженности магнитного
поля оказалась монотонной и приблизительно линейной, при увеличении расстояния между уровнями Ландау время рассеяния растет.
Рис. 3. Схема переходов с уровней Ландау (1,1) и (2,0): сплошной стрелкой показан оптический переход,
волнистыми – безызлучательные переходы, происходящие за счет электрон-электронного рассеяния
Что касается зависимости от магнитного поля времени межподзонного рассеяния, то здесь
наблюдаются характерные особенности, впервые обнаруженные в работах [1, 2] – осцилляции
времени рассеяния с изменением магнитного поля. При этом минимумы времени рассеяния соответствуют значениям напряженности магнитного поля, при которых уровень (2,0) либо совпадает
с энергией одного из уровней Ландау нижней подзоны, либо находится строго посредине между
соседними уровнями Ландау первой подзоны. Эти осцилляции наиболее существенны в области
достаточно сильных магнитных полей и сглаживаются по мере уменьшения напряженности магнитного поля. Замечательно то, что в области магнитных полей 5–10 Тл время рассеяния достаточно слабо изменяется с магнитным полем.
Сопоставление рассчитанных времен жизни показывает, что время внутриподзонного рассеяния, как правило, существенно короче, чем время межподзонного рассеяния. В частности, как
видно из рис. 2, в непрерывном интервале магнитных полей 5–10 Тл время жизни на верхнем
уровне (2,0) в три-четыре раза превышает время жизни на уровне (1,1). Это открывает возможность инвертировать этот разрешенный правилами отбора оптический переход в каскадных структурах из квантовых ям такого типа при резонансно-туннельной накачке уровня (2,0) и получить на
нем генерацию вынужденного когерентного электромагнитного излучения терагерцового диапа-
Электрон-электронное рассеяние между уровнями Ландау...
зона (рис. 1–3). При этом частота перехода непрерывно перестраивается изменением напряженности магнитного поля:
  E12  c ,
где E12 – расстояние между подзонами 1 и 2; c – циклотронная частота. В частности, для рассматриваемой структуры при изменении магнитного поля от 5 до 10 Тл частота перехода изменяется от 2,86 до 0,77 ТГц (λ = 105 ÷ 390 мкм).
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации
для поддержки молодых ученых – кандидатов наук № МК-916.2009.2, грантов РФФИ №09-0200671 и №09-02-00701а, проекта РФФИ совместно с Центром научных исследований Франции 0802-92505-НЦНИЛ_а, и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Kempa K., Zhou Y., Engelbrecht J.R. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. P. 226803-1.
2.
Kempa K., Zhou Y., Engelbrecht J.R. et al. // Phys. Rev. B. 2003. V. 68. P. 085302.
3.
Savić I., Ikonić Z., Milanović V. et al. // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. P. 075321.
4.
Živanović S., Milanović V., Ikonić Z. // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. P. 8305.
5.
Bockelmann U, Bastard G. // Phys. Rev. B. 1992. V. 45. P. 1700.
6.
Wacker A. // Theory of Transport Properties of Semiconductor Nanostructures / Ed. by E.
Shöll, Champman and Hall. London. 1998. Р. 321.