На правах рукописи Шинтяков Дмитрий Васильевич Специальность: 05.13.01

На правах рукописи
Шинтяков Дмитрий Васильевич
МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА
ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С КРАТНЫМИ СИНГУЛЯРНЫМИ ЧИСЛАМИ
Специальность: 05.13.01
Системный анализ, управление и обработка
информации (в технике и технологиях)
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Санкт-Петербург
2009 г.
Работа выполнена на кафедре вычислительных систем и сетей
Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
Мироновский Леонид Алексеевич
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор
Тимофеев Адиль Васильевич
кандидат технических наук, вед. научный сотрудник
Куликов Виктор Николаевич
Ведущая организация:
Санкт-Петербургский государственный университет
Защита диссертации состоится « »
2009 г. в
час.
мин. на заседании диссертационного совета Д 212.233.02 при Государственном образовательном
учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения» по адресу: 190000, СанктПетербург, ул. Большая Морская, д. 67.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения».
Автореферат разослан
« »
2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
доктор технических наук, профессор
Осипов Л.А.
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
К управляемым динамическим системам относится широкий круг технических объектов. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие и усложнение управляемых динамических систем, поэтому, несмотря на богатый арсенал существующих методов, задача анализа и синтеза различных классов таких систем не теряет своей актуальности. В частности, для теории и практики представляет интерес исследование специального класса линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными
числами. Ганкелевы сингулярные числа динамической системы являются ее важнейшими инвариантами и могут применяться в решении задач из разных областей теории
управления. Они естественным образом возникают при построении сбалансированного
представления системы, которое имеет широкое применение в теории минимальных реализаций. В задачах редукции знание сингулярных чисел позволяет оценить порядок редуцированной системы и степень различия в поведении исходной и редуцированной систем. В задачах технической диагностики сингулярные числа могут применяться как
эффективные диагностические признаки.
Наличие двух, трех или большего количества групп кратных сингулярных чисел
существенно влияет на свойства системы и ее частотные характеристики. Далее такие
системы называются бисингулярными, трисингулярными и полисингулярными соответственно.
Важные результаты, касающиеся систем с кратными ганкелевыми сингулярными
числами, были получены в работах Гловера (K.Glover), Обера (R. Ober), Макиежовски
(J.Maciejowski), Неванлины (R. Nevanlinna), Пика (G. Pick), Нехари (Z. Nehari) и др. В
частности, Обером были исследованы сбалансированные представления таких систем,
Гловером было найдено разложение передаточных функций полисингулярных систем в
сумму фазовых слагаемых, Нехари решил проблему расширения произвольной системы
до ближайшей фазовращательной.
В то же время основное внимание в известных работах уделялось системам с различными ганкелевыми сингулярными числами, в то время как теория бисингулярных,
трисингулярных и полисингулярных систем развита недостаточно. Кроме того, в известных работах при изучении ганкелевых сингулярных чисел делается акцент на описание в
пространстве состояний (сбалансированное представление, грамианы управляемости и
наблюдаемости), приводящее на практике к громоздким и трудоемким вычислениям.
Отсюда следует актуальность исследования линейных динамических систем с
кратными ганкелевыми сингулярными числами. При этом представляется
целесообразным наряду с описанием в пространстве состояний использовать такие классические способы задания линейных систем, как передаточные функции и частотные
характеристики.
Цель работы и задачи исследования: Целью диссертации является разработка методов анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами и исследование их свойств.
К числу основных направлений исследования относятся:
3
- постановка и решение задач анализа бисингулярных систем, включая отыскание
алгебраических критериев бисингулярности; разработку методов определения ганкелевых сингулярных чисел системы непосредственно по передаточной функции; получение
канонических форм бисингулярных систем и исследование их частотных характеристик;
- постановка и решение задач параметрического и структурного синтеза бисингулярных динамических систем с заданными характеристиками;
- разработка алгоритмов и программ анализа и синтеза систем с кратными сингулярными числами и применение их для решения прикладных задач.
При этом под параметрическим синтезом понимается задача построения бисингулярных систем с заданными значениями ганкелевых сингулярных чисел и других параметров системы. Рассмотрено две постановки задачи синтеза, когда в качестве дополнительных параметров выступают коэффициенты ее характеристического полинома, либо
передаточные функции моносингулярных систем, входящих в состав блочносбаланcированного представления синтезируемой системы.
Методы исследования: при получении теоретических результатов использовались
методы системного анализа, классической и современной теории управления, аппарат
линейной алгебры, а также теория инвариантов динамических систем.
При выполнении аналитических выкладок использовался пакет MAPLE. Численное
моделирование и компьютерные эксперименты проводились в среде MATLAB и
SIMULINK.
Научная новизна: в результате проведенных исследований получены следующие
научные результаты:
- проведен анализ и установлены свойства канонических представлений систем, получены алгебраические критерии бисингулярности;
- поставлена и решена задача структурного синтеза бисингулярных систем с заданными сингулярными числами на базе фазовращательных блоков;
- поставлена и решена задача параметрического синтеза бисингулярных систем с
заданными сингулярными числами и характеристическим полиномом;
- введено понятие АФХ-эквивалентных систем и получено описание систем с совпадающими диаграммами Найквиста, решена задача синтеза таких систем;
- разработаны способы декомпозиции АФХ-эквивалентных систем и отыскания их
минимальных представлений.
Практическая ценность диссертации заключается в разработке эффективных алгоритмов анализа и синтеза систем с кратными сингулярными числами. Разработанные
алгоритмы реализованы в виде комплекса программ на языке пакета MATLAB и позволяют:
- осуществлять построение известных и новых канонических форм линейных систем с кратными сингулярными числами;
- синтезировать бисингулярные и полисингулярные системы с заданными параметрами;
4
оценивать значения сингулярных чисел систем непосредственно по амплитудночастотной характеристике;
- анализировать и синтезировать АФХ-эквивалентные системы с совпадающими
диаграммами Найквиста.
Полученные результаты полезны для решения ряда прикладных задач аппроксимации, редукции и технической диагностики.
-
1.
Основные положения, выносимые на защиту:
Методы анализа систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами и способ
оценивания сингулярных чисел непосредственно по передаточным функциям и частотным характеристикам.
2.
Методы и алгоритмы структурного и параметрического синтеза систем с кратными
ганкелевыми сингулярными числами.
3.
Алгоритмы анализа и декомпозиции передаточных функций полисингулярных систем.
4.
Методы анализа и синтеза линейных электрических схем с кратными ганкелевыми
сингулярными числами.
Внедрение результатов работы:
Результаты работы были использованы при выполнении НИР по грантам РФФИ №
04-01-00464 (Экстремальные задачи математической диагностики динамических систем), № 04-07-90354 (Информационно-поисковая система графологического анализа и
идентификации рукописных текстов) и № 08-08-00228 (Техническая диагностика систем
автоматического управления на основе алгебраических инвариантов), а также нашли
применение в учебном процессе кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП.
Апробация работы. Основные положения докладывались и обсуждались на XIV-м
международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах
управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2005 г.), на конференции
«Компьютерные технологии, коммуникации, численные методы и математическое моделирование» (СПбГТУ, 2007 г.), на IV-й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (С.-Петербург, 2006г.), на восьмой – десятой научных сессиях ГУАП, а
также на научных семинарах лаборатории компьютерного моделирования кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП.
Публикации: По теме диссертации опубликованы 10 печатных работ, в том числе
две статьи в журналах, рекомендуемых ВАК.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, а также списка литературы из 97 наименований. Изложение известных результатов снабжено ссылками, заимствованные теоремы приводятся без доказательств.
5
Основной материал изложен на 119 страницах машинописного текста и содержит
27 рисунков.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели
диссертационной работы и решаемые задачи, основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы по разделам.
Первая глава посвящена обзору инвариантов и канонических форм линейных скалярных динамических систем. Такие системы могут быть заданы описанием в пространстве состояний
X  AX  bu,
y  cX ,
(1)
где A – квадратная n  n -матрица; b и c – вектор-столбец и вектор-строка, d – константа,
u и y – входной и выходной сигналы, Х – вектор состояния.
Передаточная функция системы имеет вид
1
Q( p)  c( pE  A) b 
bn 1 p p 1    b1 p  b0
p n  a n 1 p n 1    a1 p  a 0
В главе даются основные определения, перечисляются канонические формы представления линейных динамических систем, их свойства и связанные с ними инварианты.
Особое внимание уделяется представлениям, которые связаны с ганкелевыми сингулярными числами системы.
Ганкелевыми сингулярными числами называются сингулярные числа оператора,
который отображает входной сигнал линейной системы, действующий на интервале
времени (-, 0), в ее выходной сигнал на интервале времени (0, ). Наряду с нулями и
полюсами, ганкелевы сингулярные числа входят в число основных инвариантов системы. Они непосредственно связаны с управляемостью и наблюдаемостью системы, с ее
статическим коэффициентом усиления и некоторыми другими характеристиками. Так,
если у системы несколько сингулярных чисел близки к нулю, порядок такой системы
может быть уменьшен без существенного искажения ее динамики.
Классический способ определения ганкелевых сингулярных чисел основан на рассмотрении грамианов управляемости и наблюдаемости Wc и Wo . Это квадратные матрицы, удовлетворяющие уравнениям Ляпунова
AWc  Wc AT  bb T  0,
ATWo  Wo A  c T c  0.
(2)
Положительные числа  1 , ,  n – арифметические квадратные корни из собственных чисел матрицы WcWo – называются ганкелевыми сингулярными числами системы
(1). Они не зависят от выбора базиса в пространстве состояний. Если система устойчива,
управляема и наблюдаема, то все они вещественны и положительны. Числа σ i отражают
6
усилительные свойства системы, максимальное из них равно ганкелевой норме передаточной функции.
При помощи линейной замены переменных систему (1) можно привести к виду, в
котором грамианы равны и диагональны:
Wc  Wo  diag ( 1 , ...,  n ) ,  1   2  ...   n  0 ,
(3)
причем диагональными элементами грамианов служат ганкелевы сингулярные числа.
Реализация системы (1), удовлетворяющая условию (3), называется сбалансированным представлением. Такое представление системы единственно, если все сингулярные
числа различны по величине. При наличии кратных сингулярных чисел сбалансированное представление определено с точностью до некоторой ортогональной замены переменных.
Основным объектом, рассматриваемым в диссертации, являются линейные динамические системы, имеющие ганкелевы сингулярные числа высокой кратности. Изучаются
несколько типов таких систем, разрабатываются методы их анализа, синтеза и варианты
структурной реализации.
В случае систем с различными ганкелевыми сингулярными числами сбалансированное представление является канонической формой. Если в системе имеются кратные
сингулярные числа, то используется каноническая форма Обера, матрицы описания в
пространстве состояний которой принимают блочный вид. Соответствующий этим матрицам сигнальный граф имеет вид, показанный на рисунке 1.
Каждая цепочка интеграторов на этой диаграмме описывает подсистему, все сингулярные числа которой равны. Это позволяет представить систему с кратными сингулярными числами в виде схемы из нескольких систем с одинаковыми сингулярными числами, связанных системой обратных связей. По отдельности каждая лестничная схема описывает фазовращательный блок.
ki,j
b j / 2 j
bi / 2 i
2
2
ki,j
-ai,1
ai,1
-aj,1
aj,1
-ai,2
ai,2
-aj,2
aj,2
…
…
……………
…
…………
…
Рисунок 1. Структура системы с кратными сингулярными числами в канонической
форме Обера (входной и выходной сигналы не показаны).
7
Если не раскрывать структуру отдельных фазовращателей, каноническая форма
Обера образует структурную схему, показанную на рисунке 2 для случая системы с тремя различными сингулярными числами. Эта структура представляет собой несколько
фазовращателей, соединенных обратными связями так, что выход каждого из них поступает на входы всех остальных. Коэффициенты обратных связей однозначно определяются значениями сингулярных чисел и не зависят от параметров самих фазовращателей.
S1
и
S2
у
S3
Рисунок 2. Структура системы с тремя различными сингулярными числами.
Другую каноническую форму представления линейных динамических систем с
кратными сингулярными числами порождает фазовое разложение Гловера.
Теорема 1. Пусть Q ( p ) – устойчивая рациональная передаточная функция порядка
n с ганкелевыми сингулярными числами  1   2     n , где  i имеет кратность ri и
r1  r2    rN  n. Тогда существует представление Q ( p ) вида
Q( p)  d   11 ( p)   2 2 ( p)     n  n ( p),
(4)
где Фk(р) – устойчивые фазовращательные передаточные функции.
Из теоремы непосредственно следует, что любая устойчивая система может быть
представлена в виде параллельного соединения устойчивых фазовращателей со
статическими коэффициентами усиления, равными ганкелевым сингулярным числам.
Предельным случаем кратных сингулярных чисел являются системы, у которых все
сингулярные числа равны. В диссертации для таких систем используется термин моносингулярные системы. Частным случаем моносингулярных систем являются фазовращательные системы (all-pass systems), АФХ которых равна константе. В общем случае,
моносингулярная система отличается от фазовращательной только наличием произвольной прямой связи с входа на выход. Её передаточная функция имеет вид:
Q( p )  k
A( p)
 d.
A( p)
(5)
Поскольку у фазовращательных систем АЧХ постоянна, их диаграмма Найквиста
(АФХ) имеет вид окружности с центром в начале координат. Следовательно, АФХ произвольной моносингулярной системы также имеет вид окружности, с центром на дей8
ствительной оси. Радиус этой окружности равен сингулярному числу системы, а центр
находится в точке (d, 0).
В случае, когда d=0, моносингулярная система становится фазовращательной, а ее
частотные характеристики принимают особенно простой вид: АЧХ становится константой, а АФХ приобретает вид окружности с центром в начале координат. Моносингулярные системы с нулевым свободным членом d в формуле (5) будем называть центрированными.
Таким образом, у моносингулярных систем имеется простая связь сингулярных чисел с частотными характеристиками и передаточной функцией. В качестве примера моносингулярной системы на рисунке 3 а показана схема моста Вина-Робинсона, который
используется при построении генераторов синусоидальных колебаний.
Его передаточная функция определяется следующим выражением
(Tp) 2  1
1
Q( p )  
, T  RC .
3 (Tp) 2  3Tp  1
Диаграмма Найквиста имеет вид окружности радиуса  =1/6 (рисунок 3 б).
Nyquist Diagram
0.2
0.15
R
0.1
С
2R
0.05
0
u
y
-0.05
R
-0.1
R
-0.15
С
-0.2
0.05
а)
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
б)
Рисунок 3. Мост Вина-Робинсона (а) и его диаграмма Найквиста (б).
В главе 2 рассматривается класс бисингулярных систем, и исследуются его свойства.
Определение. Линейная динамическая система называется бисингулярной, если ее
ганкелевы сингулярные числа могут принимать только два различных значения.
Бисингулярные системы являются более сложным объектом, чем моносингулярные
и обладают рядом замечательных свойств. Для них решаются задачи их структурного
представления, исследуются свойства частотных характеристик и разрабатываются алгоритмы параметрического синтеза.
Для решения задач параметрического синтеза, анализа и диагностирования бисингулярных систем важно уметь строить структурные схемы, обладающие свойством бисингулярности, а также представлять заданные бисингулярные передаточные функции в
9
виде таких схем. По аналогии с представлением передаточной функции в виде суммы
модальных компонент, представляется естественным строить бисингулярную структурную схему из моносингулярных блоков. В диссертации рассматривается два различных
подхода к такому построению.
Первый подход основывается на сбалансированной канонической форме Обера.
Имеет место следующая теорема о структурном представлении бисингулярных передаточных функций.
Теорема 2. Структурная реализация бисингулярной передаточной функции всегда
может быть представлена в виде композиции двух моносингулярных блоков S1 и S2 с перекрестными связями (рисунок 4). Здесь подсистемы S1 и S2 имеют передаточные функции вида Qi   i
Ai ( p)
, i  1, 2, то есть являются фазовращательными с сингулярными
Ai ( p)
числами 1 и 2 соответственно. Построенная таким образом система будет иметь ганкелевы сингулярные числа, равные 1 и 2, их кратность будет равна порядку подсистем S1 и S2.
S1
1
1   2
1
1   2
u
y
S2
Рисунок 4. Структурная схема бисингулярной системы.
Передаточная функция системы, найденная по схеме, запишется следующим образом:
1

Q1 ( p )  2 Q2 ( p )
2
1
Q( p )  (  1   2 )
d .
1  2
Q1 ( p )Q2 ( p )  Q1 ( p )  Q2 ( p )  1 

 2 1
1  Q1 ( p )Q2 ( p ) 
(6)
Здесь Q1( p ), Q2 ( p ) – передаточные функции фазовращателей; Q( p ) – передаточная
функция бисингулярной системы, сингулярные числа которой равны  1 и  2; d – произвольная константа. Бисингулярные системы, у которых свободный член d=0, по аналогии с моносингулярными, будем называть центрированными.
Формула (6) дает решение задачи синтеза бисингулярных систем любого порядка с
заданными сингулярными числами. Из существования и единственности канонической
формы Обера следует, что передаточная функция любой бисингулярной системы может
быть представлена в виде (6), причем единственным образом. Соответствующие алгоритмы декомпозиции и синтеза бисингулярных передаточных функций, разработанные в
диссертации, реализованы в виде программ в пакете Matlab.
10
Полученное решение позволяет строить бисингулярные передаточные функции с
заданными сингулярными числами для любого выбора передаточных функций моносингулярных блоков Q1( p ), Q2 ( p ) . Его недостатком является то, что оно не дает возможность непосредственно задавать полюсы конструируемой передаточной функции.
Другой подход к синтезу дает фазовое разложение Гловера (4). Записывая его для
случая бисингулярной системы, получаем, что передаточная функция любой бисингулярной системы всегда может быть представлена в виде суммы двух фазовращательных
слагаемых и константы:
Q( p) 
A ( p )
A ( p) A( p )
B( p)
 d 1 1
 2 1
,
A( p)
A1 ( p )
A1 ( p) A( p)
(7)
где A1 ( p) – полином степени r1 , d – константа, для центрированных систем равная нулю. На языке структурных схем это означает, что бисингулярную систему всегда можно
реализовать в виде параллельного соединения двух фазовращателей.
Необходимо отметить, что обратное утверждение в общем случае неверно, и два
произвольных фазовращателя, соединенных параллельно, не образуют бисингулярной
системы. По этой причине формула (7) не может быть напрямую использована для синтеза бисингулярных систем. В диссертации разработан алгоритм синтеза бисингулярных
систем, опирающийся на эту формулу, который позволяет явно задавать характеристический полином конструируемой системы.
Как и в случае с моносингулярными системами, для бисингулярных систем оказывается возможным выявить явную взаимосвязь между частотными характеристиками и
ганкелевыми сингулярными числами, причем наиболее простую форму эта взаимосвязь
имеет для центрированных бисингулярных систем. Она сформулирована в следующей
теореме.
Теорема 3. Амплитудно-частотная характеристика центрированной бисингулярной
системы лежит в горизонтальной полосе (1   2 , 1   2 ) , ширина которой равна удвоенному значению меньшего сингулярного числа. Амплитудно-фазовая характеристика (годограф Найквиста) лежит в круговой полосе (кольце), ограниченной двумя концентрическими окружностями с радиусами 1   2 и  1   2 .
Im(Q(i))
Re(Q(i))
d
11
Рисунок 5. АФХ бисингулярной системы.
Эта теорема следует из формулы фазового разложения (7). Возможный вид АФХ
для произвольной бисингулярной системы показан на рисунке 5.
Далее в главе вводится понятие циклической бисингулярной системы.
Определение. Назовём бисингулярную систему циклической, если она образована
двумя одинаковыми фазовращателями, то есть в формуле (6) Q1 ( p)  Q2 ( p) .
Введение дополнительных ограничений на вид систем очевидным образом приводит к появлению у них дополнительных свойств. Одно из основных свойств циклических систем можно сформулировать в виде следующей теоремы, доказанной в работе.
Теорема 4. Диаграмма Найквиста любой циклической бисингулярной системы с
ганкелевыми сингулярными числами  1 ,  2 представляет собой лемнискату Бута, описываемую уравнением
x
2

 y 2   1   2  x 2   1   2  y 2 .
2
2
2
В эту формулу из параметров системы входят только значения ганкелевых сингулярных чисел, из чего следует, что вид АФХ циклической бисингулярной системы не
зависит от передаточной функции составляющих ее фазовращателей и определяется
только значениями сингулярных чисел.
Например, если ганкелевы сингулярные числа имеют значения 1 и 3, то у любой
циклической бисингулярной системы АФХ (годограф Найквиста) будет иметь вид, показанный на рисунке 6, независимо от того, чему равны корни характеристического уравнения.
Im
2
1
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
Re
-1
-2
Рисунок 6. АФХ циклической бисингулярной системы.
Для бисингулярных систем разработаны два алгоритма синтеза. Первый алгоритм,
основанный на схеме с перекрестными связями (рис. 4), позволяет получить описание
системы сразу в сбалансированном виде. Он дает контроль над кратностью каждого из
сингулярных чисел, но не позволяет напрямую задать характеристический полином получающейся бисингулярной системы.
Второй алгоритм опирается на фазовое разложение Гловера. Он позволяет непосредственно задать характеристический полином и сингулярные числа синтезируемой
12
системы и строить по ним передаточную функцию. Суть этого алгоритма синтеза заключена в следующем. Сначала по заданному знаменателю передаточной функции A(p)
формируется вспомогательный полином
С(p) = s1 1 A(p) + s2 2 A(–p), s1  1, s2  1,
который затем разбивается на произведение двух вещественных сомножителей: С(p) = 
(p)  (p) порядков r1, r2. В общем случае, такая факторизация не единственна, и каждое
разбиение дает одно решение. После того, как факторизация выбрана, числитель искомой передаточной функции определяется по формуле B(p) =  (p) (–p).
Глава 3 посвящена исследованию класса полисингулярных систем, для которого
предложено название циклические полисингулярные системы. Как было показано в главе 1, любая линейная динамическая система с кратными сингулярными числами может
быть представлена в виде схемы с перекрестными связями, составленной из нескольких
фазовращательных (моносингулярных) звеньев. Циклические полисингулярные системы
– это класс полисингулярных систем, построенных на одинаковых фазовращателях.
Правомерны вопросы о том, какими особыми свойствами будут обладать циклические
системы; в каких случаях они могут возникать; каков вид их частотных характеристик и
как синтезировать модели подобных систем.
Для циклических бисингулярных систем было установлено, что форма кривой, на
которой лежит АФХ, представляет собой лемнискату Бута, параметры которой не зависят от передаточной функции составляющих ее фазовращателей и определяются только
значениями сингулярных чисел. Аналогичное свойство независимости вида диаграммы
Найквиста от передаточной функции элементарного фазовращателя, справедливо для
любых циклических полисингулярных систем и является основным их свойством.
Пусть имеется структурная схема, составленная из k одинаковых моносингулярных блоков.
Передаточная функция такой системы имеет следующий вид
где q(p) – передаточная функция моносингулярных блоков, а F(p) –
Q( p)  F (q( p)) ,
некоторая дробно-рациональная функция (отношение двух полиномов). Тогда вся структура будет являться в общем случае k-сингулярной, где k – количество одинаковых блоков.
Например, структура из трех фазовращательных блоков, показанная на рисунке 7,
имеет передаточную функцию, выражаемую как дробно-рациональная функция третьего
порядка от q(p):
Q( p)  F (q( p)) 
и
q( p)
q 3 ( p )  2q 2 ( p )
.
q 2 ( p)  1
q( p)
у
-1
q( p)
Рисунок 7. Пример структуры из одинаковых фазовращательных блоков.
13
Подобные системы будем называть циклическими полисингулярными системами.
Значения сингулярных чисел таких систем определяются только структурой и коэффициентами усиления связей; их кратность равна порядку элементарной моносингулярной
системы. Вид диаграммы Найквиста циклической полисингулярной системы не зависит
от того, какая элементарная моносингулярная система выбрана для построения схемы, и
определяется исключительно системой связей. Это позволяет ввести понятие АФХэквивалентных систем.
Определение. Две системы с передаточными функциями Q1 ( p) и Q2 ( p) назовем
АФХ-эквивалентными, если их диаграммы Найквиста лежат на одной и той же алгебраической кривой.
В диссертации доказано, что нечетная замена аргумента в передаточной функции
не меняет вида диаграммы Найквиста. Отсюда вытекает простой способ построения систем, АФХ-эквивалентных исходной. В соответствии с ним для построения АФХэквивалентной системы нужно в исходной передаточной функции Q ( p ) выполнить замену переменной p   ( p ) , где  ( p ) – нечетная функция.
Таким образом, достаточное условие АФХ-эквивалентности двух скалярных систем. Его можно сформулировать следующим образом. Две системы с передаточными
функциями Q1 ( p) и Q2 ( p) будут иметь совпадающие диаграммы Найквиста, если
b( p )
– рациональная нечетная функция  ( p)   ( p) .
a( p)
Чтобы отношение полиномов b( p ) и a ( p ) было нечетным, необходимо, чтобы
они имели противоположную четность. Среди рациональных функций  (z ) первого поk
рядка есть два семейства нечетных функций: 1 ( z)  kz ,  2 ( z )  , где k  R, k  0 .
z
Q2 ( p)  Q1 ( ( p)) , где  ( p) 
Среди рациональных функций второго порядка, которые отображают ось z в себя
также имеются два семейства нечетных функций:
1 ( z ) 
az
,
2
z b
 2 ( z) 
a  0, b  0,
z2  b
, a  0, b  0.
az
Структурной интерпретацией замены переменных p   2 ( p) является замена в
структурной схеме интеграторов
ap
1
на колебательные звенья 2
.
p
p b
Например, если в передаточной функции второго порядка Q( p) 
полнить замену переменных
четвертый порядок: Q1 ( p) 
p
p3
p  3p  7
2
вы-
p
, то новая передаточная функция будет иметь
p 1
2
p3  3p2  3p
. Хотя передаточные функции Q ( p ) и
p4  3p3  9 p2  3 p  1
Q1 ( p) существенно различны, их диаграммы Найквиста будут иметь одинаковый вид,
отличаясь только количеством обходов по контуру диаграммы.
14
АФХ-эквивалентность означает совпадение алгебраических кривых, на которых
лежат годографы Найквиста систем. Однако совпадение кривых не обязательно означает
полное совпадение самих годографов. В частности, может наблюдаться ситуация, когда
годограф Найквиста одной системы только частично покрывает годограф другой.
Это иллюстрируется на рисунке 8, на котором показаны АФХ двух систем: апериодического звена первого порядка Q1 ( p) 
ной функцией Q2 ( p) 
1
и системы второго порядка с передаточp 1
p2 1
, полученной нечетной заменой переменных
p2  p 1
p
p
.
p 1
2
Их АФХ лежат на одной и той же окружности, описываемой уравнением
( x  0,5) 2  y 2  0,25, но перекрываются лишь частично.
Подобные ситуации возникают в тех случаях, когда нечетная функция замены переменных  ( p ) отображает мнимую ось в ее часть. Среди функций второго порядка,
обладающих таким свойством, можно выделить два семейства:
1
a 2 p 2 1
 ( p) 

, a  0, b  0.
1 ( p)
bp
bp
 ( p)  2 2 , a  0, b  0,
a p 1
*
2
*
1

b
b
Первая функция отображает мнимую ось на отрезок  i ; i  , вторая – на два
 2a 2a 


полубесконечных интервала   i;  i
2a   2a

, i ; i .

b  b

Nyquist Diagram
Nyquist Diagram
1
1
2 dB
4 dB
0 dB
-2 dB
-4 dB
2 dB
4 dB
0 dB
-2 dB
-4 dB
-6 dB
-6 dB
6 dB
6 dB
0.5
Im
0.5
-10 dB
10 dB
-10 dB
10 dB
Im
20 dB
-20 dB
20 dB
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
-1
-1
1
-20 dB
-0.5
Re
0
0.5
1
Re
Рисунок 8. Частичное совпадение АФХ.
Нечетная замена переменных сохраняет не только диаграмму Найквиста, но и ганкелевы сингулярные числа системы, причем их кратность увеличивается пропорцио15
нально порядку замены переменных. Обратное утверждение неверно, т.е. совпадения
сингулярных чисел недостаточно для совпадения диаграмм Найквиста систем.
Задача построения систем, АФХ-эквивалентных заданной, решается путем нечетной замены аргумента в исходной передаточной функции. С практической точки зрения
больший интерес представляет обратная задача, когда по заданной передаточной функции требуется определить, суперпозицией каких двух дробно-рациональных функций
она является. В терминах АФХ-эквивалентности эта задача имеет следующую постановку: найти систему минимального порядка, АФХ-эквивалентную заданной и определить
нечётную замену переменных, связывающую эти системы (задача декомпозиции).
В диссертации предложены два алгоритма решения этой задачи. В основе первого
из них, которой назван корневым, лежит взаимосвязь нулей и полюсов двух передаточных функций q ( p ) и Q ( p ) , связанных дробно-рациональной заменой переменных
Q( p)  q( ( p)), где  ( p) – нечетная функция порядка n. Доказано, что в результате такой суперпозиции каждый из нулей передаточной функции q ( p ) расщепляется на n
нулей. Аналогичное расщепление происходит и с полюсами q ( p ) . Поэтому для решения задачи декомпозиции надо разбить все нули и полюса заданной полисингулярной
передаточной функции Q ( p ) на группы по n, перебрав все возможные варианты. Это
позволяет определить нули и полюсы функций  ( p) и q (z ) , что решает задачу декомпозиции с точностью до постоянных множителей.
Второй алгоритм, названный матричным, опирается на свойства сбалансированного
представления Обера. В соответствии с ним исходную полисингулярную передаточную
функцию Q(p) необходимо представить в виде матричного описания в пространстве состояний и выполнить переход к канонической форме Обера. Если задача декомпозиции
имеет решение, диагональные квадратные блоки системной матрицы А будут совпадать,
за исключением углового элемента. Вычеркнув в каждом диагональном блоке все переменные состояния, кроме первой, получим матричное описание искомой передаточной
функции q(p). Функцию замены переменных  ( p ) можно найти, зная q(p) и Q(p).
В отличие от корневого алгоритма, подход на основе канонической формы Обера
не является комбинаторным, что делает его более пригодным для решения задач декомпозиции высоких порядков. Однако матричный подход непригоден для неустойчивых
передаточных функций. Кроме того, построение сбалансированного представления Обера – процедура, сопряженная с большими вычислительными затратами, поэтому корневой алгоритм более эффективен, если порядок передаточной функции не очень велик.
Глава 4 посвящена применению сингулярных чисел для решения прикладных задач. В качестве первой задачи исследованы возможности применения сингулярных чисел для технической диагностики динамических систем. Рассмотрены случаи диагностирования линейных объектов с аналитической и динамической избыточностью. Для них
разработаны алгоритмы обработки массивов входной и выходной информации, использующие вычисление сингулярных чисел.
В частности, алгоритм диагностирования объектов с аналитической избыточностью
содержит три шага. На первой из них требуется выполнить измерения n доступных сиг16
налов v (t ) проверяемого объекта в N равноотстоящих моментов времени и построить (n
 N)-матрицу измерений V.
На втором шаге, считая первые k>n измерений правильными, находят сингулярные
числа
(n  k)–подматрицы V0.
Если существует нулевое (или близкое к нулю) сингулярное число, то на третьем
шаге вычисляют соответствующий сингулярный вектор Н1 и формируют диагностический признак вида (t )  H1T v(t ) , который должен быть равен нулю при отсутствии дефектов.
Матрица измерений, имеющая одно нулевое сингулярное число, позволяет ответить
на вопрос, исправен объект или нет. Если она имеет несколько нулевых сингулярных
чисел, то можно поставить и решить задачу локализации одиночных дефектов.
Отдельно исследован вопрос контроля бисингулярных систем. Для тестового контроля подобных систем проще всего было бы выбрать в качестве диагностических признаков реальные значения сингулярных чисел. Однако они недоступны для непосредственного измерения, поэтому их использование в качестве прямых диагностических
признаков неудобно. В связи с этим для организации контроля бисингулярных систем
предложен новый метод, основанный на использовании фазового разложения Гловера.
Согласно этому разложению передаточная функция любой бисингулярной системы
может быть представлена в виде суммы константы d и двух фазовращательных передаточных функций
Q( p)  d   11 ( p)   2  2 ( p) ,
где 1 , 2 – ганкелевы сингулярные числа.
Чтобы устранить два первых слагаемых, поставим параллельно проверяемой бисингулярной
системе
корректирующее
звено
с
передаточной
функцией
QT  d   11 ( p), как это показано на рисунке 9. Тогда такая комбинация систем будет
представлять собой фазовращатель с передаточной функцией  2  2 ( p) . Его амплитудно-частотная характеристика должна иметь вид горизонтальной прямой A( )   2 , что
легко поддается инструментальному контролю.
u
y
Q(p)
QT(p)
y1
АЧХ
Рисунок 9. Контроль бисингулярной системы.
Соответствующая диаграмма Найквиста для исправного объекта – окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Появление параметрических дефектов будет
17
искажать вид амплитудно-частотной характеристики (делать ее криволинейной), что и
послужит диагностическим признаком.
Пусть, например, проверяемый объект имеет бисингулярную передаточную функцию четвертого порядка с ганкелевыми сингулярными числами 1 и 3
Q( p ) 
68,56 p 3  223,2 p 2  720,5 p  272
.
p 4  13 p 3  66 p 2  122 p  68
Фазовое разложение этой передаточной функции имеет вид:
Q( p )  2  3
 p  23,64 ( p  23,64)( p  2)( p  1)( p 2  10 p  34)

 2  31 ( p)   2 ( p).
p  23,64 ( p  23,64)( p  2)( p  1)( p 2  10 p  34)
Следовательно, для тестового контроля системы достаточно поставить параллельно
проверяемому объекту корректирующее звено первого порядка с передаточной функцией:
QT ( p)  2  31 ( p)  2  3
 p  23,64
141,24

 1.
p  23,64
p  23,64
На рисунке 10 а приведены графики АЧХ для исправного и неисправного случаев.
Криволинейный график получен при искажении коэффициента при p 3 в знаменателе
передаточной функции Q ( p ) : 13+e, e=2. Соответствующие диаграммы Найквиста
приведены на рисунке 10 б (единичная окружность отвечает исправному объекту).
Описанная процедура тестового контроля не требует подключения к внутренним
точкам объекта. Размерность корректирующего звена, используемого в тестовом режиме, существенно меньше размерности проверяемого объекта. Проведенные компьютерные эксперименты показали работоспособность предложенного варианта тестового контроля и высокую чувствительность к параметрическим дефектам.
а)
б)
Bode Diagram
Nyquist Diagram
1.4
1.5
1.2
1
1
Imaginary Axis
Magnitude (abs)
0.5
0.8
0.6
0
-0.5
0.4
-1
0.2
0
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
Frequency (rad/sec)
18
0.5
1
1.5
Рисунок 10. Частотные характеристики исправной и неисправной систем.
В качестве второй прикладной задачи в главе 4 рассмотрены линейные электрические схемы, содержащие резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Исследованы условия появления в таких цепях кратных ганкелевых сингулярных чисел и решена
задача синтеза циклических полисингулярных электрических схем.
Рассмотрим схему, составленную из элементов с операторными сопротивлениями
r ( p) ,
1
и обычных резисторов. Пусть входным сигналом будет напряжение, подаваеr ( p)
мое на две произвольные точки схемы, а выходным – напряжение, снимаемое с двух
других произвольных точек.
Тогда напряжения и токи в схеме будут связаны системой линейных уравнений
Кирхгофа, а передаточная функция схемы будет иметь вид Q(r ) 
B(r ( p))
, где коэффиA(r ( p))
циенты полиномов A(r), B(r) определяются структурой схемы и значениями активных
сопротивлений.
Тем самым передаточная функция Q ( p ) представляет собой суперпозицию двух
дробно-рациональных функций Q (r ) и r ( p) . Если внутренняя функция нечетная, то схема будет иметь n разных ганкелевых сингулярных чисел, кратность каждого из которых равна m, где n – порядок внешней функции, m – порядок внутренней функции.
Следовательно, если операторное сопротивление элемента r будет нечетной функцией от p, то рассматриваемая электрическая схема будет циклической полисингулярной,. Простейшими из линейных элементов, операторное сопротивление которых является нечетной функцией от p, являются конденсатор r 
1
и катушка индуктивности
Cp
r  Lp .
Рассмотрим возможные виды соединения элементов. При последовательном соединении операторные сопротивления элементов складываются, поэтому параллельное соединение элементов с нечетным по p операторным сопротивлением также будет иметь
сопротивление, являющееся нечетным выражением от p. То же верно для параллельного
и мостового соединений, следовательно, любая схема, состоящая из конденсаторов и
катушки индуктивности и не содержащая резисторов, будет обладать операторным сопротивлением, которое является нечетной функцией p.
Пример подобной схемы приведен на рисунке 11, где сопротивления R1 , R2 , R3
произвольные, обе индуктивности одинаковы, обе емкости также одинаковы.
19
R1
L
C
R2
Uвх
Uвых
C
R3
L
Рисунок 11. Пример бисингулярной электрической схемы.
На рисунке 11 пунктиром выделены два одинаковых блока, каждый из которых состоит из индуктивности и конденсатора. Помимо этих блоков схема содержит только
резисторы, поэтому она должна быть циклической полисингулярной с двумя ганкелевыми сингулярными числами, каждое из которых имеет кратность 2.
Передаточная функция этой системы имеет четвертый порядок:
Q( p ) 
R3q  (q  R2 )
LCp 2  1
,
q

.
( R1  R2  R3 )q 2  (2 R1R2  R1R3  R2 R3 )q  R1R2 R3
Cp
Полученный результат указывает путь построения электрических схем с кратными
сингулярными числами. Для этого достаточно взять любую исходную электрическую
схему порядка m и заменить в ней все реактивные элементы одной и той же LC-схемой
порядка k. Результирующая схема порядка mk будет иметь те же ганкелевы сингулярные числа, что и исходная, но кратность каждого из них возрастет в k раз. Диаграммы
Найквиста исходной и результирующей схем будут совпадать, т.е. они будут АФХэквивалентными.
Представляет интерес и решение обратной задачи по анализу возможности перехода от сложной полисингулярной электрической цепи к более простой схеме с той же
диаграммой Найквиста. С математической точки зрения для этого нужно выполнить декомпозицию исходной передаточной функции Q( p), представив ее в виде суперпозиции Q( p)  q( ( p)), где  ( p ) – некоторая нечетная функция.
В диссертации предложен алгоритм декомпозиции, позволяющий для любой исходной дробно-рациональной передаточной функции выяснить, допускает ли она декомпозицию и если да, найти функции q и . Алгоритм реализован в виде программы
superp_decomp на языке MATLAB. Его можно применять для представления сложных
полисингулярных передаточных функций в виде более простых схем из однотипных
элементов.
20
В качестве примера была рассмотрена линейная электрическая схема, содержащая
10 элементов (резисторов, конденсаторов, индуктивностей). Передаточная функция схемы при номинальных значениях параметров имеет вид
 3 p5  7 p4  6 p3  7 p2  3 p
Q( p ) 
.
6 p 6  44 p 5  112 p 4  148 p 3  112 p 2  44 p  6
Анализ этой передаточной функции с помощью программы superp_decomp показал,
что она может быть представлена в виде суперпозиции Q( p)  q( ( p)), где
 3p2  7
q( p) 
,
6 p 3  44 p 2  94 p  60
p2 1
 ( p) 
.
p
Полученная декомпозиция показывает, что исходную электрическую схему можно
реализовать в виде схемы из трех одинаковых блоков с операторным сопротивлением
p  1 / p (это последовательное соединение единичных индуктивности и емкости) и некоторого количества резисторов.
Кроме того, в главе 4 описано разработанное в диссертации программное обеспечение для решения задач по анализу и синтезу систем с кратными сингулярными числами.
Наряду с упомянутой программой superp_decomp в его состав входят:
 программа balrealo, обеспечивающая построение сбалансированной канонической формы для произвольных систем (в том числе с кратными сингулярными числами);
 программа gloverdc построения фазового разложения Гловера для произвольной передаточной функции;
 программа mkbising синтеза бисингулярной системы в блочносбалансированной форме по двум заданным моносингулярным системам и
сингулярным числам;
 программа poly2bising синтеза бисингулярной системы с заданными сингулярными числами и характеристическим полиномом;
а также ряд других программ.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
В работе были получены следующие основные результаты:
1) Проведен анализ канонических форм линейных динамических систем и найдены
блочно-сбалансированное и фазовое канонические представления бисингулярных систем, сформулированы критерии бисингулярностии и цикличности передаточных функций.
2) Установлена взаимосвязь ганкелевых сингулярных чисел с частотными характеристиками для моносингулярных и бисингулярных систем, методы оценки ганкелевых
сингулярных чисел таких систем непосредственно по частотным характеристикам и передаточным функциям.
21
3) Разработаны алгоритмы параметрического и структурного синтеза бисингулярных систем с заданными ганкелевыми сингулярными числами.
4) Введено понятие АФХ-эквивалентных систем, получены критерии АФХэквивалентности и разработаны алгоритмы анализа и декомпозиции систем с совпадающими диаграммами Найквиста.
5) Предложен метод тестового контроля бисингулярных систем, использующий диагностическое устройство пониженного порядка.
6) Разработаны методы анализа и синтеза линейных электрических схем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1) Мироновский, Л.А. Частотные характеристики фазовращательных и бисингулярных систем / Л.А. Мироновский, Д.В. Шинтяков // Информационноуправляющие системы. 2007. №.5. С.36-41.
2) Мироновский, Л. А. Связь ганкелевых сингулярных чисел системы с ее частотными характеристиками / Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков // Изв. вузов. Сер. Приборостроение. 2009. №1. C.20-25.
3) Шинтяков, Д.В. Сигнатурно-симметричные реализации динамических систем /
Д.В. Шинтяков // Вестник экономического общества студентов и аспирантов:
Межвуз. студ. науч. журнал / МБИ. 2004. №5. С.126.
4) Шинтяков, Д.В. Взаимосвязь ганкелевых сингулярных чисел и частотных характеристик линейных систем / Д.В. Шинтяков, Л.А. Мироновский // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: Тр. XIV междунар. науч.-техн. семинара / СГАУ. 2005. С.118.
5) Шинтяков, Д.В. Алгоритм поиска матриц Адамара нечетного порядка / Д.В. Шинтяков // Сб. докл. Девятой научной сессии ГУАП: Сб. докл. В 3 ч. Часть II. Технические науки / ГУАП. 2006. C.207-211.
6) Курмаев, И.Р. Фазовое разложение передаточной функции / И.Р. Курмаев, Д.В.
Шинтяков // Тр. межвуз. научной конф. по научному программному обеспечению /
Изд-во Политехн. ун-та. 2007. С.156-158.
7) Шинтяков, Д.В. АФХ-эквивалентные передаточные функции / Д.В. Шинтяков //
Сб. докл. Десятой научной сессии ГУАП / ГУАП. СПб. 2007. С.231-233.
8) Курмаев, И.Р. Корневой алгоритм декомпозиции АФХ-эквивалентной системы /
И.Р. Курмаев, Д.В. Шинтяков // Тр. межвуз. научной конф. по научному программному обеспечению / СПб., Изд-во Политехн. ун-та. 2007. С.135-138.
9) Шинтяков, Д.В. Тестовый контроль бисингулярных систем / Д.В. Шинтяков // Cб.
докл. пятой Международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания" / МБИ. CПб. 2006. T. 2.
С.204-207.
10) Шинтяков, Д.В. Фазовращательные и бисингулярные системы / Д.В. Шинтяков,
Л.А. Мироновский // Сб. докл. Восьмой научной сессии ГУАП / ГУАП. СПб. 2005.
С.513-516.
22
Формат 60х84\16. Бумага офсетная
Печать офсетная. Тираж 100. экз. Заказ №
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
23