ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ проф. А.В. Булинский 1/2 года, 3 курс, отделение математики

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
проф. А.В. Булинский
1/2 года, 3 курс, отделение математики
1. Случайные элементы, их распределения. Теорема Ломницкого-Улама (формулировка). Построение независимых действительных случайных величин, имеющих заданные
функции распределения.
2. Определение случайного процесса. Примеры (случайное блуждание, процесс восстановления, модель страхования Крамера-Лундберга, случайные ломаные, пуассоновская
случайная мера).
3. Цилиндрическая   алгебра B T ее структура. Примеры множеств, входящих и не
входящих в B T . Случайная функция как семейство случайных элементов и как один случайный элемент со значениями в пространстве ( S T , BT ) , порожденном измеримыми пространствами ( S t , B t ) , t  T .
4. Согласованность проекций меры Q (заданной на пространстве ( S T , BT ) ) на пространствах ( S U , B U ) , U  T .
5. Теорема Колмогорова о построении меры на пространстве ( S T , BT ) по согласованным вероятностным мерам Q J на ( S J , B J ) , где J  F (T ) – совокупность конечных подмножеств T (формулировка). Конечномерные распределения случайной функции. Критерий согласованности мер Q t1, ,t n на пространствах (R n , B (R n )) в терминах характеристических функций.
6. Процессы с независимыми приращениями. Критерий существования в терминах характеристических функций приращений процесса. Пуассоновский процесс, броуновское
движение (винеровский процесс).
7. Гауссовские случайные функции, их построение по функции среднего и ковариационной функции.
8. Эквивалентность различных определений броуновского движения.
9. Построение непрерывного броуновского движения с помощью функций Хаара и
Шаудера:
a) построение непрерывного процесса на [0, 1] ;
b) проверка гауссовости процесса, построенного на [0, 1] ;
c) построение W ( t ) на всей полупрямой.
10. Недифференцируемость (с вероятностью 1) ни в одной точке траекторий броуновского движения.
11. Фильтрация. Марковские моменты. Примеры.
12. Марковское и строго марковское свойства броуновского движения.
13. Принцип отражения.
14. Закон 0–1 Колмогорова. Доказательство того, что момент первого выхода винеровского процесса на уровень a  0 есть момент остановки.
15. Закон повторного логарифма для винеровского процесса.
16. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры (броуновское движение,
центрированный пуассоновский процесс, мартингал Леви, модель азартной игры). Разложение Дуба. Дискретный вариант формулы Танака, применение к случайным блужданиям.
17. Свойство локальности условного математического ожидания. Теорема Дуба об
остановке. Задача о разорении.
18. Основная теорема страховой математики (модель Крамера-Лундберга).
17. Слабая сходимость случайных элементов со значениями в метрических пространствах. Сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений. Крите-
рии слабой сходимости мер. Формулировка теоремы Прохорова о плотном семействе мер.
Принцип инвариантности Донскера-Прохорова (без доказательства).
18. Марковские процессы. Примеры. Эквивалентные определения марковского процесса. Марковoсть процессов с независимыми приращениями.
19. Переходная функция и переходная плотность марковского процесса. Нахождение
переходной функции n  мерного броуновского движения.
20. Марковские процессы (цепи) со счетным или конечным числом состояний. Необходимые и достаточные условия на функции  p i j (t ) и  p i (0) , обеспечивающие существование марковской цепи с заданными переходными вероятностями и заданным
начальным распределением.
21. Пуассоновский процесс. Эквивалентность различных определений. Построение
пуассоновского процесса по последовательности независимых экспоненциальных величин
(формулировка).
22. Однородные марковские процессы (цепи). Теорема о предельном поведении
 p i j (t ) при t   и о предельном поведении P( X t  j) при t   .
23. “Обратная” и “прямая” системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Простейшая система массового обслуживания с n приборами (система с отказами). Формулы
Эрланга.
24. Ортогональные случайные меры и их (   конечные) структурные меры.
25. Построение интеграла по ортогональной случайной мере. Изометрия пространств
2
L ( S , A,  ) и L 2 [ Z ] . Случай конечной и   конечной структурной меры.
26. Теорема Карунена о представлении комплекснозначной случайной функции
X t , t  T  в виде интеграла по ортогональной случайной мере:
a) случай, когда не требуется расширять исходное  Ω, F ,P  ,
b) случай, когда требуется расширять исходное  Ω, F ,P  .
27. Свойства неотрицательно определенных функций. Теорема Бохнера-Хинчина
(формулировка) и теорема Герглотца.
28. Стационарные в широком смысле процессы, их спектральное представление (при
T  R и при T Z ).
29. Эргодичность (в L 2  Ω, F , P  ).
30. Процессы скользящего среднего (на Z ) как стационарные процессы, имеющие
спектральную плотность.
31. Статистическое оценивание спектральной плотности.
32. Стохастический интеграл Ито, свойства интеграла. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях. Формула Ито (формулировка). Примеры применения. Уравнение Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека.
Литература
1. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами. М., изд-во МГУ, 1987.
2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1972.
3.* Бриллинджер Д. Анализ временных рядов. М., Мир, 1979.
4. Вентцель А.Д. Курс лекций по случайным процессам. М., Наука, 1982.
5.* Вентцель Е.С., Овчаров А.В. Прикладные задачи теории случайных процессов. М.,
Наука, 1992.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1972.
7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., Наука,
1989.
8.* Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М., Наука, 1965.
9.* Дынкин Е.Б., Юшкевич А.П. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М., Наука, 1968.
10.* Дуб Дж. Вероятностные процессы. М., Физматгиз, 1953.
11.* Ито К. Вероятностные процессы. М., Наука, 1962.
12. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М., изд-во МГУ,
1981.
13.* Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в задачах и примерах. М., изд-во МГУ,
1991.
14. Крамер Г., Лидбеттер Дж. Стационарные случайные процессы. М., Мир, 1970.
15. Крылов Н.В. Лекции по случайным процессам (части 1 и 2). М., изд-во МГУ, 1987.
16.* Ламперти Дж. Случайные процессы. Киев., Вища школа, 1983.
17.* Прохоров А.В., Ушаков А.Ф., Ушаков В.А. Задачи по теории вероятностей. М.,
Наука, 1989.
18. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. М., Наука, 1987.
19.* Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М., Наука, 1989 (второе издание).
20. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайные процессы. М., изд-во МГУ, 1992.
21. Ширяев А.Н. Вероятность. М., Наука, 1990 (второе издание).
22. Ширяев А.Н. Случайные процессы (лекции для студентов 3 курса). М., изд-во МГУ,
1972.
23. Хида Т. Броуновское движение. М., Наука, 1988.
Примечание: знаком * отмечена дополнительная литература.