Неравенства. Метод интервалов

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
(ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ) СПЕИАЛИСТОВ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ ПОСТДИПЛОМНОГО
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КАФЕДРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №324
КУРОРТНОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
ВЫПУСКНАЯ РАБОТА
УЧЕБНО- МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9-11 КЛАССОВ
«НЕРАВЕНСТВА. МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ»
АВТОР: КОХАНОВА О.В.
СЛУШАТЕЛЬ ГОДИЧНЫХ КУРСОВ
ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2013 г.
Содержание.
Содержание. .......................................................................................................................2
1. Изучение понятия числа в школьной программе и кольца Эйлера. .........................4
2.Неравенства………………………………………………………………………….....8
2.1. О решении неравенств............................................................................................8
2.2. Метод интервалов (рациональные неравенства). ...............................................9
2.3. Задания, которые нужно уметь решать для успешной сдачи ЕГЭ. .................17
а) Рациональные неравенства…………………………………………………..17
б) Общий метод решения неравенств f ( x)  O( f ( x)  O) , где f (x) любая
алгебраическая или трансцендентная функция (метод интервалов)………. 23
Приложение……………………………………………………………………………..33
Практикум №1…………………………………………………………………………..33
Практикум №2…………………………………………………………………………..35
Практикум №3…………………………………………………………………………..37
Ответы…………………………………………………………………………………...41
Список литературы………………………..……………………………………………46
2
Как ни богато естество,
играющее в нас,
необходимо мастерство,
гранящее алмаз.
И. Губерман
Данное пособие содержит методические рекомендации по решению
неравенств методом интервалов.
Пособие написано на основе многолетнего опыта работы с самыми
различными
по
уровню
подготовки
аудиториями
школьников
и
абитуриентов.
Я, постаралась в наиболее доступной форме изложить методику
решения задач по указанной теме, что, надеюсь, позволит предостеречь
читателя от многочисленных типичных ошибок, которые допускаются на
экзаменах.
В пособии большое количество разобранных примеров решено с
полными теоретическими выкладками и необходимыми пояснениями.
Всем известно, что между «понял» и «сделал сам» очень большая
пропасть, которую можно преодолеть только добросовестно решив большое
количество задач.
Поэтому в пособии приведены практикумы трех уровней сложности
четырех вариантов с ответами которые будут удобны как для учащихся, так и
для работы учителя.
Автор.
3
1. Изучение понятия числа в школьной программе
и кольца Эйлера.
В последнее время для контроля знаний учащихся применяются тесты. Характер
формулировки этих заданий непривычен для школьников. К сожалению, часто ученик 11
класса приходит в замешательство: 2- это рациональное число или нет, хотя определение
рациональных чисел мы изучаем в 6 классе. Поэтому хочу привести схему беседы с
учащимся, которую я применяю на уроках два раза в год, начиная с восьмого класса.
Тогда к концу одиннадцатого класса проблем с классификацией чисел не возникает. На
эту беседу времени необходимо совсем немного.
1. Натуральные числа – это числа употребляющиеся при счете предметов.
N  1;2;3;4;5;6;
- множество натуральных чисел.
2.
Целые числа – это все натуральные , им противоположные и число 0.
3.
Рациональными называются
m
дроби , где m  Z , n  N .
n
Z   4;3;2;1;0;1;2;3;4; - множество целых чисел.
числа,
m

Q   ;m Z,n N 
n

которые
можно
представить
в
виде
- множество рациональных чисел.
Из определения следует, что любое натуральное и целое число так же являются
рациональными, т.к.:
5 10 15 20




1 2
3
4
 2  4 6 8
2




1
2
3
4
0 0 0
0    
1 2 3
Каждое рациональное число может быть представлено в виде либо конечной десятичной
дроби, либо бесконечной, но обязательно периодической. Верно и обратное утверждение:
каждая конечная или бесконечная периодическая дробь представляет некоторое
рациональное число.
5
1
1
 0,3333  0, 3
 0,5
3
2
Полезно показать учащимся способ перевода бесконечной периодической дроби в
m
обыкновенную   без применения бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
n
4
Пример:
1) 0, 3 
1
.
3
Пусть x  0, 3 ,
тогда 10x  3, 3 .
Решим уравнение: 10 x  x  3, (3)  0, (3),
9 x  3,
1
x .
3
2) 0, 36  ? .
Пусть x  0, 36 ,
тогда 100 x  36, 36 .
Решим уравнение: 100 x  x  36, (36)  0, (36),
99 x  36,
36 4
 ,
99 11
4
0, (36)  .
11
При решении уравнения x 2  2 мы столкнулись с проблемой, что среди
рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2. Корень этого
уравнения может быть представлен бесконечной десятичной непериодической
дробью. Такие числа не являются рациональными, их называют иррациональными
m
числами. Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения , где
n
mZ , n N .
3.010010001
 5.020022000222 
x
4.
2  1.4142135
7  2.6457513
  3.1415926
(отношение длины
окружности к диаметру)
R – множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
При помощи колец Эйлера, еще раз обращаю внимание на то, что любое натуральное
число является целым, любое натуральное и целое является рациональным, а любое
натуральное, целое, рациональное, иррациональное являются действительными числами.
(См. рис.1)
5
Рис. 1.
Между множеством действительных чисел и точками координатной прямой существует
взаимнооднозначное соответствие.
Это значит: каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное
число, и каждому действительному соответствует точка на координатной прямой.
Действительные числа, это все числа, с которыми мы работаем в средней школе. Других
чисел мы пока не знаем (хотя они есть, например, комплексные числа a  bi , 1  i их
изображают на координатной плоскости).
Других чисел, кроме действительных, на координатной прямой нет.
С изображением натуральных, целых, рациональных чисел проблем не возникает рис.2 у
учащихся старших классов, а вот напомнить, как изображать отрезки иррациональной
длины, просто необходимо (см. рис.3).
Рис.2.
6
Теорема Пифагора
Рис.3.
7
2. Неравенства.
В течение ряда лет, работая со старшеклассниками на первом занятии всегда прошу
будущих абитуриентов решить неравенство:
1 1

x 4
И, к сожалению, очень редко слышу правильный ответ (один, два или ни одного на
аудиторию), хотя с методом интервалов мы начинаем знакомиться с девятого класса.
Поэтому хочу предложить материал из опыта своей работы, который применяю на уроках.
Предлагаемое методическое пособие, позволяет за несколько уроков научить решать
неравенства методом интервалов различного уровня сложности. Неравенства необходимо
решать при подготовке к ГИА И ЕГЭ.
2.1. О решении неравенств.
Неравенством с одним неизвестным называют условное неравенство вида:
f xg x , где
f x  и g x две числовые функции одного и того же аргумента x, называемого
неизвестным, а  - какой-то из знаков неравенства.
Решить неравенство – это значит найти множество его решений. Два неравенства
называют равносильными, если их множества решений совпадают.
Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства называют общую часть (пересечение)
областей определения функций, входящих в неравенство.
Множеством решений неравенства называют множество всех значений неизвестного х,
при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство. Сами
эти значения называют решениями неравенства.
Процесс решения неравенства - это цепочка равносильных переходов от исходного к
такому неравенству, множество решений которого известно или легко может быть
найдено.
Однако это не всегда удаётся сделать. В процессе неравносильных преобразований могут
появиться как посторонние решения, так и может происходить потеря решений. Причём в
отличие от уравнений, для неравенств всё обстоит значительно сложнее. Это будет
показано в последующих примерах, которые будут рассмотрены в работе.
Поэтому при решении неравенств равносильные преобразования нужно выполнять
аккуратно, следить за тем, чтобы не выйти за ОДЗ исходного неравенства или не потерять
его часть.
Наиболее распространённые преобразования, приводящие к равносильным неравенствам
(обратите внимание на связь этих утверждений со свойствами числовых неравенств):
1.
Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию,
определённую на ОДЗ, то получим неравенство равносильное исходному.
2.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одну и туже
функцию, все значения которой в ОДЗ положительны (отрицательны), то
получим неравенство, равносильное исходному (то изменив знак
неравенства на противоположный , получим неравенство равносильное
данному).
3.
Если в обеих частях неравенства стоят функции, все значения которых в
ОДЗ положительны, то возведя обе части неравенства в n-ю степень
(извлекая корень n-й степени) получим неравенство равносильное
исходному.
Это более простые («безопасные») ситуации, а теперь рассмотрим более «коварные»
случаи.
8
1.
2.
3.
Как и при решении уравнений, неприятности могут происходить в точках
обращения в ноль общего множителя левой и правой части. Эти точки ОДЗ
заслуживают отдельного рассмотрения. В случае строгих неравенств они не
являются решениями, а в случае нестрогих неравенств такие значения
являются решениями.
В отличии от уравнений, « коварными» являются и точки ОДЗ, в которых
общий множитель отличен от нуля, так как при умножении (делении) обеих
частей неравенства на положительное число или выражение знак
неравенства сохраняется, а на отрицательный – меняется на
противоположный. Поэтому приходится выделять эти подслучаи.
При решении неравенства (особенно иррациональных) часто возникает
необходимость возведения обеих частей неравенства в квадрат (чётную
степень). Это самая опасная ситуация, так как:
a) если обе части неравенства неотрицательны, то обе части неравенства
для таких значений неизвестного можно возвести в квадрат (чётную
степень), сохраняя знак неравенства;
b) если обе части неравенства имеют разные знаки, то при таких значениях
неравенства нельзя обе части неравенства возводить в квадрат (четную
степень), да и не нужно, так как сразу ясно, являются или не являются
решением неравенства значения неизвестного, реализующие эту
ситуацию. Таким образом, при необходимости возведения обеих частей
неравенства в квадрат (четную степень) приходиться выделять эти
подслучаи, проверять решения для них отдельно.
2.2. Метод интервалов (рациональные неравенства).
Самым удобным для решения неравенства типа f x O , где f x  - рациональная
функция, является метод интервалов.
Рассмотрим функцию:
n
n
n
n

x  a1  x  a2  x  a3  x  an 
f x  
x  b1 m x  b2 m x  b3 m x  bp m
1
2
3
k
1
2
3
p
,
(1)
где n1 , n2 , nk ; m1 , m2 ,  m p - натуральные числа и a i  b j i  1,2,k; j  1,2, p 
В точках x  ai функция обращается в нуль (эти точки называют нулями функции), точки
x  b j - нули знаменателя (точки разрыва функции). Если все нули функции и точки
разрыва функции отметить на числовой прямой, то они разобьют её не k  p  1
промежутков. Из курса математического анализа, известно, что внутри каждого из этих
промежутков функция f x  непрерывна и сохраняет постоянный знак. Для установления
этого знака достаточно взять любую точку из интересующего нас промежутка и
определить знак функции в этой точке.
Геометрический смысл этого факта можно проиллюстрировать, предварительно повторив
все графики функций, которые мы изучаем в школе.
9
y
y  x2
y  x3
y
1
x
y
1
x2
1
x3
Это простые иллюстрации того, как в зависимости от степени функция при переходе
через нуль, и точку разрыва меняет или не меняет знак на противоположный.
Закрашенной точкой обозначаются нули функции, не закрашенной – точки разрыва.
10
Решим неравенство:
x 2  x  2  x  3
3
Рассмотрим функцию:
x  47
3
x 2  x  2  x  3
f x  
x  47
0
Нули функции: x1  0; x2  2; x3  3 .
Точка разрыва функции: x4  4 .
Эти четыре точки разбивают числовую прямую на пять промежутков:
Так как неравенство строгое все точки (нули функции) изображаем выколотыми.
 4   ;3 f  4   0
 1   3;0 
1  0;2 
3  2;4 
5  4; 
f  1  0
f 1  0
f 3  0
f 5  0
Нам надо было решить неравенство f x   0 . Из проведённого рассуждения ясно, что это
неравенство выполняется на промежутках (-3;0), (0;2) и (4;+∞). Объединение этих
промежутков и представляет собой решение данного неравенства.
Ответ можно записать двумя способами:
1)  3;0  0;2  4; ;
2)  3  x  0;0  x  2;4  x   .
На практике для решения неравенства f x   0 (соответственно <, ≤ и ≥) где f x 
функция рассмотренного вида, применяют так называемый метод интервалов.
Он основан на трёх достаточно очевидных утверждениях, которые можно подробно
обсудить с учащимися на конкретных примерах:
1.
если с- наибольшее из чисел a i и b j , то в промежутке c;   функция
2.
f x  положительна;
если ai b j  - такая точка, что показатель степени ni m j  выражения
x  ai n
есть число нечётное, то при переходе через эту точку функция
меняет знак на противоположный. Такую точку ai b j  называют простой.
i
3.
если ai b j  - такая точка, что показатель степени ni m j  выражения
x  ai n
есть число четное, то при переходе через эту точку функция
знак не меняет. Такую точку ai b j  называют двойной.
i
В рассмотренном примере точки x  2 , x  3 , x  4 простые, а точка x  0 двойная.
Если знаки на координатной прямой расставить по правилу чередования знаков, то
получим тот же результат, что и при проверке знака функции в каждом промежутке, но
указанное правило даёт результат намного быстрее.
Условимся двойные точки на рисунке показывать подчёркнутыми числами.
11
Пример 1: Решить неравенство:
x  1x  24 x  35 x  6  0
3
x 2 x  7 
Рассмотрим функцию f  x  
x  1x  24 x  35 x  6
3
x 2 x  7 
Отметим на координатной прямой закрашенными точками нули функции, т.е. точки -6; 2; 1; 3 и незакрашенными кружочками точки разрыва этой функции, т.е. точки 0 и 7.
Обратим внимание, что точки -2 и 0 являются двойными. Расставим знаки по
рассмотренному правилу и отберём промежутки, где f x  0 .
Ответ:  6;0  0;1  3;7 .
Если неравенство строгое, и нули, и точки разрыва изображаем незакрашенными
кружочками. В записи ответа все скобки будут круглыми, т.е. к знаку неравенства (> или
≥) надо относиться очень внимательно.
Теперь надо рассмотреть все коварные случаи, которые могут встретиться при решении
неравенств подобного вида. Как все-таки поступить, если a i  b j , или встретится
множитель вида ai  x  i , а показатель степени число нечётное, или когда нули функции
являются отдельными решениями неравенства, и их очень важно не потерять.
n
5
4
5
9
Пример 2: x  1 x  2 x  7  x  4 x 3  1  0
Приведём неравенство к виду позволяющему применить метод интервалов:
x  15 x  24 x  7 5 x  49 x  1x 2  x  1  0
x 2  x  1  0 при любых значениях х, поэтому последнее неравенство равносильно
неравенству:
x  15 x  24 x  7 5 x  49 x  1  0
Ответ:  7  x  2 ;  2  x  1 ; 1  x  4 .
Пример 3:
x  5x  3 x 
2 x  34 x  5
2
0
Данное неравенство необходимо сначала преобразовать к виду, удобному для
применения метода интервалов.
 x  5 x  3 x  2  0
3 
5

 x   x  
2 
4




12
5 3
Ответ:    x  5 ;  2  x   ;  x  3 .
4 2
Пример 4:
x  1x  24 x  35 x  6  0
3
x 2 x  7 
Рассмотрим функцию (обязательно надо обращать внимание на то, что метод основан
именно на знакопостоянстве функции в отдельных промежутках):
x  1x  24 x  35 x  6
f x  
3
x 2 x  7 
Нули функции: -6; --2; 1; 3.
Точки разрыва функции: 0; 7.
Ответ:  6;0  0;1  3;7 .
Если выражение, задающие функцию громоздкое, нули функции и точки разрыва лучше
выписать, иначе можно легко ошибиться при расстановке их на координатной прямой.
Пример 5:
1 1
 ,
x 4
1 1
  0,
x 4
4 x
 0,
4x
x4

 0,
x
x4
0
x
Ответ: 0;4 .
13
Пример 6:
3x  4x 2  1  0
x 2  3x  5
Так как дискриминант знаменателя D  9  20  0 и коэффициент при x 2 a  1  0 , то при
всех х выполняется неравенство x 2  3 x  5  0 .
Тогда, умножив обе части заданного неравенства на положительный трёхчлен x 2  3 x  5 ,
получим неравенство, равносильное данному.
3x  4 x 2  1  0


3x  4x  1x  1  0
4
Ответ: x   ,  1  x  1 .
3
x 2  3x  18
0
Пример 7:
13x  x 2  42
Приведём неравенство к виду, позволяющему применить метод интервалов:
x 2  3x  18
 2
0
x  13x  42
( x  6)( x  3)
0
( x  6)( x  7)
Сократив дробь на x  6 при условии, что x  6 , получим систему, равносильную
последнему неравенству.
x 3
 0,

x  7
 x  6;
Неравенство системы решим методом интервалов:
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что число х=6 исключаем из уже
найденного решения неравенства системы.
Ответ:.  3;6  6;7
14
Пример 8:
x
2

 1  x  2   x  7  x  3
0
x 2  5 x  6 x  2

2

x
2

 1  x  2 x  7 x  3
 0,
x 2  5 x  6 x  2

2

x  1x  1x  22 x  7 x  3  0,
x  3)( x  2x  2
 x  1x  1 x  22 x  7 
0

,
 x  2 2

x  3

-7; -2; -1; 1; 2.
Ответ:  7;1  1;2  2;3  3; .
x
Пример 9:
2

 7 x  8  x  8
3
0
x  22 5  x 
x
2

 7 x  8  x  8
3
 0,
x  22 5  x 
3

x  1)( x  8 x  8

 x  2 2  x  5 
x  84 x  1  0
 x  2 2  x  5 
 0,
Ответ:  1;5  8.
Обязательно надо обратить внимание на решение x  8 , часто учащиеся его теряют,
поэтому и в тестовых заданиях дают неправильный ответ.
2 x 2  4 x 3x  x 2
0
Примет 10:
2 x  52
2 x 2  4 x 3x  x 2   0
2 x  52




x 2 2 x  4  x  3
0
(2 x  5) 2
x 2 2 x  4  x  3
0
(2 x  5) 2
15
Ответ: 1)  2.5;2  0 3; ;
2)  2.5  x  2 ; x  0 ; x  3 .
x

 1  x  2   x  7  x  3
0
x 2  5 x  6 x  2
Разложим квадратный трехчлен на множители:
x  1x  1x  22 x  7 x  3  0
x  2x  3x  2
Сократим дробь на общий множитель числителя и знаменателя, при условии
Пример 11.
2

2



x 3  0
 x  1x  1 x 2  2 x  7 
0

,
x  22

x  3  0

Решим неравенство методом интервалов, не обращая внимания на условие системы, и уже
в найденном решении неравенства исключаем число х=3.
Ответ:  7;1  1;2  2;3  3; .
1
1
1
1
1
1
1
1






0
Пример 12. 
x 1 x 2  x 3  x 4  x 5  x 6  x 7  x
Представим левую часть исходного неравенства в виде суммы 1го и 8го, 2го и 7го,
3го и 6го, 4го и 5го членов.
Получим равносильное неравенство:
2x  7
2x  7
2x  7
2x  7



0
x7  x  x  1x  6 x  2x  5 x  3x  4
1
1

2 x  7  2 1  2 1
 2
 2
0
 x  7 x x  7 x  6 x  7 x  10 x  7 x  12 
Складывая попарно дроби в скобках, получим:


3
1
0
2 x  7 2
 2
2
2
x  7 x  10 x  7 x  12 
 x  7x x  7x  6


 



4x 2  7 x   72x 2  7 x   360
0
2
2
2
2

 x  7 x x  7 x  6x  7 x  10x  7 x  12 
Последнее преобразование можно выполнить, предварительно сделав замену x 2  7 x  t .

2
2 x  7


2


Так как неравенство 4 x 2  7 x  72 x 2  7 x  360  0 справедливо при любом х, то
последнее неравенство равносильно неравенству:
16


2 x  7
 2
  0
2
2
2
 x  7 x x  7 x  6 x  7 x  10 x  7 x  12 
2х  7
0
хх  7 х  1х  6х  5х  2х  3х  4
Решим последнее неравенство, в силу равносильности проведённых преобразований,
получим решение исходного неравенства.





 7

Ответ:  7;6   5;4     ;3    2;1  0;   .
 2

2.3. Задания, которые нужно уметь решать для успешной
сдачи
ЕГЭ.
а) Рациональные неравенства
Пример 1. Вычислите сумму всех целых решений неравенства:
х 3  10 х 2  24 х
1
*
 0.
2
5 х
х  9 х  20
х х 2  10 х  24
1

*
 0,
2
х5
х  9 х  20
хх  4х  6
0,
х  4х  5х  5
 х х  6 
 0,

2
  х  5
 х  4  0;



Выпишем и найдём сумму всех целых решений неравенства: 0  1  2  3  6  12 .
Ответ: 12.
6  х  х2
 0,
Пример 2. Найти количество всех целых решений неравенства:
8х  2 х 2  х 3
принадлежащих промежутку  12;3 .



 х2  х  6
 0,
 х х 2  2х  8
х  2х  3  0 ,
хх  2х  4

17
 х3
 0,

 х х  4 
 х  2  0;

Целые решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: -3; 1.
Ответ: 2.
49
 х 2  5 х Укажите наибольшее целое решение неравенства.
Пример 3. 2
х  5х
I способ. Пусть х 2  5 х  t , тогда
49
t,
t
49
t  0,
t
49  t 2
 0,
t
t  7 t  7   0 ,
t
Решение для промежуточной переменной лучше записывать в виде неравенств:
t  7,
0  t  7

t  7,

t  7,
t  0;
 х 2  5 х  7  0,
 2
 х  5 х  7  0,
 2
 х  5 x  0;
(1)
(2)
(3)
18
1) х 2  5 х  7  0
D  25  7 * 4  0
Следовательно х 2  5 х  7  0
при любых значениях х, т.е
неравенство решений не имеет.
3)
2) х 2  5 х  7  0
D  25  7 * 4  53
5  53
х1 
 6,14
2
5  53
х2 
 1,14
2
х 2  5х  0
x  x  5  0
Решением последней совокупности является решение системы, содержащейся в
совокупности.
Наибольшее целое решение неравенства х  6 .
Ответ: 6.
II способ.
49
 х 2  5х ,
х  5х
49
 х 2  5х  0 ,
х 2  5х
2




2
49  х 2  5 х
 0,
х 2  5х
2
х 2  5 х  49
 0,
х 2  5х
х 2  5х  7х 2  5х  7  0 ,
х 2  5х
Разделим обе части неравенства на выражение х 2  5 х  7  0 положительное при любом
значении х, получим неравенство, равносильное последнему.
х 2  5х  7
 0,
х 2  5х

5  53 
5  53 
х 
 х 




2
2


 0
х  х  5


19
Ответ: 6.
Пример 4. Укажите наименьшее целое решение неравенства
х  2х  3  х  4  0,
х  2х  3 х  4
х  2х  3х  4  х  2х  3х  4  0,
х  2х  3х  4
х 2  5х  6х  4  х 2  5х  6х  4  0,
х  2х  3х  4
х  2х  3  х  4 .
х  2х  3 х  4
х 3  5 х 2  6 х  4 х 2  20 х  24  х 3  5 х 2  6 х  4 х 2  20 х  24
 0,
х  2х  3х  4
 18 х 2  48
 0,
х  2х  3х  4
18 х 2  48
 0,
х  2х  3х  4
1
0
х  2х  3х  4
Наименьшее целое решение неравенства х  5
Ответ: 5.
Пример 5. Найти число целых решений:
8х  3
1
 2
2
х  2 х  1х  х  6 х  х  2 .
2
20
8х  3

1
 0,
х  2х  1
х  1 х  3х  2
8 х  3   х  1 х  3
 0,
х  12 х  3х  2
8 х  3   х  1 х  3
 0,
х  12 х  3х  2
2
8х  3  х 2  4 х  3
х  12 х  3х  2
 х 2  4х
 0,
 0,
х  12 х  3х  2
хх  4 
0
2
х  1 х  3х  2
Целые решения: -2; 0; 3; 4.
Ответ: 4.
Пример 6. Найти число целых решений неравенства
 5;6 .
x 2  8 x  16  8 x  25
x  62
x2  9
х  42  8 х  25  0
 х  6 2
на промежутке
 0,
 0,
 x  6 2
x  3x  3  0.
 x  6 2
Целые решения: -5; -4; 4; 5.
Ответ: 4.
х 2  10 х  25
Пример 7. Укажите число целых решений неравенства
 1 ,
х  5х  7
принадлежащих отрезку 4;9 .
21
х  52  1
х  5х  7 
х 5
 1  0,

х  7
 х  5  0;
х 5 х  7
 0,

х7

 х  5;
 2 х  12
 0,

 х7
 х  5;
х 6
 0,

х  7
 х  5;
Целые решения: 4; 6; 8; 9.
Ответ: 4.
Пример 8. Указать число целых решений неравенства:
х2  х  4
1
.

х  3х  5 х  3
х2  х  4  х  5
 0,
х  3х  5
х 2  2х  1
 0,
х  3х  5
х  12  0.
х  3х  5
Решение неравенства:  5;3   1.
Целые решения: -4; -1.
Ответ: 2.
Пример 9. Найти наибольшее целое решение неравенства:
х 2  2 х 2 2 х  2  9 22х  2  0 .
х  2х
22
х
2

 2 х 2 х  2   92 х  2 
 0,
х 2  2х
2 х  2х 2  2 х 2  9  0,
х х  2 
2 х  1х 2  2 х  3х 2  2 х  3
 0,
х х  2 
Выражение х 2  2 х  3  0 положительно при любом значении х, поэтому разделим обе
части неравенства на него.
x  1x  3x  1  0 ,
x x  2 
Наибольшее целое решение: 3.
Ответ: 3.
Пример 10.. Найти наименьшее целое решение:
х3  х 2  4х  4
 0,
х 4  х 3  5х 2  5х
х 2  х  1  4 х  1
 0,
х 3  х  1  5 х х  1
х  1х 2  4  0,
х х  1х 2  5
х  1  0.
х х  1
Наименьшее целое решение: 1.
Ответ: 1.
б) Общий метод решения неравенств f ( x)  O( f ( x)  O) , где
f (x ) любая алгебраическая или трансцендентная функция (метод
интервалов).
1. Теорема: Если функция f (x) определена и непрерывна на промежутке a  x  b и
не имеет корней на этом промежутке, то при всех значениях аргумента x ,
принадлежащих этому промежутку, функция f (x) сохраняет знак.
Геометрический смысл теоремы очевиден.
2. Любая элементарная функция, т.е. функция, заданная аналитически рациональным,
иррациональным, трансцендентным выражением или выражением, составленным
23
из перечисленных с помощью конечного числа арифметических операций,
непрерывна в любой внутренней точке области определения функции.
Учитывая указанные математические факты сформулируем алгоритм обобщённого
метода интервалов для решения неравенств вида:
f ( x)  0( f ( x)  0) :
1) Находим область определения функции f (x) ;
2) Находим нули функции, т.е корни уравнения f ( x)  0 .
3) Разбиваем корнями область определения на
интервалы, посторонние
корни отбрасываем;
4) Выясняем знак функции на каждом интервале подстановкой конкретных
значений аргумента в функцию;
5) Выбираем для ответа промежутки, где знак F(x) совпадает со знаком
исходного неравенства;
Рассмотрим наиболее интересные примеры.
Пример 1: 3 x 2  4 x  5  4 x  3  0
Найти число целых решений неравенства.
Рассмотрим функцию:
f ( x)  x  5x 1  4 x  3  0
1. D(x)   3;
2. f ( x)  0 при x1  5 посторонний корень, т.к.  5   3;
x2  1 , х3  3
3.
f (0)  0 , f (2)  0 ;
f ( x)  0 при x   3;1 .
Целые решения неравенства: -3;-2;-1;0;1.
Ответ: 5.
Пример 2:
2х 1
1.
х2
2 x  1  0,
ОДЗ: 
 x  2  0;
1

x  ,
2

 x  2;
1
x  [ ;2)  (2;) .
2
2x 1
1  0 .
x2
2x 1  x  2
Рассмотрим функцию: f  x  
x2
Найдём нули функции: 2 x  1  x  2 , (*)
24
 2 x  1   x  2 2 ,

 x  2  0;
2 x  1  x 2  4 x  4,

 x  2;
 x 2  4 x  4  2 x  1  0,

 x  2;
 x 2  6 x  5  0,

 x  2;
 x1  5,

 x 2  1,
 x  2.

Имеем x  1 посторонний корень уравнения (*).
Нуль функции: x  5
f 1  0 , f 3  0 , f 6  0 ;
1
f x  0 при x  [ ;2)  5;  .
2
1
Ответ:  x  2 , x  5 .
2
x2 1
 x 1
Пример 3:
13  x 2
x2 1
  x  1  0 ,
13  x 2
x  1x  1  x  1
13  x
x  1x  1 
13  x 2
2
13  x 2
13  x 2
Рассмотрим: функцию: f x  
x  1x  1 
13  x 2
 0,
 0.

13  x 2
Найдем область определения функции:
13  x 2  0 ,
x 2  13  0 ,
x  13 x  13  0 .



25

D f    13; 13
Найдем нули функции на области определения :
x  1x  1 

13  x 2  0,
 x  1  0,

2
 13  x  x  1.
Уравнение (2) равносильно системе

1
2 
13  x 2   x  12 ,

 x  1  0;
 x 2  x  6  0,

 x  1;
 x  3,

 x  2,
 x  1;

х=2.
Корень уравнения (1) х=1.
Т.О. нули функции f (х): x1  1; x2  2 .
Нули функции f (х) разбивают область D (f) на три интервала.
Определим знак функции f(x) на каждом из полученных интервалов.
f 0  0 ; f 1.5  0 ; f 3  0 .
f x   0 при


 
x   13;1  2; 13
 


Ответ:  13;1  2; 13
Пример 4: решить неравенство:
8  2x  x 2
8  2x  x 2

x  10
2x  9
I способ. Перепишем неравенство в виде:
1 
 1
8  2x  x 2 

  0,
 x  10 2 x  9 
полученное неравенство равносильно совокупности:
26
 1
1
 x  10  2 x  9  0,

8  2 x  x 2  0,

2
8  2 x  x  0,
 x  10,

 x  4,5;
а) Решим неравенство (1) :
(1)
(2)
(3)
2 x  9  x  10
 0,
x  102 x  9
x 1
 0.
x  102 x  9
x   ;10   4,5;1 .
б) Решим неравенство (2):
x 2  2 x  8  0,
x  4x  2  0.
в) Решение системы: (1;-2)
x   4;1
г) Решения системы (3) x1= - 4; x2= 2.
Поэтому решениями совокупности,а следовательно и решениями данного неравенства
является совокупность множеств :  4;1  2.
Ответ :.  4;1  2.
8  2x  x 2
8  2x  x 2
II способ:

 0.
x  10
2x  9
1 
 1

Рассмотрим функцию f x   8  2 x  x 2 
.
 x  10 2 x  9 
8  2 x  x 2  0,

Найдём D(f):  x  10  0,
2 x  9  0;

27
 x 2  2 x  8  0,

 x  10,
 x  4,5;

( x  4)( x  2)  0,

 x  10,
 x  4,5;

D f    4;2
Найдём нули функции:


x 1
  0
8  2 x  x 2 
(
x

10
)(
2
x

9
)


x 1 =-4, x2=2, x3=1
Нули функции разбивают область определения на два промежутка,
Определим знак функции на этих промежутках.
f 0  0; f 1.5  0.
f x   0 при x   4;1  2
Ответ:  4;1  2.
Пример 5: x  1 x 2  x  2  0  0
I способ. Неравенство равносильно совокупности:
 x  1  0,
 2
 x  x  2  0,
 x 2  x  2  0;

 x  1  0,

x  2x  1  0,
x  2x  1  0;
Ответ:  1 2;.
II способ: Рассмотрим функцию:
f x   x  1 x 2  x  2
28
D f  :
x 2  x  2  0,
x  2x  1  0,
D f    ;1  2;
Нули функции: x1  2; x2  1 совпадает с концами промежутков области определения
x3  1 1  D f  .
f  2  0 ; f 3  0
f x   0 при x   1 2;.
Ответ: x   1 2;
Пример 6: Решить неравенство
Рассмотрим функцию:
x 2  14  x  log 3 3  x   0 .
f x   x 2  14  x  log 3 3  x   0
Найдём область определения функции, решив систему:
 x 2  1  0,

3  x  0;
 x  1 x  1  0,

 x  3;
D f    3;1  1;
Нули функции: x1  1, x2  1 , x3  2 , x4  4 .
f  2.5  0,
 2.5   3;2 ;
f  1.5  0,
 1.5   2;1;
f 2   0,
2  1;4 ;
f 5  0,
5  4; .
f x   0 при x   2;1  1;4 .
Ответ:  2;1  1;4 .
Пример 7:
x
2
 1x  2 x  7 x  3 log 1 x  5
2
x
 5 x  6x  2 log 2 x  1
2
2
 0.
29
 x  2,
 x  3,

 x  5,
 x  1,

 x  0.
 x 2  5 x  6  0,

 x  2  0,
ОДЗ: 
 x  5  0,
 x  1  0;

 5;0  0;1  1;2  2;3  3;
x  1x  1x  22 x  7 x  3 log x  5
0
x  3x  22 log 2 x  1
1
2
Учитывая ОДЗ, сократим дробь в левой части неравенства на выражение x  3 .
x  1x  1x  22 x  7  log x  5
0
x  22 log 2 x  1
1
2
Рассмотрим функцию:
x  1x  1x  22 x  7 x  3 log x  5
f x  
x  3x  22 log 2 x  1
1
2
Нули функции: x1  4 , x2  1 , x3  2 .
Точки разрыва учтены в ОДЗ неравенства.
f  4.5  0,
f  3  0,
f  1.5  0,
f  0.5  0,
Ответ:  4;1  0;1  2;3  3; .


Пример 8: x 2  1 x 2  4  0 .

f 0.5  0,
f 1.5  0,
f 2.5  0,
f 4   0.

Рассмотрим функцию: f x   x 2  1 x 2  4 .
 f  : x  4  0,
x  2x  2  0.
2
D f    ;2  2;  .
30
Нули функции: x1  2 , x2  2 , т.к.
 1  D  f ,
1  D  f .
f  3  0 ; f 3  0 .
f x   0 при x1  2 , x2  2 .
Ответ: x1  2 ; x2  2 .


Пример 9: x 2  3x  10 2 x 2  5x  2  0 .


Рассмотрим функцию: f x   x 2  3x  10 2 x 2  5 x  2 .
D f  : 2 x 2  5 x  2  0,
D  25  16  9,
53
1
x1 
 ,
4
2
53
x2 
 2,
4
1

2 x   x  2   0,
2

 1

x   ;2     ; .
 2

f x   x  5x  2 x  2x  1
1
Нули функции: x1  5 , x2  2 , x3   , x4  2 .
2
f  6   0,
f  3  0,
f 0   0,
f 3  0,
 6   ;5;
 3   5;2 ;
 1 
0    ;2 ;
 2 
3  2; .
 1
f x   0 при x   ;5  2     2;  .
 2
31

Ответ:  ;5  2  

1
  2; .
2
 x  3  1 4  2 2 x1 x 2  3 x .
Пример 10: Решить неравенство:
0
log 2  x  x 2  1





 x  x  1  0,
ОДЗ: 
log 2 x 2  x  1  0;
2
x   ;0  1; .

Рассмотрим функцию:

log 2 x 2  x  1  0,
x2  x 1  0 ,
D  0, a  1.
Неравенство выполняется для любого х.
x 2  x  1  1,
x 2  x  0,
x x  1  0,
x1  0, x 2  1.
 x  3  14  2 x
f x  
2 x 1

2

log 2  x  x  1
2
3 x
0
3
, x3  2 , x4  4 .
2
Отметим нули функции на ОЖЗ данного неравенства.
Нули функции: x1  1, x 2 
f  5  0,
f  3  0,
 3
f     0,
 2
 1
f     0,
 2
1
f    0,
2
5
f    0,
4
f 2   0,
 5   ;4 ;
 3   4;2 ;
3
  2;1;
2
1
   1;0 ;
2
1
 0;1;
2
5  3
 1; ;
4  2
3

2   ; .
2


3

Ответ:  4;2   1;0  0;1   ;  .
2

32
Приложение.
ПРАКТИКУМ №1
I вариант
1. Найти целочисленные решения неравенства:
6x  5
0
4x  1
в) x 2  x  2  0
а)
2  3x
0
2x  5
г) 2 x 2  7 x  3  0
б)
2. Решить неравенства:
1 1

x 3
7 x
в)   0
x 7
10
12

0
д)
x x2
2x  7
1
ж) 2
x  2x  8
а)
2
1

2x  3 4
x 8
г) 
2 x
4
5

е)
x5
x
2
x  4x  1
1
з) 2

x  4x  3 x  1
б)
ПРАКТИКУМ №1
II вариант
1. Найти целочисленные решения неравенства:
2x  3
 0;
x 1
в) 2 x 2  5 x  3  0 ;
а)
7 x  12
 0;
1  6x
г) x 2  4 x  3  0 ;
б)
2. Решить неравенство:
3 1
> ;
x 2
9 x
в)  ;
x 4
5
4
;
д) 
x 9 x
7x  1
 1;
ж) 2
x  4x  3
а)
2
1
 ;
x 1 7
x 11
г)   0;
11 x
2
7
  0;
е)
10  x x
x  7x  2 2x  8
з)

x  3x  2 x  2
б)
33
ПРАКТИКУМ №1
III вариант
1. Найти целочисленные решения неравенства:
4x  3
0
2  0,5 x
в) x 2  5 x  2  0
0,6 x  1
0
5x  2
г) x 2  2 x  3  0
а)
б)
2. Решить неравенство:
3
1

x2 8
36 x

г)
x
4
3
7
0
е) 
x x4
x2  x  6
2x

з) 2
x  3x  2 x  2
3 1

x 4
x 5
 0
в)
20 x
4
6

д)
6 x x
19 x  2
2
ж) 2
x  5x  4
а)
б)
ПРАКТИКУМ №1
IV вариант
1. Найти целочисленные решения неравенства:
3  5x
0
1  0.5 x
в) 2 x 2  9 x  4  0
а)
7 x  15
0
3x  3
г) x 2  6 x  5  0
б)
2. Решить неравенство:
1 1
 ;
x 5
64
в) x  ;
x
3
1
 0;
д) 
x x7
5x  3
 1;
ж) 2
x x2
а)
13
1
 ;
x 1 2
3
x
г)  ;
x 27
2
5
 0;
е) 
x 6 x
x 2  5 x  11
7
з) 2

0
x 1
x x2
б)
34
ПРАКТИКУМ №2
I вариант
1. Решить неравенства:
1
2

2x 2x  1
6
x2

г) 3 
x2
x
1
 x
1  2x
15
1
д)
4  3x  x 2
а)
б)
в)
x 1
x 1
1 
x 1
x
2. Найти множество значение х,
при которых значение функции
принадлежит заданному промежутку.
y
1  2x
,
2 x
у=f(х)
y  1;2,5
3. Решить неравенства:
а)
г)
x2  4
0
x 2  2x  3
б)
2  3x x 2  2 x  3  0
2 x 2  5x  3
 2x  1
2 x
д) 2 
3x  4 x  4
2
x 1
12

x 1 x  2
2 x 2  5x  3
1
2 x 2  29 x  77
1
x  2 5  2 
 x3

е) 1  x 
3
7
1
1
x
x4
в)
ПРАКТИКУМ №2
II вариант
1. Решить неравенства:
2
3

1  2х х  5
1
1

г) 2
х  3х  2 2
3
1

х х2
12
 3 х
д)
2 х
а)
б)
в) 
1
 2х  5
2х  1
2. Найти множество значений х, при которых значения функции у=f(х) принадлежат
заданному промежутку
2х  1
y
, y   3;1
1 х
3. Решить неравенства
2
х  2х  3
х 2  2х  3
9 х 2  24 х  6
0
 3 х
1
а)
б)
в)
х4
х 2  4х
4х 2  1
 1
21  
2
1
2
4
2 х  3 х  2 х  3  0 д) 1  х  2 
 х

е) 1 

г)
2
х  1 х  12  х  х  2
4 
х3 
2х  7х  6
1 
х  1
 х 1


35
ПРАКТИКУМ № 2.
III вариант
1.Решить неравенства:
а)
1
x

x 2 x
б)
2x  1
3
3x  1
г)
1
2
2  x  x2
д)
2
x
  3
x2 2
в)
2
 4 x
x 1
2. Найти множество значений х, при которых значения функций у=F(x) принадлежат
заданному промежутку.
x
1

y
, y   1; 
1 x
2

3. Решить неравенства:
x 2  2x  3
0
а)
x 2  3x
3x 2  8 x  3
в)
1
3x 2  8 x  3
д) 3 
x3 1
 1 x
б)
2x  5
x  3 3x 2  11x  20  0
г)
7 x 2  27 x  40
1
1
е) 1 

1 
x2 
1 
x  1
x  1


6
4
8


x  3 2  x x  2x  3

ПРАКТИКУМ №2
IV вариант
1. Решить неравенства:
x2
2
4x  3
а)
1
1

2x x  3
б)
г)
3 x
x 1
3
x 1
x
д) 2 x  4  
в)
1
 1 x
x5
1
2( x  1)
2. Найти множество значений х при которых значения функции у=f(x) принадлежат заданному
промежутку.
1 x
y
, y  2 : 3
x 1
3. Решить неравенства:
x2
0
а) 2
x  2x  3
( x  2)(7 x  12  x )
0
x  15  2 x 2
2
г)
8 x  4  3x 2
 3x  2
б)
x 1
5x  x 2  8
1
в) 2
x  2x  3
5
1
10


д) 2 
( X  1)( X  3) X  1 X  3
6
е) 1 

x3
2x
x 1
6
1
x3
2
36
ПРАКТИКУМ №3.
I вариант.
1. Вычислите сумму всех целых решений неравенства:
x 3  10 x 2  24 x
1

0.
2
5 x
x  9 x  20
2. Найдите количество всех целых решений неравенства, принадлежащих промежутку
 14;3:
12  x  x 2
 0.
8x  2 x 2  x 3
3. Найдите число целых решений неравенства:
8x  3
1
 2
а) 2
2
x  2 x  1x  x  6 x  x  2 ;
x 2  4x  5  4 x  3  0 ;
x 2  9 x  17
1
в)
.

x  1x  3 x  3
4. Найти число целых решений неравенства, принадлежащего промежутку 0;4 :
б)
3
x 2  2x  1
 1 .
x  1x  3
5. Укажите наибольшее целое решение неравенства:
30
4

 1 .
x  3x  4 x  4
6. Укажите наименьшее целое решение неравенства:
x  3x  4  x  5
x  3x  4 x  5
7. Решить неравенства:
а)
12  x  x 2
12  x  x 2
;

2x  7
x4
б) x  3 x 2  x  2  0 ;
в) 7 x  2 9  x 2  0 ;
г)
2x  1

x2  x
1
.
x2
8. Найдите число целых решений неравенства f g x   2 , если f x  
g x  
2
.
x2
4x  5
и
1  2x
37
ПРАКТИКУМ №3.
II вариант.
1. Вычислите сумму всех целых решений неравенства:
x 3  10 x 2  24 x
1

 0.
2
x  11x  30 5  x
2. Найдите количество всех целых решений неравенства, принадлежащих промежутку
 12;3:
6  x  x2
 0.
8x  2 x 2  x 3
3. Найдите число целых решений неравенства:
8 x  13
1
 2
а)
;
2
2
x  1 x  3x  4 x  5 x  4
3  2x  x 2  4  x  0 ;
x 2  5x  5
1
в)
.

2
x 1
x  1
4. Найти число целых решений неравенства, принадлежащего промежутку 1;5 :
б)
3
x 2  4x  4
 1 .
x  2x  4
5. Укажите наибольшее целое решение неравенства:
36
 x 2  4x .
2
x  4x
6. Укажите наименьшее целое решение неравенства:
x  3x  4  x  5
x  3x  4 x  5
7. Решить неравенства:
6  x  x2
6  x  x2
;

2x  5
x4
б)  x  12  x  3  0 ;
а)


в) x 2  1 x 2  4  0 ;
г)
3 x 
1
.
2 x
8. Найдите число целых решений неравенства f g x  1 , если f x  
g x  
3x  1
и
2x  2
3
.
x 1
38
ПРАКТИКУМ №3.
III вариант.
1. Вычислите сумму всех целых решений неравенства:
x 3  12 x 2  35 x
1

 0.
2
x  11x  30 6  x
2. Найдите количество всех целых решений неравенства, принадлежащих промежутку
 13;2:
6  x  x2
 0.
3x  2 x 2  x 3
3. Найдите число целых решений неравенства:
8 x  11
1
 2
а) 2
2
x  4 x  4x  3x  4 x  x  2 ;
3  2x  x 2  3 x  2  0 ;
1
x 2  3x  2
в) 
.

x  1 x  1x  3
4. Найти число целых решений неравенства, принадлежащего промежутку 2;7:
б)
x 2  6x  9
 1 .
x  3x  5
5. Укажите наибольшее целое решение неравенства:
20
2
а)

 1 ;
x  5x  2 x  5
49
 x 2  5x
б) 2
x  5x
6. Решить неравенства:
3  2x  x 2
3  2x  x 2
;

x 8
2x  1
б)  x  10 x  4  0 ;
а)


в) x 2  9 16  x 2  0 ;
г)
2x  3
x2
.

4x  1
2 x
7. Найдите число целых решений неравенства f g x  1 , если f  x  
g x  
2 x  10
и
x2
7
.
x 1
39
ПРАКТИКУМ №3.
IV вариант.
1. Вычислите сумму всех целых решений неравенства:
x 3  12 x 2  35 x
1

 0.
2
x  13x  42 6  x
2. Найдите количество всех целых решений неравенства, принадлежащих промежутку
 11;2:
2  x  x2
 0.
3x  2 x 2  x 3
3. Найдите число целых решений неравенства:
8 x  19
1
 2
а)
;
2
2
x  3 x  5 x  x  3x
x 2  8x  7  9  x  0 ;
x2  x  4
1
в)
.

x  5x  3 x  3
4. Найти число целых решений неравенства, принадлежащего промежутку 3;7 :
б)
2
x 2  8x  16
 1 .
x  4x  6
5. Укажите наибольшее целое решение неравенства:
25
 x 2  3x
2
x  3x
6. Укажите наименьшее целое решение неравенства:
x  2x  5  x  6
x  2x  5 x  6
7. Решить неравенства:
а)
15  2 x  x 2
15  2 x  x 2
;

3x  9
4x  5
б) x  1 x 2  x  2  0 ;
в) x  2 16  x 2  0 ;
г)
8 x
2
.

x  10
2 x
8. Найдите число целых решений неравенства f g x   2 , если f  x  
g x  
3
.
x 1
9 x  12
и
6  4x
40
ОТВЕТЫ:
Практикум №1
I вариант
1. а) 0
2.
б) –2; -1; 0
в) 0; 1
г) 1; 2
а) (0;3)
б) (-1,5; 2,5)
в) (-  ; -7)  (0; 7)
г) ( -  ; -4)  (0; 4)
д) (-  ; 0)  ( 10 11 ; 2)
е) (-  ;0)  ( 25 9 ; 5)
ж) (-4;-1)  (1; 2)
з)  -4; -3)  (-1; 1 
Практикум №1
II вариант
1.
а) 0; 1
б) 1
в) 0; 1; 2
г) 2
2.
1)
а) 0; 1; 2; 3
б) -1
в) 1,2,3,4
г) 0; 1; 2
2)
а) (0;6)
б) (1; 15)
в) (;6)  (0;6)
г) (;11)  (0;11)
д) (;0)  (5;9)
е) (;0)  (70 ;10)
9
ж) (3;1)  (1;2)
з) [3;2)  (1;2]
а) (0; 12)
б) (2; 26)
в) (-  ; -10)  (0; 10)
г) (-  ; -12)  (0; 12)
д) (-  ; 0)  ( 18 5 ; 6)
е) (-  ; 0)  ( 6 5 ;4)
ж) (-4; -1)  (2; 2,5)
з)  -2; 1)  (2; 3 
Практикум №1
VI вариант
1.
а) –1; 0
б) 0; 1; 2
в) 1; 2; 3
г) 2; 3; 4
2.
а) (0 ; 5)
б) (-1 ; 25)
в) (-∞ ;-8)  (0 ; 8)
г) (-  ; -9)  (0 ; 9)
д) ( -  ; 0)  (21/4 ; 7)
е) (-  ; 0)  (12/7 ; 6)
ж) (-2 ; -1)  (1 ; 5)
з)  3;1  1;2
41
Практикум №2
I вариант

 
1. а)  1 2 ;0  1 2 ;

3.
б)  ;0,5  0,5;1

 


 

д) 1;4
2.



б)  1 ; 1  2;
2 2
в)  ; 37  7 2;11
17
Г)  ;3   2; 2  2 ;1
3
3
 3  11   3  11 
;0    0;
д)  ;3   3;2  

2
2 

 
в)  ;1  2  0; 2  1  1;
г)  ;2  1  3;0  1  3;
а)  ;2   1;2  3;
 ;8  1;


  
Практикум №2
II вариант
1.
7  1


а)   5;    ;
8  2


3.
б)  ;3   2;0
3

б)   ;   3;4 
2

1  3  3 3  3 

;
в)   ;   

2  2
2 

 1 1  1 
в)   ;    ;5
 2 5  2 
г)  ;0  1;2  3;
3  3 

г)   2;     ;1  3; 
2  2 

3

д)   ;    1;1  2; 
2

е)  30  12
д)  1;2  6;
2.
а)  ;1  0;3
2

  ;   2; 
3

Практикум №2
III вариант
1.
а)   : 0  1 : 2
б)  1 ; 2
3
7


в) 1;2  3;
1  7 1  7 
;
г)  ;1  
  2; 
2 
 2
д)  4   2;
2.
 ;1
3
а)  ;2  0;1  3;
б)  ;4  1  5 ;
2
1
;
в)  3;0 
3






д)  ;3   1; 2  2;
3
г)  4 ; 8  3;5  5;
3
7
е)  ;2   1;1  2;
42
Практикум №2
VI вариант
1.
а)   : 1  0 : 3

б)  8 :  3
7
4

г)  1 

 
2 : 0    2  1 : 1
в)  5 : 2  5   2  5 : 
2.
 
д)  3   1 : 
2
 1 : 1
2
3


3.


 


а)  3 : 0  3 : 
2
б) 2 : 1  3 : 
3
2
в)   : 1  3 : 
2
г)   : 3  5 : 3  2 : 
2





д)   : 3   1 : 0.5  3 : 
43
Практикум №3
I вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
а)
б)
в)
а)
б)
в)
г)
8.
12
2
4
6
2
3
3
6
4 x 3
x  2 , x  1 или х  3
2
x  3 или   x  3
7
2 2  x   1
2
8
Практикум №3
II вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
а)
б)
в)
а)
б)
в)
г)
-10
3
4
6
2
3
5
6
x  3 или  2  x  1
3  x  12
x  2 или x  2
5 5
x
2
3
44
Практикум №3
III вариант
1.
2.
3.
4.
5.
7.
а)
б)
в)
а)
б)
а)
б)
в)
г)
8.
6
17
1
4
5
2
4
1
6
x  3 или 
1
 x 1
2
x4
 4  x  3 или 3  x  4
2 x4
3
-4
Практикум №3
IV вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
а)
б)
в)
а)
б)
в)
г)
8.
-15
2
4
8
2
3
4
-4
5
или 4  x  5
4
x  1 или x  2
 4  x  2 или x  4
Решений нет
1
3 x  
45
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Быков А.А. Сборник задач для поступающих в вузы: в 2ч.; Гос-ун-т – Высшая
школа экономики. – 2-е изд. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2009. – ч.1-310 с.;ч.2-316 с.
2. Белоненко Т.В., Васильева Н.И. Сборник конкурсных задач по математике.
Пособие для учащихся средних школ и абитуриантов – СПб, «СМИО Пресс», 2006.
– 448 с.
3. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре: Учеб.пособие для 8-9 кл. с углубл.
изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. – 9-е изд. –
М.: Просвещение, 2010. – 271 с.
4. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Алгебра 8 кл.: Задачник для кл. с углубл. изуч.
Математики. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2004 – 279 с.
5. Иванов А.А., Иванов А.П. Пособие для подготовки к ЕГЭ. Учебн. пособие. –
Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2011. – 295 с.
6. Иванов А.А., Иванов А.П. Тематические тесты для систематизации знаний по
математике. Учебн. пособие. 6-е изд., испр. и доп. – Пермь: Изд-во ПГНИУ, 2011.
– ч.1-176 с., ч.2-176 с.
7. Иванов А.П. Развивающая математика с тестами для 9-10 классов. Учебн. пособие.
– Пермь: Изд-во ПГНИУ, 2011. – 282 с.
8. Иванов А.П. Контрольные работы по математике. Учебн. пособие. 5-е изд.,
перераб. и доп. – М.: Физматкнига, 2011. – 304 с.
9. Иванов А.П. Математика 9 класс. Тесты. Учебн. пособие. – Пермь: Изд-во ПГНИУ,
2011. – 207 с.
10. Иванов К.П. Сборник задач по элементарной математике для абитуриентов: Учебн.
пособие. – 4-е изд., перераб. и доп. 2004. – 352 с.
11. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Задачник практикум по алгебре. – М.: ШколаПресс, 2007. – 320 с.
12. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер: Пособие для
школьников и абитуриентов – М.: Илекса, 2009 – 320 с.
46