Математика - Fdp.timacad.ru

ЗАДАНИЯ 1-ГО (ЗАОЧНОГО) ЭТАПА ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ
РГАУ-МСХА ИМЕНИ К.А. ТИМИРЯЗЕВА 2015/2016 гг.
МАТЕМАТИКА
(9–10 классы)
Необходимо развернуто ответить на максимально возможное число вопросов. Каждый из вопросов оценивается по 10-бальной шкале.

m 4 3  8m1 3n
n
3

.
1. Упростите выражение
:
1

2

m 
m 2 3  2  3 mn  4n 2 3 
 
 
 tg  ctg    x  4 
12
12 
2. Решите неравенство 
 0.
4 x 2  13 x  3
3 1  x  y  3 1  x ,
3. Решите систему уравнений 

y  2  0.
1  2 sin 2  2 
4. Зная, что tg  2  m , найдите значение выражения
.
1  sin 
2
5. Найдите все корни уравнения 4 cos x  2 2  3 cos x  6  0 , принадлежащие интервалу  2 ;   .


6. Найдите все значения параметра а, при которых произведение корней
уравнения x 2  6ax  2  2a  9a 2  0 принимает наименьшее значение.
7. Даны две прогрессии:
9; 89; 169; 249; …
и
1 1
; ; 1; 3; 
9 3
На сколько процентов девятый член первой прогрессии меньше девятого члена второй прогрессии? (Ответ дайте с точностью до 0,01 %).
8. В параллелограмме ABCD сторона АВ разделена точкой М в отношении
АМ : МВ = 1 : 5, диагональ BD разделена точкой N в отношении
ВN : ND = 3 : 4. Какую часть площади параллелограмма АВСD составляет площадь треугольника MBN?
9. Две окружности, длины радиусов которых равны 9 см и 6 см касаются
друг друга внутренним образом. Через точку А их касания проведён
диаметр АВ бóльшей из окружностей. Найдите длину радиуса третьей
окружности, которая касается двух данных окружностей и диаметра АВ.
10. Каждая из двух кормовых смесей составлена из овса, гороха и клевера. Первая смесь содержит 55% клевера, а вторая  60% гороха. Процентное содержание овса во второй смеси в полтора раза превышает
процентное содержание овса в первой смеси. Если смешать 150 кг первой смеси и 350 кг второй, то получится новая кормовая смесь, в которой окажется 51% гороха. Сколько килограммов клевера содержится в
новой кормовой смеси?
МАТЕМАТИКА
(11 класс)
Необходимо развернуто ответить на максимально возможное число вопросов. Каждый из вопросов оценивается по 10-бальной шкале.
2
1. Найдите 9ctg  , если
2. Упростите выражение
sin   3 cos 
 2.
2 sin   cos 
1
 2 x  x1 2  y1 2   x 3 2  y 3 2
x y 

  


12
12
12
12 
3
x
x y 

 xx y
при x  0, y  0, x  y .
3. В арифметической прогрессии  12 членов, сумма которых равна 354.
Сумма членов с чётными номерами относится к сумме членов с нечётными номерами как 32 к 27. Найдите разность арифметической прогрессии.
( x  1) 2
2
 0.
4. Решите неравенство 4  x  log 0,5
3x  1
5. Найдите все корни уравнения
3  tg 2 x cos 3 x

,
3tg 3 x  1 cos 2 x
принадлежащие интервалу (0;).
6. Первое слагаемое суммы увеличили на 40%, а второе слагаемое, которое в два раза больше первого, увеличили на 5%. На сколько процентов
увеличилась сумма?
7. Два автомобиля, работая вместе, могут перевезти некоторый груз за
12 часов. Работу начал первый автомобиль; до прибытия второго он перевёз 70% всего груза. Остальной груз перевёз второй автомобиль, причём весь груз был перевезён за 27 часов. Определите, за сколько часов
смог бы перевезти весь груз второй автомобиль, работая один, если известно, что для перевозки всего груза ему требуется времени меньше,
чем первому автомобилю.
8. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, которая пересекает сторону АВ в точке K так, что АK = 2 см, ВK = 14 см, АВС = АСK.
Найдите площадь треугольника АKС, если известно, что KАС = 450.
9. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, длина
боковой стороны которого равна 2 см, а величина угла при вершине
равна 1200. Найдите объём пирамиды, если известно, что боковые рёбра пирамиды имеют одинаковую длину, равную 27 см.
10. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
x  1  x 2  (2a  3) x  a 2  3a  0 имеет два различных действительных
корня.

