Лекция 1 ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ Автор Трушин А.М.

Лекция 1
Автор Трушин А.М.
ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В большинстве процессов химической технологии и смежных с ней областей
участвуют жидкости и газы. Законы движения и равновесия этих тел являются основой
расчёта и проектирования в инженерной химии.
Эти законы изучаются в науке гидромеханика, которая включает в себя
гидростатику, кинематику жидкости и гидродинамику.
В прикладных науках технического профиля гидромеханика также называется
гидравликой.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЖИДКОСТЕЙ, МОДЕЛЬ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В отличие от твёрдых тел, жидкость может находиться в состоянии покоя только
тогда, когда в ней отсутствуют касательные напряжения, т.е. силы, отнесённые к площади
поверхности в жидкости и направленные по касательной к этой поверхности.
Жидкость в состоянии покоя не способна сопротивляться даже весьма малым
касательным силам, т.к. эти силы вызовут течение жидкости, и она всегда примет форму
ёмкости, в которой она находится.
Так себя ведут как капельные жидкости, так и газы.
В капельных жидкостях при обычных скоростях движения изменение давления
приводит к незначительным изменениям объёма, поэтому во многих случаях их
принимают несжимаемыми.
Изменение объёма газов при тех же изменениях давления значительно выше, чем у
капельных жидкостей, ввиду чего газы также называют сжимаемыми жидкостями.
Несмотря на это отличие, основные уравнения движения газов при скоростях
движения меньших скорости звука, идентичны уравнениям, описывающим движение
капельных жидкостей. Поэтому капельные жидкости и газы будем называть жидкостями,
за исключением тех случаев, когда указывать различие необходимо.
Реальные жидкости обладают вязкостью, которая при движении вызывает
касательные напряжения, что сильно осложняет математическое описание движения. В
целях упрощения решения некоторых задач гидромеханики используют понятие
идеальной жидкости, не имеющей вязкости, при движении которой не возникают
касательные напряжения.
По уравнениям, описывающим касательные напряжения, подразделяют капельные
жидкости на ньютоновские - касательные напряжения, в которых определяются по
закону внутреннего трения Ньютона - и неньютоновские - касательные напряжения в
которых не подчиняются этому закону.
Получение уравнений движения жидкостей в виде дискретных сред (как
совокупности молекул) представляет собой практически неразрешимую задачу.
По этой причине в гидромеханике жидкость условно рассматривается как
сплошная среда при сохранении свойств реальной жидкости.
Поскольку получение уравнений движения и равновесия жидкостей предполагает
использование математического понятия бесконечно малых величин, принятие модели
сплошной среды требует введения понятия физически бесконечно малого объёма.
Этот объём должен быть достаточно малым по сравнению с объёмом тела, где
изучается процесс гидромеханики, но большим по сравнению с межмолекулярными
расстояниями.
При этом жидкость в этом объёме должна быть достаточно однородной, что
требует включения в физически бесконечно малый объём достаточно большого числа
молекул, чтобы избежать влияния на свойства жидкости в данном объёме, флуктуаций на
молекулярном уровне.
Физически бесконечно малый объём идентичен понятию жидкой частицы,
движение которой рассматривается как движение материальной точки.
Основные физические свойства жидкостей в некоторой точке находятся как предел
этих свойств, осреднённых по некоторому объёму при его стягивании в материальную
точку.
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКОСТЬ
Действующие на жидкие частицы силы подразделяются на внутренние и внешние.
К внутренним относятся силы взаимодействия между жидкими частицами внутри
рассматриваемого объёма.
К внешним относятся силы, действующие на жидкость со стороны других тел (в
том числе той же жидкости) окружающих этот объём жидкости или силы физических
полей.
Внешние силы подразделяются также на два класса: объёмные (или массовые) и
поверхностные.
Объёмные силы являются дальнодействующими, как например сила тяжести.
Они действуют на каждую жидкую частицу, причём в пределах этой частицы их
можно считать постоянными. Объёмная сила пропорциональна величине объёма жидкой
частицы.
Поверхностные
силы
действуют
на
поверхности,
ограничивающие
рассматриваемый объём жидкости.
ОСНОВНЫЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ЖИДКОСТЬ
Выделим в покоящейся жидкости объём V, ограниченный поверхностью S.
Вектор сил, действующих на элемент поверхности dS, dF будет расположен
нормально к этой поверхности, так как покоящаяся жидкость не выдерживает
касательных сил, т.е. dF  dFn ( Рис.1)
Рис.1. К определению нормального напряжения
Проведём к поверхности dS внешнюю единичную нормаль (направленную из
объёма V) n . Сила dFn будет всегда сжимающей, т.к. реальные технические жидкости
практически не способны сопротивляться растягивающим усилиям без разрывов, т.е. без
потери сплошности.
Определяем величину нормального напряжения:

dF n
  Pn
dS 0 dS
 n  lim
(1)
где: Р - гидротехническое давление, являющееся модулем нормального
напряжения.
Р= [ H/м2] = [ Па]
Основным свойством гидростатического давления является то, что его величина
не зависит от ориентации площадки, на которую действует напряжение
Поскольку в
двигающейся
идеальной
(невязкой)

n
.
жидкости
отсутствуют

касательные напряжения и, соответственно, действуют только  n , давление в такой
жидкости идентично гидростатическому.
В движущейся реальной жидкости, за счёт вязкости присутствуют касательные
напряжения, поэтому величина давления зависит от ориентации площадки действия. Но,
для упрощения задачи, в реальной жидкости величину давления осредняют по
различным направлениям и, таким образом, условно считают, что величина давления
также не зависит от ориентировки площадки действия.
В этом случае величину Р называют гидродинамическим давлением.
Важнейшей величиной, характеризующей движение жидкости, является скорость
физически бесконечно малого объёма (скорость в точке). Для её определения

рассмотрим объём V, имеющий массу m и импульс J .
Средней по объёму скоростью будет отношение имульса к массе:

J
wср 
m
Скоростью в точке будем называть следующий предел


J
w  lim wср  lim
V 0
V 0 m
(2)
В гидромеханике также широко используются средняя скорость по выбранной
поверхности S, чаще всего по поперечному сечению потока


Q
wср   
S
 w n dS
(2а)
S
S

где: n – единичная внешняя нормаль к поверхности S
Q- объёмный поток жидкости (расход), входящей в сечение S, м3/с
Знак (-) означает, что входящий поток положительный.
В технических расчётах редко используют скорости в точке, там почти всегда
оперируют средними скоростями, поэтому для удобства wср обозначают w ( wср  w )
Аналогично скорости определим плотность жидкости в точке
(3)
m
V 0 V
  lim  ср  lim
V 0
Важной величиной, характеризующей движущуюся жидкость, является вязкость
(динамическая
вязкость),
определяющая
величину
касательных
напряжений.
Экспериментально установлено, что скорость частиц жидкости, соприкасающихся с
твёрдым телом, совпадает со скоростью этого тела (условие прилипания). Таким
образом, например, скорость жидкости на поверхности неподвижной пластины равна
нулю.
Рассмотрим
пример
движения
жидкости
между
двумя
параллельными
пластинами площадью S, одна из которых (верхняя) движется с постоянной скоростью
 , а другая неподвижна. Расстояние между пластинами h ( Рис 1а)
Рис.1а. Профиль скорости между двумя параллельными пластинами, одна из
которых движется.
При небольших значениях скорости движения
 , частицы жидкости, увлеченные
верхней пластиной, будут двигаться слоями параллельно друг другу на всём протяжении
расстояния h. В дальнейшем такой тип движения будет называться ламинарным.
Из такого опыта установлено, что скорость жидкости по оси x зависит линейно от
расстояния y:
wx  
y
h
Также установлено, что для движения к верхней пластине необходимо приложить
силу Т, направленную вдоль пластины, величина которой пропорциональна скорости

и площади пластины S и обратно пропорциональна расстоянию h
T 

h
S
Из результатов этого опыта найдём величину касательного напряжения
s 
T
dw
 x
S
dy
Если координата y направлена в сторону уменьшения скорости
wx , получим
(4)
dw
 s   x
dy
где  - вязкость (динамическая вязкость).   [
Н
с]  [ Па  c]
м2
В гидромеханике используется также кинематическая вязкость  
м2

;  [ ]
с

Уравнение (4) является формулировкой закона внутреннего трения Ньютона.
Вязкость жидкостей и газов определяется их природой, температурой и
давлением.
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
Классификация движений жидкостей
На уровне физически бесконечно малых объёмов выделяют три вида движения
жидкости: поступательное, вращательное и деформационное.
Из этого следует, что движение жидкости отличается от движения твёрдого тела
наличием деформационного движения, вызванного изменением формы (деформацией)
элементарных объёмов жидкости при движении.
Таким образом, жидкие частицы, двигаясь поступательно, одновременно
вращаются и деформируются.
Если гидромеханические величины

w,
P,
,

в каждой точке
рассматриваемого объёма не зависят от времени, такое движение называется
стационарным или установившимся.
В противном случае движение называется нестационарным (неустановившимся).
Кроме упомянутых выше, существуют и другие классификации движений, из
которых для данного курса наиболее важным является подразделение движений на
ламинарное и турбулентное.
При таком подразделении движений рассматривается течение макрообъёмов
жидкостей.
Ламинарное течение характеризуется строго упорядоченным перемещением
слоёв жидкостей параллельно друг другу в направлении течения. Ламинарное движение
характерно для вязких жидкостей и движения разных жидкостей в тонких слоях и
каналах (капиллярах). Оно имеет место также при обтекании жидкостью тел малых
размеров.
Жидкость также движется ламинарно в слоях, расположенных близко к твёрдым
поверхностям, хотя вдали от этих поверхностей ламинарного течения не наблюдается
(поток турбулентный).
Ламинарное течение гидродинамически неустойчиво. При потере устойчивости
оно переходит в турбулентное.
В
отличие
турбулентных
от
потоках
ламинарного,
образуются
турбулентное
течение
многочисленные
вихри
неупорядоченно.
разных
В
размеров,
нестационарно перемещающиеся по сложным траекториям.
Вследствие этого наблюдаются хаотические флуктуации гидромеханических
величин (скорости, давления, плотности).
В природе и технике жидкости в основном текут турбулентно (вода в реках и
океанах, воздух в атмосфере, жидкости в трубах и каналах, в струях). Хаотически
перемещающиеся вихри вызывают интенсивное перемешивание по поперечному
сечению потока, что приводит к ускорению переноса импульса тепла и массы, поэтому
турбулентное течение характерно для теплообменных и массообменных процессов.
Переход ламинарного течения в турбулентное характеризуется определенным
(критическим) значением безразмерного комплекса величин, называемым критерием
(числом) Рейнольдса, определяемым по формуле
Re 
wl


wl
(5)

где: w и l - характерные величины скорости и длины в рассматриваемом течении.
При течении в трубах и каналах, характерными величинами являются средняя
скорость в поперечном сечении трубы (канала) и эквивалентный диаметр ( dэ).
Re 
wd э 
(6)

Эквивалентный диаметр канала определяется по формуле
dэ 
4S
П
(7)
где: S – площадь поперечного сечения потока в канале, м2
П -смоченный периметр канала, м.
Формула показывает, что эквивалентный диаметр канала равен диаметру
виртуального круга, имеющего те же значения S и П.
Иногда
в
качестве
характерного
размера
используют
так
называемый
гидравлический радиус
r
S dэ

П 4
(8)
Экспериментальное критическое значение числа Рейнольдса, соответствующее
переходу ламинарного течения в турбулентное в прямых круглых трубах при
наибольшей возможной возмущенности течения у входа в трубу:
Reкр = 2300
При уменьшении возмущенности течения на входе можно добиться увеличения
Reкр до 50 000.
В технике течение в трубах считается устойчивым ламинарным при Re < 2300.
В области 2300 < Re < 10 000движение является неустойчивым турбулентным и
при Re  10 000 течение устойчивое турбулентное.
ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
В технической гидромеханике для описания движения жидкости используется
метод Эйлера, согласно которому анализируется изменение гидромеханических величин
в неподвижных точках пространства с течением времени. При этом рассматривается
перемещение жидкой частицы за время dt на расстояния dx, dy, dz. В конечном итоге
задачей кинематики и гидродинамики по методу Эйлера является определение функций:
 
w  w( x , y , z ,t ) , P  P( x , y , z ,t ) ,
   ( x, y , z , t )
(9)
Иначе говоря, определяется векторное поле скоростей и скалярные поля давления
и плотности.
При анализе течения жидкости используют понятие линии тока, которая
представляет собой линию в области движения жидкости, касательная к которой в
каждой точке в данный момент времени совпадает с направлением скорости.
Для установившегося движения линии тока совпадают с траекториями движения
частиц, которые определяются из системы уравнений:
dx
 wx ( x , y , z ) ,
dt
dy
 wy ( x , y , z ) ,
dt
dz
 wz ( x , y , z )
dt
(10)
где wx , wy , wz – компоненты вектора скорости w .
При неустановившемся движении компоненты скорости будут зависеть также от
времени. В этом случае линии тока совпадают с траекториями в том случае, если
направление скорости постоянно во времени.
ГИДРОДИНАМИКА.
Уравнения движения жидкости
Уравнения гидродинамики являются следствием фундаментальных законов
сохранения массы, импульса и энергии.
Уравнение неразрывности
Составим материальный баланс неразрывного (сплошного) течения жидкости.
Рассмотрим
в
поверхностью S (Рис.2).
области
течения
произвольный
объём
V,
ограниченный
Рис.2. К выводу уравнения
неразрывности
В
каждой
поверхности
нормаль
точке
проведём
этой
единичную

n . Будем считать, что
источники массы внутри объёма V
отсутствуют.
жидкости
Объёмный
(расход)
поток
входящий
в
рассматриваемую область из жидкости,
примыкающей к данному объёму, т.е.
приток жидкости снаружи:

(11)
Q   w n dS
S
Знак (-) в уравнении делает входящие
потоки положительными.
Массовый поток найдём, умножив подинтегральное выражение на плотность

M = [кг/с]
(12)
M    w n dS
S

Произведение  w называют массовой скоростью или плотностью массового
потока.
Интеграл поверхности по формуле Остроградского-Гаусса преобразуем в
интеграл по объёму

M   div w dV
(13)
V
Найдём то же изменение массы жидкости в единицу времени, рассматривая объём
V изнутри
M  
V

dV
t
Приравнивая потоки, полученные определением притока массы снаружи и
изнутри объёма V получим


 ( t  div w ) dV  0
V
(14)
Поскольку для произвольного объёма подинтегральная функция должна
обращаться в нуль, получим уравнение неразрывности (сплошности)


 div w  0
t
Уравнение
(15)
неразрывности
является
законом
дифференциальной форме. Для стационарного движения
сохранения
массы
в

=0, поэтому уравнение (15)
t
принимает вид

div w  0
(16)
Если жидкость несжимаема  = сonst, следовательно

div w  0
(17)
Запишем это уравнение для компонентов скорости
wx wy wz


0
x
y
z
(17а)

Записав div w в развёрнутой форме, из уравнения (15) получаем





 wx
 wy
 wz
  div w  0
t
x
y
z
Это уравнение можно записать в следующем виде

d
  div w  0
dt
(18)
d 




 wx
 wy
 wz
dt
t
x
y
z
где
Величина
(19)
d
называется индивидуальной (т.е. взятой для конкретной жидкой
dt
частицы) или субстанциональной производной.
Раскроем физический смысл индивидуальной производной.
Поскольку
по
методу
Эйлера
мы
следим
за
изменением
любой
гидромеханической величины при прохождении жидкой частицы за время
расстояний dx, dy, dz, то полный дифференциал плотности равен
d 




dt 
dx 
dy 
dz ,
t
x
y
z
(20)
dt
следовательно
где wx 
d 




 wx
 wy
 wz
dt
t
x
y
z
dx
dx
, wy 
y,
dt
dt
wz 
dz
dt
Первое слагаемое уравнения (20) означает изменение плотности в данной
фиксированной (неподвижной) точке пространства в течение времени dt, а остальные
слагаемые дают изменение  за счёт перемещения частицы на расстояния dx, dy, dz.
Индивидуальная производная в форме уравнения (19) может быть записана для
любой скалярной или векторной величины  (плотности, давления, скорости):
d 




 wx
 wy
 wz
dt
t
x
y
z
Частную производную

t
(21)
также называют местной производной (т.е. для
некоторой неподвижной в пространстве точки).
Из уравнения (21) можно также заключить, что - для нестационарного процесса
  ( x , y , z ,t ) , - для стационарного (

 0)
t
  ( x , y , z )
Получаем уравнение неразрывности в интегральной форме для стационарного
течения жидкости.
Рассмотрим стационарное неразрывное течение жидкости в канале произвольной
формы с непроницаемыми стенками (Рис.3).
Рис.3. К выводу уравнения неразрывности в интегральном виде
Запишем уравнения материального баланса (ур. 12-14) при

 0 , для части
t
канала, ограниченной плоскими сечениями 1 и 2 с поверхностями S1 и S2


M   div w dV    wn dS
V
S
(22)
Поскольку стенки непроницаемые, имеем равенство


M    wn dS   wn dS
S1
(23)
S2
Найдём положительные величины средней массовой скорости для сечений 1 и 2


 wn dS
 wn dS
(24)
wср1   S1
wср 2   S 2
S1
S2
Из уравнений (23) и (24) получим уравнение неразрывности в интегральной
форме
M  wср1  S1  wср 2  S 2  wср i  Si  const
(25)
В случае, когда плотность не меняется по сечению, имеем
M  1w1S1  2 w2 S2   i wi Si  const
где w1  wср1 ,
w2  wср 2
(26)
и т.д.
Для несжимаемой жидкости
Q  wi Si  const
(27)
Уравнения (25-27) служат для определения скоростей жидкости и площадей
сечений каналов.