10_Tema_03_urok_2

(Класс 10, модуль III, урок 2)
Урок 2. Способы записи рациональных чисел
План урока
 2.1. Возможность различной записи рациональных чисел
 2.2. Зависимость представления рационального числа
в
виде
обыкновенной дроби от системы счисления
 2.3. Запись рационального числа в виде конечной или бесконечной дроби
 2.4. Примеры восстановления рационального числа по бесконечной
десятичной дроби
 2.5. Цепная дробь
 2.6. Пример записи рационального числа в виде цепной дроби
 2.7. Связь представления рационального числа в виде цепной дроби и
алгоритма Евклида
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока: придать дальнейшее развитие мысли о том, чторациональное
число имеет различные записи, указав, что каждое рациональное число
можно записать в виде конечной или бесконечной десятичной дроби,
причем на конкретном примере демонстрируется, что цифры в десятичной
записи рационального числа будут периодически повторяться. Кроме того,
на примерах демонстрируетя, как периодической десятичной дроби можно
сопоставить рациональное число в виде обыкновеннойдроби. В конце
урока приводится еще один способ записи рациональных чисел – в виде
цепной дроби, и указывается насвязь такого представления с алгоритмом
Евклида.
2.1. Возможность различной записи рациональных чисел
Одно и тоже рациональное число можно записать по-разному.
Наиболее часто используется запись в виде отношения целого числа к
натуральному, Например: 2 ,  11 , 312 .
5
7 100
В том случае, когда знаменатель дроби является степенью числа 10,
используют и другой способ записи в виде десятичной дроби. Например,
312  312 ;  53785  53 785
100
1000
Вопрос. Как сравнить рациональные числа по их записи в виде
дробей?
2.2. Зависимость представления рационального
обыкновенной дроби от системы счисления
числа
в
виде
Запись рациональных чисел в виде отношения целых чисел, вообще
говоря, зависит от выбора системы счисления, в которой записываются
натуральные числа. Например, если натуральные числа записать в двоичной
системе счисления, то дробь 7 может выглядеть как 111 , то есть
11
1011
(111)
7 
2
.
11 (1011)2
Вопрос. Как записать натуральное число в двоичной системе
счисления?
2.3. Запись рационального числа в виде конечной или бесконечной
дроби
Каждое рациональное число можно записать в виде конечной или
27  1 85 ;
1  0 5 ;
бесконечной
десятичной
дроби. Например,
2
20
1  0 3333…3…. Для краткости последнюю бесконечную десятичную дробь
3
обозначают как 0 (3)
Представление рационального числа в виде конечной или
бесконечной десятичной дроби можно получить по алгоритму, который
напомним на конкретном примере.
Пример 1. Запишем рациональное число 2 4  70 в виде десятичной
33 33
дроби.
Для этого рассмотрим процесс деления "столбиком" числа 70 на
число 30. После нескольких шагов деления нетрудно заметить, что на
первом, третьем, пятом и всех последующих нечетных шагах в остатке
появляется одно и то же число 4. Между каждыми двумя появлениями
остатка 4 в процессе деления повторяются одинаковые действия.
Следовательно, цифры в десятичной записи числа 70 будут периодически
33
повторяться, и мы придем к равенству 70  2121212…. Для краткости
33
полученную бесконечную десятичную дробь записывают в виде 2 (12) .
Повторяющуюся группу цифр 12 называют периодом данной дроби.
Отметим, что процессу деления числа 70 на 33 соответствует цепочки
неравенств: 2  70  3 ; 21  70  2 2 ; 212  70  213 ; 2121  70  2122 и
33
33
33
33
так далее.
Вопрос. Как доказать, что 2 (12)  21(21) ?
2.4. Примеры восстановления рационального числа по бесконечной
десятичной дроби
Покажем на примерах, как по бесконечной десятичной
периодической дроби можно восстановить соответствующее ей
рациональное число. Будем считать, что при умножении бесконечной
десятичной дроби на 10k , как и в случае конечных дробей, десятичная
запятая переносится на k разрядов вправо.
Пример 2. Пусть x  2 (61) . Период этой дроби состоит из двух
цифр. Поэтому 100 x  261 (61) . Тогда
100 x  x  (261  0 (61))  (2  0 (61))  261  2  259
Следовательно, x  259 .
99
Пример 3. Пусть x  0 (236) . Период этой дроби состоит из трех
цифр. Поэтому 1000 x  236 (236) . Значит,
1000 x  x  (236  0 (236))  (0 236)  236
Следовательно, x  236 .
999
Вопрос. Как доказать, что 2 (61)  2  0 (61) ?
2.5. Цепная дробь
В теоретических исследованиях иногда используется запись чисел в виде
цепной дроби. Под цепной дробью мы будем иметь в виду
"многоступенчатую" дробь
1
M
(1)
1
a1 
1
a2  .... 
an 1  1
an
где число M — целое, числа a1 , a2 , …, an 1 , an — натуральные. Пример
цепной дроби дает выражение
1
3

(2)
1
5
1 1
2 1
4
Последовательным выполнением арифметических операций каждую цепную
дробь вида (1) можно записать в виде отношения целых чисел. Например,
для цепной дроби (2) получаем
1
1
1
13 235
3
 3
 3
 3 

1
1
9
14 74
5
5
5
13
1 1
1 4
1
9
2
4
Аналогичные преобразования можно выполнить для любой цепной
дроби вида (1). Отсюда следует, что каждая цепная дробь представляет
некоторое рациональное число.
Запись цепной дроби в виде (1) громоздка. Поэтому обычно
используют следующее обозначение
[M  a1 a2  a3 … an ]
(3)
В частности, цепную дробь (2) можно записать в виде [3 51 2 4] .
Вопрос. Пусть a  [3 51 2 4] . Как записать в виде цепной дроби
число a 1 ?
2.6. Пример записи рационального числа в виде цепной дроби
Рассмотрим на примере, как произвольное рациональное число r
записать в виде цепной дроби.
Пусть r  216 . Сначала выделим слагаемым целую часть числа r .
67
Так как 3  r  4 , то целая часть r равна 3. Поэтому
r  3  15  3  1 , где r1  67  1 .
67
r1
15
После этого выделим целую часть числа r1 :
r1  4  7  4  1 , где r2  15  1 .
15
r2
7
Далее выделим слагаемым целую часть числа r2 :
r2  2  1  2  1 , где r3  7 .
7
r3
На этом процесс записи числа r в виде цепной дроби заканчивается, и мы
получаем
216
1
1
1
r
 3  3
 3 

67
r1
4 1
4 1
r2
2 1
7
216
Таким образом,
 [3 4 2 7] .
67
Вопрос. Как записать в виде цепной дроби число 225 ?
157
2.7. Связь представления рационального числа в виде цепной дроби и
алгоритма Евклида
Процесс представления рационального числа в виде цепной дроби
связан с алгоритмом Евклида. В самом деле, вернемся к примеру из
предыдущего пункта. Выделение целой части числа 216 соответствует
67
делению с остатком числа 216 на 67: 216  3  67  15 . При этом целая часть
равна неполному частному 3, а дробная часть представляет из себя
отношение остатка 15 к делителю 67.
Выделение целой части отношения 67 соответствует делению с
15
остатком числа 67 на 15: 67  4 15  7 . Далее, выделение целой части
отношения 15 соответствует делению с остатком числа 15 на 7: 15  2  7 1.
7
Наконец, выделение целой части отношения 7 соответствует делению с
1
остатком числа 7 на 1: 7  7 1  0 Так как при этом получается нулевой
остаток, то процесс заканчивается.
С другой стороны, применяя алгоритм Евклида к числам 216 и 67, мы
получим точно такие же равенства: 216  3  67  15 , 67  4 15  7 ,
15  2  7 1, 7  7 1 . Из найденных при этом частных как раз и составляется
цепная дробь, представляющая число 216 .
67
Вопрос.
Как доказать, что каждое рациональное число
единственным образом записывается в виде цепной дроби, если считать, что
последнее число в этой записи больше 1?
Мини-исследование.
Для цепной дроби a  [a0  a1 a2  an ] можно рассмотреть цепные
a
a a 1
дроби a0  [a0 ]  0 , a1  [a0  a1 ]  a0  1  0 1 , [a0  a1  a2 ] , и так далее.
1
a1
a1
Каждая цепная дробь ak  [a0  a1 ak ] , где 0  k  n , называется k -й
подходящей дробью к числу a .
1. Докажите, что подходящую дробь ak можно представить в виде
P
отношения k целых чисел Pk и Qk , которые вычисляются по правилам:
Qk
P0  a0 , Q0  1 , P1  a0 a1  1 , Q1  a1 , Pk  ak Pk 1  Pk 2 , Qk  ak Qk 1  Qk 2 при
2k n.
2. Пусть для цепной дроби   [a0  a1 a2  a2 ] подходящие дроби  k
P
представлены в виде k , где Pk и Qk вычисляются по правилам, указанным
Qk
в пункте 1. Докажите, что:
а) Pk Qk 1  Pk 1Qk  (1) k 1 ;
б) Pk и Qk взаимно просты;
Pk Pk 1 (1) k 1


;
Qk Qk 1 Qk 1Qk
г) a2 m2  a2 m ; д) a2 m1  a2 m1 .
в)
Проверь себя. Способы записи рациональных чисел
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Значение числового выражения
 81, 624 : 4,8  4,505 
2
 125  0, 75
 0, 44 : 0,88  3,53  2, 75  : 0,52
2
2
равно
2
 1. 20 ;  2. 50 ;  3. 1 ;  4. 2, 75 .
(Правильный вариант: 1)
Значение числового выражения
 4 1  5, 4  0, 2(6)
 3
: 4  0,8(3)  2 7 : 8 7  7,91(6)
 13  0, 0(3)  0,1
8
24
 15
равно
 1. 17, (6) ;  2. 30 ;  3. 1 ;  4. 42,5 .
(Правильный вариант: 2)



: 3  9
 14 42

 

Известно, что 1  0,(1) . Какой из указанных бесконечных периодических
9
дробей равно число 1 :
18
 1. 0, (05) ;  2. 0, 0(5) ;  3. 0, (01) ;  4. 0, (10) ?
(Правильный вариант: 2)
Известно, что 1  0, 0(3) . Какой из указанных бесконечных периодических
30
дробей равно число 1  3 :
30
 1. 0, 0(9) ;  2. 0, 01(0) ;  3. 0, (01) ;  4. 0, (10) ?
(Правильный вариант: 2)
Периодическая десятичная дробь 3, (73) равна следующей обыкновенной
дроби:
 1. 370 ;  2. 371 ;  3. 372 ;  4. 373 ?
99
99
99
99
(Правильный вариант: 1)
Периодическая десятичная дробь 2, 2(41) равна следующей обыкновенной
дроби:
 1. 2219 ;  2. 2239 ;  3. 2241 ;  4. 2239 ?
990
990
990
999
(Правильный вариант: 1)
Проверь себя. Способы записи рациональных чисел
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
В каких из следующих случаев число a меньше числа b :
 1. a  1 
1
, b  1
1
;
2 1
2 1
3
4
1
1
 2. a  1 
, b  1
;
3 1
2 1
2
3
1
1
 3. a 
, b
;
1
1
1
1
2 1
3 1
3
2
1
1
 4. a 
, b
;
1
1
100 
101 
101
100
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
В каких из следующих случаев число a меньше числа b :
1
1
 1. a  1 
, b  1
;
2 1
2 1
3
4
1
1
 2. a  1 
, b  1
;
3 1
2 1
2
3
1
1
 3. a 
, b
;
1
1
1
1
2 1
3 1
3
2
1
1
 4. a  1 
, b  1
;
1
1
1
1
2 1
3 1
3
2
(Правильные варианты: 1)
Домашнее задание
1. Запишите в виде бесконечной
рациональное число:
а) 5 ; б) 2 ; в) 4 ; г) 2 .
11
7
3
17
периодической
десятичной
дроби
2**. Какие рациональные числа вида m представляются в виде конечных
n
десятичных дробей?
3. Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби:
0 2(5)
0 2(27)
а)
; б) 0 3(8)  0 5(45) ; в)
; г) 0 (351) .
012(7)
0 (63)
4. Вычислите
0 8(5)  016(1)  0 8(3)  01(6)
.
0 8(5)  017(1)  0 8(3)  01(6)
Словарь терминов
Рациональное число – множество всех равных между собой дробей.
Каждая из этих дробей является записью рационального числа. Однако
рациональное число не обязательно записывать в виде отношения целых
чисел, его можно записать в виде конечной или бесконечной десятичной
дроби.
Бесконечная
десятичная
периодическая
дробь.
Пусть
x  a0 , a1a2 a3 …ak ak 1...ak  p ak 1...ak  p ak 1...ak  p ... , повторения десятичных знаков
после запятой начинаются с k  1 -го разряда, цифра, стоящая на n  p -м
месте после запятой совпадает с цифрой, стоящей на n -м месте: an  p  an
для n  k . Группа цифр ak 1ak  2 ...ak  p является периодом десятичной дроби
Периодическую
десятичную
дробь
можно
записать
x.
x
x  a0 , a1a2 a3 …ak (ak 1...ak  p ) . Ясно, что периодом этой десятичной дроби
является также повторенная несколько раз группа цифр
например,
ak 1ak  2 ...ak  p ,
ak 1ak  2 ...ak  p ak 1ak  2 ...ak  p , x  a0 , a1a2 a3 …ak (ak 1...ak  p ak 1...ak  p ) .
Кроме того, периодом десятичной дроби x является группа цифр
ak l 1ak l  2 ...ak  p ak 1ak  2 ...ak l , и десятичную дробь x можно записать
x  a0 , a1a2 a3 …ak ak 1...ak l (ak l 1ak l  2 ...ak  p ak 1ak  2 ...ak l ) .
Цепная дробь – "многоступенчатая" дробь
1
M
1
a1 
1
a2  .... 
an 1  1
an
Для обозначения цепной дроби обычно используют менее громоздкое
обозначение: [M  a1 a2  a3 … an ] . Цепная дробь  k  [ M 0  a1 ak ] , где
называется
подходящей
дробью
к
числу
0k n,
k -й
  [ M  a1 a2  a3 … an ] .