Программа семинаров

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(5-й семестр)
профессор Владимир Фёдорович Дмитриев
1. Квантовая природа света. Фотоэффект, эффект Комптона.
2. Волновые свойства частиц. Опыт Резерфорда, стабильность и стандартность
атомов. Дифракция электронов. Волна де Бройля. Вероятностная интерпретация.
Фазовая и групповая скорости.
3. Соотношение неопределённостей. Оценки.
4. Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин,
собственные функции и собственные значения.
5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шрёдингера. Непрерывность и однозначность
волновой функции. Собственные функции и собственные значения, квантование
энергии. Нормировка волновой функции. Свойства волновой функции финитного
движения. Чётные и нечётные решения. Вариационный принцип и прямой
вариационный метод. Осцилляционная теорема.
6. Эрмитовы операторы. Вещественность собственных значений, взаимная
ортогональность и полнота собственных функций. Вырожденный случай.
Обозначения Дирака.
7. Линейный осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Операторы рождения
и уничтожения.
8. Временное уравнение Шрёдингера. Стационарные решения. Задача с начальными
условиями.
9. Одномерное рассеяние. Подбарьерное прохождение и надбарьерное отражение.
10. Коммутаторы. Измеримость величин. Соотношение неопределённостей. Квантовые
скобки Пуассона.
11. Гейзенберговское представление. Уравнения движения для операторов. Теорема
вириала.
12. Оператор сдвига. Движение в периодическом поле. Теорема Блоха.
13. Уравнение Шрёдингера для заряженной частицы в электромагнитном поле.
Калибровочная инвариантность. Плотность тока.
14. Квазиклассическое приближение. Критерий применимости. Правила сшивки.
Правило квантования Бора –Зоммерфельда. Нормировка квазиклассической
волновой функции. Эквидистантность спектра в квазиклассике. Плотность
состояний в фазовом пространстве. Двойная яма, задача с начальными условиями.
15. Квазистационарные состояния. α-распад.
16. Сдвиг и поворот. Момент импульса. Собственные значения и собственные
функции. Повышающие и понижающие операторы. Чётность.
17. Разделение переменных в центральном поле. Радиальная волновая функция,
граничные условия в нуле. Свободное движение. Фаза рассеяния.
18. Атом водорода. Собственные функции. Спектр. Кулоновское вырождение.
Основное и первое возбужденное состояния.
19. Стационарная теория возмущений. Производная энергии по параметру.
Поляризуемость атома водорода. Силы Ван-дер-Ваальса. Стационарная теория
возмущений в случае вырожденния. Непересечение уровней. Эффект Штарка в
атоме водорода при n=2.
Литература
[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика, М.: Наука, 1989.
[2] В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган Задачи по квантовой механике.
М.: Наука, 1992.
[3] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика. Новосибирск: НГУ, 2000.
[4] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002.
[5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая
электродинамика. М.: Наука, 2001.
[6] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика (конспект лекций, части I и II).
Программа семинаров
Сентябрь
Волны де Бройля, потенциальный ящик, соотношение неопределённостей ............. 2,5 сем.
Прямоугольные и δ-ямы ................................................................................................. 3,5 сем.
Октябрь
Линейный осциллятор ..................................................................................................... 2 сем.
Потенциальные барьеры ................................................................................................. 2 сем.
Операторы ........................................................................................................................ 1 сем.
Периодическое поле ........................................................................................................ 2 сем.
Ноябрь– декабрь
Квазиклассика .................................................................................................................. 3 сем.
Момент импульса ............................................................................................................. 3 сем.
Центральное поле, атом водорода ................................................................................. 3 сем.
Стационарная теория возмущений ................................................................................ 2 сем.
Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели.
Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели.
Задания
ЗАДАНИЕ №1
(сдать до 25 октября)
1. Биллиардный шар подпрыгивает над упругой горизонтальной плитой в поле
тяжести. Оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию
основного состояния шара и неопределённость в его положении по вертикали в
этом состоянии. Провести такую же оценку для нейтрона (ответ довести до чисел).
2. В начальный момент времени свободная частица массы m находится в состоянии,
описываемом волновой функцией
 ip 0 x x 2 
1

 x,0 
exp
 2  .
1/ 4
2a 
a 2
 
 
При t>0 найти средние значения координаты и импульса, неопределённости Δx(t)
и Δp(t) , а также распределения по координате dW(x,t)/dx , импульсу dW(p,t)/dp и
энергии dW(E,t)/dE .
3. Частица движется в поле трёх дельта функционных ям U(x)=-G [δ(x-a) + δ (x)+δ
(x+a)]. Найти, при каком значении параметра а в этом поле появляется второе
(третье) связанное состояние. Найти уровни энергии и волновые функции
связанных состояний при условии mGa /  2  1.
4. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний частицы
массы m, движущейся по окружности радиуса R0 в поле U ( )  G ( ), G>0, для
которой соответствующее уравнение Шредингера гласит:


2 d 2

G

(

)

 ( )  E( ) .
2
2
 2mR0 d

Какова энергия основного состояния для случая, когда mR02 G /  2  1 ?
ЗАДАНИЕ №2
(сдать до 25 ноября)
5. При t=0 состояние линейного осциллятора с частотой ω задано волновой
функцией  ( x,0)   A  Bx exp(  x 2 / 2a 2 ) , a   / m . Определить средние
значения координаты и импульса, а также распределение по координате, импульсу
и энергии при t>0 .
6. Гамильтониан двумерного осциллятора Hˆ  Hˆ x  Hˆ y , где Hˆ x   (aˆ x aˆ x  1 / 2) и
Hˆ  2 (aˆ  aˆ  1 / 2) . Определить кратность вырождения уровней энергии и
y
y
y
построить обязанный существовать дополнительный к Ĥ x и Ĥ y интеграл (или
интегралы) движения.
7. Найти операторы, сопряженные операторам
d
d
d
A  , B  i , C  m x 
.
dx
dx
dx
Для оператора C найти собственные функции и собственные значения. Проверить,
что собственные значения этого оператора могут быть комплексными, а
собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, не
обязательно ортогональны.
8. Найти в квазиклассическом приближении уровни энергии и соответствующие
волновые функции для частицы массы m в однородном поле тяжести в случае,
когда её движение ограничено снизу идеально отражающей плоскостью.
9. Найти в квазиклассическом приближении энергии и ширины квазистационарных
x0
 

состояний в поле U x    0
0 x a
 / x 2 x  a

ЗАДАНИЕ №3
(сдать до 25 декабря)
10. Найти закон преобразования собственных функций оператора момента Y11 , Y10 ,
Y11 при повороте системы координат на угол  вокруг оси y . Указание:
представить сферические функции в виде
3 x  iy
3 z
3 x  iy
.
Y11  
, Y10 
, Y11 
8 r
4 r
8 r
Найти также среднее значение проекции момента на повёрнутую ось z ' для
каждого из указанных состояний.
11. Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для
состояний, описываемых сферическими функциями Yll ( ,  ) и Yl 0 ( ,  ) , считая
l >> 1.
12. Для описания относительного движения ядер в двухатомной молекуле можно
использовать модельный гамильтониан вида

pˆ 2
a 
~ 1
ˆ
H
 Ze 2   2  ,
2m Я
 r 2r 
где mЯ - приведённая масса ядер, a - равновесное межатомное расстояние
~
порядка  2 / me e 2 , а Ze 2 / 2a - энергия диссоциации молекулы. Найти энергии
связанных
состояний E nr l и при не слишком больших радиальных и орбитальных квантовых
числах, т.е. при nr   и l   , где   m Я / me , получить колебательный и
вращательный спектр двухатомной молекулы.
13. Электрон в атоме водорода находится в стационарном состоянии, описываемом


волновой функцией   A 200 (r , t )  B 210 (r , t ) . Найти коэффициенты A и B ,


дающие наибольшее среднее значение дипольного момента атома d   er  , и



найти величину d . Что изменилось бы, если бы состояния  200 (r , t ) и  210 (r , t )
отвечали слегка разным значениям энергии?
14. Найти поправки к трем нижним уровням энергии двумерного осциллятора со
m 2
слабой нелинейностью: U ( x, y ) 
[( 4   ) x 2  y 2 ]  xy 2 , где   1 .
2
Проанализировать предельные случаи: 1)   0 и 2)  ( / m ) 3 / 2   .
15. Найти поправки к двум нижним уровням энергии атома водорода, помещённого в
e2
поле V (r )  3 ( x 2  y 2  z 2 ), R aB .
R
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(6-й семестр)
профессор Владимир Фёдорович Дмитриев
1. Движение заряженной частицы в магнитном поле.
2. Спин. Волновые функции частиц спина ½. Матрицы Паули. Уравнение Паули.
Движение спина в магнитном поле.
3. Сложение моментов. Коэффициенты Клебша – Гордана. Преобразование
волновых функций и операторов при поворотах. Правила отбора для тензорных
операторов. Векторная модель. Теорема Вигнера-Эккарта.
4. Тождественность частиц в квантовой механике. Волновые функции систем
бозонов и фермионов. Принцип Паули. Понятие о вторичном квантовании.
5. Атом гелия. Вариационный метод. Самосогласованное поле, уравнения ХартриФока.
6. Атомные термы. LS-связь. Правила Хунда. Таблица Менделеева. Понятие о jjсвязи.
7. Модель Томаса-Ферми.
8. Сверхтонкая структура. Изотопический сдвиг.
9. Атом в постоянном внешнем поле. Эффекты Зеемана, Штарка.
10. Нестационарная теория возмущений. Адиабатическое и внезапное возмущения.
11. Периодическое возмущение. Фотоэффект.
12. Квантование электромагнитного поля. Спонтанное и индуцированное
излучение. Лэмб-сдвиг. Рассеяние света. Рэлеевское и томсоновское рассеяние.
13. Трехмерное рассеяние. Постановка задачи. Борновское приближение. Критерий
применимости. Резерфордовское рассеяние. Атомный форм-фактор.
14. Фазовая теория рассеяния. Рассеяние медленных частиц. Дифракционное
рассеяние. Упругое рассеяние быстрых частиц. Резонансное рассеяние.
Формула Брейта-Вигнера.
15. Структура молекул.
Литература
[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.3,
Квантовая механика.
[2] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002.
[3] Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике,
М: Наука, 1992.
[4] Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике,
Новосибирск, НГУ, 1999.
[5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая
электродинамика. М.: Наука, 2001.
Программа семинаров
1. Заряженная частица в магнитном поле.
2. Спин 1/2. Матрицы Паули. Спин в постоянном и переменном магнитном поле.
Спектр уравнения Паули в однородном магнитном поле.
3. Сложение моментов. Волновые функции частиц со спином. Примеры вычисления
коэффициентов Клебша-Гордана.
4. Прямой вариационный метод. Метод Томаса-Ферми.
5. Периодическая система. Правило Хунда. Структура атомных термов.
6. Эффекты Зеемана, Пашена-Бака. Эффект Штарка.
7. Нестационарные возмущения. Адиабатическое и внезапное возмущения.
8. Вероятности переходов при периодическом возмущении.
9. Излучение. Оценки вероятностей. Правила отбора.
10. Рассеяние света.
11. Классическая и квантовая теория рассеяния. Борновское приближение, критерий
применимости. Фазы рассеяния. Рассеяние медленных частиц.
12. Колебательный и вращательный спектры молекул. Эффекты тождественности.
Задания
ЗАДАНИЕ №1
(сдать до 25 марта)
1. Пучок нейтронов, движущийся вдоль оси x и поляризованный по направлению
движения, переходит из области x<0 , где нет магнитного поля, в область x>0
с постоянным однородным магнитным полем Hz . Найти зависимость от x
средних значений проекций вектора спина на оси z, x и y при x>0 .
2. Ядро со спином s  1 находится в состоянии с проекцией спина на ось
z, sz  1 . Найти вероятности проекций +1, 0, -1 на ось z ' , находящейся под
углом  к оси z .
3. Построить волновые функции, возникающие при сложении моментов j1=1 и
j2=2 . Используя “векторную модель”, а также непосредственно, используя
ˆ
ˆ
полученные волновые функции, найти средние значения операторов j1 и j2 ,
например, в состоянии с полным моментом j=3 и его проекцией jz= -1.
Указание: см. С.Х., п. 28.
ЗАДАНИЕ №2
(сдать до 25 апреля)
4. Гамильтониан атома гелия без релятивистских поправок имеет вид
pˆ 2
pˆ 2 2e 2 2e 2
e2
Hˆ  1  2 

   .
2m 2m
r1
r2
r1  r2
Доказать, что полный орбитальный момент и полный спиновый момент
системы двух электронов коммутируют с Ĥ и являются тем самым интегралами
движения. Рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение,
рассчитать энергетические уровни для конфигурации 1s2s и убедиться в том,
что, благодаря обменному взаимодействию, энергия триплетного терма 3 S1
ниже энергии синглетного 1 S 0 . Указание: см. Г. Бете, Квантовая механика, гл.
8 (1965 год); Л.Л., III, п. 62, задача 1; Г.К.К., 11.13, 11.14, 11.27 (1981 год) или
Г.К.К., 11.10, 11.16 (1992 год).
5. Атом Бора (Z=5) имеет основную конфигурацию 1s22s22p . Оценить спинорбитальное расщепление в этом состоянии. Как выглядит здесь эффект
Зеемана в слабом и в сильном поле? Указание: см. Л.Л., пп. 71, 72, 113.
6. Определить основные термы элементов C, N, O, Cl, Fe . Парамагнитные
или диамагнитные свойства проявляет в слабом магнитном поле атом углерода,
находящийся в нормальном состоянии? Указание: см. Л.Л., III, пп. 66, 67, 113.
7. На атом водорода, находящийся при t  0 в основном состоянии, действует
однородное периодическое электрическое поле E  E 0 sin t . Определить
минимальную частоту поля, необходимую для ионизации атома, и, пользуясь
теорией возмущений, вычислить вероятность ионизации в единицу времени
(электрон в конечном состоянии считать свободным).
8. Определить мультипольности и оценить вероятности переходов между
уровнями с n=2 и n=1 атома водорода с учётом их тонкой структуры.
Объяснить большую величину времени жизни,   1 / 7c , уровня 2s1 / 2 ,
определяемую двухфотонным переходом 2s1 / 2  1s1 / 2 . Как изменится это
время жизни при включении слабого электрического поля (с учётом
лэмбовского расщепления 2s1/2 и 2p1/2 уровней)? Найти величину поля,
меняющую это время вдвое. Как влияет на ответ скорость включения поля?
ЗАДАНИЕ №3
(сдать до 25 мая)
9. Найти дифракционную картину, возникающую при упругом рассеянии
электронов в газе двухатомных молекул. Расстояние между атомами в молекуле
a ;потенциал, создаваемый каждым атомом, имеет вид

e r / r0 ; 
2
; ориентации молекул хаотичны. Считая a  3r0  3 A ,
r
ma 2
оценить, прикаких энергиях можно наблюдать эту картину. Рассмотреть случаи
больших и малых переданных импульсов.
U (r ) 
10. Найти сечение упругого рассеяния медленных частиц на потенциале
U ( r )  G ( r  a ) . Исследуя зависимость сечения от параметров потенциала,
получить его значения при mGa /  2  1 (борновский случай), при
mGa /  2  1 (аналог случая непроницаемой сферы) и при | a | 1 , где
 a  2mGa / 2  1 (резонансный случай). Сравнить результаты с классическим
сечением на непроницаемой сфере. Показать, что длины рассеяния при наличии
дискретного уровня с малой энергией и виртуального уровня отличаются
знаком. Установить связь между полюсом амплитуды рассеяния и энергией
связанного состояния. Указание: см. Л.Л., III, пп. 132 и 133.
11. Потенциал взаимодействия двух частиц со спином 1/2 равен

U  g ( sˆ1sˆ2 ) (r1  r2 ) . Найти в борновском приближении сечение рассеяния,
если в начальном состоянии угол между спинами равен α. Рассмотреть случаи
различных и тождественных частиц. Указание: см. Л.Л., п. 137.