8 К Л А С С Решение

8
КЛАСС
Задача № 1.
Решение
Средняя скорость автобуса – это отношение пройденного пути к затраченному времени. Так как
расстояние от Атомной электростанции г.Волгодонска до Ростова-на-Дону из-за дождя не изменилось,
и время, проведенное школьниками в автобусе, также не изменилось (потому что автобусы въехали в
Ростов в точно запланированное время), то есть, средняя скорость совпадает с начальной скоростью
vср = 70 км/ч.
Пусть дождь шел в течение времени t. Тогда путь, пройденный за это время, составил v₂·t. Время,
за которое после дождя автобусы проехали оставшееся расстояние, равно S/v₃. Ясно, что время,
затраченное автобусами с момента начала дождя до прибытия в Ростов, должно равняться времени,
которое потребовалось бы для преодоления того же расстояния с начальной скоростью v₁:
t
S v 2t  S
.

v3
v1
Отсюда находим время, в течение которого шел дождь:
t
Ответ: vср = 70 км/ч,
v1  S S  S v3  v1 
  
 16 минут.
v1  v2  v1 v3  v3 v1  v2 
t = 16 мин
Задача № 2.
Решение
Обозначим через x искомую глубину.
Сила тяжести, действующая на льдину с медведем, равна, g[m + лS(h + x)].
Она должна
равняться силе давления воды на нижнюю поверхность льдины, находящуюся на глубине x: Fдав = вgxS,
поскольку льдина находится в состоянии равновесия.
Отсюда получаем: 𝑥 =
Ответ: х = 1 м
𝑚+ 𝜌л ℎ𝑆
(𝜌в −𝜌л )𝑆
=
700+900∙0.1∙70
(1000−900)∙70
=1м
Задача № 3.
Решение
1). Теплота необходимая для нагрева льда до температуры 0⁰С
Q₁ = cл m(0 – T₁) = 2100·1·50 = 105000 Дж = 105 кДж
2). Теплота необходимая для таяния льда
Q₂ = λ m = 335000·1 = 335000Дж = 335кДж
3). Какое количество теплоты осталось для нагревания воды.
Q₃ = Q – Q₁ – Q₂ = 524 – 105 – 335 = 84 (кДж)
4) Нагрев воды до искомой температуры
Q₃ = cв m (Т– Т₀) или 84000 = 4200·1·T → T= 20⁰C.
T, ⁰C
Задача № 3.
Решение
Начиная и верхнего левого угла видим параллельную цепочку(1/2R + 1/2R = 1/R ), далее
последовательную (R + R = 2R) и т.д. Легко видеть, что общее сопротивление равно R
t, c
КЛАСС
9
Задача № 1.
Решение
Ракета поднялась до высоты h, к моменту выключения двигателя.
Поднялась ракета до этой высоты за время
t1 = V/а
Звук до земли с этой высоты дошел за время
t2 = h/с
Полное время звучания двигателя ракеты
τ = t1 + t2
Высота поднятия вертолета легко определяется
h=
𝑽𝟐
𝟐𝒂
(1)
(2)
(3)
(4)
Подставив (1), (2) и (4) в (3) получим квадратное уравнение
𝑽𝟐 + 𝟐𝒄𝑽 − 𝟐𝒂𝒄𝝉 = 𝟎
Решение этого уравнения 𝑉1,2 = −𝑐 ± √𝑐 2 + 2𝑎𝑐𝜏 Однако, подходит только корень со знаком
(+), т.к. по решению задачи скорость существенно положительная, т.е. 𝑉 = √𝑐 2 + 2𝑎𝑐𝜏 – 𝑐 = 80 м/с
Т.к. в момент выключения двигателя ракета имела скорость V = 80 м/с , то она поднимется ещё
на высоту Δh =
𝑽𝟐
𝟐𝐠
. Максимальная высота подъема ракеты Н = h + Δh = 1387 м.
Ответ: V = 80 м/с , Н = 1387 м
Задача № 2.
Решение
Рис.
Построим график зависимости температуры воды в
калориметре T от времени t. Известно, что он должен состоять из
горизонтального (плавление льда) и наклонного (нагрев
образовавшейся воды) участков. Имеющиеся данные позволяют
однозначно восстановить зависимость температуры от времени,
которое будем отсчитывать от момента включения нагревателя
(см. рисунок). Из графика можно найти, сколько времени
продолжалось таяние льда. З
Зависимость температуры воды от времени после того, как
весь лед растаял, дается формулой T = at + b.
Так как при t = 3 мин T = 2C, а при t = 4 мин T = 6C. Отсюда:
2 = 3a + b,
6 = 4a + b.
Решая полученную систему, находим: a = 4,
b = 10,
и
тогда
T = 4t  10.
Время таяния льда t1 определяется по точке пересечения этой наклонной прямой с прямой T = 0.
Отсюда
t₁ =
10
4
Из уравнения теплового баланса для таяния льда
= 2,5 мин = 150 с.
m λ = P t1 найдем начальную массу льда:
Pt 1
 22,7 г.
m 

После того, как лед растает, вся получившаяся вода массой m + M, где M – масса воды, изначально
бывшей в калориметре, нагревается на T = 4C за t2 = 1 мин = 60 с. Значит, из уравнения теплового
баланса для нагрева образовавшееся воды получим:
C(m + M) T = Pt2
Pt 2
откуда начальная масса воды: M 
 m  175,9 г.
C T
Ответ: m = 22,7 г
M = 175,9 г.
Задача № 3.
Решение
Идея решения заключается в том, что при условиях задачи ток через переменный резистор не идет,
и напряжение на нем равно нулю (в противном случае изменение сопротивления этого резистора
неизбежно приводило бы к изменению величины RАВ). Отсюда вытекает, что напряжения U1 и U3 на
резисторах R1 и R3 совпадают. Так как
R3
R1
,
,
U 1  U AB 
U 3  U AB 
R3  R4
R1  R2
то отсюда R1R4 = R2R3. Из этого условия находим сопротивление неизвестного резистора R3:
RR
R3  1 4 = 40 Ом.
R2
Сопротивление всей цепи можно найти, пользуясь формулой для параллельного соединения
резисторов:
1
1
1
,


R AB R1  R 2 R3  R4
откуда
R AB 
( R1  R2 ) R4
 33 Ом.
R2  R4
Задача № 4.
𝐹 тр
𝑁1
𝑁2
α
mg
Решение
Расставим силы, действующие на лестницу, точка приложения
силы тяжести буден не посредине, т.к. лестница неоднородна.
Условие равновесия: +𝑚g⃖ + ⃖𝑁 2 + ⃖𝑁 1 = ⃖0
Проекция на горизонтальную ось: 𝐹 тр 𝑠𝑖𝑛 𝛼 – N₁ cos α = 0, где
𝐹 тр = μ N₁
тогда μN₁ sin α – N₁ cos α = 0 откуда μ = ctg α
т.е. положение центра масс для получения ответа значения не
имеет.
Задача № 5.
Решение
I) Изображение предмета в плоском зеркале находится на том же расстоянии, что и сам предмет и
имеет те же размеры.
II) Минимальные размеры (минимальная высота) зеркала определяется тем, что наблюдателю должны
быть видны нижняя и верхняя точки своего изображения.
III) Поэтому, исходя из построения приведенного ниже
учитывая, что угол падения равен углу отражении,
следует, что для одного человека минимальная высота
соответствующего зеркала должна быть равна половине
его роста: L = H/2.
IV) Чтобы все члены семьи могли видеть себя в зеркале,
самый высокий (папа) должен видеть свою голову, а
самый маленький (сын) – свои ботиночки. Этим определяется требуемый размер зеркала:
L = Hп – Hс /2 = 184 – 104/2 = 132 см.
V) Нижняя граница зеркала должна находиться на высоте равной половине роста сына, т.е. h = 52 см
Ответ: L = 132 см,
h = 52 см
10
КЛАСС
Задача № 1.
Решение
Легко заметить, что произведение скорости движения на радиус паутины есть величина
𝑘
постоянная (R V = R∙𝑅 =∙k) откуда следует, что R₁ V₁ = R₂ V₂ или V₂ = V₁∙(R₁/R₂) = 5∙(2/20) =
0,5 мм/с.
Задача № 2.
Решение
Направим ось OX горизонтально, а ось OY – вертикально
вверх. Пусть A – искомое ускорение груза 1, a – величина
вертикальной составляющей ускорения груза 3. Как вытекает
из соображений симметрии, все проекции ускорений грузов
выражаются через A и a следующим образом:
a1x = A,
a2x = –A,
a3x = A,
a3y = –a,
a4x = –A,
a4y = –a.
Используя условие нерастяжимости, то есть постоянства длины нити, получим соотношение,
связывающее A и a. При смещении грузов 1 и 2 по горизонтали на Δx1 и Δx2 изменение длины нити
равно Δx2 – Δx1; при смещении грузов 3 и 4 по вертикали на Δy3 и Δy4 изменение длины нити равно –
Δy3 – Δy4. Ввиду нерастяжимости нити, полное изменение ее длины равно нулю:
Δx2 – Δx1 – Δy3 – Δy4 = 0. Отсюда a2x – a1x = a3y + a4y , и a = A.
Для нахождения ускорения A = a обозначим через T силу натяжения нити. Запишем уравнение
движения груза 3 по вертикали: T – mg = –ma, а также уравнение движения системы грузов 1 и 3 по
mg
горизонтали: T = (M+m)A. Отсюда A 
= 1 м/с².
M  2m
Задача № 3.
Решение
Т.к. сосуд один и тот же, следовательно, здесь процесс изохорический. Для изохорического процесса
имеем:
р1 р2
(Т2 – температура газа после охлаждения).

Т1 Т 2
3m
Первый закон термодинамики для этого процесса: Q  U 
R(T1  T2 ) (R – газовая постоянная).
2
Решая систему из полученных двух уравнений, находим (молярная масса гелия μ = 0,004 кг/моль):
2Q
≈ 12 г
m

p 
3RT1 1  2 
p1 

Задача № 4.
Решение
а) Пусть  < 45°. Тогда школьник увидит свое изображение в зеркале во
весь рост, в момент, когда прямая, соединяющая глаза школьника и
изображение его ног, пройдет через зеркало. Как вытекает из построения, это
произойдет, когда расстояние L2 от школьника до зеркала будет таким, что
h/L2 = tg (2). Отсюда L2= h/tg (2).
б) При  > 45° школьник сможет увидеть свое изображение в зеркале
полностью, во весь рост, только подойдя к нижнему краю зеркала вплотную.
Ответ : При  < 45° школьник увидит свое изображение полностью, во весь рост, на максимальном
расстоянии L2 = h/tg (2) от нижнего края зеркала; при  > 45° школьник сможет увидеть свое
изображение в зеркале полностью, во весь рост, только подойдя к нижнему краю зеркала вплотную.
Задача № 5.
Решение
1). Т.к. заряд на шарике малого радиуса вносится внутрь, а напряженность электрического поля
внутри заряженного проводящего шара равна 0, то весь заряд проводящего шара находится на
поверхности проводника.
2). Таким образом, заряд маленького шарика, после соприкосновения внутри с большим, стал
равным нулю.
3). Заряд большого шарика стал равным сумме зарядов большого и малого шара до
соприкосновения.
q1 = 4πεor1φ1 ,
Следовательно,
и
(1)
q2 = 4πεor2φ2 ,
(2)
то,
q₀ = q1 + q2 = 4πεo (r1 φ1 + ; r2 φ2) и т.к. 4πεo =
то q₀ =
1
9∙109
∙
м
Ф
1
9∙109
∙
м
Ф
,
(3)
(1 ∙ 270 + 10 ∙ 450) ∙ 10−2 м·В ≈ 5,3 нКл.
Потенциал большого шара легко посчитать (т.к. qo = 4πεor2φо):
φо =
𝑞𝑜
4𝜋𝜀𝑜 𝑟2
=
9∙109 ∙5,3∙10−9
10∙10−2
= 477 B
4). Потенциал маленького шарика будет таким же, т.к. внутренность шара эквипотенциальна,
то φм = φо = 477 В
Ответ: φм = φо = 477 В
КЛАСС
11
Задача № 1.
Решение
Скорость плетения паутины меняется не по линейному закону . (R не только радиус паутины, но
и расстояние от центра паутины) Однако, если рассмотреть приращения радиуса паутины за равные
малые промежутки времени Δt. Тогда ∆𝑡 =
∆𝑅
𝑉𝑐𝑝
. Такое решение подсказывает идею решения задачи:
построить график зависимости радиуса паутины как функцию от
1
𝑉
Этот график – прямая. Заштрихованная на рисунке область от R₁
до R₂ численно равна искомому времени. И ее легко найти:
1
𝑉
1⁄ + 1⁄
𝑉
𝑉
t = 1 2 2 (𝑅2 − 𝑅1 ) . Легко заметить, что произведение
скорости движения на радиус паутины есть величина постоянная
𝑘
(R V = R∙𝑅 =∙k) откуда следует, что R₁ V₁ = R₂ V₂ или
V₂ = V₁∙(R₁/R₂). Подставив в формулу для времени получим
1
𝑉2
1
𝑉1
R, м
R₁
R₂
t=
1
0,2
+
2
1
0,04
∙(25 – 5 )= 300 (с) = 5 мин.
Ответ: t = 5 мин.
Задача № 2.
Решение
Построим эквивалентную схему для электрической цепи так, как показано
на рисунке. В соответствии с законами последовательного и параллельного
соединения
резисторов,
сопротивление
этой
цепи
равно
R3 R4
R1 R2
R

 24 Ом  16 Ом  40 Ом . Поэтому через амперметр течет
R1  R2 R3  R4
ток I = U/R = 0,1125 А.
Ответ: Амперметр показывает ток I = U/R = 0,1125 А.
Задача № 3.
Решение
Т. к. векторы скоростей частиц перпендикулярны векторам магнитной индукции
соответствующих полей, то сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, т.е.
m1V12
m V2
 qV1 B1 для первого заряда. Для второго заряда 2 2  qV2 B2
(1)
R1
R2
2R
Период обращения зарядов T 
или используя (1) получим,
V
2m2
2m1
что T1 
и T2 
(2)
qB1
qB2
T
2m2 qB1
m B

 2 1 2
Тогда отношение периодов определим как 2 
(3)
T1
qB2 2m1 m1 B2
T2
2
Ответ:
T1
Задача № 4.
Решение
Из второго закона Ньютона следует, что тело будет двигаться до остановки с постоянным
ускорением a = g, где  – искомый коэффициент трения. Понятно, что далее при решении задачи
следует разделять два различных случая:
1) Тело остановится в течение первых t секунд;
2) Тело и в момент времени t будет продолжать двигаться.
Рассмотрим эти случаи.
Запишем закон движения тела в проекции на координатную ось, которая направлена вдоль вектора
скорости v для каждого из случаев 1) и 2).
Случай 1 .
gt 2
V2
.
(1) Отсюда
2
2g
Подставим значения из условия, получим: µ = 0,75
S  Vt 


V2
,
2 gS
(2)
Случай 2 .
gt 2
2(vt  S )
,
gt 2
2
Подставив соответствующие значения, получим µ = 0,1
S  vt 

(3) Отсюда
.
Ответ: µ = 0,75; если тело остановилось, пройдя путь 0,6 м ;
остановилось, пройдя путь 0,6 м.
(4)
µ = 0,1 если тело не
Задача № 5.
Решение
Условие равновесия поршня в первом случае: (p1 – p) S = Mg
(1) где
p1 – давление кислорода в первом случае. p – давление водорода в обоих случаях, т.к. его температура
и объем одинаковы в первом и во втором случаях. S – сечение цилиндра, M – масса поршня
Во втором случае, после переворачивания условие равновесия: (p – p2) S = Mg
(2) , где
p2 – давление кислорода во втором случае.
Уравнение Клапейрона-Менделеева для первого случая будет 𝑝1 𝑉 = 𝜈 𝑅 2𝑇 ,
(3) для второго
случая:
1
𝑝2 𝑉 = 𝜈 𝑅 2 𝑇
(4).
Из уравнений (3) и (4) легко получить, что 𝑝2 =
Поделив (1) на (2) с учетом (5) получим: 𝑝1 =
Ответ:
р1 = 0,8 атм;
р2 = 0,2 атм.
8
5
𝑝 = 0,8 атм,
𝑝2 =
2
5
1
р
4 1
(5).
𝑝 = 0,2 атм