Отдел образования администрации Центрального района Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 4 Секция математика НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА По теме Разбиение натурального ряда Сорока Александра Александровна Василькова Евгения Сергеевна Учащихся 11 В класса МОУ СОШ №4 Центрального района 8-905-958-2583 8-913-954-3357 Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна, Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа НГПУ (работа выполнена в МОУ СОШ №4) Содержание Введение 3 §1. Основные понятия и определения 4-5 §2. Две последовательности. Их свойства 6-9 §3. Упражнения 10-12 §4. Геометрическая интерпретация 13-14 §5. Некоторые приложения (Палиндромы) 15-18 Заключение 19 Список литературы 20 ВВЕДЕНИЕ 2 Целью данной натурального работы ряда на является две изучение вопроса непересекающиеся о разбиениях возрастающие последовательности. Работа состоит из пяти параграфов: Первый параграф посвящен понятиям и определениям, которые пригодятся нам в работе. Во втором параграфе идет речь о построении двух последовательностей и о гипотезе Акулича. В третьем параграфе приведены упражнения. Четвертый параграф посвящен геометрической интерпретации построения последовательностей. В пятом параграфе приведены некоторые приложения. 3 §1 Основные понятия и определения Целая и дробная части числа Определение 1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье" — целый). Если x принадлежит промежутку [r; r +1), где r — целое число, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовых неравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1). Определение 2. Число q = x - [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}. Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом {x} = x [x], а, следовательно, x = [x] + {x}. Примеры: [5]=5 [7,2]=7 [-3]=-3 [-4,2]=-5 [0]=0 {5}=0 {7,2}=0,2 {-3}=0 {-4,2}=0,8 {0}= Свойство целой части [x+n] = [x]+n, где n – натуральное число Рациональные и иррациональные числа и их свойства Определение 3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби m , где m – целое число, а n – натуральное. n Определение 4. Если число не представимо в виде m , то такое число n называется иррациональным. Теорема 1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической дроби. Любое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. 4 Примеры: 1 2 0,5= -рациональное число 0,(3)= 1 - рациональное число 3 1,0123456789101112…-иррациональное число , 2 , 3 , 5 - иррациональное число Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами 1. Если r1,r2 - рациональные числа, то r1 r2 , r1 r2 , r1 * r2 , r1 / r2 , r2 0 рациональные числа. Дано: Доказательство: r1 m1 m ; r2 2 n1 n2 рациональное 2. Если r , r * (r 0), r1 r2 r-рациональное r число, m1 m2 m1n1 m2 n2 m n1 n2 n1n2 n -иррациональное число, то (r 0) - иррациональные числа. Доказательство: (от противного) Предположим что r r1 Q 3. Если , I ,то про , * , r Q, но I - противоречие r1 ничего определенного нельзя сказать. Примеры: 2 ( 2 ) 0 Q 17 * 2 34 , 34 I 17 * 17 17,17 Q §2 Две последовательности. Их свойства. 5 В этом параграфе речь пойдет о задачах, посвященных разбиению натурального ряда на последовательности и о теореме, доказывающей их. Рассмотрим один из способов разбиения натурального ряда на две возрастающие непересекающиеся последовательности a1 a2 a3 ... и b1 b2 b3 ... , которые при любом натуральном n удовлетворяют условию bn an n . Двигаясь по натуральному ряду, можем последовательно вычислять члены обеих последовательностей. Поскольку все bn an , то наименьшее натуральное число, т.е. 1- должно равняться а1 . Следовательно, b1 a1 1 1 1 2 и так далее. Каждый раз, выбирая наименьшее неиспользованное натуральное число и считая его равным a n , затем, находя bn по формуле bn an n , можем строить последовательности. В 1877 году в «Теории звука» лорд Рэлей писал: «если x есть некоторое положительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два ряда величин n/x и n/(x-1) где n = 1,2,3…; каждое число, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключено между двумя последовательными натуральными числами”. Т.е. an [n / x] и bn [n /(1 x)] заполняют без пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если 0<x<1 и x Q. 6 Гипотеза Акулича и явные формулы И.Ф. Акулич предложил гипотезу: отношение количества a-чисел к количеству b-чисел стремится к «золотому сечению» числа, принадлежащие последовательности принадлежащие последовательности bn ). an [(1+ 5 )n/2] bn a n n =[(1+ 5 )n/2]+n=[(3+ 5 )n/2] Выведем из явных формул гипотезу Акулича. Обозначим an , 1 5 (где a-числа – 2 b-числа- числа, 1 5 ; 3 5 . 2 2 Рассмотрим натуральное число N и выясним сколько a-чисел и b-чисел среди первых N натуральных чисел, если последовательности заданы формулами: an N ; bn N Неравенства a * n N равносильно, по определению целой части, неравенству n <N+1, т.е. неравенству n<(N+1)/ . Значит, a-чисел среди первых N натуральных чисел имеется ровно [(N+1)/ ]. Аналогично, b-чисел [(N+1)/ ]. Тогда отношение количества a - чисел к количеству b- чисел равно [(N + 1)/ ] [(N + 1)/ ] Устремим N к бесконечности, получим lim N N 1 / N 1 / 3 5 2 (3 5 )1 5 3 3 1 5 21 5 5 5 5 2 2 5 1 5 4 4 2 Гипотеза оказалась верна, при условии что обе последовательности a n и bn заданы явными формулами an [(1+ 5 )n/2] bn =[(3+ 5 )n/2] Но Акулич не первый догадался представить последовательности a n и bn в виде [ an ] и [ n ]. Эти же явные формулы получаются из формул Рэлея при x = 2/(1+ 5 ), поскольку при этом величина 1-x равна как раз 2/(3+ 5 ), т.е. 1 / x, 1 /(1 x) 7 Возникает вопрос об единственности разбиения множества N на две последовательности. В статье Баабабова [2] доказывается теорема, обобщающая этот результат и утверждает, что таких разбиений натурального ряда существует бесконечно много. Приведем данную теорему и ее подробное доказательство. Обозначим 1 / x, 1 /(1 x) . Теорема. Если и - положительные иррациональные числа, связанные соотношением 1 1 1 , то среди чисел вида [ an ] и [ n ] , где n N , каждое натуральное число встречается ровно один раз. Доказательство: Поскольку > 1, в последовательности [ ], [2 ], [3 ],... никакое число не повторяется. Аналогично вследствие неравенства >1 строго возрастает и последовательность [ ], [2 ], [3 ],... Действительно, пусть [ ] – k k k 1 2k 2 2k 2 [2 ] 2k 1, Следовательно, [ ] [2 ] Докажем теперь, что каждое натуральное число встречается ровно один раз. Предположим, что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности т е k = [m] [ n] , где m,n – натуральные числа. Тогда должны быть выполнены неравенства k< m < k + 1, k< n <k + 1, т.е. m 1 m n 1 n , k 1 k k 1 k сложим эти неравенства, не забывая про условие Получим 1 1 1. mn mn 1 , k 1 k откуда k<m+n<k+1. Но такого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти в обе последовательности. Теперь предположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых натуральных чисел m и n должны выполняться неравенства m < k <k+1< (m+1), n < k <k+1< (n+1), 8 которые можно преобразовать к виду m 1 m 1 n 1 n 1 , k k 1 k k 1 mn mn2 1 , k k 1 откуда m+n<k и k+1<m+n+2 m+n<k и m+n>k-1 складывая, получаем Такого для натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно, теорема доказана. В следующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, при решении которых используются результаты данного параграфа. §3. Упражнения Упражнение 1. 9 Пусть последовательность задана формулой bn an n .Найти a31 . b11 b13 b12 b15 b14 b16 b17 b18 1 … 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 a18 a19 a1 a20 a21 a23 a24 a22 a25 a26 a27 a28 a29 a30 b19 49 50 a31 Используя эту формулу, можно найти любое a n . Упражнение 2. Вычислить: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [(1+ 5 )n/2] 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16 17 19 21 22 24 25 27 29 [(3+ 5 )n/2] 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26 28 31 34 36 39 41 44 47 Упражнение 3. 10 Используя n n 2 формулы и bn an 2n , постройте последовательности, которые заполняют весь натуральный ряд без пропусков и перекрытий. a 1 2 1,4 1 , … a 10 2 14 , n n 2 1 a2 2 2 2,8 2 , b1 a14 14 2 19 , 10 b3 b2 a 15 2 21 … a6 6 2 8,4 8 … 15 b5 b4 b6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Где bn [( 2 2)n], т.к. a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 1 1 1 2 2 2 Упражнение 4. 11 Найти явные формулы для возрастающих последовательностей an и bn , заполняющих натуральный ряд без пропусков и перекрытий и удовлетворяющих соотношению bn an 3n при всех n= 1,2,3… bn an 3n n n 3n [ n] [( 3)n] 1 1 1 1 1 1, 1 3 3 1 1 2 2 3 2 3 0 1 13 , т.к. . 0, товыбираем 2 13 1 2 13 1 13 3 ( 13 1)2 ( 13 1)( 13 3) 10 2 13 5 13 ( ):( ) 1 2 2 13 9 4 2 2( 13 3) 1, 2 5 13 2 13 1 5 13 a n [( )n], bn [( ) n] 2 2 Итак, явные формулы для последовательностей доказаны. §4.Геометрическая интерпретация 12 Удивительно простое и наглядное доказательство теоремы из § 1 получаем, если рассмотрим геометрическую интерпретацию. Пусть, как и ранее, α и β – положительные иррациональные числа. Причем 1 1 1 . Тогда , откуда 1 1 1. Нарисуем на листе бумаги, как на координатной плоскости прямую l, заданную уравнением у=(α-1)x, которое можно записать так же в виде x=(β-1)y. Занумеруем подряд все клетки, которые пересекают l, начиная с нулевой клетки, которой принадлежит начало координат (для … взято α= 1 5 ). 2 Если мы обозначим числа, стоящие над линией за a- числа, а под линией за b – числа то получатся две последовательности, о которых мы говорили в §1. Поскольку число α иррационально, прямая l не проходит через узлы сетки. Значит, l входит в очередную клетку либо слева, пересекая вертикальную линию сетки, либо снизу, пересекая горизонтальную линию. Если l вошла в клетку слева и пересекла при этом вертикаль х=n, то номер клетки, в которую при этом вошла прямая равен n+[( α-1)n]=[ αn]. 13 Если же прямая l пересекла снизу горизонталь y=m, то номер соответствующей клетки равен [(β-1)m]+m=[βm]. §5. Некоторые приложения. Палиндромы. 14 Обозначим натуральные числа принадлежащие последовательности a n буквой А, а принадлежащие последовательности bn - буквой В.построим последовательность. АВААВАВААВААВАВААВАВААВААВАВААВААВАВААВАВААВААВ АВА… Рассмотрев последовательность повнимательнее, заметим, что ее можно разделить на палиндромы. Определение: Палиндромы (перевертыш) – это слово, которое выглядит одинаково при чтении слова как слева направо, так и справа налево. Примеры: Шалаш, ротор или АВВАВАВВА. Рассмотрим задачу, связанную с палиндромами.(аналогичную задачу решал в своей статье Акулич) Из букв А и В составлено 2010-буквенное слово. Докажите, что его можно разбить менее чем на 900 более коротких слов, каждое из которых является палиндромом. Возьмем произвольное 2010-буквенное слово и разобьем его сначала на 5-буквенные – их будет всего 402. Каждое из этих 5-буквенных слов, в свою очередь, может быть составлено не более чем из двух палиндромов. Поэтому произвольное 2010-буквенное слово можно составить не более чем из 804 палиндромов, т.е. меньше чем из 900, что и требовалось доказать. Чтобы решать такие задачи в общем виде, введем функцию f(n).Через нее обозначим такое наименьшее натуральное число, что всякое слово длиной n, составленное из букв А и В может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов. Упражнение 1. 15 Придумайте слово из букв А и В которое нельзя разбить менее чем на 3 палиндрома, но которое после приписывания к нему справа или слева любой из букв А и В можно разбить на два палиндрома. АВААВВ+А Оказалось, что задачи можно решить в общем виде. Введем функцию f(n). Через f(n) обозначим такое наименьшее число, что всякое слово длиной n, состоящее из букв А и В, может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов. Пример: Найдем f(6). Всего шестибуквенных слов 26 64, но поскольку буквы А и В равноправны достаточно рассмотреть только слова начинающиеся на букву А: АААААА АА+ВААВ АВА+АВА АВВА+ВВ ААААА+В А+АВАВА АВА+А+ВВ! АВВВА+А ААА+АВА АА+ВАВ+В! АВАВА+А АВВВА+В АААА+ВВ ААВВАА АВАВА+В АВВВВА А+ААВАА А+АВВА+В! АВА+ВВ+А! А+ВВВВВ ААА+ВАВ А+АВВВА АВА+ВВВ АА+АВВА АА+ВВВ АВВА+АА ААА+ВВВ АВА+ААА АА+ВААВ ААВАА+А А+ВАААВ АВВА+В+А! Восклицательными знаками отмечены слова, которые нельзя разбить менее чем на три палиндрома. Ясно, что всякое шестибуквенное слово можно разбить не более чем на три палиндрома. Ниже приведем 10 значений функции f: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(n) 1 2 2 2 2 3 3 4 4 4 n/f(n) 1 1 1.5 2 2.5 2 2.33 2 2.25 2.5 16 n/f(n) – это средняя длина палиндромов, на которые разбито самое трудно разбиваемое n- буквенное слово. Упражнение 2. Для каждого n- 1,2,3,…10 укажите слово длиной n из букв А и В, которое нельзя разбить менее чем на f(n) палиндромов. n=1 А n=2 ВВ n=3 АВВ n=4 ААВВ n=5 АВАВВ n=6 АВААВВ n=7 ВАВААВВ n=8 ВВААВВАА n=9 АВАВАВААВ n=10 АВАВАВАВВВ В статье А.Баабабова [2] приведена теорема: При любом f(6n+2)=2n+2.при натуральном любом n имеем натуральном f(3n)=n+1, n>1 имеем f(3n+1)=n+1, f(6n+5)=2n+2, исключительное значение f(11)=5. Следствие из теоремы: Предел lim n n существует и равен 3. f ( n) Каждое слово из n букв А и В может быть разбито не более чем на [(n+4)/3] палиндромов. 1) f (3k ) k 1 lim n n 3k 3k 3 3 3 lim lim lim (3 )3 k f (n) k f (3k ) k k 1 k 1 17 2) f (3k 1) k 1 lim n n 3k 1 3k 1 lim lim 3 k k f ( n) f (3k 1) k 1 3) f (6k 2) 2k 2 lim n n 6k 2 6k 2 3k 1 lim lim lim 3 f (n) k f (6k 2) k 2k 2 k k 1 4)f(6k+5) = 2k+2 lim n n 6k 5 lim 3. k f ( n) 2k 2 Итак, в каждом из случаев получаем один и тот же предел 3. Следовательно, lim n n 3. f ( n) 18 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В процессе работы над темой нами были изучены вопросы о разбиениях натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности, также были решены самостоятельно 6 упражнений, доказано следствие к теореме из § 3. 19 Литература 1. Акулич И.Ф. Ум хорошо, а пять лучше // Квант. – 1998. - №6 2.Баобабов А. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант.-1999. - №4,№5 3. Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика М.Наука, 1976 4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра 8 класс. М. Просвещение, 1996 20