8 класс, серия 1 и 2 ( в целых)x

Серия 1, вступительная, 8 класс
1.
При
всяком ли натуральном n, большем 2013, из дробей
можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?
Серия 1, вступительная, 8 класс
1.
При
всяком ли натуральном n, большем 2013, из дробей
можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?
1 2
3
𝑛−1 1
,
,
,…,
,
𝑛 𝑛−1 𝑛−2
2 𝑛
1 2
3
𝑛−1 1
,
,
,…,
,
𝑛 𝑛−1 𝑛−2
2 𝑛
2. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника
такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC, равно
AD+DC.
2. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника
такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC, равно
AD+DC.
3. Для натурального n>3 будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение n? = 2n+16.
3. Для натурального n>3 будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение n? = 2n+16.
4. По кругу стоят 32 хамелеона красного и синего цвета. Каждую минуту все
хамелеоны, у которых соседи разного цвета, одновременно от испуга перекрашиваются в другой цвет: синие — в красный, красные — в синий. Остальные хамелеоны цвета не меняют. Докажите, что через какое-то время все хамелеоны
одновременно вернут себе первоначальный цвет.
4. По кругу стоят 32 хамелеона красного и синего цвета. Каждую минуту все
хамелеоны, у которых соседи разного цвета, одновременно от испуга перекрашиваются в другой цвет: синие — в красный, красные — в синий. Остальные хамелеоны цвета не меняют. Докажите, что через какое-то время все хамелеоны
одновременно вернут себе первоначальный цвет.
5. Перенумеруем делители данного натурального числа n в порядке убывания: d0, d1, ..., начав с d0 = n. Назовем число n восхитительным, если d1 = d2+d5.
Сколько существует восхитительных чисел, меньших 2013?
5. Перенумеруем делители данного натурального числа n в порядке убывания: d0, d1, ..., начав с d0 = n. Назовем число n восхитительным, если d1 = d2+d5.
Сколько существует восхитительных чисел, меньших 2013?
6. В школе, где учится больше 225, но меньше 245 учеников, часть учеников
являются отличниками, а остальные − хорошистами. После сложной контрольной
работы 2/7 отличников стали хорошистами, а хорошисты так и остались хорошистами за исключением одного человека, который стал троечником. При этом хорошистов и отличников стало поровну. Сколько учеников могло быть в школе?
Приведите все возможные варианты ответа.
6. В школе, где учится больше 225, но меньше 245 учеников, часть учеников
являются отличниками, а остальные − хорошистами. После сложной контрольной
работы 2/7 отличников стали хорошистами, а хорошисты так и остались хорошистами за исключением одного человека, который стал троечником. При этом хорошистов и отличников стало поровну. Сколько учеников могло быть в школе?
Приведите все возможные варианты ответа.
7. 30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно,
что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда
к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для
того, чтобы все побывали в гостях у всех, а) четырёх вечеров недостаточно, б)
пяти вечеров также недостаточно, в) а десяти вечеров достаточно, г) и даже семи вечеров тоже достаточно.
7. 30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно,
что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда
к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для
того, чтобы все побывали в гостях у всех, а) четырёх вечеров недостаточно, б)
пяти вечеров также недостаточно, в) а десяти вечеров достаточно, г) и даже семи вечеров тоже достаточно.
8. Найдите такие цифры a и b, что √𝟎, 𝒂𝒂𝒂 … = 𝟎, 𝒃𝒃𝒃 …
9. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе
в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только
тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
10. Решите уравнение в целых числах x2-7y=10
8. Найдите такие цифры a и b, что √𝟎, 𝒂𝒂𝒂 … = 𝟎, 𝒃𝒃𝒃 …
9. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе
в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только
тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
10. Решите уравнение в целых числах x2-7y=10
8 класс, решение уравнений в целых числах
8 класс, решение уравнений в целых числах
11. a и b - действительные числа, разность которых делится на 11. Доказать, что a4+b4+9a2b2 тоже делится на 11.
11. a и b - действительные числа, разность которых делится на 11. Доказать, что a4+b4+9a2b2 тоже делится на 11.
12. Натуральные числа х и у таковы, что 3х2 + х = 4у2 + у. Докажите что х–у –
квадрат натурального числа.
12. Натуральные числа х и у таковы, что 3х2 + х = 4у2 + у. Докажите что х–у –
квадрат натурального числа.
13. Решите в целых числах а) x2+y2=x+y+2; б) x2 + y2 + z2 = 2xyz; в) x2-5y2=1.
13. Решите в целых числах а) x2+y2=x+y+2; б) x2 + y2 + z2 = 2xyz; в) x2-5y2=1.
14. Было 9 гирь массами 1 г, 2 г, …, 9 г, причём гиря большей массы имеет
больший размер. Одна из гирь потерялась. Как за два взвешивания на чашечных весах выяснить, какая именно гиря потеряна?
14. Было 9 гирь массами 1 г, 2 г, …, 9 г, причём гиря большей массы имеет
больший размер. Одна из гирь потерялась. Как за два взвешивания на чашечных весах выяснить, какая именно гиря потеряна?
15. Произведение нескольких разных простых чисел делится на каждое из
этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?
15. Произведение нескольких разных простых чисел делится на каждое из
этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?
16. Докажите, что уравнение 1/x-1/y=1/n имеет единственное решение в
натуральных числах тогда и только тогда, когда n - простое число.
16. Докажите, что уравнение 1/x-1/y=1/n имеет единственное решение в
натуральных числах тогда и только тогда, когда n - простое число.
17. Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли,
что m(A)<m(B)<m(C). (Через m(x) обозначена масса гири x, при этом даётся
ответ "Да" или "Нет".) За какое минимальное количество вопросов можно
гарантировано узнать, в каком порядке идут веса гирь?
17. Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли,
что m(A)<m(B)<m(C). (Через m(x) обозначена масса гири x, при этом даётся
ответ "Да" или "Нет".) За какое минимальное количество вопросов можно
гарантировано узнать, в каком порядке идут веса гирь?
18. В каждую клетку таблицы 2012×2012 вписан либо нуль, либо единица,
причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы.
Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что
на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят
нули, а другой — единицы.
18. В каждую клетку таблицы 2012×2012 вписан либо нуль, либо единица,
причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы.
Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что
на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят
нули, а другой — единицы.
19.
Решите в целых числах а) 15x2-7y2=9; б) 15x3+13y3=10; в)
3
5x +11y3+13z3=0
19.
Решите в целых числах а) 15x2-7y2=9; б) 15x3+13y3=10; в)
3
5x +11y3+13z3=0
20. a - фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение
x!=y2+a2 имеет лишь конечное число решений (x,y).
20. a - фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение
x!=y2+a2 имеет лишь конечное число решений (x,y).
8 класс, отдельная теория по функциям
7. Докажите, что композиция инъективных (сюръективных, биективных) отображений – инъективное (сюръективное, биективное) отображение.
Определение. Функцией (или отображением) f:AB называется правило, по которому каждому элементу множества A сопоставляется ровно один элемент множества B. Множество A называется областью определения, а B – областью значений.
8. Может ли оказаться, что f◦g — тождественное, а g◦f — нет?
Примеры. a) f:{все дети}{все мамы}, б) f:{все работники}{все начальники}, в)
f:{все люди}{имена}, г) f:{все люди}{номера ИНН}, д) f :ℤℤ (бесконечные последовательности) е) f: ℤ×ℤ ℚ.
1. Сколько бывает различных функций из m-элементного множества в n-элементное?
Определение. Пусть задано отображение f:AB. а) f – это отображение «на» (сюръекция), если для любого b из B найдется такой a из A, что f(a)=b. б) f – это отображение «в» (инъективное отображение), если для каждой пары различных a и b значения f(a) и f(b) также различны. в) f – это взаимно-однозначное соответствие (биекция), если f одновременно отображение «на» и «в»
2. Пусть A и B – конечные множества, |X| обозначает количество элементов в множестве X, f — отображение из A в B. Если
а) f – инъекция= «в»ложение => |A|  |B|;
б) f –сюръекция = «на» => |A|  |B|;
в) f – биекция = взаимно-однозначное=> |A|=|B|.
3. Назовем счастливым билетом шестизначный номер (можно начать с 0…), у которого сумма трех первых цифр равна сумме последних трех цифр. А теперь внимание,
вопрос! Четно или нечетно число счастливых билетов?
4. Докажите, что счастливых билетов столько же, сколько с суммой цифр 27.
5. Какие прямые на координатной плоскости не определяют отображения оси x в ось
y? Не определяют биекции?
Определение. Отображение f:AA называется тождественным, если для любого
элемента a из A выполнено f(a)=a.
Договоримся об обозначениях
Rod: ЛZ – год рождения; Отец: ЛЛ, Мать: ЛЛ ;
Ордината: ПR; Точка: R2П (точка с заданными координатами в фиксированной системе координат);
s: NN – сумма цифр, Resk: NN – остаток от деления на натуральное k;
тождественное отображение IdA: AA, такое что для всех a из A: IdA(a)=a.
Определение. Пусть заданы f: AB и g: BC. Определим h=g◦f: AC формулой:
h(a)=g(f(a)) и назовем его композицией или сквозным отображением.
6. Что такое: а) Rod◦Мать; б) Ордината◦Точка; в) Мать◦Отец; г) Отец◦Мать; д)
композиция функций y=3x+5 и z=5y+3; е) x2◦x3 ?
Какие отображения можно «ставить» в композицию, какие – нет? Обязательно ли
область значений первого отображения должно совпадать с областью определения
второго?
9. Докажите, что если f: AB, то f◦IdA=IdB◦f=f;
10. Докажите, что (f◦g) ◦ h=f◦ (g◦h).
11. а) Докажите, что s◦Res3=Res3◦s; cформулируйте это свойство так, как вы привыкли;
б)* при каких натуральных k выполнено s◦Resk=Resk◦s?
Отображения f: AB и g: BA называются взаимно-обратными, если f◦g=IdB, g◦f=IdA
( пишут f=g -1, g=f -1). Отображение f -1 называется обратным к f. Отображение, у которого есть обратное, называется обратимым.
12. Существует ли отображение, обратное к отображению Мать?
13. Какое отображение будет обратным для y=3x+5? А для y=x3? Для S?
14. Приведите пример, когда f◦g — тождественное, а g◦f — нет.
15. Д-ть что для конечных множеств обратимое отображение является биекцией.
16. Существует ли не тождественное отображение f :AA, что f◦f — обратное к f?
17. Докажите, что если f и g обратимы, то их композиция тоже обратима и (f◦g)-1=g -1◦
f -1.
18. В некотором государстве каждая совокупность граждан образует тайное общество. Каждый гражданин является осведомителем полиции, куда доносит ровно на
одно из обществ. Докажите, что есть общество, на которое никто не доносит а) в случае, когда граждан конечное число; б) а что будет, когда в государстве бесконечное
число граждан?
19. Пусть |A|=m, |B|=n. Сколько среди функций из A в B а) инъекций; б) биекций?
20. Рассмотрим следующее отображение. Делим отрезок [0;1] пополам на два отрезка – [0, 0,5] и [0,5, 1]. Для каждой точки смотрим, куда она попала. Если в левый отрезок, то ставим 0, если в правый – то 1. Далее снова делим каждый из двух отрезков
пополам. Аналогично для каждой точки определяем вторую цифру в зависимости от
того, в левый или правый отрезок она попала после этого деления, и так далее. Таким образом, мы получаем для каждой точки бесконечную последовательность из 0
и 1. Какими уже изученными свойствами обладает это отображение?
21. Установите биекцию между а) единичным интервалом (0<x<1) и числовой прямой; б) множествами 0≤x<1 и 0≤x<; в) окружностью с выкинутой точкой и прямой;
г)* единичным интервалом и единичным квадратом.
22. Установите биекцию между множествами точек квадрата без границ и точками
всей плоскости.