КРАТКИЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ДИНАМИКА

Национальный технический университет
«Харьковский политехнический институт»
А.С. Беломытцев
КРАТКИЙ КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
ДИНАМИКА
Тексты лекций
для студентов заочной формы обучения
всех специальностей
Утверждено
редакционно-издательским
советом университета
протокол № 3,
от 15.12.2005 г.
Харьков НТУ «ХПИ» 2006
ББК 22.2я7
Б43
УДК 531.3 (075)
Рецензенти: А.І. Павлов, канд. техн. наук, Харківський національний автомобіле-дорожний університет
Ю.Л. Тарсіс, канд. техн. наук, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»
Б43
Бєломитцев А.С. Короткий курс теоретичної механіки. Динаміка :
Тексти лекцій для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей. – Харків : НТУ «ХПІ», 2006. – 128 с. – Рос. мовою.
Краткий курс теоретической механики состоит из лекций по динамике материальной точки и механической системы, а также содержит
элементы аналитической механики. Теоретический материал дополняют
примеры решения задач, способствующие самостоятельному изучению
курса.
Для студентов заочной формы обучения всех специальностей.
Короткий курс теоретичної механіки складається з лекцій із динаміки матеріальної точки та механичної системи, а також містить елементи аналітичної механіки. Теоретичний матеріал доповнюють приклади розв’яання задач, що сприяють самостійному вивченню курса.
Для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей.
Іл. – 67. Бібліогр. – 8 найм.
ББК 22.2я7
© А.С. Бєломитцев, 2006 р.
2
ВВЕДЕНИЕ
Динамика – это раздел теоретической механики, в котором изучают движение материальных тел под действием сил.
Силы и движение были рассмотрены и в предыдущих разделах
краткого курса теоретической механики – статике и кинематике [8].
В статике изучают эквивалентные преобразования систем сил, а
также равновесие материальных тел под действием сил. Что произойдет с
телом при нарушении условий равновесия, как оно будет двигаться – на
эти вопросы статика ответа не дает.
Движение тела рассматривают в кинематике, но только с геометрической точки зрения, ни массу тела, ни действующие на него силы при
этом не учитывают.
Между тем, именно силы являются причиной изменения состояния покоя или движения материальных тел, и в динамике устанавливают
зависимости между силами и кинематическими параметрами тел, движущихся под действием сил.
Для большинства задач механики, возникающих на практике, не
являются достаточными только статические или только кинематические
расчеты. Необходимо полное, т.е. динамическое исследование механического движения, в ходе которого используют как установленные в статике способы упрощения систем сил, так и известные из кинематики способы описания движения.
Задачи динамики можно условно разделить на две категории. К
1-й категории относятся задачи, в которых движение тела (нескольких
тел) известно, и нужно определить силы, его вызывающие; ко 2-й – задачи, в которых, напротив, известны действующие на тело силы, а его движение является искомым. Эти задачи соответственно называют первой и
второй основными задачами динамики.
3
Лекция 1. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1.1. Законы динамики Галилея-Ньютона
Простейшим объектом, изучаемым в динамике, является материальная точка, под которой подразумевают тело, имеющее конечную массу
и настолько малые размеры, что различием в движении его частиц можно
пренебречь, т.е. материальная точка – это точка, имеющая массу. Любое
тело может быть представлено как совокупность материальных точек.
Оно обладает свойством инертности, которое проявляется в сохранении
движения, совершаемого телом при отсутствии действующих на него сил,
и в постепенном изменении этого движения с течением времени, если на
тело начинают действовать силы.
Мерой инертности материальной точки является ее масса, которую в классической механике считают величиной скалярной и постоянной.
Основные законы динамики были изложены в 1687 году в работе
И.Ньютона «Математические начала натуральной философии».
Первый закон или принцип инерции, сформулированный Галилеем в 1638 году. Изолированная от внешних воздействий материальная
точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного
движения.
Систему отсчета, в которой выполняется принцип инерции, называют инерциальной. Таким образом, принцип инерции утверждает, что
существует такая система отсчета (инерциальная), в которой материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, если на нее не действуют силы.
Инерциальность той или иной системы отсчета может быть проверена на основании экспериментов. Установлено, что весьма близка к
инерциальной гелиоцентрическая система отсчета, начало координат которой совпадает с центром Солнца, а оси направлены на «неподвижные»
звезды. Для большинства технических задач в качестве инерциальной
может быть принята система отсчета, жестко связанная с Землей.
Второй закон (основной закон динамики). В инерциальной системе отсчета произведение массы материальной точки на ускорение,
которое она получает под действием силы, равно этой силе:
ma  F .
4
(1.1)
Третий закон (закон равенства действия и противодействия).
Силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю и
направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Этот закон справедлив как для задач статики, так и для задач динамики.
Четвертый закон (закон параллелограмма сил). Система сил,
действующая на материальную точку, эквивалентна одной силе, равной
геометрической сумме всех сил системы.
Этот закон является таким же универсальным, как и предыдущий. Таким образом, действующая на материальную точку система сил
( F1 ,..., Fn ) эквивалентна R , где
n
R   Fk ,
k 1
откуда, используя (1.1), получим
ma  R
или
n
ma   Fk .
(1.2)
k 1
Данное уравнение называют основным уравнение динамики материальной точки.
1.2. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки
Введем в рассмотрение радиус-вектор r , определяющий положение материальной точки в инерциальной системе отсчета, и найдем
d 2r
ускорение точки a  2 , тогда уравнение (1.2) примет вид:
dt
m
n
d 2r
  Fk .
2
dt
k 1
(1.3)
Равенство (1.3) представляет собой дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме. Оно эквивалентно трем ска-
5
лярным уравнениям, зависящим от выбора координатных осей, на которые проецируется основное уравнение динамики (1.2). Спроецируем это
уравнение на оси неподвижной декартовой системы координат, учитывая,
что проекции ускорения ax  x , a y  y , az  z , и получим
n
n
n
k 1
k 1
k 1
mx   Fkx ; my   Fky ; mz   Fkz ,
(1.4)
где x, y, z – декартовы координаты точки.
При использовании естественной формы описания движения
точки спроецируем уравнение (1.2) на оси естественного трехгранника.
Из кинематики известны выражения для проекций ускорения точки на
касательную τ, нормаль n и бинормаль b
a  S ; an 
Sz
; ab  0 ,

учитывая которые, получим
n
mS   Fk  ; m
k 1
n
n
Sz
  Fkn ; 0   Fkb ,
 k 1
k 1
(1.5)
где S = S(t) – закон движения точки по траектории; ρ – радиус кривизны
траектории в текущей точке. Из последнего уравнения (1.5) следует, что
равнодействующая сил, приложенных к точке, лежит в соприкасающейся
плоскости τn.
При решении первой задачи динамики, когда закон движения
точки известен, беря производные, можно определить левые части уравнений движения (1.4) или (1.5). В этом случае получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных сил.
При решении второй задачи динамики известны силы, действующие на материальную точку, т.е. правые части уравнений (1.4) или (1.5),
которые в данном случае являются дифференциальными уравнениями
относительно декартовых или естественной координат точки. Интегрирование этих уравнений позволяет определить закон движения точки.
Пример. Материальная точка М массой m движется под действием силы тяжести в среде без сопротивления. В начальный момент она
находилась на высоте h над поверхностью Земли и имела горизонтально
направленную скорость v0 .
6
Определить расстояние L, которое пройдет точка в горизонтальном направлении до момента касания поверхности Земли.
Введем неподвижную декартову систему координат, у которой
ось x направлена горизонтально и параллельна начальной скорости v0 , а
ось y вертикальна и проходит через начальное положение точки М0
(рис. 1.1). Очевидно, что движение точки будет происходить в вертикальной плоскости xOy, поэтому 3-ю координатную ось вводить не будем. На
точку действует сила тяжести G  mg , проекции которой на координатные оси Gx  0 и G y   mg . Дифференциальные уравнения движения
(1.4) примут вид:
y
mx  0; my  mg
v0
М
или
x  0; y   g .
M0
h
G  mg
O
M1
Проинтегрируем эти уравнения:
x
L
x  C1 ; x  C1t  C2 ;
(1.6)
Рисунок 1.1
y   gt  C3 ; y   g
Для определения постоянных интегрирования
начальные условия:
при t = 0
x0  0;
y0  h; x0  v0 ;
C1 ,..., C4
y0  0 .
2
t
 C3t  C4 .
2
используем
(1.7)
Из уравнений (1.6) получим
x t 0  C1  x0 ; C1  v0 ;
x t 0  C2  x0 ; C2  0;
7
y t 0  C3  y0 ; C3  0;
y t 0  C4  y0 ; C4  h.
Подставим постоянные C1 ,..., C4 в систему уравнений (1.6) и найдем зависимости проекций скорости vx , v y и координат x, y точки от времени:
vx  x  v0 ;
v y  y   gt ;
x  v0t;
y
gt 2
 h.
2
В момент касания поверхности Земли координата точки y = 0, поэтому
время полета t1 определим из уравнения
y t t1  0
или
0
gt12
h,
2
2h
. Теперь определим расстояние L, т.е. горизонg
тальную дальность полета точки
откуда получим t1 
L  x t t1  v0t1  v0
2h
.
g
Вопросы для самоконтроля
1. Что изучает динамика?
2. Как сформулировать первую и вторую основные задачи динамики?
3. Как можно определить материальную точку?
4. Как сформулировать законы динамики Галилея-Ньютона?
5. Какую систему отсчета называют инерциальной?
6. Как записать основное уравнение динамики материальной точки?
8
Лекция 2. КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. Классификация сил, действующих на материальную
точку
Исследование колебаний материальной точки, с одной стороны,
является примером использования дифференциальных уравнений ее движения. С другой стороны, колебания настолько распространены в природе и технике, что изучение их закономерностей имеет самостоятельное
значение. Это значение усиливается тем, что различные по своей физической природе колебательные явления имеют одинаковое математическое
описание.
Среди сил, действующих на материальную точку, особое место
занимают восстанавливающие силы, стремящиеся вернуть точку в положение равновесия. Они зависят от величины отклонения точки от положения равновесия и направлены в сторону, противоположную отклонению. Именно эти силы придают движению точки колебательный характер.
На рис. 2.1, 2.2 приведены примеры, в 1-м из которых восстанавливающей является сила упругости F деформированной пружины, а во
2-м – равнодействующая силы тяжести G и архимедовой силы Q :
F  G  Q . В обоих случаях координата x отсчитывается от положения
равновесия тела. Рассматриваемые тела движутся поступательно, поэтому
движение каждого из них эквивалентно движению материальной точки.
О
x
F
G
x
x
O
Рисунок 2.1
Q
x
Рисунок 2.2
На движущиеся тела обычно действуют еще и силы сопротивления, зависящие от скорости движения. Это силы трения скольжения, силы
9
сопротивления и др. Кроме того, могут также действовать возмущающие
силы, являющиеся заданными функциями времени.
В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные колебания
материальной точки. При этом восстанавливающие силы будем считать
пропорциональными величине отклонения точки от положения равновесия, а силы сопротивления – пропорциональными скорости точки. При
выполнении этих условий дифференциальные уравнения движения точки
являются линейными, а сами колебания называются линейными колебаниями.
2.2. Дифференциальное уравнение прямолинейных
колебаний материальной точки
Пусть точка М массой m притягивается к точке O силой F , пропорциональной расстоянию OM, а начальная скорость точки направлена
вдоль прямой OM или равна нулю (рис. 2.3). В этом случае точка M движется прямолинейно, а ее положение определяется одной координатой x,
отсчитываемой от полоM H
F
R
O
жения равновесия (точки
x O). Проекция восстанавливающей силы F на ось
x
x: Fx  cx , где с – коэфРисунок 2.3
фициент пропорциональности, с > 0.
Пусть на точку M действует также сила сопротивления R , пропорциональная скорости этой точки и направленная противоположно ей.
Проекция силы на ось x: Rx  x , где β – коэффициент пропорциональности, β > 0. Кроме того, на точку M действует гармоническая возмущающая сила H , направленная вдоль прямолинейной траектории точки.
Проекция этой силы на ось x: H x  H 0 sin pt , где H 0 – амплитуда возмущающей силы, H 0 > 0; р – ее частота.
Запишем дифференциальное уравнение движения точки М
mx  Fx  Rx  H x
или
mx  cx  x  H 0 sin pt .
10
Разделим обе части этого уравнения на m, введем обозначения
c
 k2;
m

 2n;
m
H0
h
m
и получим уравнение
x  2nx  k 2 x  h sin pt ,
(2.1)
которое является неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
2.3. Свободные колебания в среде без сопротивления
Рассмотрим колебания материальной точки, происходящие под
действием одной восстанавливающей силы F . Такие колебания называют свободными и описывают однородным дифференциальным уравнением, которое можно получить из уравнения (2.1), положив n = 0 и h = 0,
(2.2)
x  k2x  0 .
Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения
2  k 2  0 имеет чисто мнимые корни 1,2   ki , поэтому общее решение
уравнения (2.2) запишем в виде:
x  C1 cos kt  C2 sin kt ,
(2.3)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования, определяемые из начальных
условий:
(2.4)
x t 0  x0 ; x t 0  x0 .
Продифференцируем функцию (2.3)
x  C1k sin kt  C2 k cos kt .
(2.5)
Воспользовавшись (2.3)-(2.5), получим
x t  0  C1  x0 ; x t  0  C2 k  x0 , т.е. C2 
x0
.
k
Подставив С1 и С2 в уравнение (2.3), запишем закон движения точки
11
x  x0 cos kt 
x0
sin kt
k
(2.6)
и преобразуем его к более удобному виду. Введя обозначения
A  x02 
x02
x
x
; sin 0  0 ; cos 0  0 ,
2
A
kA
k
(2.7)
из уравнения (2.6) получим
x
x

x  A  0 cos kt  0 sin kt   A  sin 0 cos kt  cos 0 sin kt 
kA
 A

или
x  A sin  kt  0  .
(2.8)
Таким образом, свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний равна А, фаза   kt  0 , где 0 – начальная фаза. Величину
c
называют круговой или циклической частотой колебаний. Периm
од колебаний T  2 / k является периодом функции sin  kt  0  . Последнее соотношение показывает, что круговая частота k равна числу
полных колебаний точки за 2π секунд: k = 2π/T. Таким образом, частота и
период гармонических колебаний зависят от массы точки и коэффициента пропорциональности восстанавливающей силы, но не зависят от
начальных условий. Это свойство свободных колебаний называют изохронностью. Амплитуда и начальная фаза зависят как от параметров системы m и c, так и от начальных условий. График свободных незатухающих колебаний (2.8) приведен на рис. 2.4.
k
Пример. Составим дифференциальное уравнение движения груза
M массой m, подвешенного на невесомой пружине жесткостью с (рис.
2.5). Груз M, принимаемый за материальную точку, совершает прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси x. На него действуют сила тяжести mg и сила упругости F .
12
x
t
A
xt
T
t
0
O
-A
O1
O
 ст
x
F
M
mg
x
Рисунок 2.5
t
Рисунок 2.4
Обозначим через O1 положение груза
при недеформированной пружине, а через O –
положение статического равновесия груза, от
которого будем отсчитывать текущую координату х, δст – статическая деформация пружины.
Ее текущая деформация равна  ст  x  , проекция силы упругости, подчиняющейся закону
Гука,
Дифференциальное
Fx  c  ст  x  .
уравнение движения груза имеет вид:
mx  mg  c  ст  x  .
(2.9)
В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости, которая в этом положении равна cст , т.е.
mg  cст  0 .
(2.10)
Учитывая (2.10), перепишем уравнение (2.9) в виде:
mx  cx или x  k 2 x  0 ,
c
g

. Полученное уравнение совпадает с уравнением (2.2),
m ст
значит, груз совершает гармонические колебания, частота и период которых полностью определяются величиной статической деформации пружины
где k 2 
13
k

g
2
; T
 2 ст .
ст
k
g
Если выбрать начало отсчета координаты х в точке O1, то Fx  cx и
дифференциальное уравнение движения груза примет вид:
mx  mg  cx или
x  k2x  g ,
т.е. станет неоднородным.
Таким образом, выбор начала отсчета координаты в положении
статического равновесия позволяет получить наиболее простую форму
дифференциального уравнения движения, что справедливо и для других
случаев колебательного движения.
2.4. Свободные колебания при наличии вязкого
сопротивления
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под
действием восстанавливающей силы и силы сопротивления. Дифференциальное уравнение такого движения получим, воспользовавшись (2.1),
при h = 0
(2.11)
x  2nx  k 2 x  0 .
Его характеристическое уравнение 2  2n  k 2  0 имеет корни
1,2  n  n2  k 2 .
(2.12)
Характер движения точки существенно зависит от соотношения
величин n и k. Рассмотрим три возможных случая этого соотношения.
Случай малого сопротивления  n  k 
Корни характеристического уравнения (2.12) комплексно сопряженные: 1,2  n  k1i , где k1  k 2  n 2 . Общее решение дифференциального уравнения (2.11) имеет вид:
14
x  ent C1 cos k1t  C2 sin k1t  ,
(2.13)
где постоянные интегрирования С1 и С2 определяют из начальных условий.
Введем новые постоянные А и φ0 с помощью соотношений
A  C12  C22 ; sin 0 
C1
C
; cos 0  2 ,
A
A
тогда из уравнения (2.13) получим
x  Ae nt sin  k1t  0  .
(2.14)
Это уравнение описывает затухающие колебания, график которых приведен на рис. 2.6. Они не являются периодическими, но промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну и ту же сторону остается неизменным. Эту величину условно называют периодом затухающих колебаний:
T1  2 / k1 , где k1 – частота затухающих колебаний.
Скорость затухания колебаний характеризуется отношением величин двух последовательных максимальных отклонений точки от положения равновесия в одну и ту же сторону

x  t1 
x  t1  T1 

Ae nt1
 enT1 ,
Ae n (t1 T1 )
которое называют декрементом колебаний. Используют также натуральный логарифм этой величины Δ = ln = nT1 , называемый логарифмическим декрементом колебаний. Поскольку частота затухающих колебаний
k1 меньше частоты незатухающих колебаний k, появление силы сопротивления приводит к увеличению периода колебаний: T1  T . Это изменение может быть весьма незначительным и поэтому основным влиянием,
которое оказывает сила сопротивления на свободные колебания, является
качественное изменение характера колебаний, которые становятся затухающими.
15
x
A
T1
x  Aent
x0
O
-A
t
x   Aent
t1  T1
t1
Рисунок 2.6
Случай критического сопротивления  n  k 
Корни характеристического уравнения (2.12) вещественные, равные и отрицательные 1   2  n , а общее решение дифференциального
уравнения (2.11) имеет вид:
(2.15)
x  e nt  C1  C2t  .
Случай большого сопротивления  n  k 
Корни характеристического уравнения (2.12) вещественные, отрицательные и различные, а общее решение дифференциального уравнения (2.11) имеет вид:
x  C1e1t  C2 e2t .
В двух последних случаях движение точки теряет
колебательный характер и становится апериодическим. В
зависимости от величины и
направления начальной скорости график колебаний имеет
вид одной из трех кривых,
приведенных на рис. 2.7.
16
(2.16)
x
x0
O
t
Рисунок 2.7
2.5. Вынужденные колебания. Общий случай
Колебания, которые совершает материальная точка под действием восстанавливающей силы, силы сопротивления и возмущающей силы,
называют вынужденными. Их описывают неоднородным дифференциальным уравнением (2.1), которое имеет общее решение
x  x1  x2 ,
(2.17)
где x1 – общее решение однородного уравнения (2.11); x2 – частное решение неоднородного уравнения (2.1).
Как уже было показано, при любых соотношениях n и k общее
решение уравнения (2.11) является затухающим, о чем свидетельствуют
выражения (2.13), (2.15) и (2.16). Поэтому через достаточно большой
промежуток времени после начала движения в решении (2.17) остается
только слагаемое x2 , которое будем искать в виде:
x2  A2 sin  pt    .
(2.18)
x2  A2 p cos  pt    ; x2   A2 p2 sin  pt    ,
(2.19)
Определим производные:
затем преобразуем правую часть уравнения (2.1)
h sin pt  h sin  pt       h sin  pt    cos   hco s  pt    sin 
и подставим в него выражения (2.18) и (2.19)
 A2 p2 sin  pt     2nA2 p cos  pt     k 2 A2 sin  pt    
 h sin  pt    cos   h cos  pt    sin .
Для того чтобы полученное равенство выполнялось тождественно, приравняем коэффициенты при sin  pt    и cos  pt    в левой и правой
его частях: A2  k 2  p 2   h cos ; 2npA2  h sin  и найдем
17
h
A2 
k
2
p

2 2
; tg =
 4n p
2
2
2np
.
k 2  p2
(2.20)
Так как A2  0,   0,  и полностью определяется своим тангенсом.
Таким образом, уравнение вынужденных колебаний имеет следующий вид:
h
(2.21)
x2 
sin  pt    .
2
2 2
2 2
k  p  4n p


Из него следует, что вынужденные колебания являются незатухающими,
а их частота и период равны частоте и периоду возмущающей силы.
Преобразуем выражение для амплитуды вынужденных колебаний
h
k2
A 
.
(2.22)
2
2
2
2
  p 2 
n  p
1      4     
k k 
  k  
Отношение частоты возмущающей силы p к частоте свободных гармонических колебания k называют коэффициентом расстройки. Примем обозначения:
z
p
n
; b ;
k
k
A0 
h H0m H0


,
mc
c
k2
где A0 – статическое отклонение точки от положения равновесия под
действием постоянной силы H 0 . Введем в рассмотрение коэффициент
динамичности η, равный отношению амплитуды вынужденных колебаний A2 к величине статического отклонения A0 ,

A2

A0
1
1  z 
2 2
.
(2.23)
 4b2 z 2
Этот коэффициент зависит от двух параметров, что показано на рис. 2.8,
где приведены кривые зависимости коэффициента динамичности η от
18
коэффициента расстройки z для различных значений безразмерного коэффициента вязкости b.
Исследуем на экстремум подкоренное выражение знаменателя
формулы (2.23):
y  1  z 2   4b2 z 2 ,
2
(2.24)
для чего приравняем нулю производную
y 
dy
 2 1  z 2   2 z   8b 2 z  0 .
dz
(2.25)
Неотрицательные корни этого уравнения: z1  0; z2  1  2b 2 . Корень
z2  1 и остается вещественным, если 1  2b2  0 или b 
2-ю производную функции (2.24):
y 
2
. Определим
2
d2y
 12 z 2  4  8b2 .
dz 2
2
получим y   12 1  2b 2   4  8b 2  8  16b 2  0 , а при
2
2
получим y   8b 2  4  0 , т.е. функция y имеет миниz  z1  0 и b 
2
мум при z  z2 и максимум – при z  z1 , а коэффициент динамичности
имеет максимум при z  z2 и минимум – при z  z1 . Подставим значения
z1 и z 2 в формулу (2.23), тогда
При z  z2 и b 
 z  z1  0  1; max   z  z2 
1
2b 1  b 2
,
(2.26)
где max – максимальное значение коэффициента динамичности при заданном b , при b 
2
имеем max = 1.
2
19

3
b =0
b = 0,2
2
b = 0,4
b = 0,5
1
b= 2/2
b =1
0
1
2
z
Рисунок 2.8
Таким образом, как видно из рис. 2.8, при малых значениях b, т.е.
2
, и z  1  2b2 происходит резкое увеличение коэффициента ди2
намичности η и, следовательно, амплитуды вынужденных колебаний A2 .
С увеличением коэффициента b, т.е. с ростом сопротивления среды, максимумы амплитуды уменьшаются и сдвигаются влево.
b
20
2
уравнение (2.25) имеет только один вещественный
2
корень z1  0 , при котором y   8b 2  4  0 , т.е. функция y имеет минимум, а коэффициент динамичности η – максимум.
Фаза вынужденных колебаний  pt    отстает от фазы возмущающей силы pt на величину ε, называемую сдвигом фаз. Из формулы
(2.20) получим
n  p
2   
2bz
k
k
.
(2.27)
tg     2  
1 z2
 p
1  
k
При b
Кривые зависимости сдвига фаз ε от коэффициента расстройки z для различных значений коэффициента b приведены на рис. 2.9. При z = 1 сдвиг
фаз равен π/2 при любых значениях b, при дальнейшем росте z сдвиг фаз
стремится к π.
ε
b =0
b = 0,1
b = 0,2
π
π/2
b =1
b =0
0
1
2
z
Рисунок 2.9
21
2.6. Вынужденные колебания в среде без сопротивления
В случае отсутствия сопротивления (n = 0) при p  k из формулы
(2.20) получим, что A2 
h
; tg  0 , и уравнение вынужденных
k  p2
2
колебаний примет вид:
x2  A2 sin pt 
h
sin pt ,
k 2  p2
(2.28)
а коэффициент динамичности

A2
A0

1
(2.29)
1 z2
будет иметь разрыв 2-го рода при z = 1 (это кривая на рис. 2.8 при b = 0).
Если p  k  z  1 , то A2  0 и фаза вынужденных колебаний совпадает с
фазой возмущающей силы. Если p  k
 z  1 , то
A2  0 и
x2   A2 sin pt  A2 sin  pt   ,
т.е. сдвиг фаз ε = π (кривая на рис. 2.9 при b = 0).
В случае совпадения частоты возмущающей силы p и частоты
свободных гармонических колебаний k, называемой собственной частотой, возникает явление резонанса. Тогда частное решение дифференциального уравнения
x  k 2 x  h sin pt ,
(2.30)
которое можно получить из уравнения (2.1) при n = 0, будем искать в виде:
(2.31)
x2  A2t cos pt .
Определим производные:
x2  A2 cos pt  A2 pt sin pt;
x2   A2 p sin pt  A2 p sin pt  A2 p 2t cos pt .
Подставим (2.31) и (2.32) в уравнение (2.30)
2 A2 p sin pt  A2 p 2t cos pt  k 2 A2t cos pt  h sin pt .
22
(2.32)
Учтем, что p = k, тогда 2 A2 p sin pt  h sin pt , откуда получим
A2  
x2  
Таким образом, при резонансе
возникают колебания
с частотой
p = k,
размахи которых с
течением
времени
возрастают неограниченно, причем увеличение размахов пропорционально времени. График таких колебаний приведен на
рис. 2.10.
x2
h
;
2p
h
t cos pt .
2p
x
(2.33)
h
t
2p
t
x
h
t
2p
Рисунок 2.10
Вопросы для самоконтроля
1. Под действием каких сил материальная точка совершает колебания?
2. Какие колебания материальной точки называют свободными?
3. В чем заключается свойство изохронности свободных колебаний?
4. Каково влияние малого сопротивления на свободные колебания материальной точки?
5. Как формулируют условия неколебательного движения материальной точки?
6. Чему равны частота и период вынужденных колебаний?
7. Что такое коэффициент динамичности?
8. Каковы зависимости коэффициента динамичности от частоты
возмущающего воздействия и сопротивления среды?
9. В чем заключается явление резонанса и каковы его условия?
23
Лекция 3. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
3.1. Уравнения относительного движения
Два первых закона динамики и все соотношения, полученные из
них, в том числе и основное уравнение динамики
n
ma   Fk ,
(3.1)
k 1
справедливы только при движении точки относительно инерциальной
системы отсчета.
Рассмотрим движение точки M относительно неинерциальной
системы отсчета (рис. 3.1). Пусть система O1 x1 y1 z1 является инерциальной
(в дальнейшем будем
F
называть ее неподвижz1
2
Fk
ной), а система Oxyz –
F1
M
неинерциальной и двиz
жущейся относительной
неподвижной
системы
ρ
z
y
отсчета. Будем также счиO
тать, что переносное двиx
жение системы Oxyz и
силы, действующие на
y
x
O1
точку M известны. Воспользуемся теоремой Коy1
риолиса, в соответствии с
x1
Рисунок 3.1
которой
абсолютное
ускорение точки a равно геометрической сумме относительного ar , переносного ae и кориолисова ac ускорений:
a  ar  ae  ac .
Подставляя (3.2) в уравнение (3.1), получим
n
mar  mae  mac   Fk
k 1
или
24
(3.2)
n
mar   Fk   mae    mac  .
(3.3)
k 1
Введем векторы
Φe  mae , Φc  mac ,
(3.4)
называемые переносной и кориолисовой силами инерции, тогда уравнение
(3.3) примет вид:
n
mar   Fk  Φe  Φc .
(3.5)
k 1
Оно представляет собой основное уравнение динамики относительного
движения материальной точки. Таким образом, если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить переносную и кориолисову силы инерции, то уравнение относительного движения точки
(3.5) сохранит форму основного уравнения динамики (3.1).
Для определения сил инерции необходимо найти соответствующие ускорения точки. Воспользуемся известными из кинематики соотношениями. Переносное ускорение представим как абсолютное ускорение
точки, неизменно связанной с подвижной системой отсчета:
ae  ao        ,
где ao – ускорение начала координат подвижной системы; ,  – угловое
ускорение и угловая скорость подвижной системы;  – радиус-вектор
точки в подвижной системе координат. Кориолисово ускорение
ac  2 vr , где vr – относительная скорость точки. Как следует из выражений (3.4), силы инерции Φe , Φc направлены противоположно ускорениям ae , ac .
Сопоставление уравнений (3.1) и (3.5) показывает, что в инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки является лишь
результатом действия на нее сил, т.е. взаимодействия с другими телами. В
неинерциальной системе отсчета ускорение материальной точки зависит
как от действующих на нее сил, так и от движения самой системы отсчета.
25
Спроецируем векторное уравнение (3.5) на оси подвижной системы Oxyz и получим дифференциальные уравнения относительного
движения материальной точки:
n
mx   Fkx  Φex  Φcx ;
k 1
n
my   Fky  Φey  Φcy ;
(3.6)
k 1
n
mz   Fkz  Φez  Φcz ,
k 1
где x, y, z – проекции относительного ускорения на оси подвижной системы.
Рассмотрим в качестве примера использования уравнений относительного движения явление размыва берегов рек. Как известно, в северном полушарии правые берега рек, текущих вдоль меридиана, обычно
обрывистые, а левые – пологие. Для объяснения этого явления возьмем
некоторый объем воды М, заключенный между двумя сечениями реки,
текущей с юга на север (рис. 3.2). На этот объем действует сила притяжения Земли G0 , реакция дна N
y
z
vr
и реакция берега F . Для записи уравнения движения в неN
инерциальной системе отсчета,
Φc
ae
M
связанной с Землей, введем
х
ac
переносную Φ e и кориолисову
F
Φ
e
G0
Φ c силы инерции. Переносное

ускорение ae направлено к оси
O
вращения Земли, так как Земля
вращается равномерно с углоω
вой скоростью  , а переносная
сила инерции – в противоположную сторону. Кориолисово
ускорение ac  2 vr направРисунок 3.2
лено на запад, а кориолисова
сила инерции – на восток.
26
Уравнение относительного движения имеет вид:
mar  G0  N  F  Φe  Φc .
Спроецируем его на ось Mx, направленную на восток вдоль касательной к
параллели, учитывая, что относительное ускорение ar лежит в плоскости
меридиана, и получим Φc  F  0 или F  Φc . Таким образом, реакция
берега действительно направлена влево, если смотреть по течению реки.
Следовательно, сила давления воды, по 3-му закону динамики, действует
противоположно, т.е. на правый берег, постепенно его размывая. Это
правило не изменяется и для рек, текущих с севера на юг. В южном полушарии, напротив, размываются левые берега рек.
3.2. Принцип относительности классической механики
Предположим, что подвижная система отсчета движется поступательно, равномерно и прямолинейно. При этом угловая скорость  и угловое ускорение  подвижной системы координат, а также ускорение ее
начала aO равны нулю. Следовательно, равны нулю переносное ae , кориолосово ac ускорения и обе силы инерции Φ e , Φ c . Теперь уравнение
(3.5) примет вид:
n
mar   Fk .
(3.7)
k 1
Сравнивая уравнения (3.1) и (3.7), приходим к выводу о том, что
в рассматриваемом случае последнее уравнение, определяющее относительное ускорение материальной точки, совпадает с основным уравнением динамики (3.1), определяющим ее абсолютное ускорение. Таким образом, движение материальной точки относительно системы отсчета, движущейся поступательно, равномерно и прямолинейно, происходит так
же, как и относительно неподвижной системы отсчета, т.е. подвижная
система является инерциальной.
Действительно, если правая часть уравнения (3.7) равна нулю, то
из него получим ar  0 , откуда следует, что точка движется равномерно и
прямолинейно, т.е. выполняется 1-й закон динамики. Так как законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, никакие механические эксперименты, проводимые в инерциальной системе отсчета,
27
не могут обнаружить, находится ли она в покое или движется поступательно, равномерно и прямолинейно. В этом состоит открытый Галилеем
принцип относительности классической механики.
3.3. Условия относительного покоя. Сила тяжести
Пусть материальная точка под действием приложенных к ней сил
находится в состоянии относительного покоя, т.е. не движется относительно подвижной системы отсчета Oxyz. В этом случае относительная
скорость vr и относительное ускорение ar точки равны нулю, следовательно, равна нулю и кориолисова сила инерции Φ c . Уравнение относительного покоя получим из уравнения (3.5)
n
F
k 1
k
 Φe  0 .
(3.8)
Таким образом, если материальная точка находится в состоянии
относительного покоя, геометрическая сумма действующих на нее сил и
переносной силы инерции равна нулю. Следует отметить, что выполнения условия (3.8) не означает, что после сообщения точке начальной скорости она будет двигаться равномерно и прямолинейно относительно подвижной системы, как это имеет место в инерциальной системе отсчета.
Действительно, при появлении относительной скорости, во-первых, возникает кориолисово ускорение ac и кориолисова сила инерции
Φc  mac , во-вторых, может измениться переносное ускорение, зависящее от положения точки в подвижной системе отсчета, что приведет к
изменению переносной силы инерции Φe  mae . Таким образом, правая
часть уравнения (3.5) будет отлична от нуля, и точка будет иметь относительное ускорение ar  0 .
Рассмотрим в качестве примера материальную точку М, подвешенную на нити и находящуюся в покое относительно Земли (рис. 3.3).
Запишем условие относительного покоя (3.8) и получим
T  G0  Φe  0 ,
(3.9)
где T – реакция нити; G0 – сила притяжения Земли, направленная к ее
центру; Φ e – переносная сила инерции, которая вследствие равномерного
28
вращения Земли имеет только центробежную составляющую, направленную от ее оси вращения. Модуль силы инерции
Φe  mae  m2  mR2 cos  ,
ae
М
T
Φe
К
G0

mg
φ
О
ω
Рисунок 3.3
где ρ = МК – радиус географической параллели; R – радиус Земли; ω –
угловая скорость вращения Земли; φ – геоцентрическая широта. Силу,
равную по модулю и направленную противоположно реакции T , называют силой тяжести и обозначают через mg . Таким образом, сила тяжести равна геометрической сумме силы притяжения G0 и силы инерции
Φ e , вызванной вращением Земли:
mg  G0  Φe .
Направление силы тяжести mg определяет направление вертикали в данной точке земной поверхности, а плоскость, перпендикулярная силе mg ,
является горизонтальной.
29
Сила инерции Φ e очень мала по сравнению с силой тяжести, что
видно из отношения их модулей
Φe mR2 cos  R2 cos 


.
mg
mg
g
Оно максимально на экваторе (1/290) и равно нулю на полюсе. Отклонение линии отвеса от направления радиуса Земли максимально на широте
450 и составляет 6  . Таким образом, сила тяжести mg и по модулю, и по
направлению мало отличается от силы притяжения G0 . Ускорение свободного падения g максимально на полюсе (9,83 м/с2) и минимально на
экваторе (9,78 м/с2).
Пример. Тело массой m находится на гладкой наклонной грани
призмы, движущейся по горизонтальной поверхности, как показано на
рис. 3.4.
y
N
O
Φe
ae
α
G
Рисунок 3.4
α
x
Определить:
1) Каким должно быть ускорение призмы, чтобы тело не двигалось относительно нее?
2) Каково давление тела на призму, если угол наклона равен α?
На тело действуют сила тяжести G  mg и нормальная реакция
N гладкой плоскости. Условно приложим к телу переносную силу инер-
30
ции, модуль которой Φe  mae , и запишем для полученной системы сил
уравнение равновесия
G  N  Φe  0 .
Спроецируем его на оси x и y подвижной системы координат:
G sin   Φe cos   0 ;
(3.10)
N  G cos   Φe sin   0 .
(3.11)
Теперь получим:
из уравнения (3.10)
mg sin   mae cos   0 , откуда ae  gtg ;
из уравнения (3.11)
N  mg cos   mae sin   mg cos   mgtg sin  
 mg  cos   sin   tg  
mg
.
cos 
Вопросы для самоконтроля
1. Чему равна переносная сила инерции?
2. Чему равна кориолисова сила инерции?
3. Какой вид имеет основное уравнение динамики относительного движения материальной точки?
4. Чем объяснить явление размыва берегов рек, текущих вдоль
меридиана?
5. Как сформулировать принцип относительности классической
механики?
6. Каковы условия относительного покоя?
7. Чему равна сила тяжести материальной точки?
8. Как зависит сила тяжести материальной точки от географической широты?
31
Лекция 4. МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.
ТВЕРДОЕ ТЕЛО И ЕГО МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
4.1. Масса и центр масс механической системы
Механической системой называют любую совокупность материальных точек. В частности, любое твердое тело, которое можно представить как совокупность его частиц, образует механическую систему. Масса механической системы равна сумме масс материальных точек, образующих эту систему:
N
m   mj ,
(4.1)
j 1
где N – число всех точек системы.
Центром масс механической системы называют геометрическую
точку, радиус-вектор которой rc и декартовы координаты xc , yc , zc :
xc 
1 N
 mj xj ;
m j 1
rc 
1 N
 m j rj ;
m j 1
(4.2)
yc 
1 N
1 N
m j y j ; zc   m j z j ,

m j 1
m j 1
(4.3)
где rj , x j , y j , z j – радиус-вектор и координаты j-й точки системы.
4.2. Внешние и внутренние силы
Все силы, действующие на точки механической системы, можно
разделить на внешние и внутренние. Внешними называют силы, действующие на точки механической системы со стороны тел, не входящих в
состав данной системы. Внутренними называют силы взаимодействия
между материальными точками рассматриваемой системы. Введем обозначения: внешние силы – F e , внутренние – F i , где индексы e, i – первые буквы французских слов «exterieur» (внешний) и «interieur» (внутренний).
Из 3-го закона динамики следует, что для каждой внутренней
силы существует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и направленная вдоль той же прямой в противоположную сторону. Таким образом, геометрическая сумма этих сил, а также сумма их моментов относи-
32
тельно произвольной точки равны нулю, что позволяет сформулировать
следующие свойства внутренних сил:
1) геометрическая сумма всех внутренних сил (главный вектор)
системы равна нулю:
N
R i   Fji  0 ;
(4.4)
j 1
2) геометрическая сумма моментов всех внутренних сил (главный
момент) системы относительно произвольной точки О равна нулю:
N
 
M Oi   M O Fji  0 ,
j 1
(4.5)
где Fji – равнодействующая внутренних сил, действующих на j-ю точку.
4.3. Моменты инерции твердого тела
Инертность поступательно движущегося тела, как и одной материальной точки, полностью определяется его массой. При более сложном
движении тела необходимо учитывать распределение массы в пространстве. Характеристиками такого распределения являются моменты инерции.
Проведем
через
z
произвольную точку О три
взаимно перпендикулярные
Dj
координатные оси x, y, z и
представим тело как совокупность материальных тоM j  xj , yj , z j 
чек (рис. 4.1). Моментом
инерции твердого тела относительно оси (осевым
zj
моментом инерции) назыBj
вают величину, равную
сумме произведений масс
O
Aj
y
всех точек тела на квадраты
xj
их расстояний от данной
yj
оси.
Обозначив моменты
инерции тела относительно
x
Рисунок 4.1
33
осей x, y, z через I x , I y , I z и опустив из точки M j перпендикуляры
M j Aj , M j B j , M j D j на эти оси, получим
M A 
j
j
2
M B 
 y 2j  z 2j ;
j
j
2
 x 2j  z 2j ;
M
D j   x 2j  y 2j ;
2
j
I x   m j  y 2j  z 2j ; I y   m j  x 2j  z 2j ; I z   m j  x 2j  y 2j  .
N
N
N
j 1
j 1
j 1
(4.6)
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси,
например, оси z , можно представить в виде произведения массы тела на
квадрат величины, называемой радиусом инерции iz тела относительно
данной оси:
I z  miz2 .
(4.7)
Таким образом, радиус инерции iz равен расстоянию от оси z до точки, в
которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции
точки относительно этой оси был равен моменту инерции тела.
Моментом инерции твердого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называют величину, равную сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от данного полюса.
Обозначив через I O момент инерции тела относительно начала координат
О, запишем
I O   m j  M j 0   m j  x 2j  y 2j  z 2j  .
N
2
j 1
N
(4.8)
j 1
Сравнивая формулы (4.6) и (4.8), можно определить зависимости между
осевыми и полярным моментами инерции
IO 
1
 Ix  I y  Iz  .
2
(4.9)
Осевые и полярные моменты инерции – величины неотрицательные. Осевой момент инерции равен нулю только в том случае, когда вся масса
тела распределена вдоль оси, относительно которой этот момент определяют.
Для характеристики распределения массы тела используют также
центробежные моменты инерции, определяемые равенствами:
34
N
N
N
j 1
j 1
j 1
I xy   m j x j y j ; I yz   m j y j z j ; I zx   m j z j x j .
(4.10)
Из приведенной формулы видно, что центробежные моменты инерции
симметричны относительно своих индексов: I xy  I yx ; I yz  I zy ; I zx  I xz .
Они зависят как от направления координатных осей, так и от выбора
начала координат. В отличие от осевых и полярных, центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными и нулевыми.
Если оба центробежных момента инерции, содержащие в индексах обозначение некоторой оси, равны нулю, то эту ось называют главной
осью инерции тела в данной точке. Пусть I xy  I zy  0 , тогда
ось y – главная ось инерции. Если эта ось проходит через центр масс тела,
то ее называют главной центральной осью инерции.
Отметим два частных случая.
■ Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то для
любой ее точки ось, перпендикулярная этой плоскости, является главной
осью инерции.
■ Если тело имеет ось материальной симметрии, то она является
главной центральной осью инерции тела. Под материальной симметрией
понимают не только геометрическую симметрию, но и симметричное
распределение плотности.
4.4. Моменты инерции тела относительно параллельных
осей
Рассмотрим соотношение между моментами инерции твердого
тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через
центр масс тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен его моменту инерции относительно оси,
параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с
произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для доказательства теоремы используем координатные системы
Cx1 y1 z1 и Oxyz (рис. 4.2), у которых оси Ox и Сx1 совпадают, Oy // Cy1 ,
Oz // Cz1 , где C – центр масс тела. Рассмотрим моменты инерции тела относительно осей Oz и Cz1 , расстояние между которыми равно d.
35
Соотношения между координатами произвольной точки M j , определяемыми в системах Cx1 y1 z1 и Oxyz , будут такими: x j  x1 j  d ;
соответствии с формулами (4.6) получим
y j  y1 j . В
2
I Oz   m j  x 2j  y 2j    m j  x1 j  d   y12j  


j 1
j 1
N
N
  m j  x12j  y12j  2dx1 j  d 2  
N
j 1
  m j  x12j  y12j   2d  m j x1 j  d 2  m j ,
N
N
N
j 1
j 1
j 1
(4.11)
где
m x
 y12j   I Cz1 ;
N
j 1
2
1j
j
N
m
j 1
j
m.
y j  y1 j
z1
d
z
C
x1 j
Mj
y1
xj
y
O
x, x1
Рисунок 4.2
Из формул (4.3), определяющих координаты центра масс, следует, что
N
m x
j 1
36
j 1j
 mx1C  0,
так как x1C  0 . Из формулы (4.11) получим
I Oz  I Cz1  md 2 .
(4.12)
Таким образом, если рассмотреть систему параллельных осей, то
наименьший момент инерции тело имеет относительно оси, проходящей
через центр масс.
4.5. Примеры определения моментов инерции
однородных тел
4.5.1. Определим момент инерции тонкого однородного стержня
постоянного сечения относительно оси z, перпендикулярной оси стержня
и проходящей через его конец (рис. 4.3). Разделим стержень по длине на
малые элементы. Массу
O
Δx j
элемента
длиной
z
найдем из равенства
m j  Δx j ,
xj
0,5l
Δx j
C
где   m / l – масса единицы длины стержня, m и l –
его масса и длина.
Момент инерции
стержня определим по 3-й
формуле (4.6), положив,
что y j  0 ,
z1
0,5l
x
N
N
j 1
j 1
I Oz   m j x 2j   x 2j Δx j .
Рисунок 4.3
Переходя к пределу суммы, получим определенный интеграл
l
I Oz    x 2 dx 
0
m x3

l 3
l
0

ml 3 ml 2

.
3l
3
(4.13)
Для определения момента инерции стержня относительно оси Cz1 , проходящей через его центр масс параллельно оси Oz , используем соотношение (4.12)
37
2
l
I Oz  I Cz1  m   ,
2
откуда получим
ICz1  IOz 
ml 2 ml 2 ml 2 ml 2
.



4
3
4
12
(4.14)
4.5.2. Определим момент инерции круглого однородного цилиндра относительно его продольной оси Cz (рис. 4.4). Пусть радиус цилиндра равен R, а его масса m.
z
R
rj
Δrj
C
Рисунок 4.4
Построим цилиндрическую трубку радиусом rj и толщиной Δrj .
Масса этой трубки m j  ΔS j , где ΔS j – площадь кольца, ΔS j  2rj Δrj ;
 – масса цилиндра, соответствующая единице площади основания,

38
m
.
R 2
Так как все элементы трубки находятся на одинаковом расстоянии rj от ее оси, момент инерции цилиндра найдем по формуле
N
N
j 1
j 1
I Cz   m j rj2  2 rj3Δrj .
Переходя к пределу суммы, получим определенный интеграл
R
I Cz  2  r 3 dr  2
0
m r4

R 2 4
R
0

mR 2
.
2
(4.15)
Вопросы для самоконтроля
1. Как определить положение центра масс механической системы?
2. Как записать выражение для декартовых координат центра
масс?
3. Что такое внешние и внутренние силы?
4. Каковы свойства внутренних сил?
5. Что такое осевые, полярные и центробежные моменты инерции
твердого тела?
6. Как сформулировать теорему о моментах инерции тела относительно параллельных осей?
39
Лекция 5. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
5.1. Общие теоремы динамики. Меры механического
движения и меры действия сил
Как уже отмечалось, любая механическая система может быть
представлена как совокупность материальных точек. Движение каждой из
них описывается дифференциальным уравнением вида (1.3) и, следовательно, движение всей системы определяется дифференциальными уравнениями
d 2 rj
(5.1)
m j 2  Fje  Fji , j  1, N ,
dt
где F je , Fji – равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на j-ю точку системы. Непосредственное использование уравнений (5.1) для исследования механической системы ограничивается как
количеством ее точек, так и необходимостью учета внутренних сил, которые в большинстве случаев являются неизвестными.
Рассматриваемые ниже общие теоремы динамики позволяют
определять общие динамические характеристики движения системы, не
исследуя движение ее отдельных точек. Они устанавливают соотношения
между мерами механического движения (количеством движения, кинетическим моментом и кинетической энергией) и мерами действия силы
(импульсом, моментом и работой силы).
5.2. Количество движения материальной точки
и механической системы
Количество движения материальной точки – это векторная мера
механического движения, равная произведению массы точки на ее скорость, mv . Единица измерения количества движения в системе СИ –
1кг  м/с . Количество движения механической системы равно сумме количеств движений всех материальных точек, образующих систему:
N
K   mjvj .
j 1
Преобразуем полученную формулу
40
(5.2)
N
drj
j 1
dt
K   mj
N
m r
Согласно формуле (4.2)
j 1
K

d N
 m j rj .
dt j 1
 mrC , поэтому
j j
dr
d
 mrC   m C  mvC .
dt
dt
Таким образом, количество движения механической системы
равно произведению ее массы на скорость центра масс:
K  mvC .
(5.3)
Поскольку количество движения системы определяется движением только одной ее точки (центра масс), оно не может быть полной характеристикой движения системы. Действительно, при любом движении системы, когда ее центр масс остается неподвижным, количество движения
системы равно нулю. Например, это имеет место при вращении твердого
тела вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.
Введем систему отсчета Cxyz, имеющую начало в центре масс
механической системы С и движущуюся поступательно относительно
инерциальной системы Ox1 y1 z1 (рис. 5.1). Тогда движение каждой точки
M j можно рассматривать как
z
M1
z1
C
x
O
x1
M2
y
MN
y1
Рисунок 5.1
сложное: переносное движение
вместе с осями Cxyz и движение относительно этих осей. В
силу поступательности движения осей Cxyz переносная скорость каждой точки равна скорости центра масс системы, и
количество движения системы,
определяемое по формуле (5.3)
, характеризует только ее поступательное переносное движение.
41
5.3. Импульс силы
Для характеристики действия силы за некоторый промежуток
времени используют величину, называемую импульсом силы. Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:
dS  Fdt .
(5.4)
Единица измерения импульса силы в системе СИ равна 1Н  с  1кг  м/с ,
т.е. размерности импульса силы и количества движения одинаковы.
Импульс силы за конечный промежуток времени t1 , t2  равен
определенному интегралу от элементарного импульса:
t2
S   Fdt .
(5.5)
t1
Импульс постоянной силы равен произведению силы на время ее действия:
(5.6)
S  F  t2  t1   F  .
В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям
на координатные оси:
t2
t2
t2
t1
t1
t1
S x   Fx dt ; S y   Fy dt ; S z   Fz dt .
(5.7)
5.4. Теорема об изменении количества движения
материальной точки
В основном уравнении динамики (1.2) масса материальной точки
– величина постоянная, ее ускорение a  dv / dt , что дает возможность
записать это уравнение в виде:
n
d
(5.8)
 mv    Fk .
dt
k 1
Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме: Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме (главному вектору) действующих на точку сил.
42
Теперь получим интегральную форму этой теоремы. Из соотношения (5.8) следует, что
n
d  mv    Fk dt .
k 1
Проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих моментам времени t1 и t2 ,
v2
n t2
v1
k 1 t1
 d  mv     F dt .
k
(5.9)
Интегралы в правой части представляют собой импульсы сил, действующих на точку, поэтому после интегрирования левой части получим
n
mv2  mv1   Sk .
(5.10)
k 1
Таким образом, доказана теорема об изменении количества
движения материальной точки в интегральной форме: Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на точку сил
за тот же промежуток времени.
Векторному уравнению (5.10) соответствует система трех уравнений в проекциях на координатные оси:
n
mv2 x  mv1x   Skx ;
k 1
n
mv2 y  mv1 y   Sky ;
(5.11)
k 1
n
mv2 z  mv1z   Skz .
k 1
Пример 1. Тело движется поступательно по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. В начальный момент времени оно
имело скорость v1 , направленную вверх по наклонной плоскости
(рис. 5.2).
Через какое время скорость тела станет равной нулю, если коэффициент трения равен f ?
Примем поступательно движущееся тело за материальную точку
и рассмотрим действующие на него силы. Это сила тяжести mg , нор-
43
мальная реакция плоскости N и сила трения Fтр . Направим ось x вдоль
наклонной плоскости вверх и запишем 1-е уравнение системы (5.11)
 
 
mv2 x  mv1x  S x  mg   S x N  S x Fтр ,
(5.12)
где проекции количеств движения mv1x  mv1 ; mv2 x  0 , а проекции импульсов постоянных сил mg , N и Fтр равны произведениям проекций
сил на время движения:
 
 
S x  mg   mg sin   t; S x N  0; S x Fтр   Fтр t .
N
y
Fтр
mv1
α
v2  0
х
α
mg
Так как ускорение тела
направлено вдоль наклонной плоскости, сумма проекций на ось y
всех действующих на тело сил равна нулю: N  mg cos   0 , откуда
следует, что N  mg cos  . Найдем
силу трения
Fтр  fN  fmg cos 
Рисунок 5.2
и из уравнения (5.12) получим
0  mv1  mg sin   t  fmg cos   t ,
откуда определим время движения тела
v1
t
.
g  sin   f cos  
5.5. Теорема об изменении количества движения
механической системы
Рассмотрим систему из N материальных точек, для каждой из
которых запишем основное уравнение динамики
m j a j  Fje  Fji ,
Сложим почленно все уравнения
44
j  1, N .
N
N
N
m a  F  F
j
j 1
j
e
j
j 1
j 1
N
По 1-му свойству внутренних сил
F
j 1
i
j
i
j
.
(5.13)
 0 . Преобразуя левую часть
уравнения (5.13)
N
j 1
dv j
N
m a  m
j
j
j 1
j
dt

d N
dK
 m j v j  dt ,
dt j 1
получим
N
dK
  Fje  R e ,
dt
j 1
(5.14)
где R e – главный вектор внешних сил системы.
Таким образом, доказана теорема об изменении количества
движения системы в дифференциальной форме: Производная по времени
от количества движения механической системы равна геометрической
сумме (главному вектору) всех внешних сил, действующих на систему.
Векторному уравнению (5.14) соответствуют три уравнения в
проекциях на координатные оси:
dK y
dK x
dK z
 Rxe ;
 Rye ;
 Rze .
dt
dt
dt
(5.15)
Из теоремы вытекают такие следствия:
1) внутренние силы не влияют непосредственно на изменение
количества движения механической системы. Следует заметить, что
внутренние силы не входят в уравнения (5.14) и (5.15), однако они могут
вызывать внешние силы, действующие на систему, и тем самым оказывать косвенное влияние на изменение ее количества движения;
2) если главный вектор внешних сил на рассматриваемом промежутке времени равен нулю, то количество движения системы остается
постоянным. Действительно, если R e  0 , то из уравнения (5.14) следует,
dK
что
 0 , откуда K  const ;
dt
3) если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось
на рассматриваемом промежутке времени равна нулю, то проекция коли-
45
чества движения системы на эту же ось остается постоянной. Так, например, если Rxe  0 , то из 1-го уравнения (5.15) получим
dK x
 0 , т.е. K x  const .
dt
Следствия 2 и 3 выражают закон сохранения количества движения системы.
Пример 2. Груз А удерживается на наклонной плоскости неподвижного клина В с помощью троса. После того, как трос был перерезан,
груз начал двигаться по этой плоскости, наклоненной к горизонту под
углом α (рис. 5.3).
Пренебрегая трением, определить зависимость скорости клина v
от скорости груза vr относительно клина, если массы груза и клина равN
А
vr
v
ны mA и mB .
На систему, состоящую из груза А и клина В,
действуют внешние силы:
mA g , mB g – силы тяжести
груза и клина, N – нормальная реакция гладкой
горизонтальной плоскости.
х
Все они перпендикулярны
mB g
горизонтальной оси х, поРисунок 5.3
этому проекция главного
вектора внешних сил на эту
ось равна нулю. Из следствия 3 получим, что K x  const , т.е. проекция
количества движения системы на ось х не изменяется и, следовательно,
равна своему начальному значению: K x  K x 0 . Но вначале система была
В
mA g
α
неподвижна, т.е. K x 0  0 , и поэтому в любой момент времени K x  0 .
Определим количество движения системы
K  mAvA  mB vB ,
(5.16)
где v A , vB – абсолютные скорости груза и клина, vA  vAr  vAe , vB  v .
Здесь v Ar – относительная скорость груза, vAr  vr ; v Ae – переносная скорость, vAe  vB  v . Поэтому vA  vr  v и из уравнения (5.16) получим
46
K  mA  vr  v   mB v  mAvr   mA  mB  v .
Спроецируем это векторное выражение на ось х и приравняем его
нулю
K x  mAvr cos    mA  mB  vx  0 ,
откуда получим
mA vr cos 
.
mA  mB
Отрицательное значение проекции показывает, что действительное
направление вектора v противоположно тому, которое изображено на
рис. 5.3, т.е. клин В движется влево.
Преобразуем уравнение (5.14), умножив обе его части на dt, и
проинтегрируем в пределах, соответствующих моментам времени t1 , t2
vx  
t2
N
t2
t1
j 1 t1
e
 dK    Fj dt .
Интегралы в правой части этого равенства представляют собой импульсы
внешних сил, поэтому, интегрируя его левую часть, запишем
N
K 2  K1   S ej ,
(5.17)
j 1
где K2  K  t2  , K1  K  t1  .
Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об
изменении количества движения системы в интегральной форме: Изменение количества движения механической системы за некоторый
промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.
Векторное уравнение (5.17) эквивалентно трем уравнениям в
проекциях на координатные оси:
N
K 2 x  K1x   S ejx ;
j 1
N
K 2 y  K1 y   S ejy ;
(5.18)
j 1
47
N
K 2 z  K1z   S ejz .
j 1
5.6. Теорема Эйлера
Остановимся на применении теоремы об изменении количества
движения к сплошной среде. Выделим объем несжимаемой жидкости,
ограниченный в момент времеv1
ни t боковой поверхностью
трубы переменного сечения и
1
1
двумя плоскими поперечными
сечениями, площади которых
1
1 и 2 (рис. 5.4). Обозначим
через v1 и v2 средние скорости
частиц жидкости, протекающей
через эти сечения, а через ρ –
плотность жидкости. При установившемся движении масса
жидкости, протекающей через
любое сечение трубы в единицу времени, постоянна:
0
2
v2
2
2
mс  1v1  2 v2 .
Р и с у н о к 5 .4
Эту массу называют секундной массой.
Пусть за промежуток времени dt выделенный объем жидкости
переместился и занял положение между сечениями 1 и 2 . Определим
изменение количества движения объема за время dt. Обозначим через
K0 , K1 , K2 количества движения жидкости, заключенной между сечениями 1' и 2 , 1 и 1 , 2 и 2 соответственно. Теперь определим количества
движения
в
моменты
времени
t
и
t + dt:
K  t   K 0  K1 ,
K  t  dt   K 0  K 2 , а также изменение количества движения
dK  K  t  dt   K  t   K0  K 2  K0  K1  K 2  K1 ,
48
где K2  mс dt  v2 ; K1  mс dt  v1 , откуда dK  mс dt  v2  mс dt  v1 . Разделив
последнее выражение на dt, получим
dK
 mс v2  mс v1 .
dt
(5.19)
Произведения mс v2 и mс v1 называют секундными количествами движения жидкости в сечениях 1 и 2 .
Внешние силы, действующие на выделенный объем жидкости,
можно разделить на объемные и поверхностные. Объемными называют
силы, действующие на каждую частицу жидкости, независимо от того,
находится ли она внутри выделенного объема или на его поверхности. К
объемным относят, например, силы тяжести частиц жидкости. Поверхностными называют силы, действующие только на частицы, лежащие на
поверхности выделенного объема. Это силы давления стенок трубы на
жидкость, силы трения жидкости о стенки трубы.
Обозначим через Rоб и Rпов главные векторы объемных и поверхностных внешних сил и, используя дифференциальную форму теоремы об изменении количества движения, запишем
dK
 Rоб  Rпов .
dt
(5.20)
Приравнивая правые части (5.19) и (5.20), получим
mс v2  mс v1  Rоб  Rпов
или
Rоб  Rпов  mс v1  mс v2  0 .
(5.21)
Это равенство является математической записью теоремы Эйлера: Сумма главных векторов объемных и поверхностных внешних сил, а также
секундных количеств движения жидкости, протекающей через два поперечных сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств
движения направить внутрь выделенного сечениями объема.
Пример 3. По трубе диаметром d, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей изогнутое под прямым углом колено, течет
вода со скоростью v (рис. 5.5).
49
Определить горизонтальy
ные составляющие главного векmс v1
тора реакций стенок изогнутой
части трубы.
Объемные силы – это сиYпов
450
лы тяжести, перпендикулярные
горизонтальной плоскости xy; поверхностные – реакции стенок
x
X пов
трубы; X пов , Yпов – составляющие
450
главного вектора реакций стенок.
mс v2
Направим векторы секундных
количеств движения mс v1 и mс v2
Рисунок 5.5
внутрь выделенного объема и запишем уравнение (5.21) в проекциях на координатные оси x и y
X пов  mс v1 cos 450  mс v2 cos 450  0;
Yпов  mс v1 sin 450  mс v2 sin 450  0,
где
v1  v2  v ,
поэтому
Yпов  0
и
X пов  2mс v cos 450  2mс v ;
d 2
d 2 2
v ;  – плотность воды, откуда X пов  2
v . Так как
4
4
Yпов  0 , горизонтальная составляющая главного вектора реакций стенок
изогнутой части трубы направлена вдоль оси x.
mс  
Пример 4. Струя жидкости плотностью ρ, вытекающая со скоростью v из трубы, площадь поперечного сечения которой равна σ, встречает на своем пути вертикальную стену (рис. 5.6).
Определить силу давления жидкости на стену, если ось трубы
составляет со стеной угол α.
Этот пример может быть решен, как и предыдущий, как с помощью теоремы Эйлера, так и с использованием интегральной формы теоремы об изменении количества движения.
Рассмотрим интервал времени τ, в течение которого частица
жидкости проходит расстояние от конца трубы до стены. Пренебрегая
влиянием силы тяжести на форму струи, выделим объем жидкости, вытекающей из трубы за время τ. Масса этой жидкости m  v . На нее дей-
50
v
N
v
х
α
ствуют внешние силы: направленная
вертикально вниз сила тяжести, реакция стены N , перпендикулярная
стене, и давление той части жидкости, которая соприкасается с выделенным объемом (это давление ввиду его малости учитывать не будем).
Запишем выражение для
проекции количества движения рассматриваемого объема жидкости в
начальный момент времени K1  mv
на ось х:
K1x  K1 sin   mv sin   v 2  sin  .
В момент времени t2   частицы
выделенного объема жидкости будут
иметь скорости, направленные вдоль
стены, поэтому проекция количества движения K2 x  0 , проекция имР и с у н о к 5 .6
пульса реакции N на ось х: S Nx   N  , а проекция импульса силы тяжести равна нулю. Используем 1-е уравнение (5.18), из которого получим
K 2 x  K1x  S Nx или v 2  sin    N  ,
откуда определим модуль реакции стены N  v 2 sin  . Искомая сила
давления жидкости направлена противоположно реакции N и равна ей
по величине.
5.7. Теорема о движении центра масс механической системы
Преобразуем равенство (5.14), подставив в него количество движения системы в виде (5.3)
N
d
 mvC    Fje .
dt
j 1
Учитывая, что масса системы постоянна, получим
m
N
dvC
  Fje
dt
j 1
51
или
N
maC   Fje  R e .
(5.22)
j 1
Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики точки (1.2),
приходим к следующей формулировке теоремы о движении центра
масс: Центр масс механической системы движется как материальная
точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Спроецируем уравнение (5.22) на оси неподвижной декартовой
системы координат и получим дифференциальные уравнения движения
центра масс:
(5.23)
mxC  Rxe ; myC  Rye ; mzC  Rze .
Сформулируем следствия из теоремы.
1) Внутренние силы не влияют непосредственно на движение
центра масс системы, но могут оказывать косвенное влияние через внешние силы (см. замечание, приведенное в 1-м следствии подраздела 5.5).
2) Если главный вектор внешних сил, действующих на систему,
на рассматриваемом интервале времени равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Положим в уравнении (5.22) R e  0 , тогда ускорение центра масс
aC  0 , т.е. его скорость vC  const . При этом, если начальная скорость
центра масс vC 0  0 , то центр масс находится в покое, а если vC 0  0 , то
центр масс движется равномерно и прямолинейно с этой скоростью.
3) Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось на рассматриваемом интервале времени равна
нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется.
Положив в 1-м уравнении (5.23) Rxe  0 , получим, что
xC  vCx  0 , т.е. vCx  const . Если при этом в начальный момент времени
проекция скорости центра масс vCx 0  0 , то vCx  xC  0, xC  const , т.е.
центр масс не движется вдоль оси х. Остановимся на этом случае подробнее. Предположим, что в начальный момент времени t0 абсциссы точек
системы были равны x10 , x20 ,..., xN 0 , а в момент времени t0  Δt стали равны x10  Δx1 , x20  Δx2 , ..., xN 0  ΔxN . Поскольку в рассматриваемом случае
52
xC  const , из формул (4.3), определяющих координаты центра масс, следует
1 N
1 N
xC   m j x j 0   m j  x j 0  Δx j  ,
m j 1
m j 1
откуда после преобразований получим
N
 m Δx
j 1
j
j
0.
(5.24)
Продолжим изучение движения системы, рассмотренной во 2-м
примере подраздела 5.5.
Пример 5. Определить перемещение Δ клина В за то время, в течение которого груз А, двигаясь по наклонной плоскости, проходит вдоль
нее расстояние l.
Как уже было показано, при движении груза А вниз по наклонной
плоскости клин В перемещается влево (рис 5.7, где вверху показано
начальное, а внизу – конечное положение системы). Так как проекция
главного вектора внешних сил системы на ось х равна нулю и вначале
система была неподвижна, а значит проекция начальной скорости центра
масс vCx 0  0 , при движении системы координата xC не изменяется и выполняется соотношение (5.24). В этом соотношении Δx j – приращения
координат центров масс тел А и В, которые измеряются в неподвижной
системе координат:
ΔxA  l cos   Δ , ΔxB  Δ .
Уравнение (5.24) теперь примет следующий вид:
mA ΔxA  mB ΔxB  0 или mA  l cos   Δ   mB Δ  0 ,
откуда получим
mAl cos 
.
mA  mB
Зафиксируем клин В, поставив упор D, и определим реакцию
упора X D , действующую на клин (рис. 5.8). Так как клин теперь не имеет
возможности перемещаться, центр масс системы при движении груза А
будет изменять свое положение. Запишем уравнение движения центра
масс системы в проекциях на ось х:
Δ=
53
mxC  X D ,
(5.25)
где m  mA  mB .
N
А
В
mA g
α
х
mB g
Δ
l
В
А
α
х
Рисунок 5.7
N
Из формул (4.3) получим
А
mxC  mA xA  mB xB .
В
D
XD
mA g
Дважды продифференцировав это равенство, запишем
α
х
mB g
54
Рисунок 5.8
mxC  mA xA  mB xB .
Так как xB  const ; xB  0 ; xA  aAx , где aA – ускорение груза, которое
определим, записав уравнение движения груза в проекциях на ось x1
А
(рис. 5.9) mA aA  mA g sin  . Из этого
уравнения получим
NA
aA
α
aA  g sin ; aAx  aA cos   g sin  cos .
Окончательно из уравнения (5.25) найдем
α
mA g
Р и с у н о к 5 .9
x1
X D  mxC  mA xA  mA aAx 
1
= mA g sin cos = mA g sin 2 .
2
Вопросы для самоконтроля
1. Какие существуют меры механического движения и меры действия силы?
2. Как определить количество движения материальной точки и
механической системы?
3. Как определить элементарный импульс силы и импульс силы
за конечный интервал времени?
4. Как сформулировать теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы?
5. Как сформулировать теоремы Эйлера и о движении центра
масс механической системы?
55
Лекция 6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
6.1. Кинетический момент материальной точки и
механической системы
Кинетический момент материальной точки М относительно неподвижного центра О – это величина, равная векторному произведению
радиус-вектора этой точки, проведенного из центра О, на ее количество
движения (рис. 6.1):
(6.1)
lO  r  mv .
z
mv
h
γ
lO
M
y
r
O
h1
Векторное произведение
в правой части (6.1) представляет собой момент
вектора mv относительно центра О, отсюда 2-е
название вектора lO –
момент
количества
движения,
lO  M O  mv  .
(6.2)
Вектор lO
направлен
перпендикулярно плоскости, проходящей через
вектор mv и центр О, в
Рисунок 6.1
ту сторону, откуда вектор
mv виден направленным против часовой стрелки относительно этого
центра. Его модуль:
(6.3)
lO  mvh ,
x
mv1
где h – плечо вектора mv относительно центра О.
Единица измерения кинетического момента в системе СИ –
1 кг·м2/с.
Кинетический момент материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось кинетического момента точки
относительно любого центра, выбранного на данной оси (см. рис. 6.1):
56
(6.4)
lz  lO cos  .
Определение кинетического момента относительно оси аналогично вычислению соответствующего момента силы – спроецируем вектор mv на
плоскость, перпендикулярную оси, и определим алгебраический момент
проекции относительно точки пересечения оси и плоскости (см. рис. 6.1):
(6.5)
lz  M z  mv    mv1h1 .
Кинетический момент lz  0 , если, глядя с положительного направления
оси z, видим вектор mv1 направленным против часовой стрелки относительно центра О.
Кинетический момент (главный момент количеств движения)
механической системы относительно неподвижного центра О равен сумме кинетических моментов всех материальных точек системы относительно этого центра:
N
N
j 1
j 1
LO   l jO   rj  m j v j .
(6.6)
Аналогично определяют кинетический момент системы относительно
неподвижной оси:
N
Lz   l jz .
(6.7)
j 1
Определим кинетический момент твердого тела относительно
неподвижной оси вращения z (рис. 6.2).
z
Обозначив через h j расстояние от точки
vj
hj
ческий момент точки относительно оси z
mjvj
Mj
M j до оси вращения, вычислим кинети-
l jz  m j v j hj  m j z h2j ,
а также кинетический момент тела
N
N
j 1
j 1
Lz   l jz  z  m j h 2j .
ω
Рисунок 6.2
(6.8)
По определению (см. подраздел 4.3),
полученная сумма является моментом
57
N
инерции тела относительно оси z: I z   m j h 2j , поэтому из выражения
j 1
(6.8) получим
Lz  I z z .
(6.9)
Таким образом, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на проекцию его угловой скорости на ту же ось.
6.2. Теорема об изменении кинетического момента
материальной точки
Продифференцируем по времени соотношение (6.1)
dlO dr
dv

 mv  r  m
 v  mv  r  ma .
dt
dt
dt
(6.10)
Учтем, что v  mv  0 как векторное произведение коллинеарных вектоn
ров, а в соответствии с выражением (1.2) ma   Fk , и из равенства
k 1
(6.10) получим
 
n
n
n
dlO
 r   Fk   r  Fk   M O Fk .
dt
k 1
k 1
k 1
Таким образом доказана следующая теорема. Производная по
времени от кинетического момента материальной точки относительно
неподвижного центра равна сумме моментов всех сил, действующих на
точку, относительно того же центра:
 
n
dlO
  M O Fk .
dt
k 1
(6.11)
Рассмотрим в качестве примера использования данной теоремы
движение материальной точки под действием центральной силы, т.е. силы, линия действия которой постоянно проходит через некоторую точку,
неподвижную в данной инерциальной системе отсчета. Пусть линия дей-
58
ствия центральной силы F все время проходит через неподвижную точку
 
О (рис. 6.3), тогда M O F  0 и из соот-
lO
ношения (6.11) следует, что
О
F
 
dlO
 MO F  0 .
dt
Таким образом, lO  const , а поэтому
плоскость, проходящая через вектор mv
и центр О, не изменяет своего положения и траектория точки является плоской кривой.
М
mv
Рисунок 6.3
6.3. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы
Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек, и запишем для каждой из них соотношение (6.11)
dl jO
dt
 
 
 M O Fje  M O Fji ,
j  1, N ,
где, как уже отмечалось, Fje , Fji – равнодействующие всех внешних и
внутренних сил, приложенных к j-й точке системы.
Сложим почленно полученные уравнения:
N
dl jO
j 1
dt

 
N
 
N
  M O Fje   M O Fji .
j 1
j 1
(6.12)
 M  F   0 . Преобразуя
N
Из 2-го свойства внутренних сил следует, что
j 1
O
i
j
левую часть уравнения (6.12)
N
dl jO
j 1
dt


dL
d N
l jO  O ,

dt j 1
dt
получим из него
59
 
N
dLO
  M O Fje  M Oe ,
dt
j 1
(6.13)
где M Oe – главный момент внешних сил системы относительно центра О.
Итак, доказана следующая теорема. Производная по времени от
кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.
Векторному уравнению (6.13) соответствуют три уравнения в
проекциях на оси координат:
dLy
dLx
dLz
 M xe ;
 M ye ;
 M ze ,
dt
dt
dt
(6.14)
где M xe , M ye , M ze – главные моменты внешних сил относительно осей x, y,
z. Следует отметить, что уравнения вида (6.14) рекомендуется использовать при рассмотрении системы, в состав которой входит тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Тогда, совмещая одну из координатных
осей с осью вращения, получим уравнение, не содержащее неизвестных
реакций опор вращающегося тела.
Пример 1. Груз А, спускаясь по гладкой наклонной плоскости,
приводит во вращение барабан В посредством намотанного на него троса
(рис. 6.4).
NB
Определить
зависимость угловой
NA
r
скорости барабана
B
от времени, если
A
известны масса гру
GA
за
момент
mA ,
mA v A
инерции
барабана
GB
I z относительно его
α
x
α
GA
оси вращения z,
перпендикулярной
GA
Р и с у н о к 6 .4
плоскости рисунка,
радиус барабана r и
угол наклона α плоскости к горизонту. Массой троса пренебречь и учесть,
что в начальный момент времени система находилась в состоянии покоя.
60
На систему, состоящую из груза А и барабана В, действуют
внешние силы: сила тяжести груза GA и сила тяжести барабана GB , нормальная реакция наклонной плоскости N A и реакция оси барабана N B .
Направим ось z вдоль оси вращения барабана к нам и используем
3-е уравнение системы (6.14):
dLz
 M ze .
(6.15)
dt
Кинетический момент системы относительно оси z равен сумме кинетических моментов груза и барабана. Принимая поступательно движущийся
груз за материальную точку, получим
Lz  LzA  LzB  M z  mAvA   I z z  mAvAr  I z z .
Так как vA  vAx  z r , окончательно запишем
Lz   mA r 2  I z  z .
(6.16)
Для определения главного момента внешних сил относительно
оси z разложим силу GA на составляющие GA и GA , направленные вдоль
наклонной плоскости и по нормали к ней. Силы GA и N A равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны,
поэтому сумма их моментов относительно оси z равна нулю. Силы GB и
NB не имеют моментов относительно оси z, так как их линии действия
пересекают эту ось. Таким образом, главный момент внешних сил относительно оси z
 
M ze  M z GA  GA r  GA sin   r  mA gr sin  .
(6.17)
Теперь подставим (6.16) и (6.17) в уравнение (6.15)
m r
A
2
 Iz 
d z
 mA gr sin  ,
dt
откуда получим
d z 
mA gr sin 
dt .
mA r 2  I z
61
Проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая пределы
изменения переменных:
z
mA gr sin  t
d


dt ;
z
0
mA r 2  I z 0
z 
mA gr sin 
t.
mA r 2  I z
Сформулируем следствия из этой теоремы:
1) внутренние силы не влияют непосредственно на изменение
кинетического момента механической системы, а их косвенное влияние
осуществляется через внешние силы (см. замечание в подразделе 5.5);
2) если главный момент внешних сил относительно некоторого
неподвижного центра на рассматриваемом промежутке времени равен
нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра остается постоянным. Положив в уравнении (6.13) M Oe  0 , получим, что
dLO
 0 и LO  const ;
dt
3) если главный момент внешних сил относительно некоторой
неподвижной оси на рассматриваемом промежутке времени равен нулю,
то кинетический момент системы относительно этой оси остается постоянным. Действительно, если M xe  0 , то из 1-го уравнения (6.14) получим
dLx
 0 и Lx  const .
dt
Второе и третье следствия выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.
Пример 2. В точке D обода однородного диска 1, вращающегося
вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью 0 , находится точечный груз 2, масса которого в два раза меньше массы диска (рис.
6.5а.). В некоторый момент времени груз, являющийся самоходным механизмом, начинает двигаться по хорде DЕ. Радиус диска равен r, СО =
0,5r.
Определить угловую скорость диска 1 при прохождении груза
через середину хорды О, если в этот момент скорость груза относительно
диска равна vr (рис. 6.5б). Силами сопротивления пренебречь.
62
z
Рассмотрим
систему, состоящую из
диска 1 и груза 2. На
нее действуют внешние
силы: сила тяжести
диска G1 , сила тяжести
YB
B
0
XB
E
C
O
G1
1
D
2
G2
ZA
XA
YA
A
x
y
а)
1
Е
vr
r
C
E
ve
O
y
2
0 ,5 r
1
D
груза G2 и составляющие реакций опор
X A , YA ,
Z A , X B , YB .
Моменты всех этих сил
относительно оси z
равны нулю, поэтому
главный момент внешних сил M ze  0 и кинетический
момент
системы относительно
оси z не изменяется,
т.е. Lz  const . Следовательно, Lzн  Lzк , где
Lzн , Lzк – начальный и
конечный
кинетические моменты системы,
соответствующие положениям груза в точках D и O.
В начальный
момент времени диск и
груз представляют собой одно тело, вращающееся вокруг оси z,
поэтому
Lzн  I zн 0 ;
x
б)
Р и с у н о к 6 .5
63
I zн  I z   I z  
1
2
m1r 2
m r2 m
 m2 r 2  1  1 r 2  m1r 2 ;
2
2
2
Lzн  m1r 2 0 .
(6.18)
В конечный момент времени кинетический момент системы равен сумме
кинетических моментов диска и груза:
Lzк  Lz1к  Lz2к  I z1 1  M z  m2 va  ,
(6.19)
где va – абсолютная скорость груза, va  vr  ve . Относительная vr и переносная ve скорости груза в точке О направлены вдоль хорды DE,
ve  1  0,5r ;
M z  m2 va   M z  m2 vr   M z  m2 ve   m2 vr  0,5r  m2 ve  0,5r 
 0,5
m1
r  vr  0,5r 1   0, 25m1r  vr  0,5r 1  .
2
Из равенства (6.19) следует, что
m r2
Lzк  1 1  0, 25m1r  vr  0,5r 1   0, 625m1r 2 1  0, 25m1rvr . (6.20)
2
Приравнивая правые части равенств (6.18) и (6.20)
m1r 2 0  0, 625m1r 2 1  0, 25m1rvr ,
получим 1  1, 60  0, 4
vr
.
r
6.4. Дифференциальное уравнение вращательного движения
твердого тела
Рассмотрим тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω. На него действуют система внешних сил ( F1e ,..., Fne ) и
реакции опор RA , RB (рис. 6.6). Чтобы исключить из рассмотрения неизвестные реакции RA , RB , запишем 3-е уравнение системы (6.14):
 
n
dLz
  M z Fke  M ze .
dt
k 1
64
(6.21)
Поскольку в соответствии с формулой (6.9) Lz  I z z , из уравнения (6.21)
получим
d z
z
Iz
 M ze
(6.22)
dt
RB
В
или
F2e
I z   M ze ,
(6.23)
где φ – угол поворота тела.
Сравнивая последнее
уравнение с дифференциальными уравнениями движения
центра масс (5.23), применяемыми для описания поступательного движения тела, приFne
ходим к выводу об аналогичности структур этих уравнеω
RA
ний. Поскольку масса характеризует инертность тела, совершающего поступательное
A
движение, момент инерции I z
является мерой инертности
Рисунок 6.6
тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси.
Рассмотрим в качестве примера
NO
движение под действием силы тяжести физического маятника, т.е. тела, имеющего
горизонтальную ось вращения, которая не
O
проходит через центр масс тела С (рис. 6.7).
h
Обозначим через G силу тяжести физического маятника, NO – реакцию его оси, h –
φ
C
расстояние от оси вращения до центра масс
тела. Совместим ось z с осью вращения
тела и запишем дифференциальное уравнение вращательного движения
I z   Gh sin 
G
или
F1e
Рисунок 6.7
65

Gh
sin   0 ,
Iz
(6.24)
где I z – момент инерции физического маятника относительно оси вращения.
Рассмотрим малые колебания, при которых sin    . Уравнение
(6.24) примет вид:
Gh

0
Iz
или
  k 2  0 ,
(6.25)
Gh
. Полученное уравнение совпадает с уравнением (2.2), опиIz
сывающим свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления. Таким образом, малые свободные колебания физического маятника являются гармоническими
  A sin  kt    ,
где k 2 
где постоянные А и α определяют из начальных условий, а период этих
колебаний находят по формуле
I
2
T
 2 z .
k
Gh
Вопросы для самоконтроля
1. Как определить кинетический момент материальной точки и
механической системы?
2. Чему равен кинетический момент твердого тела относительно
неподвижной оси вращения?
3. Как сформулировать теоремы об изменении кинетического
момента материальной точки и механической системы?
4. Как сформулировать закон сохранения кинетического момента
механической системы?
5. Как записать дифференциальное уравнение вращательного
движения твердого тела?
66
Лекция 7. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
7.1. Кинетическая энергия материальной точки
и механической системы
Рассмотренные в лекциях 5 и 6 меры механического движения –
количество движения и кинетический момент – не описывают движение
системы, происходящее под действием внутренних сил. Приведем в качестве примера систему, состоящую из двух одинаковых шаров, соединенных пружиной (рис. 7.1).
1
2
mv1
mv2
r1
О
r2
Рисунок 7.1
Сожмем пружину и отпустим шары без начальной скорости, поместив их на гладкую горизонтальную плоскость. Под действием внутренних сил (сил упругости пружины) шары будут совершать колебательное движение, причем в любой момент времени их скорости будут равны
по величине и противоположны по направлению  v2  v1  . Количество
движения и кинетический момент этой системы относительно произвольной неподвижной точки О тождественно равны нулю и не отражают
движение системы:
К  mv1  mv2  0 ;
LO  M O  mv1   M O  mv2   0 .
Этого недостатка не имеет рассматриваемая в данной лекции динамическая характеристика – кинетическая энергия.
Кинетическая энергия материальной точки – это скалярная мера
механического движения, равная половине произведения массы точки на
квадрат ее скорости:
67
T
1 2
mv .
2
(7.1)
Единица измерения кинетической энергии в системе СИ – 1 Дж.
Кинетическая энергия механической системы – это сумма кинетических энергий всех материальных точек, образующих систему:
N
m j v 2j
j 1
2
T 
.
(7.2)
Кинетическая энергия является неотрицательной величиной, она равна
нулю только в том случае, если неподвижны все точки системы. Однако и
кинетическая энергия не является универсальной мерой движения, так
как, будучи величиной скалярной, не отражает направление движения.
7.2. Кинетическая энергия твердого тела
Получим формулы для определения кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения.
7.2.1. Поступательное движение
При этом виде движения скорости всех точек тела одинаковы v j  v (рис. 7.2). Из формулы (7.2) следует
v
M1
v
M2
Mj
v
Р и с у н о к 7 .2
N
m j v 2j
j 1
2
T 

v2
2
N
m
j 1
j

mv 2
, (7.3)
2
где m – масса тела.
Таким образом, кинетическая
энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.
7.2.2. Вращательное движение
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с угловой
скоростью ω скорость точки M j (рис. 7.3), находящейся на расстоянии
h j от оси вращения, v j  h j . Из формулы (7.2) получим
68
N
m j v 2j
j 1
2
T 
N
Здесь
m h
j
j 1
2
j

1 N
2 N
2 2
m

h

m j h2j .
 j j 2
2 j 1
j 1
 I z – момент инерции тела относительно оси вращения.
Теперь окончательно запишем
z
T
1
I z 2 ,
2
(7.4)
т.е. кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения его момента
инерции относительно оси вращения на
квадрат угловой скорости тела.
ω
vj
hj
7.2.3. Плоское движение
Mj
Пусть фигура движется в плоскости xOy с угловой скоростью ω, а ее
мгновенный центр скоростей (м.ц.с.)
находится в точке Р (рис. 7.4). Тогда
скорость точки M j , находящейся на
Рисунок 7.3
расстоянии  j от м.ц.с., будет равна
v j   j .
Из формулы (7.2) получим
N
m j v 2j
j 1
2
T 
N
где
m 
j 1
j
2
j

1 N
2
m j 22j 

2 j 1
2
N
m 
j 1
j
2
j
,
 I zP – момент инерции тела относительно оси z P , проходя-
щей через м.ц.с. перпендикулярно плоскости движения.
Таким образом, кинетическая энергия тела при его плоском движении
1
T  I zP 2 .
(7.5)
2
69
Непосредственное использование этой формулы осложнено тем, что момент инерции I zP в общем случае является переменной величиной. Это
связано с изменением положения м.ц.с. плоской фигуры в процессе ее
движения.
vC
y
vj
Mj
С
j
ω
C
zC
P
O
z
Рисунок 7.4
zP
x
Таким образом, кинетическая энергия тела при его плоском движении
T
1
I z 2 .
2 P
(7.5)
Непосредственное использование этой формулы осложнено тем, что момент инерции I zP в общем случае является переменной величиной, Это
связано с изменением положения м.ц.с. плоской фигуры в процессе ее
движения.
Поэтому получим другое соотношение, содержащее постоянный
момент инерции, для чего проведем через центр масс С плоской фигуры
ось zС zP и используем формулу (4.12)
I zP  I zC  mC2 .
Из формул (7.5) и (7.6) следует
70
(7.6)
T


1
1
1
I z  mC2 2  mC2 2  I zC 2 .
2 C
2
2
Ось zC не изменяет свое положение относительно тела, поэтому момент
инерции I zC остается постоянным. Учитывая, что скорость центра масс
vC  C , окончательно получим
T
1 2 1
mvC  I zC 2 .
2
2
(7.7)
Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного
движения вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения.
Пример 1. Определить кинетическую энергию круглого однородного цилиндра, который катится без скольжения по неподвижной
плоскости (рис. 7.5). Масса цилиндра равна
m, скорость его центра масс vC . Мгновенный
центр скоростей цилиндра находится в точке
P касания цилиндра и неподвижной плоскоR
vC
сти, поэтому его угловая скорость
v
v
 C  C .
С
CP R
ω
P
Рисунок 7.5
Момент инерции цилиндра относительно
mR 2
продольной оси I zC 
. Из формулы
2
(7.7) получим
T
1 2 1 mR 2 vC2 3 2
mvC  

 mvC . (7.8)
2
2 2 R2 4
7.3. Работа силы и ее мощность
Для количественного описания результата действия силы при
перемещении точки ее приложения используют понятие работы силы.
71
Пусть точка приложения силы F получила элементарное перемещение
dr (рис. 7.6). Элементарная работа силы – это скалярная мера ее действия, равная скалярному произведению силы
на элементарное перемещение точки ее приF
ложения
(7.9)
d A  F  dr .
α
dr
М
Штрих в обозначении элементарной работы
используют в связи с тем, что она в общем
случае не является полным дифференциалом
Рисунок 7.6
некоторой функции координат точки приложения силы.
Единица измерения работы в системе СИ – 1 Н  м = 1 Дж.
Введем в рассмотрение скорость v точки приложения силы F и
обозначим через α угол между векторами F и dr . Тогда, учитывая, что
dr  vdt , из равенства (7.9) получим
d A  Fdr cos   Fv cos dt .
(7.10)
Таким образом, элементарная работа силы при F  0 и v  0 в зависимо

сти от угла α может быть как положительной  0    , так и отрица2





тельной       , а также равной нулю     .
2
2


Обозначим проекции силы F на координатные оси x, y, z через
Fx , Fy , Fz , а проекции вектора элементарного перемещения dr на те же
оси – через dx, dy, dz , тогда элементарная работа
d A  Fx dx  Fy dy  Fz dz .
Теперь рассмотрим конечное перемещение точки приложения силы, при котором она движется по дуге M 1 M 2 (рис. 7.7), и
будем считать, что сила зависит только от
координат этой точки. Работа силы на перемещении M 1 M 2 будет равна криволинейному интегралу от элементарной работы:
72
(7.11)
M2
М
F
M1
Р и с у н о к 7 .7
A
M2
  F dx  F dy  F dz  .
x
y
z
(7.12)
M1
Если известен закон движения точки
x  x t  ,
y  y t  , z  z t  ,
то, заменяя в уравнении (7.12) проекции силы Fx , Fy , Fz известными
функциями времени Fx t  , Fy t  , Fz t  и учитывая, что
dx  xdt , dy  ydt , dz  zdt ,
приходим к определенному интегралу
t2
t2
t1
t1
A    Fx  t  x  t   Fy  t  y  t   Fz  t  z  t   dt   F  t   v  t  dt ,
(7.13)
где t1 и t2 – моменты прохождения точки приложения силы через точки
M1 и M 2 .
Мощность силы определим как скорость изменения работы в
данный момент времени
N  lim
Δt  0
ΔA d A

 Fv cos   F  v ,
Δt
dt
(7.14)
т.е. мощность силы – это величина, равная скалярному произведению силы
на скорость точки ее приложения. Теперь формулу (7.13) можно переписать в виде:
t2
A   N  t  dt .
(7.15)
t1
Единица измерения мощности в системе СИ – 1 Вт = 1 Дж/с.
7.4. Определение работ некоторых сил
Далее рассмотрим соотношения, позволяющие вычислять работу
наиболее часто встречающихся сил.
73
7.4.1. Работа силы тяжести
Предположим, что центр масс С некоторого тела перемещается
из положения C1 в положение C2 (рис. 7.8), причем размеры самого тела
и траектории C1C2 малы по сравнению с радиусом Земли и тело движется
вблизи ее поверхности. В этом случае модуль и направление равнодействующей сил тяжести G постоянны, а центр масс совпадает с центром
тяжести.
Введем координатную систему Oxyz, направив ось z вертикально
вверх. Запишем проекции силы тяжести на оси x, y, z:
Gx  0, Gy  0, Gz  G  mg ,
а ее элементарную работу
определим по формуле (7.11)
C1
z
С
d A  Gz dz  mgdz ,
z1
откуда получим полную работу
C2
A
G
O
z2
  mgdz   mg  z
1
 z2  .
z1
x
z2
Р и с у н о к 7 .8
y
Обозначив вертикальное перемещение центра тяжести
через h  z1  z2 , найдем
A   mgh ,
(7.16)
где знак «плюс» соответствует перемещению центра тяжести вниз
 z1  z2  , знак «минус» – перемещению вверх  z1  z2  . Если начальное и
конечное положения центра тяжести находятся на одной горизонтальной
плоскости  z1  z2  , то работа силы тяжести равна нулю.
Таким образом, работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и может быть определена только его вертикальным перемещением.
74
7.4.2. Работа силы упругости
Пусть груз М, соединенный с пружиной, другой конец которой
закреплен неподвижно (рис. 7.9), перемещается из положения M 1 в положение M 2 вдоль оси пружины, по которой направим ось х. За начало
координат примем положение конца недеформированной пружины, тогда
координата х равна деформации пружины.
y
M1
O
F
M
M2
x
x1
x
x2
Рисунок 7.9
На груз действует сила упругости пружины F , ее проекции на
координатные оси: Fx  cx, Fy  0, Fz  0 , где с – жесткость пружины.
Элементарная работа силы упругости в соответствии с формулой (7.11)
d A  Fx dx  cxdx ,
полная работа на рассматриваемом перемещении
A
x2
  cx  dx  2  x
c
2
1
 x22  ,
(7.17)
x1
где x1 , x2 – начальная и конечная деформации пружины.
Из полученной формулы следует, что работа силы упругости
положительна, если начальная деформация больше конечной по модулю,
и отрицательна в противном случае. Она зависит только от начального и
конечного положений груза М.
7.4.3. Работа силы, приложенной к твердому телу,
вращающемуся вокруг неподвижной оси
Пусть к точке М твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz c угловой скоростью  , приложена сила F (рис. 7.10). Элементарная работа этой силы:
75
d A  F  dr  F  vdt .
(7.18)
Введем радиус-вектор r точки М относительно точки О, лежащей на оси
вращения, тогда скорость точки М можно определить по формуле Эйлера
v   r .
Преобразуем формулу (7.18), используя свойство смешанного
произведения векторов


d A  F    r  dt   r  F dt .
Но так как произведение
z
 
r  F  MO F
– это момент силы F относительно точки О,
 
d A   M O F dt 
v
 
 M O F cos dt .
F
M
 
MO F
 
 
M O F cos   M z F –

α
Учтем, что
момент силы F относительно оси z, а dt  d  –
элементарный угол поворота тела, потому
r
O
 
d A  M z F d  . (7.19)
Рисунок 7.10
Таким образом, элементарная работа равна произведению момента силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела. Работа силы F на конечном
перемещении тела
A
2
 M  F  d .
z
1
76
(7.20)
 
Если M z F  const , то
 
A  M z F  2  1  ,
(7.21)
т.е. работа равна произведению момента силы относительно оси вращения на угол поворота тела.
7.4.4. Работа постоянной силы
Рассмотрим
перемещение
точки приложения постоянной силы
F по дуге M 1 M 2 (рис. 7.11). Радиус-векторы r1 и r2 определяют начало и конец траектории относительно
неподвижной точки О.
Для определения работы силы F используем формулу (7.13),
dr
где положим v 
,
dt
t2
A F
t1
M1
r1
О
F
α
Δr
M2
r2
Рисунок 7.11
t
2
dr
dr
dt  F   dt  F   r2  r1  .
dt
dt
t1
Учитывая, что r2  r1  Δr , окончательно получим
A  F  Δr  FΔr cos  ,
(7.21)
т.е. для постоянной силы работа вычисляется так же, как и при прямолинейном перемещении точки ее приложения вдоль хорды, стягивающей
дугу M 1 M 2 .
7.4.5. Работа внутренних сил твердого тела
Рассмотрим точки M 1 и M 2 твердого тела, которые действуют
друг на друга с силами F1i и F2i (рис. 7.12), причем по закону равенства
действия и противодействия F2i  F1i .
Пусть точки M 1 и M 2 получили элементарные перемещения dr1
и dr2 . Вычислим сумму элементарных работ
77
d Ai  F1i  dr1  F2i  dr2  F1i  v1dt  F1i  v2 dt 
 F1i v1 cos dt  F1i v2 cos dt  F1i  v1 cos   v2 cos  dt ,
где v1 , v2 – скорости точек M 1 и M 2 .
v2
dr2
β
F2i
M2
F1i
M1
α
dr1
v1
Рисунок 7.12
В соответствии с теоремой о проекциях скоростей двух точек
твердого тела v1cos  v2 cos  и d Ai  0 . Так как каждой внутренней
силе соответствует другая сила, равная ей по модулю и противоположная
по направлению, сумма элементарных работ всех внутренних сил равна
нулю. Конечное перемещение тела складывается из его элементарных
перемещений и поэтому сумма работ всех внутренних сил твердого тела
на любом его перемещении равна нулю
N
Ai   Aij  0 .
j 1
7.4.6. Работа сил сопротивления качению
Рассмотрим цилиндрический каток, который движется по горизонтальной плоскости без скольжения (рис. 7.13). Возникновение сопротивления качению связано с деформациями соприкасающихся поверхностей, из-за чего линия действия нормальной составляющей N равнодействующей реактивных сил оказывается смещенной в сторону движения
катка на некоторое расстояние δ от линии действия силы тяжести G . Силы ( N , G ) образуют пару сил сопротивления качению. Момент этой па-
78
ры называют моментом сопротивления качению. Его модуль равен произведению модуля нормальной реакции на плечо пары δ, называемое коэффициентом трения качения
(7.22)
MC  N .
Этот коэффициент измеряется в единицах длины.
δ
R
N
C
vC
dSC
P
Fсц
G
Рисунок 7.13
Пусть центр катка получил элементарное перемещение dSC , тогда каток повернулся на угол d  
dSC
и элементарная работа пары сил
R
сопротивления качению
dSC
.
(7.23)
R
При конечном перемещении центра катка на расстояние S C работа сил
сопротивления качению
S
A  N C .
(7.24)
R
Элементарная работа горизонтальной составляющей равнодействующей реактивных сил (силы сцепления Fсц ), которую можно считать
приложенной в мгновенном центре скоростей катка Р, равна нулю, так
d A   M C d    N 
79
как скорость этой точки
vP  0 и ее элементарное перемещение
dSP  vP dt  0 . Поскольку полная работа равна сумме элементарных работ, приходим к следующему выводу: сила сцепления в рассмотренном
случае качения без скольжения работу не совершает.
7.5. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной точки
Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием
системы сил F1 ,..., Fn , и запишем для нее основное уравнение динамики
(1.2)
n
ma   Fk .
k 1
Умножим скалярно обе части этого равенства на вектор элементарного
перемещения точки dr
n
ma  dr   Fk  dr .
(7.25)
k 1
Преобразуем левую часть полученного уравнения
ma  dr  m
 mv 2 
dv
 vdt  mv  dv  d 
  dT .
dt
 2 
Учитывая, что в правой части уравнения (7.25) произведения Fk  drk
представляют собой элементарные работы сил d Ak , получим
n
dT   d Ak .
k 1
Разделим это равенство на величину dt и с учетом (7.14) запишем
n
dT
  Nk .
dt k 1
(7.26)
Соотношение (7.26) позволяет сформулировать теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. Производ-
80
ная по времени от кинетической энергии материальной точки равна
сумме мощностей всех действующих на нее сил.
Интегрируя равенство (7.26), получим
n
T2  T1   Ak ,
(7.27)
k 1
где T2 , T1 – значения кинетической энергии в конечном и начальном положениях точки. Таким образом, доказана теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме. Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Пример 2. Груз В массой m, прикрепленный к концу недеформированной пружины жесткостью c, получив начальную скорость v1 , движется вверх по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом
(рис. 7.14,а).
S
v2  0
v1
B1
α
B2
h
a)
N
A
Fтр
F
α
G
б)
Рисунок 7.14
81
Определить начальную скорость груза, если максимальная деформация пружины равна S, а коэффициент трения равен f.
Примем груз за материальную точку и покажем действующие на
него силы: силу тяжести G , нормальную реакцию плоскости N ,
силу трения Fтр и силу упругости пружины F (рис. 7.14,б). Рассмотрим
изменение кинетической энергии груза на перемещении B1 B2 , равном
максимальной деформации пружины. В соответствии с уравнением (7.27)
получим
mv22 mv12

 AG  AN  AF тр  AF ,
(7.28)
2
2
где конечная скорость груза v2  0 , а работы сил определим по формулам
(7.16), (7.21) и (7.17):
AG  mgh  mgS sin  ;
AN  NS cos

0;
2
AFтр  Fтр S cos   Fтр S   fNS   fmg cos  S ;
AF 
c 2
 x1  x22  ,
2
где x1 , x2 – начальная и конечная деформации пружины. Так как
c
x1  0, x2  S , то получим, что AF   S 2 . Теперь из уравнения (7.28)
2
определим начальную скорость груза

mv12
c
  mgS sin   fmgS cos   S 2 ;
2
2
v1  2 gS  sin   f cos   
82
cS 2
.
m
7.6. Теорема об изменении кинетической энергии
механической системы
Рассмотрим некоторое перемещение системы, состоящей из N
материальных точек, и запишем для каждой из них соотношение (7.27)
T2 j  T1 j  Aej  Aij ,
j  1, N ,
(7.29)
где A , A – суммы работ внешних и внутренних сил, действующих на j ю точку системы. Сложим почленно уравнения (7.29)
e
j
i
j
N
T
j 1
N
N
N
j 1
j 1
j 1
  T1 j   Aej   Aij .
2j
(7.30)
Учитывая, что
N
T
j 1
1j
 T1 ,
N
T
j 1
2j
 T2 ,
где T1 и T2 – значения кинетической энергии системы в начальном и конечном положениях, из равенства (7.30) получим
N
N
j 1
j 1
T2  T1   Aej   Aij .
(7.31)
Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии
системы в интегральной форме. Изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех
внешних и внутренних сил, действующих на точки системы, на том же
перемещении.
Положим в уравнении (7.31) T2  T , где Т – кинетическая энергия
системы в текущем положении, и продифференцируем его по времени.
Тогда, учитывая (7.15), где t2  t , получим
N
N
dT
  N ej   N ij .
dt
j 1
j 1
(7.32)
Таким образом, получена дифференциальная форма теоремы. Производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы.
83
Соотношения (7.31) и (7.32), в отличие от ранее рассмотренных
общих теорем динамики, описывают зависимость изменения кинетической энергии от внутренних сил. Однако чаще всего механические системы моделируют твердыми телами, соединенными между собой с помощью внутренних связей. Их реализуют в виде шарниров без трения, гибких нерастяжимых нитей или осуществляют за счет относительного качения без проскальзывания. Такие системы называют неизменяемыми.
Сумма работ (и мощностей) внутренних сил неизменяемой системы равна
нулю, а соотношения (7.31) и (7.32) принимают вид:
N
T2  T1   Aej ;
(7.33)
N
dT
  N ej .
dt
j 1
(7.34)
j 1
Пример 3. Механизм, расположенный в вертикальной плоскости,
начинает движение из состояния покоя под действием сил тяжести (положение слева, рис. 7.15). Груз 1, опускаясь вниз, приводит в движение
шкив 2 и шарнирно с ним связанный шатун 3, а ползун 4 движется вдоль
вертикальных направляющих.
Определить скорость v1 груза 1 в момент, когда шкив повернулся
на угол π рад (положение справа, рис. 7.15), считая шкив однородным
цилиндром радиусом R, а шатун – однородным стержнем;
r = 0,5 R. Массы тел принять следующими: m1  m2  m3  m, m4  0,5m .
Сопротивлением движению пренебречь.
Так как система состоит из твердых тел, соединенных шарнирами
без трения и гибким нерастяжимым тросом, массой которого пренебрегаем, сумма работ внутренних сил равна нулю. Движение системы начинается из состояния покоя, поэтому начальная кинетическая энергия T1  0
и из уравнения (7.33) получим
N
T2   Aej .
(7.35)
j 1
Кинетическая энергия системы в конечном положении равна
сумме кинетических энергий всех тел, входящих в состав системы
84
T2  T21  T22  T23  T24 .
(7.36)
Груз 1 движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной
оси. Их кинетические энергии:
T21 
1
1
1
m1v12  mv12 ; T22  I z2 22 .
2
2
2
(7.37)
4
B
N
G4
3
h
B1
C
G3
r
3
2
R
C1
A
YO
O
XO
1
A1
2
vA
G2
S
G1
v1
Р и с у н о к 7 .1 5
Ползун 4 также движется поступательно, но в конечном положении системы (см. рис. 7.15, справа) занимает крайнее нижнее положение,
поэтому его скорость v4  0 и кинетическая энергия T24  0 . Точка B1
85
является мгновенным центром скоростей шатуна 3, совершающего плоское движение. Его кинетическую энергию определим по формуле (7.5)
1
(7.38)
T23  I z3 32 .
2
Моменты инерции шкива 2 и шатуна 3 (однородных тел) вычислим по формулам (4.15) и (4.13):
1
1
1
1
I z2  m2 R 2  mR 2 ; I z3  m3l 2  ml 2 ,
(7.39)
2
2
3
3
где l – длина шатуна.
Угловая скорость шкива 2 
v1
, скорость точки А
R
v1
 0,5R  0,5v1 .
R
vA  2 r 
Угловая скорость шатуна
3 
vA
0,5v1 v1

 .
A1 B1
l
2l
Из формул (7.36)-(7.39) получим
v2 1 1
v2 19
1
1 1
T2  mv12   mR 2  12   ml 2  12  mv12 .
2
2 2
24
R 2 3
4l
(7.40)
Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. Это силы
тяжести G1 ,..., G4 , реакция оси шкива, которую представим составляющими X O , YO , и нормальная реакция N гладких направляющих ползуна.
Из них работу не совершают силы G2 , X O , YO , приложенные в неподвижной точке О, и сила N , направленная перпендикулярно перемещению
точки В. Таким образом, сумма работ внешних сил
N
A
j 1
e
j
 AG1  AG3  AG4 .
Работы сил тяжести определим по формуле (7.16):
86
(7.41)
AG1  m1 gS  mgS ;
AG3  m3 gh  mgh ;
AG4  m4 gh  0,5mgh .
Вычислив перемещения центров тяжести тел S  R, h  2r  R ,
получим сумму работ внешних сил
N
A
j 1
e
j
 mg R  mgR  0,5mgR  mgR 1,5    .
(7.42)
Теперь, подставив (7.40) и (7.42) в уравнение (7.35), вычислим скорость
груза 1
19 2
24
mv1  mgR 1,5    ; v1 
gR 1,5    .
24
19
Вопросы для самоконтроля
1. Как определить кинетическую энергию материальной точки и
механической системы?
2. Чему равна кинетическая энергия твердого тела при поступательном, вращательном и плоском движениях?
3. Как определить элементарную работу силы и работу силы на
конечном перемещении точки ее приложения?
4. Чему равна работа силы тяжести?
5. Чему равна работа силы упругости?
6. От чего зависит работа силы, приложенной к вращающемуся
телу?
7. Зависит ли работа постоянной силы от траектории точки ее
приложения?
8. Чему равна работа внутренних сил твердого тела?
9. Как определить работу сил сопротивления качению?
10. Как определить мощность силы?
11. Как сформулировать теорему об изменении кинетической
энергии материальной точки и механической системы?
87
Лекция 8. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ
8.1. Сила инерции и принцип Даламбера для материальной
точки
Методом кинетостатики называют общий метод решения задач
динамики, при использовании которого уравнения движения принимают
вид уравнений равновесия статики.
Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием
системы сил F1 ,..., Fn , и запишем для нее основное уравнение динамики
n
ma   Fk .
k 1
Введем в рассмотрение вектор
  ma ,
(8.1)
направленный противоположно ускорению точки и равный по величине
произведению массы точки на модуль ее ускорения. Этот вектор называют силой инерции материальной точки. Теперь основному уравнению
динамики точки можно придать следующий вид:
n
F
k 1
k
  0 .
(8.2)
Приложим условно силу инерции к материальной точке, тогда уравнение
(8.2) будет представлять собой необходимое и достаточное условие равновесия сходящейся системы сил ( F1 ,..., Fn , ). Это условие является содержанием принципа Даламбера для материальной точки. Если к
движущейся материальной точке условно приложить силу инерции, то в
любой момент времени действующие на точку силы и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.
Уравнениями метода кинетостатики в данном случае являются
уравнения равновесия полученной сходящейся системы сил:
n
F
k 1
kx
  x  0;
n
F
k 1
ky
  y  0;
n
F
k 1
kz
z  0 .
(8.3)
Следует отметить, что метод кинетостатики является только приемом, позволяющим использовать уравнения равновесия, известные из
статики, для решения задач динамики. Они представляют собой преобра-
88
зованные уравнения движения, однако такое преобразование значительно
облегчает решение многих практических задач, благодаря чему метод
кинетостатики нашел широкое применение во многих прикладных дисциплинах.
Пример 1. Груз М массой m, подвешенный на тросе длиной l к
неподвижной точке O (рис. 8.1), представляет собой конический маятник,
т.е. он описывает окружность в горизонтальной плоскости.
Определить скорость груза и силу натяжения троса, который образует угол α с вертикалью.
O
b
α
T
n
τ
O1
v
r
a
an
M

n
G
Рисунок 8.1
Примем груз за материальную точку и покажем действующие на
него силы: силу тяжести G  mg и реакцию троса T . Точка М движется
по окружности радиусом r  OM sin   l sin  , ее ускорение представим
касательной a и нормальной an составляющими. Поэтому сила инерции
также будет иметь две составляющие:
  ma , n  man ,
модули которых
89
  m
dv
v2
v2
.
, n  m  m
dt
r
l sin 
Условно приложим к точке М силы инерции и получим уравновешенную


сходящуюся систему сил G, T ,   ,  n . Запишем уравнения равновесия
этой системы сил в проекциях на оси естественной системы координат
Mτnb:

    0;
  Fk   0;

  Fkn  0; T sin    n  0;

 Fkb  0; T cos   G  0.

dv
 0 , т.е. скорость точки М не
Из 1-го уравнения следует, что    m
dt
изменяется по величине: v  const . Из 3-го уравнения получим
T
G
mg

.
cos  cos 
Теперь преобразуем 2-е уравнение
n  T sin ;
m
v2
mg

 sin  ,
l sin  cos 
откуда v  gl sin tg .
8.2. Принцип Даламбера для механической системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек, для каждой из которых запишем основное уравнение динамики
m j a j  Fje  Fji , j  1, N ,
(8.4)
где, как и ранее, Fje , Fji – равнодействующие внешних и внутренних сил,
действующих на j-ю точку системы.
90
Введем силы инерции  j  m j a j , которые условно приложим к
соответствующим точкам системы. Тогда уравнения (8.4) примут вид:
Fje  Fji   j  0,
j  1, N .
(8.5)
Таким образом, полученные системы сил, приложенных к каждой точке
механической системы, уравновешены, что позволяет сформулировать
принцип Даламбера для механической системы. Если к каждой точке
движущейся механической системы условно приложить соответствующую силу инерции, то в любой момент времени совокупность всех действующих на точки системы внешних и внутренних сил, а также сил
инерции образует уравновешенную систему сил.
8.3. Уравнения кинетостатики для механической системы
Полученная в результате использования принципа Даламбера
система сил в общем случае является произвольной пространственной
системой. Для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы главный
вектор системы и ее главный момент относительно произвольного неподвижного центра были равны нулю:
N
N
N
j 1
j 1
j 1
R   Fje   Fji   j  0 ;
 
N
N
 
 
N
M О   M О Fje   M О Fji   M О  j  0 .
j 1
j 1
j 1
(8.6)
(8.7)
Учтем, что главный вектор и главный момент внутренних сил относительно произвольного центра равны нулю:
N
N
j 1
j 1
 
Ri   Fji  0, M Оi   M О Fji  0 ,
и введем в рассмотрение главный вектор R и главный момент M О сил
инерции:
N
N
j 1
j 1
 
R   j ; M О   M О  j .
(8.8)
Теперь уравнения (8.6) и (8.7) примут вид:
91
N
N
j 1
j 1
Re  R  0 ;
(8.9)
M Оe  M О  0 ,
(8.10)
 
где R e   Fje ; M Оe   M О Fje
– главный вектор и главный момент
внешних сил относительно центра О.
Уравнения метода кинетостатики получим, проецируя уравнения
(8.9), (8.10) на оси декартовой системы координат:
Rxe  Rx  0; Rye  Ry  0; Rze  Rz  0;
(8.11)
M xe  M x  0; M ye  M y  0; M ze  M z  0.
8.4. Главный вектор и главный момент сил инерции
Получим выражения для главного вектора и главного момента
сил инерции всех точек механической системы. На основании уравнения
(8.9) R  Re . Из формулы (5.22) теоремы о движении центра масс следует, что Re  maC . Таким образом,
R  maC ,
(8.12)
т.е. главный вектор сил инерции механической системы равен взятому с
противоположным знаком произведению массы системы на ускорение ее
центра масс.
Аналогично, из уравнения (8.10) следует, что M О  M Оe , а из
формулы (6.13) теоремы об изменении кинетического момента получим,
dL
что M Оe  О , т.е.
dt
dLО
.
(8.13)
dt
Итак, главный момент сил инерции механической системы относительно
неподвижного центра О равен взятой с противоположным знаком производной по времени от кинетического момента системы относительно того
же центра.
M О  
92
Полученные результаты свидетельствуют о том, что уравнения
(8.9), (8.10) и следующие из них уравнения метода кинетостатики эквивалентны уравнениям теорем о движении центра масс и об изменении кинетического момента. Действительно, подставляя в уравнения (8.9), (8.10)
формулы (8.12), (8.13), получим уравнения (5.22) и (6.13).
8.5. Приведение сил инерции точек твердого тела
к простейшему виду
Главный вектор сил инерции не зависит от выбора центра приведения и при любом движении тела может быть определен соотношением
(8.12). Определим главный момент сил инерции для некоторых случае
движения твердого тела.
8.5.1. Поступательное движение
При поступательном движении тела ускорения всех его точек в
данный момент времени одинаковы и равны ускорению центра масс aC
(рис. 8.2).
Сила инерции материальной
точки M j массой m j будет равна
 j  m j a j  m j aC .
j
Mj
Выберем в качестве центра приведения центр масс тела и вычислим
главный момент сил инерции
M C   rj  j  rj   m j aC  
j
a j  aC
rj
С
aC
j


    m j rj   aC  mrC  aC  0,
 j

так как радиус-вектор центра масс rC 
Рисунок 8.2
1
 m j rj относительно центра
m j
масс равен нулю.
Таким образом, при поступательном движении тела силы инерции его точек приводятся к равнодействующей, условно приложенной в
центре масс тела и равной главному вектору сил инерции R  maC .
93
8.5.2. Вращение вокруг неподвижной оси
Рассмотрим твердое тело, имеющее плоскость материальной
симметрии и вращающееся вокруг неподвижной оси z, перпендикулярной
этой плоскости и не проходящей через центр масс тела С, как показано на
рис. 8.3. Приведем силы инерции к центру О, в котором ось вращения
пересекает плоскость симметрии. Тогда,
вследствие симметрии тела, сила и пара
zC
z
сил, к которым приводят силы инерции,
лежат в плоскости симметрии. Сила равна главному вектору сил инерции
R  maC . Момент пары сил M О
направлен перпендикулярно плоскости
симметрии, т.е. вдоль оси вращения, противоположно вектору углового ускоре
ния  . Его проекцию на ось вращения
aC aC

получим из формул (8.13) и (6.9)
O
M O
aCn
M z  
C
R
Рисунок 8.3
dLz
d
   I z z    I z  z , (8.14)
dt
dt
где I z – момент инерции тела относительно оси вращения.
Если ось вращения проходит
через центр масс тела (см. рис. 8.3, ось
zC ), то ускорение центра масс aC  0 и
главный вектор сил инерции R  0 .
Силы инерции в этом случае эквивалентны паре сил, проекция момента которой
M zC   I zC  z .
(8.15)
8.5.3. Плоское движение
Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии и движется
так, что эта плоскость все время совпадает с некоторой неподвижной
плоскостью П (рис. 8.4). Разложим движение тела на поступательное, определяемое движением центра масс С, и вращательное вокруг
оси zC , проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости
94
симметрии. Силы инерции поступательного движения приведем к силе
R  maC , приложенной в центре масс С, а силы инерции вращательного движения – к паре сил, лежащей в плоскости симметрии. Проекция
момента этой пары на ось zC :
M zC   I zC  z .
zC


aC
С
R
M C
П
Рисунок 8.4
Пример 2. Падая, груз А весом Р разматывает нерастяжимый
трос, намотанный на барабан (рис. 8.5).
Определить составляющие реакции жесткой заделки С и ускорение груза, считая барабан однородным цилиндром весом Q и пренебрегая
весом троса и консольной балки, а также трением в подшипниках, если
ВС = b.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из балки ВС, барабана и груза А. На нее действуют внешние силы: силы тяжести барабана Q и груза P , а также реакция жесткой заделки С, которую предста-
95
вим составляющими X C , YC , M C . Добавим к ним силы инерции, которые
для поступательно движущегося груза приведем к силе  , а для барабана, имеющего плоскость материальной симметрии и вращающегося вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через его
центр масс, – к паре сил, момент которой M  . Определим модули силы и
пары сил инерции:

P
1Q 2 a Q
a; M   I B  
R  
Ra ,
g
2g
R 2g
где а – ускорение груза; ε – угловое ускорение барабана, ε = а/R.
y
b
M
ε

YC
B
R
MC
C
x
XC
Q

a
A
Рисунок 8.5
P
В соответствии с принципом Даламбера полученная плоская система сил уравновешена. Запишем для нее три уравнения равновесия:
X
i
 0; X C  0;
Y  0;
i
96
YC  P  Q    0;
(8.16)
(8.17)
M
iC
 0; MC  M   Qb  P b  R    b  R   0.
(8.18)
Для определения ускорения груза А рассмотрим систему, состоящую из
барабана и груза (рис. 8.6), на которую действуют реакции подшипников
X B , YB , а также перечисленные ранее силы тяжести и силы инерции.
Запишем одно уравнение равновесия
M
iB
 0; M    R  PR  0.
M
(8.19)
ε
R
YB
XB
B
Q

a
A
Рисунок 8.6
P
Преобразуем уравнение (8.19) к виду:
Q
P
Ra  aR  PR  0 ,
2g
g
откуда a 
2 Pg
. Из уравнения (8.17) получим
2P  Q
97
YC  P  Q    P  Q 
P 2 Pg
3P  Q


Q.
g 2P  Q 2P  Q
Вычтем из уравнения (8.18) уравнение (8.19):
M C  Qb  Pb   b  0;
M C   P  Q    b  YC b 
3P  Q
Qb.
2P  Q
Таким образом, неизвестные величины определены:
X C  0; YC 
3P  Q
3P  Q
2P
Q; M C 
Qb; a 
g.
2P  Q
2P  Q
2P  Q
Вопросы для самоконтроля
1. Чему равна сила инерции материальной точки?
2. Как сформулировать принцип Даламбера для материальной
точки и механической системы?
3. В чем заключается метод кинетостатики?
4. Как записать уравнения метода кинетостатики для механической системы?
5. Чему равны главный вектор и главный момент сил инерции?
6. К какому простейшему виду можно привести силы инерции
твердого тела в случаях его поступательного, вращательного и плоского
движений?
98
Лекция 9. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
9.1. Вступление
Рассмотренные в предыдущих лекциях общие теоремы динамики
и полученные из них следствия позволяют решать большинство задач
динамики механической системы. Однако их применение вызывает и
определенные трудности. Дело в том, что невозможно строго классифицировать задачи и указать, в каком случае какая теорема является наиболее эффективной. Кроме того, для решения некоторых задач нужно одновременно использовать несколько общих теорем, а также разбивать систему на части, вводя дополнительные неизвестные величины, определение которых не является необходимым.
Аналитическая механика изучает общие методы составления
дифференциальных уравнений движения механической системы. Их интегрирование позволяет определить движение системы, являясь, таким
образом, общим методом решения задач динамики.
Вначале рассмотрим принятую в аналитической механике классификацию связей.
9.2. Связи и их классификация
Систему материальных точек называют свободной, если их координаты и скорости могут принимать произвольные значения. В противном случае систему называют несвободной. Таким образом, на координаты и скорости точек несвободной системы наложены ограничения, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Эти
ограничения называют связями, а уравнения, которым должны удовлетворять координаты и скорости точек несвободной системы, – уравнениями связей.
M 2  x2 , y2 , z2 
Пример 1. Две материальные точки, показанные на рис. 9.1, соединены нерастяжимым
l
стержнем длиной l. Так как расстояние между
точками не изменяется, уравнение связи имеет
вид:
M1  x1 , y1 , z1 
2
2
2
 x1  x2    y1  y2    z1  z2   l 2 , (9.1)
Рисунок 9.1
где xi , yi , zi – декартовы координаты точек.
99
Пример 2. Рассмотрим конек, движущийся по поверхности льда.
Пусть он имеет выпуклое лезвие, которое касается льда в одной точке А
(рис. 9.2). Зададим положение конька тремя координатами: xA , yA ,  .
Будем считать, что точка А не
проскальзывает в направлении,
y
vA
перпендикулярном
лезвию,
тогда ее скорость v A направлеА
на вдоль лезвия и справедливо
φ v Ay
yA
соотношение
v Ax
v Ay y A

 tg ,
v Ax xA
О
xA
Рисунок 9.2
x
из которого получим уравнение
связи
y A  xA tg = 0 .
(9.2)
Связи, в уравнения которых
время явно не входит, называют стационарными (примеры 1 и 2). Если
же время явно входит в уравнение связи, то ее называют нестационарной.
Геометрическими называют связи, уравнения которых содержат
только координаты точек механической системы и, может быть, время
(пример 1). Если, кроме того, в уравнения связей входят первые производные от координат по времени, то связи называют дифференциальными
(пример 2).
Геометрические связи и те дифференциальные связи, уравнения
которых могут быть проинтегрированы, называют голономными (пример
1). Дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы, называют неголономными (пример 2).
По виду связей механические системы разделяют на голономные
и неголономные. Голономной называют механическую систему, на которую наложены только голономные связи. В противном случае, т.е. если
хотя бы одна связь является неголономной, систему называют неголономной.
И, наконец, связи могут быть удерживающими и неудерживающими. Удерживающие связи описывают уравнениями (примеры 1,2), а
неудерживающие – неравенствами.
100
Пример 3. Рассмотрим две материальные точки, соединенные
нерастяжимой нитью длиной l (рис. 9.3). Так как расстояние между точками не может превысить длину нити, выполняется
неравенство
M x , y , z 
2
2
2
2
 x1  x2 
2
  y1  y2    z1  z2   l 2 ,
2
2
(9.3)
l
описывающее данную неудерживающую связь.
Таким образом, связь имеет три характеристики:
1) стационарная или нестационарная,
M1  x1 , y1 , z1 
2) голономная или неголономная,
Р и с у н о к 9 .3
3) удерживающая или неудерживающая.
Например, связь из примера 2 является стационарной, неголономной и удерживающей.
Далее будем рассматривать только голономные удерживающие
связи.
9.3. Возможные и виртуальные перемещения
Рассмотрим одну материальную точку, подчиненную нестационарной голономной связи, уравнение которой имеет вид:
f(x, y, z, t) = 0,
(9.4)
где x, y, z – координаты точки, t – время. Это уравнение описывает поверхность, которая изменяется с течением времени. В силу уравнения
(9.4) точка должна перемещаться по этой поверхности, поэтому дифференциалы координат при кинематически возможном перемещении точки
должны удовлетворять соотношению
f
f
f
f
dx  dy  dz  dt  0 .
x
y
z
t
(9.5)
Вектор dr , определяемый своими проекциями dx, dy, dz при бесконечно
малом времени dt , называют вектором возможного перемещения точки.
Зафиксируем теперь время t в уравнении (9.4) и рассмотрим допускаемое связью перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение,
которое она может занимать в тот же момент времени. Это перемещение
101
выражают изохронной вариацией радиус-вектора точки r и называют
вектором виртуального перемещения. Вариации координат δx, δy, δz связаны соотношением
f
f
f
x  y  z  0 ,
x
y
z
(9.6)
которое следует из уравнения (9.4) при фиксированном времени t.
Нетрудно заметить, что в случае стационарной голономной связи
виртуальные перемещения совпадают с возможными. Действительно,
уравнение стационарной связи имеет вид:
f  x, y, z   0 ,
(9.7)
f
 0 , и уравнение (9.5), определяющее возможные перемещеt
ния, совпадает с уравнением (9.6), определяющим виртуальные перемещения.
Различие между возможными и виртуальными перемещениями
для случая нестационарной связи рассмотрим на следующем примере.
Пусть эта связь представляет собой поверхность, которая перемещается
относительно неподвижной системы отсчета, не деформируясь. Тогда
рассматриваемая точка участвует в двух движениях: относительном
(движение по поверхности) и переносном (вместе с поверхностью). Таким
образом, траектория абсолютного движения точки лежит вне поверхности, а вектор возможного перемещения dr направлен по касательной к
этой траектории (рис. 9.4).
Вектор виртуального перемеdr
щения r направлен по касательной к траектории относительного движения, лежащей
М
r
на поверхности, так как при
определении
виртуального
перемещения время фиксируется и переносное перемещеР и с у н о к 9 .4
ние отсутствует.
поэтому
102
9.4. Число степеней свободы системы и обобщенные
координаты
Виртуальным перемещением механической системы называют
любую совокупность виртуальных перемещений ее точек, допускаемую
всеми наложенными на систему связями. Система имеет множество различных виртуальных перемещений, из которых можно выбрать независимые между собой перемещения, а через них выразить любое виртуальное перемещение. Число независимых между собой виртуальных перемещений механической системы называют ее числом степеней свободы.
Рассмотрим систему из N материальных точек, подчиненную d
голономным связям. Положение системы определяется 3N декартовыми
координатами ее точек, из которых независимыми будут s = 3N – d. Для
голономной системы число независимых координат совпадает с числом
степеней свободы.
В качестве независимых координат не обязательно выбирать декартовы координаты точек системы. Ее положение можно однозначно
определить с помощью любых независимых между собой параметров. Их
называют обобщенными координатами.
На рис. 9.5 показан кривошипно-шатунный механизм, расположенный в плоскости xOy. Положение механизма определяется его точками O, A, B.
A  xA , y A , z A 
y
r
l
φ
К
z
B  xB , yB , zB 
O  xO , yO , zO 
x
Рисунок 9.5
Обозначим через r и l длины кривошипа ОA и шатуна AB и запишем уравнения связей, наложенных на систему:
xO  0; yO  0; zO  0; z A  0; yB  0; zB  0 ;
103
xA2  yA2  r 2 ;
 xA  xB 
2
 yA2  l 2 .
Итак, количество связей d = 8, количество точек системы N = 3 и
число стержней свободы s = 3N – d = 1. Выберем в качестве обобщенной
координаты угол φ между кривошипом и положительным направлением
оси x и определим изменяющиеся координаты точек системы:
xA  OK  r cos ;
y A  AK  r sin ;
xB  OK  KB  r cos   l 2  r 2 sin 2  .
Таким образом, обобщенная координата φ однозначно определяет положение системы.
9.5. Основная задача динамики несвободной системы.
Идеальные связи
Разделим силы, действующие на точки механической системы, на
активные силы Fj и реакции связей R j . В отличие от заранее неизвестных реакций связей, активные силы являются заданными функциями
времени, положений и скоростей точек системы
F j  F j  t , rj , v j  ,
j  1, N .
Запишем дифференциальные уравнения движение системы:
m j x j  Fjx  R jx ; m j y j  Fjy  R jy ; m j z j  Fjz  R jz ;
j  1, N .
(9.8)
Основную задачу динамики несвободной системы можно сформулировать так: определить движение системы и реакции связей, если
известны активные силы и заданы совместимые со связями начальные
положения и начальные скорости точек системы. В этой задаче 6N неизвестных величин: 3N декартовых координат точек x j , y j , z j и 3N проекций реакций связей R jx , R jy , R jz . Количество скалярных соотношений,
связывающих неизвестные величины, равно 3N + d: 3N уравнений (9.8) и
d уравнений связей. Для того чтобы основная задача динамики стала
определенной, необходимы дополнительные соотношения, число которых должно быть равным 6N – (3N + d) = 3N – d = s. Эти соотношения
можно получить, считая все связи, наложенные на систему, идеальными.
104
Связи называют идеальными, если сумма работ реакций связей на
любом виртуальном перемещении системы из любого ее положения равна нулю:
N
R
j 1
j
 rj  0 .
(9.9)
Перепишем полученное равенство в развернутом виде
 R
N
j 1
jx
x j  R jy y j  R jz z j   0 .
(9.10)
Среди 3N вариаций координат x j , y j , z j есть 3N – d = s независимых.
Поэтому, выразив 3N – s = d зависимых вариаций в равенстве (9.10) через
независимые и приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях, получим необходимые s соотношений.
Рассмотрим в качестве примера идеальной связи гладкую неподвижную поверхность (рис. 9.6), по которой движется материальная точка
М. Так как реакция поверхности
R
направлена по нормали к ней в данной
точке, а вектор любого виртуального
перемещения лежит в плоскости, касаМ
тельной к поверхности в точке М, скалярное произведение
r
(9.11)
R  r  0 .
Рисунок 9.6
Гладкая поверхность является
идеальной связью и в том случае, когда она движется или деформируется. Действительно, определяя виртуальное перемещение, фиксируют время, чем «останавливают» связь, поэтому вектор r остается в касательной плоскости. Так как реакция гладкой поверхности и в случае подвижной или деформирующейся поверхности направлена по нормали к ней, условие (9.11) выполняется.
Нетрудно показать, что идеальными являются и другие связи,
используемые в механических моделях. К их числу относятся шарниры
без трения, невесомые недеформируемые стержни, внутренние связи абсолютно твердого тела и другие. В тех случаях, когда трением пренебречь
нельзя, можно учитывать только нормальные составляющие реакций шероховатых поверхностей, относя силы трения к числу неизвестных актив-
105
ных сил. Эти неизвестные определяют с помощью дополнительных соотношений, вытекающих из экспериментально полученных законов трения.
В дальнейшем все связи, наложенные на системы, будем считать
идеальными.
9.6. Обобщенные силы
Рассмотрим механическую систему, положение которой однозначно определяется s обобщенными координатами q1 , q2 ,..., qs .
Выразим радиус-векторы точек системы через обобщенные координаты и время
(9.12)
rj  rj  q1 ,..., qs , t  ; j  1, N
и найдем вариации радиус-векторов
s
rj
k 1
qk
rj  
qk ,
j  1, N .
(9.13)
Определим сумму работ всех активных сил на некотором виртуальном
перемещении системы
N
A   Fj  rj .
(9.14)
j 1
Из формул (9.14) и (9.13), изменяя порядок суммирования, получим
N
s  N
rj 
qk     Fj 
 qk .
qk 
k 1 qk
k 1  j 1
s
A   Fj  
j 1
rj
(9.15)
Введем обозначения
N
rj
j 1
qk
Qk   Fj 
, k  1, s ,
(9.16)
тогда равенство (9.15) примет вид:
s
A   Qk qk .
(9.17)
k 1
Величину Qk , равную коэффициенту при вариации обобщенной координаты qk в выражении для виртуальной работы активных сил системы,
106
называют обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате
qk .
При определении обобщенных сил можно использовать следующий прием. Дадим системе такое виртуальное перемещение, при котором
изменяется только одна обобщенная координата, соответствующая искомой обобщенной силе, и вычислим сумму работ активных сил. Допустим,
что q1  0, q2  q3  ...  qs  0 , тогда из равенства (9.17) получим
A1  Q1q1 , т.е.
Q1 
A1
.
q1
(9.18)
Аналогично можно определить и остальные обобщенные силы.
Пример 4. Система состоит из тонкого однородного стержня 1
длиной l и шарика 2, принимаемого за материальную точку (рис. 9.7).
О
δφ
b
φ
x
0,5l
C
F
m1 g
δx
2
1
0,5l
m2 g
Рисунок 9.7
107
Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси О, а шарик имеет отверстие, позволяющее ему скользить вдоль стержня. Невесомая пружина навита на стержень, один ее конец соединен с шариком, а
второй – закреплен в точке О. Жесткость пружины и ее длина в недеформированном состоянии соответственно равны c и b, а массы стержня и
шарика – m1 и m2 .
Ввести обобщенные координаты и определить обобщенные силы.
Трением пренебречь.
Положение системы полностью определяется двумя координатами: углом φ отклонения стержня от вертикали и деформацией пружины х,
которые примем за обобщенные координаты. Система, таким образом,
имеет две степени свободы. Покажем действующие на систему активные
силы: силы тяжести m1 g , m2 g и силу упругости пружины F .
Для определения обобщенной силы Q , соответствующей обобщенной координате φ, дадим системе виртуальное перемещение, при котором координата х не изменяется, а угол φ получает приращение δφ. На
этом перемещении работу совершают только силы тяжести, так как сила
F перпендикулярна направлению перемещения шарика. Определим работы сил тяжести по формуле (7.21), предварительно вычислив их моменты относительно оси вращения:
M z  m1 g   m1 g  0,5l sin ;
M z  m2 g   m2 g b  x  sin ;
A  M z  m1 g    M z  m2 g    0,5m1 gl sin   m2 g b  x  sin ;
A
  g 0,5m1l  m2  b  x  sin  .
(9.19)

Для определения обобщенной силы Qx дадим системе виртуальное перемещение, при котором не будет изменяться угол φ, а координата
х получит приращение δх. На этом перемещении работу совершат две
силы: сила тяжести m2 g и сила упругости пружины, модуль которой
F  cx :
Ax  m2 g x cos   cxx;
Q 
Qx 
108
Ax
 m2 g cos   cx .
x
(9.20)
9.7. Общее уравнение динамики
Далее везде будем рассматривать систему, состоящую из N материальных точек, с идеальными и голономными связями, положение которой однозначно определяется s обобщенными координатами q1 , q2 ,..., qs .
Запишем для каждой точки системы основное уравнение динамики
m j a j  Fj  R j
или
Fj  m j a j  R j  0,
j  1, N .
(9.21)
Зафиксируем время и дадим системе виртуальное перемещение,
при котором радиус-векторы точек получат приращения rj . Умножим
скалярно каждое уравнение (9.21) на rj и сложим полученные произведения
 F
N
j 1
j

N
 m j a j  rj   R j  rj  0 .
(9.22)
j 1
Так как связи идеальные, последняя сумма равна нулю и из уравнения
(9.22) получим
 F
N
j 1
j

 m j a j  rj  0 .
(9.23)
Учитывая, что m j a j   j – это сила инерции j-й материальной точки,
Fj  rj  Aaj ,  j  rj  Aj – работы активной силы и силы инерции, перепишем равенство (9.23) в виде:
N
N
 A   A  0 .
j 1
a
j
j 1
j
(9.24)
Это уравнение называют общим уравнением динамики. Оно утверждает,
что при движении системы с идеальными связями в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном
перемещении системы равна нулю.
Пример 5. Груз 1, движущийся вниз по наклонной плоскости,
приводит в движение барабан 2 и каток 3. Радиус инерции барабана отно-
109
сительно оси вращения i2 x  r 2, R  2r ; коэффициент трения скольжения f  0,1 ; веса тел 1, 2 и 3: G1  2G, G2  G3  G .
Определить ускорение груза, считая каток однородным цилиндром, который катится без скольжения, и пренебрегая трением качения и
силами сопротивления в подшипниках.
2r
M 3
3
R
r
2
2

R3
a3
2
3
3
1
P
R1
G3
S1
G2
Fтр
300
a1
300
Рисунок 9.8
G1
Для решения задачи используем общее уравнение динамики. Покажем на рисунке активные силы, действующие на систему (силы тяжести G1 , G2 , G3 ) и силу трения скольжения Fтр , к которым добавим силы
инерции. Для поступательно движущегося груза 1 они приведены к равнодействующей, модуль которой
G1
2G
a1 
a1 ;
g
g
для барабана 2, вращающегося вокруг неподвижной оси, – к паре сил,
момент которой
G
a G
a 2G
M 2  I 2 2  2 i22x  1  2r 2  1 
ra1 ;
g
r
g
r
g
R1 
110
для катка 3, совершающего плоское движение, – к силе, приложенной в
его центре масс, модуль которой
G
G
R3  3 a3  a3 ,
g
g
и к паре сил, момент которой
G
a
G
M 3  I 3 3  3 r 2  3 
ra3 ,
2g
r 2g
где a1 , a3 – ускорения груза и центра масс катка; 2 , 3 – угловые ускорения барабана и катка.
Сообщим системе виртуальное перемещение в направлении ее
действительного движения и составим общее уравнение динамики (9.24),
которое для данной системы примет вид:
G1 sin 300 S1  Fтр S1  R1 S1  M 2 2  R3 S3  M 3 3  0 ,
(9.25)
где S1 , S3 – перемещения груза и центра масс катка; 2 , 3 – углы
поворота барабана и катка; Fтр – модуль силы трения, равный
Fтр  fG1 cos300  2 fG cos300 . Система имеет одну степень свободы, поэтому все вариации координат можно выразить через одну из них. Учитывая, что точка Р – мгновенный центр скоростей катка, получим
S3 
S
1
1
R2  2r 2  r2 ; S1  r2 ; 3  3  2 .
2
2
r
(9.26)
Определим зависимости между ускорениями:
2 
a
a1
a
1
1 a
; a3  R2  2r 1  a1 ; 3  3  1 .
r
2
2
r
r
r
(9.27)
Подставим в уравнение (9.25) выражения для сил и моментов сил инерции, а также соотношения (9.26), (9.27) и получим

2G 
0
0
a1  r 2 
 2G sin 30  2 fG cos 30 
g


2G
G
G

ra12  ra12 
ra12  0.
g
g
2g
111
Разделим это уравнение на величину Gr2  0 и определим
2sin 300  2 f cos 300 
5,5
2a1 2a1 a1 a1

 
 0;
g
g
g 2g
a1
 2  sin 300  f cos 300  ;
g
2g
2  9,8
sin 300  f cos300  

sin 300  0,1cos300   1, 473м/с2 .
5,5
5,5
Общее уравнение динамики позволяет получать дифференциальные уравнения движения механической системы, в которые не входят
реакции идеальных связей. Оно может быть использовано для систем как
с одной, так и с несколькими степенями свободы. В последнем случае
дифференциальные уравнения движения, число которых совпадает с числом степеней свободы системы, могут быть получены путем составления
уравнения (9.24) для s независимых между собой виртуальных перемещений системы. Однако эффективность использования общего уравнения
динамики существенно снижается с увеличением числа степеней свободы
системы. Это связано с необходимостью введения сил инерции и, следовательно, определением абсолютных ускорений ее точек, что приводит к
достаточно громоздким выкладкам. В таких случаях более удобным является составление дифференциальных уравнений движения в форме уравнений Лагранжа второго рода, которые будут получены в следующем
подразделе.
a1 
9.8. Уравнения Лагранжа второго рода
Преобразуем уравнение (9.23), подставив в него вариацию радиус-вектора r j по формуле (9.13)
 F
N
j 1
j
N
dv j  s rj

 m j a j  rj   Fj  m j
qk  0.

dt  k 1 qk
j 1 

Изменяя порядок суммирования, получим
s

rj
N
N
   F  q   m
k 1
112

j 1
j
k
j 1
j
dv j rj

dt qk

 qk  0.

Учитывая формулу (9.16) для обобщенной силы Qk , упростим последнее
равенство
s 
N
dv j rj 
(9.28)

 Qk   m j
 qk  0.

dt qk 
k 1 
j 1
Преобразуем произведение под знаком суммы:
mj
dv j rj
rj 
d
d rj

  mjvj 
.
  mjvj 
dt qk dt 
qk 
dt qk
(9.29)
Скорость j-й точки системы
vj 
drj
dt

rj
q1
q1  ... 
rj
qs
qs 
rj
t
.
(9.30)
линейно зависит от обобщенных скоростей qk , k  1, s , так как радиусrj rj
,
векторы r j и, следовательно, их частные производные
зависят
qk t
только от обобщенных координат и времени, как следует из формулы
(9.12). Поэтому, дифференцируя частным образом обе части равенства
(9.30) по обобщенной скорости, получим
v j
qk

rj
qk
, j  1, N ; k  1, s .
(9.31)
Продифференцируем (9.30) по обобщенной координате:
v j
qk

 2 rj
q1qk
q1  ... 
 2 rj
qs qk
qs 
 2 rj
t qk

d rj
;
dt qk
(9.32)
j  1, N ; k  1, s .
Последний результат является следствием независимости смешанных
частных производных от порядка дифференцирования.
Учитывая равенства (9.31) и (9.32), перепишем соотношение
(9.29)
dv j rj
v j 
v j
d
mj

  mjvj 

  mjvj 
dt qk dt 
qk 
qk
113

2
d   mj v j  


dt qk  2  qk
 m j v 2j  d T j T j
,


 
 2  dt qk qk
(9.33)
m j v 2j
где T j 
– кинетическая энергия j-й точки системы. Подставим по2
лученное соотношение в уравнение (9.28):
s

N
 d T j
j 1

 Q    dt q
k 1
k

k

T j  
 δqk  0 .
qk  
(9.34)
Изменяя порядок суммирования и дифференцирования, а также учитывая,
N
что
T
j 1
j
 T , где Т – кинетическая энергия системы, из уравнения (9.34)
получим

s
 Q
k 1

k
 d T T  


 δqk  0 .
 dt qk qk  
(9.35)
Так как вариации обобщенных координат δqk являются произвольными
независимыми величинами, равенство (9.35) имеет место тогда и только
тогда, когда все коэффициенты при δqk равны нулю, т.е.
d T T

 Qk ; k  1, s .
dt qk qk
(9.36)
Уравнения (9.36) носят название уравнений Лагранжа второго
рода или уравнений Лагранжа в независимых координатах. После выполнения операций дифференцирования в левые части этих уравнений
входят такие параметры: время t, обобщенные координаты qk , обобщенные скорости qk и обобщенные ускорения qk . Обобщенные силы Qk
зависят от параметров t, qk , qk . Таким образом, уравнения Лагранжа
представляют собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, т.е. порядок всей системы равен 2s. Однако порядок
системы дифференциальных уравнений, описывающих движение голономной системы с s степенями свободы, не может быть меньше, чем 2s,
так как в силу произвольности начальных значений величин qk и qk ,
114
k  1, s решение системы должно содержать, по крайней мере, 2s произвольных постоянных. Поэтому система уравнений Лагранжа второго рода
имеет наименьший возможный порядок.
Интегрирование уравнений (9.36) позволяет получить зависимости обобщенных координат от времени qk  qk  t  , k  1, s , что полно-
стью определяет движение системы. В случае несвободной системы следует также определить реакции идеальных связей, которые не входят в
уравнения Лагранжа. Подставив зависимости qi  t  в выражения (9.12),
получим зависимости радиус-векторов точек системы от времени
rj  rj  t  , j  1, N , дифференцируя которые, определим скорости v j  rj
и ускорения a j  rj всех точек. После этого найдем реакции связей из
уравнений (9.21)
R j  m j a j  Fj , j  1, N .
Пример 6. Решим задачу (см. рис. 9.8 примера 5 из подраздела
9.7) с помощью уравнения Лагранжа второго рода.
Система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной
координаты выберем координату х груза 1 (рис. 9.9), тогда уравнение Лагранжа запишем так:
d T T

 Qx .
(9.37)
dt x x
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел 1,
2и3
(9.38)
T  T1  T2  T3 .
Груз 1 движется поступательно, барабан 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 совершает плоское движение. Запишем их кинетические энергии:
T1 
G
G1 2
1
1
v1 ; T2  I 2 22 ; T3  3 vC23  I C3 32 ,
2g
2
2g
2
(9.39)
где моменты инерции:
I2 
G
G2 2 G
G 2
i2 x   2r 2 ; I C3  3 r 2 
r .
g
g
2g
2g
(9.40)
115
Выразим все скорости через обобщенную скорость x , учитывая,
что в точке Р находится мгновенный центр скоростей катка:
v1  x; 2 
vC
v1 x
1
1
1 x
x
 ; vC3  v3  2 R    2r  x; 3  3  . (9.41)
r r
2
2
2 r
r
r
Из соотношений (9.38)-(9.41) получим
T
2G 2 1 G
x2 G 2 1 G 2 x2
G
x    2r 2  2 
x  
r  2  2, 75 x 2 .
2g
2 g
2g
2 2g
g
r
r
(9.42)
Определим производные от кинетической энергии:
T
 0;
x
d T
G
 5,5 x .
dt x
g
(9.43)
2r
R
v3
r
2
3
2
S 3
C3
2
vC3
3
1
P
G3
Fтр
x
G2
v1
300
Рисунок 9.9
G1
х
300
Для нахождения обобщенной силы Qx сообщим системе виртуальное перемещение, при котором барабан 2 повернется на угол 2 , груз
1 переместится на расстояние x , а центр масс катка 3 – на S3 . Определим сумму работ активных сил на этом перемещении. Так как сила G2
116
приложена в неподвижной точке, а центр масс катка движется в горизонтальной плоскости, работы сил G2 и G3 равны нулю. Таким образом,
работу совершают только силы G1 и Fтр
Ax  AG1  AFтр  G1 sin 300 x  Fтр x   2G sin 300  2 fG cos 300  x ,
откуда
Qx 
Ax
 2G  sin 300  f cos 300  .
x
(9.44)
Подставив (9.43) и (9.44) в уравнение (9.37), получим дифференциальное
уравнение движения системы
G
5,5 x  2G  sin 300  f cos 300  ,
g
откуда определим ускорение груза 1
a1  x 
2g
2  9,8
sin 300  f cos300  

sin 300  0,1cos300   1, 473 м/с2 .
5,5
5,5
В качестве еще одного примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы, приведенную на рис. 9.7 в подразделе 9.6, для которой
получим дифференциальные уравнения движения. Используя выбранные
ранее обобщенные координаты φ и х, составим уравнения Лагранжа второго рода:
d T T

 Q ;
dt  
d T T

 Qx .
dt x x
(9.45)
Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических
энергий стержня 1 и шарика 2 (рис. 9.10): T  T1  T2 . Стержень вращается
вокруг неподвижной оси с угловой скоростью    , а шарик, принимаемый за материальную точку, совершает сложное движение. Его относительная скорость vr направлена вдоль стержня, переносная скорость ve
перпендикулярна стержню, vr  x, ve  b  x    b  x   .
Определим кинетические энергии:
▪ стержня 1
117
T1 
1
1 1
1
I112   m1l 2 2  m1l 2 2 ,
2
2 3
6
1
где I1  m1l 2 – момент инерции стержня относительно оси вращения;
3
▪ шарика 2
T2 
1
1
1
2
m2 va2  m2  vr2  ve2   m2  x 2   b  x  2  ;


2
2
2
▪ системы
T
1
1
1
2
m1l 2 2  m2 x 2  m2  b  x  2 .
6
2
2
О
b
ω
φ
x
ve
va
l
2
1
vr
Рисунок 9.10
Определим производные от кинетической энергии:
T
T 1 2
2
 0;
 m1l   m2  b  x   ;

 3
118
d T 1 2
2
 m1l   m2  b  x    2m2  b  x  x ;
dt  3
T
 m2  b  x  2 ;
x
T
 m2 x;
x
d T
 m2 x .
dt x
Подставим полученные соотношения, а также определенные ранее обобщенные силы (9.19) и (9.20) в уравнения (9.45) и получим дифференциальные уравнения движения данной системы
 m1l 2
2
 m2  b  x     2m2  b  x  x   g 0,5m1l  m2  b  x   sin  ;

3


m2 x  m2 b  x  2  m2 g cos   cx .
Зависимости обобщенных координат от времени, описывающие
движение системы, могут быть определены путем численного интегрирования полученных нелинейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях.
9.9. Принцип виртуальных перемещений
Завершая краткий обзор понятий аналитической механики и методов описания движения механической системы, остановимся на рассмотрении состояния ее равновесия, которое является частным случаем
движения системы. Равновесием является такое состояние механической
системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил
остаются в покое по отношению к выбранной системе отсчета. Будем
рассматривать равновесие относительно инерциальной системы отсчета.
Необходимые и достаточные условия равновесия механической
системы являются содержанием принципа виртуальных перемещений.
Для того чтобы некоторое положение системы, подчиненной идеальным, голономным, стационарным и удерживающим связям, было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы начальные скорости всех точек системы были равны нулю и сумма работ всех активных
сил на любом ее виртуальном перемещении из данного положения была
равна нулю, т.е.
119
N
 F  r
v j  t0   0;
j 1
j
j
0.
(9.46)
Необходимость выполнения этих условий следует из общего уравнения
динамики. Действительно, если система находится в равновесии, то скорости и ускорения всех ее точек равны нулю. Поэтому из уравнения (9.23)
получим 2-е условие (9.46). Достаточность докажем от противного.
Пусть условия (9.46) выполняются, но движение системы началось, и ее
точки получили ускорения a j  0 . Из условия идеальности связей следует
N
R
j 1
j
 rj  0 .
(9.47)
Теперь сложим 2-е уравнение (9.46) и уравнение (9.47)
 F
N
j 1
j

 R j  rj  0 ,
но Fj  R j  m j a j , поэтому
N
m a
j
j 1
j
 rj  0 .
(9.48)
Так как начальные скорости точек нулевые, а связи стационарные, перемещения, которые пропорциональны ускорениям, являются возможными
и, следовательно, виртуальными перемещениями точек системы. Выберем в качестве виртуальных перемещений rj  a j и из (9.48) получим
N
 m j a 2j  0 ,
j 1
что невозможно, если справедливо предположение о ненулевых ускорениях. Таким образом, ускорения всех точек равны нулю и, поскольку
начальные скорости нулевые, система находится в положении равновесия.
В принципе виртуальных перемещений условия равновесия механической системы сформулированы в наиболее общем виде и уравнения равновесия не содержат реакций идеальных связей.
120
Пример 7. На шток кулисного механизма действует сила P , как
показано на рис. 9.11.
Определить величину уравновешивающей силы Q , приложенной
в точке С кулисы перпендикулярно к ней, если заданы угол φ и размеры l
и R. Трением пренебречь.
y
S r
R
S e
φ
δφ
S a
A
φ
O
y A
C
Q
yA
x
l
P
Рисунок 9.11
Механизм находится в равновесии под действием двух активных
сил P и Q . Сообщим системе виртуальное перемещение, при котором
угол φ получит приращение δφ, а координата y A ползуна А – приращение
y A , и запишем уравнение равновесия
Py A  QR  0 .
(9.49)
Зависимости между вариациями координат можно установить аналитическим или геометрическим способом.
Аналитический способ. Определив зависимость между координатами y A  ltg , проварьируем ее:
y A 
l
 .
cos2 
(9.50)
121
Геометрический способ. Рассмотрим абсолютное перемещение
S a ползуна как сумму его переносного S e и относительного S r перемещений. Тогда получим
l
 
Se
OA   cos 
l 
,


Sa  y A 

cos 
cos 
cos 2 
cos 
что совпадает с соотношением (9.50). Подставим его в уравнение (9.49)
P
l 
 QR  0 .
cos2 
Разделим полученное уравнение на величину   0 и найдем
Q
Pl
.
R cos 2 
Пусть положение системы определяется s обобщенными координатами q1 , q2 ,..., qs , тогда виртуальную работу активных сил можно вычислить по формуле (9.17) и уравнение (9.46) примет вид:
s
 Q q
k 1
k
k
 0.
(9.51)
Однако вариации qk произвольны и независимы, поэтому из уравнения
(9.51) следует, что все обобщенные силы равны нулю, т.е.
Qk  0, k  1, s .
(9.52)
Таким образом, для равновесия системы с идеальными, голономными, стационарными и удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы начальные скорости всех точек системы и все обобщенные
силы были равны нулю.
Используем полученные условия для определения положений
равновесия системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 9.7.
Для этого приравняем нулю обобщенные силы Q и Qx , которые можно
найти по формулам (9.19) и (9.20):
Q   g 0,5m1l  m2  b  x   sin   0 ;
122
(9.53)
Qx  m2 g cos   cx  0 .
(9.54)
Конструкция системы такова, что b  x 0 , поэтому 0,5m1l  m2 b  x  0 и
из уравнения (9.53) следует, что sin   0 . Это значит, что равновесие
системы возможно при 1  0 (нижнее вертикальное положение стержня)
и при 2   (его верхнее вертикальное положение). Из уравнения (9.54)
m2 g
 0 , т.е пружина растяc
mg
нута, а при   2   получим m2 g  cx  0, x   2  0 , т.е. пружиc
на сжата.
при   1  0 следует, что m2 g  cx  0, x 
Вопросы для самоконтроля
1. Как сформулировать понятия свободной и несвободной систем
материальных точек?
2. Что собой представляют связи?
3. Какие виды связей существуют и как их определить?
4. Какую механическую систему называют голономной?
5. Что называют виртуальным перемещением материальной точки?
6. Что такое число степеней свободы?
7. Какие величины называют обобщенными координатами?
8. Какие связи называют идеальными?
9. Что называют обобщенной силой?
10. Какой вид имеет общее уравнение динамики?
11. Как записать систему уравнений Лагранжа второго рода?
12. Как сформулировать принцип виртуальных перемещений?
123
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.1 : Статика и кинематика.– М.: Наука, 1985.– 240 с.
2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.2 : Динамика.– М.: Наука, 1985.– 496 с.
3. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.1 : Статика.
Кинематика.– М.: Высшая школа, 1984.– 343 с.
4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.2: Динамика.– М.: Высшая школа, 1984.– 423 с.
5. Попов М.В. Теоретическая механика. Краткий курс.– М.:
Наука, 1986.– 336 с.
6. Теоретическая механика. Терминология, вып. 90.– М.: Наука,
1977.– 46 с.
7. Ільчишина Д.І., Шальда Л.М. Теоретична механіка.– К.: УМК
ВО, 1991.– 252 с.
8. Беломытцев А.С. Теоретическая механика. Краткий курс. Статика и кинематика / Тексты лекций для студентов заочной формы обучения всех специальностей.– Харьков : НТУ «ХПИ», 2004.– 76 с.
124
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Лекция 1. Динамика материальной точки . . . . . . . . . . .
4
4
1.1. Законы динамика Галилея-Ньютона . . . . . . . . . . .
1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной
точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 2. Колебательное движение материальной точки . .
2.1. Классификация сил, действующих на колеблющуюся
материальную точку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Дифференциальные уравнения прямолинейных
колебаний материальной точки . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Свободные колебания в среде без сопротивления . . . .
2.4. Свободные колебания при наличии вязкого трения . . .
2.5. Вынужденные колебания. Общий случай . . . . . . . .
2.6. Вынужденные колебания в среде без сопротивления . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
8
9
9
10
11
14
17
22
23
Лекция 3. Динамика относительного движения
материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Уравнения относительного движения . . . . . . . . . .
3.2. Принцип относительности классической механики . . .
3.3. Условия относительного покоя. Сила тяжести . . . . . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
27
28
31
Лекция 4. Механическая система. Твердое тело и его
моменты инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Масса и центр масс механической системы . . . . .
4.2. Внешние и внутренние силы . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Моменты инерции твердого тела . . . . . . . . . . .
4.4. Моменты инерции тела относительно параллельных
осей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Примеры определения моментов инерции
однородных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
32
32
32
33
.
35
.
.
37
39
125
Лекция 5. Теоремы об изменении количества движения
и о движении центра масс механической системы . . . . .
5.1. Общие теоремы динамики. Меры механического
движения и меры действия сил . . . . . . . . . . . . .
5.2. Количество движения материальной точки
и механической системы . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Импульс силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Теорема об изменении количества движения
материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Теорема об изменении количества движения
механической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Теорема Ейлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Теорема о движении центра масс механической
системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Лекция 6. Теорема об изменении кинетического момента . .
56
6.1. Кинетический момент материальной точки
и механической системы . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Теорема об изменении кинетического момента
материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Дифференциальное уравнение вращательного движения
твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля
Лекция 7. Теорема об изменении кинетической энергии . .
7.1. Кинетическая энергия материальной точки
и механической системы . . . . . . . . . . . .
7.2. Кинетическая энергия твердого тела . . . . .
7.3. Работа силы и ее мощность . . . . . . . . . . .
7.4. Работа некоторых сил . . . . . . . . . . . . .
7.5. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной точки . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Теорема об изменении кинетической энергии
механической системы . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . .
126
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
40
42
42
44
48
51
55
56
58
59
64
66
67
.
.
.
.
67
68
71
73
. . . . .
80
. . . . .
. . . . .
83
87
Лекция 8. Метод кинетостатики
. . . . . . . . . . . .
8.1. Сила инерции и принцип Даламбера
для материальной точки . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Принцип Даламбера для механической системы
8.3. Уравнения метода кинетостатики для
механической системы . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Главный вектор и главный момент сил инерции
8.5. Приведение сил инерции точек твердого тела
к простейшему виду . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
88
. . .
. . .
88
90
. . .
. . .
91
92
. . .
. . .
93
98
Лекция 9. Элементы аналитической механики
. . . . . . .
9.1. Вступление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Связи и их классификация . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Возможные и виртуальные перемещения . . . . . . . .
9.4. Число степеней свободы системы и обобщенные
координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Основная задача динамики несвободной системы.
Идеальные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Обобщенные силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7. Общее уравнение динамики . . . . . . . . . . . . . . .
9.8. Уравнения Лагранжа второго рода . . . . . . . . . . .
9.9. Принцип виртуальных перемещений . . . . . . . . . .
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
99
99
101
Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
103
104
106
109
112
119
123
127
Навчальне видання
БЄЛОМИТЦЕВ Андрій Сергійович
КОРОТКИЙ КУРС ТЕОРЕТИЧНОЇ МЕХАНІКИ.
ДИНАМІКА
Тексти лекцій
для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей
Російською мовою
Роботу до друку рекомендував С.К. Шелковий
В авторській редакції
Зав. редакційно-видавничим відділом М.П. Єфремова
Комп’ютерна верстка та графічне оформлення – І.Р. Грабовська
План 2005, п. 8
Підп. до друку . .2006 р.
Формат 60х84 1/16.
Папір офісний.
Riso-друк.
Гарнітура Таймс. Ум.-друк. арк. 7,9. Обл. вид.-арк. 9,8.
Наклад 100 прим. Зам. №
. Ціна договірна.
______________________________________________________________
Видавничий центр «НТУ ХПІ» .
Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 116 від 10.07.2000 р.
61002, Харків, вул. Фрунзе, 21
______________________________________________________________
Друкарня «НТУ ХПІ». 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21
128