Вариант 3 - Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского
Институт химии
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебно-методической работе
профессор
Е.Г.Елина
« « -------------2011 г.
Рабочая программа дисциплины
Квантовая химия
Направление подготовки
240100 Химическая технология
Профиль подготовки
Химическая технология природных энергоносителей и углеродных материалов
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов
2011 год
1.Цели освоения дисциплины «Квантовая химия»
Целью дисциплины
является изучение основных положений
квантовой химии и необходимого для их понимания теоретического
аппарата квантовой механики, понятий и современных методов квантовой
химии для ясного представления, какими способами и на основе каких
приближений можно интерпретировать результаты химического
эксперимента, без которых невозможно глубокое понимание и решение
проблем современной химии, а также формирование химического
мировоззрения и химического мышления.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Квантовая химия» является базовой дисциплиной
математического и естественнонаучного цикла дисциплин Федерального
государственного
образовательного
стандарта
высшего
профессионального образования (ФГОС ВПО) направления подготовки
240100 «Химическая технология» (бакалавриат).
Для освоения программы по дисциплине «Квантовая химия» студенты
должны иметь базовое среднее (полное) общее образование или среднее
техническое. Требования к «входным» знаниям студентов предполагают
освоение операторного и матричного исчисления, дифференциальных
уравнений, строения атомов и молекул, межмолекулярных взаимодействий
- положений предшествующих курсу дисциплин (математика, физика,
информатика, неорганическая, органическая, физическая химия, строение
вещества), необходимых для успешного освоении данной дисциплины и
способствуют формированию у них определенных знаний и умений.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В совокупности с дугими дисциплинами базовой части
математического и естественнонаучного цикла ФГОС ВПО направления
подготовки 240100 Химическая технология дисциплина «Квантовая
химия» обеспечивает формирование следующих профессиональных
компетенций бакалавра:
- общекультурные компетенции
культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её
достижения (ОК-1);
умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь, способен в письменной и устной речи правильно
(логически) оформить результаты мышления (ОК-2);
к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства,
способен приобретать новые знания в области техники и
технологии, математики, естественных, гуманитарных, социальных
и экономических наук (ОК-7);
критически оценивать свои достоинства и недостатки, наметить пути
и выбрать средства развития достоинств и устранения недостатков
(ОК-8);
работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-12);
понимать роль охраны окружающей среды и рационального
природопользования для развития и сохранения цивилизации (ОК13);
владеть одним из иностранных языков на уровне не ниже
разговорного (ОК-14);
общепрофессиональными:
способностью и готовностью использовать основные законы
естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности,
применять методы математического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования (ПК-1);
использовать знания о современной физической картине мира,
пространственно-временных закономерностях, строении вещества
для понимания окружающего мира и явлений природы (ПК-2);
использовать знания о строении вещества, природе химической
связи в различных классах химических соединений для понимания
свойств материалов и механизма химических процессов,
протекающих в окружающем мире (ПК-3 );
основными методами, способами и средствами получения,
хранения, переработки информации, иметь навыки работы с
компьютером как средством управления информацией (ПК-5);
производственно-технологическая деятельность:
составлять математические модели типовых профессиональных
задач, находить способы их решений и интерпретировать
профессиональный
(физический)
смысл
полученного
математического результата (ПК-8);
применять аналитические и численные методы решения
поставленных задач, использовать современные информационные
технологии, проводить обработку информации с использованием
прикладных программ деловой сферы деятельности; использовать
сетевые компьютерные технологии и базы данных в своей
предметной области, пакеты прикладных программ для расчета
технологических параметров оборудования (ПК-9);
научно-исследовательская деятельность:
планировать и проводить физические и химические эксперименты,
проводить обработку их результатов и оценивать погрешности,
математически моделировать физические и химические процессы и
явления, выдвигать гипотезы и устанавливать границы их
применения (ПК-21);
способен использовать знание свойств химических элементов,
соединений и материалов на их основе для решения задач
профессиональной деятельности (ПК-23);
использовать знания основных физических теорий для решения
возникающих физических задач, самостоятельного приобретения
физических знаний, для понимания принципов работы приборов и
устройств, в том числе выходящих за пределы компетентности
конкретного направления (ПК-24).
Студенты должны:
- знать основные законы и приближения квантовой механики,
современную теорию строения молекул, понимать природу и особенности
химической связи;
- уметь использовать полученные знания для оценки строения молекул,
природы химической связи, установления корреляций строение – свойства
молекул, объяснять на этой основе реакционную способность молекул и
механизм реакций;
- владеть современными квантово-химическими методами расчета
молекул на основе программных средств с помощью компьютеров.
Освоение данной дисциплины необходимо для при выполнении
квалификационных работ бакалаврами химии любого профиля.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108
часов.
№
п/
п
Раздел
дисциплины
Се Не
Виды учебной
мес де работы, включая
тр ля самостоятельную
се работу студентов
ме и трудоемкость (в
ст
часах)
ра
1
Введение
6
1
2
2
2
8
2
Основы
квантовой
механики.
6
2
2
2
2
8
3
Принципы квантовой механики.
Основные операторы (координатное представление)
6
3
2
2
6
6
4
2
2
6
4
Основные
2
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Устный опрос по методу МО ЛКАО
Расчет
студентами
методом МО ЛКАО
молекулы
водорода
(письменная работа)
. Расчет геометрии
молекулярных систем.
Подготовка
к
контрольной
работе
(устный опрос)
Индексы электронной
теоремы
квантовой
механики.
Матричное
представление
операторов.
Свойства матриц.
Принципы кван6
товой механики.
Основные операторы (координатное представление.
структуры, расчеты для
различных
молекул
Устный опрос студентов.
5
2
2
2
6
Решение
задач.
Подготовка
к
контрольной работе.
Стационарные
6
состояния.
Уравнение
Шредингера для
атомных
и
молекулярных
систем.
Понятие модель- 6
ного подхода в
квантовой механике. Принцип
дополнительности. Движение
точки в заданном
потенциале.
6
2
2
2
6
.
Самостоятельная
работа по методу МО
ЛКАО (письменная)
7
2
2
2
6
Расчет
молекул
этилена и бутадиена.
Освоение программы
МАТКАД (самостоятельная работа на коипьютере)
8
Квантовомеханическое описание
атома водорода.
6
8
2
2
2
6
9
Системы тождественных частиц.
Принцип Паули.
6
9
2
2
2
6
10 Основные приближения квантовой химии.
Адиабатическое
приближение.
Одноэлектронное
приближение
6
10
2
2
2
6
Контрольная работа по
углеродным системам
с
применением
программы МАТКАД.
Расчет
молекул
формальдегида
и
акролеина (самостоятельная работа).
.
Расчет
индексов
электронной
структуры.
Устный опрос всех
студентов.
11 Средняя энергия
6
11
2
2
2
6
5
6
7
Контрольная работа
в одноэлектронном приближении. Корреляция
электронов.
12 Уравнения Харт- 6
ри-Фока. Теорема
Купманса. Электронные оболочки.
12
2
2
2
6
Компьютерное
тестирование
по
материалам лекций 1 –
4
13 Уравнение Харт- 6
ри-Фока для молекул с закрытыми оболочками.
Метод самосогласованного поля
(ССП)
13
2
2
2
6
Математический
диктант по основным
операторам квантовой
механики
14 Приближение МО 6
ЛКАО. Уравнения Рутана. Вариационный принцип
14
2
2
2
6
Компьютерное
тестирование
по
материалам лекций 6.
Теория возмущений в квантовой
химии
6
15
2
2
2
6
Самостоятелная работа
по расчету индексов
электронной структуры
6
16
2
2
2
6
Компьютерное
тестирование
по
материалам лекций 7-8
17 Уравнения Харт- 6
ри-Фока-Рутана.
Молекулярные
интегралы. Неэмпирические (ab
initio) квантовохимические методы расчета молекул
17
2
2
2
6
Компьютерное
тестирование
по
материалам лекций
10-15
18 Приближенные
методы ССП. Нулевое дифференциальное перекрывание (НДП).
18
2
2
2
6
Компьютерное
тестирование
по
материалам лекций 16
– 18
15
16 Приближенные
атомные орбитали. Правила
Слейтера
6
Полуэмпирические квантовохимические методы. Уравнения
Рутана в приближении НДП
И
то
го
6
18
36 36
ле
кц
ии
36
сам
.
108
все
го
Зачет
Предмет квантовая механика и квантовая химия. Основные этапы
развития квантовой химии. Роль в развитии
современной
теоретической химии. Перспективы дальнейшего развития квантовой
химии. Применение квантовохимических расчетов при решении
прикладных химических задач.
Основы квантовой механики. Математический аппарат операторы, их
свойства. Операторное уравнение.
Свойства собственных значений и собственных функций операторных уравнений. Основные теоремы квантовой механики. Матричное
представление операторов. Свойства матриц. Операторное
уравнение в матричной форме.
Принципы квантовой механики. Основные
представление.
операторы
(координатное
Волновая функция и ее свойства. Вероятность результатов измерений
физических величин, средние значения наблюдаемых величин.
Уравнение Шредингера (временное). Представление в матричной форме.
Стационарные состояния. Уравнение Шредингера для атомных и молекулярных систем.
Понятие модельного подхода в квантовой механике. Принцип дополнительности. Движение точки в заданном потенциале.
Частицы в потенциальной яме (одномерной и трехмерной). Гармонический осциллятор. ИК спектры двухатомных молекул. Потенциальные
барьеры. Туннельный эффект. Контактная разность
потенциалов. Холодная эмиссия электронов. Частица в
поле. Квантовомеханическое описание атома водорода.
центральном
Системы тождественных частиц. Принцип Паули. Симметричные и антисимметричные функции.
Основные приближения квантовой химии. Адиабатическое приближение. Уравнение Шредингера для движения электронов в поле ядер.
Одноэлектронное приближение. Уравнения Хартри.
Средняя энергия в одноэлектронном приближении. Кулоновские и обменные интегралы. Корреляция электронов.
Уравнения Хартри-Фока. Теорема Купманса. Электронные оболочки.
Уравнение Хартри-Фока для молекул с закрытыми оболочками. Метод самосогласованного поля (ССП).
Приближение МО ЛКАО. Уравнения Рутана. Вариационный принцип и
теория возмущений в квантовой химии. Понятие атомного базиса.
Приближенные атомные орбитали. Правила Слейтера. Уравнения Хартри-Фока-Рутана. Молекулярные
интегралы.
Неэмпирические (ab
initio) квантовохимические методы расчета молекул.
Приближенные методы ССП. Нулевое дифференциальное перекрывание
(НДП). Полуэмпирические квантовохимические методы. Уравнения
Рутана в приближении НДП.
Методы преподавания дисциплины:
- лекции (с мультимедийными презентациями);
- лабораторные работы
- контрольные работы
- компьютерное тестирование
- самостоятельная работа студентов по расчету различных свойств молекул
- самостоятельная работа студентов (освоение теоретического материала,
письменные домашние задания, подготовка к лабораторным работам,
оформление лабораторных работ, подготовка к текущему и итоговому
контролю).
Лабораторные работы
Meтoд MО ЛКАО. Pacчeт мaлыx мoлeкyл. Moлeкyлa вoдopoдa в
пpиближeнии ЛКАО. Pacчeт кoнфигypaции мoлeкyляpныx cиcтeм H3, Н3+,
Н3- мeтoдoм MО ЛКАО·
Ocнoвныe пpиближeния мeтoдa молекулярных opбитaлeй Xюккеля (МОХ).
Pacчeт coпpяжeнныx углеродных мoлeкyл мeтoдoм MOX.
Pacчeт coпpяжeнныx мoлeкyл мeтoдoм MOX (yглepoдныe cиcтeмы).
Koнmpoльнaя paбoma 1 (pacчem мemoдoм MOX yглepoдныx cucmeм).
Pacчeт мeтoдoм MOX молекул с гетероатомами.
Koнmpoльнaя paбoma II (pacчem мemoдoм MOX молекул c гemepoamoмами
u вoзбyждeнныx cocmoянuй мoлeкyл).
Pacчeт молекул c гeтepoaтoмами нa ЭBM мeтoдoм MOX.
.
Pacчeт pacпpeдeлeния элeктpoннoй плoтнocти мoлeкyл в вoзбyждeнныx
cocтoянияx, pacчeт элeктpoннoгo cпeктpa мoлeкyл. Boзмoжнocть pacчeтa
молекул с BMBC квaнтoвo-xимичecкими мeтoдaми:, сocтoяниe paзличныx
мoлeкyл в pacтвopax.
Meтoд Пapизepa-Пappa-Пoплa. Pacчeт элeктpoнныx cпeктpoв мoлeкyл
мeтoдoм ППП. Сpaвнeниe peзyльтaтов, пoлyчeнных в мeтoдe MOX, с
данными расчета методом ППП.
Полуэмпирические методы квантовой химии. Знакомство с программой
Hyper Chem.
5. Образовательные технологии
В соответствии стребованиями ФГОС ВПО направления подготовки
240100 Химическая технология дисциплина «Квантовая химия»
предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и
интерактивных форм проведения занятий.
Методы преподавания дисциплины:
- лекции (с мультимедийными презентациями);
- лабораторные работы
- контрольные работы
- компьютерное тестирование
- самостоятельная работа студентов по расчету различных свойств молекул
- самостоятельная работа студентов (освоение теоретического материала,
письменные домашние задания, подготовка к лабораторным работам,
оформление лабораторных работ, подготовка к текущему и итоговому
контролю).
Лекции составляют основу теоретического обучения и должны
давать систематизированные основы научных знаний по дисциплине,
концентрировать внимание студентов на наиболее сложных вопросах,
стимулировать активную познавательную деятельность студентов и
способствовать формированию творческого мышления.
Ведущим методом в лекции является устное изложение учебного
материала, сопровождающееся мультимедийными презентациями. На
вводной лекции студентам сообщается план и особенности изучения
дисциплины, а также рекомендуемая литература.
Лабораторные работы имеют целью практическое освоение
теоретического материала, овладение навыками экспериментальных работ
и анализа полученных результатов, выполнение правил техники
безопасности при работе с электрическими приборами (комльютерами).
Все лабораторные работы носят характер самостоятельных химических
задач, которые каждый студент решает самостоятельно после выбора
нужного квантово-химического метода и сравнивает полученные
результаты с экспериментом. Интерактивное обучение составляет 70
часов.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа:
- Освоение теоретического материала.
- Подготовка к текущему тестированию.
- Выполнение письменных домашних заданий.
- Оформление лабораторной работы.
- Подготовка к контрольным работам.
Формы контроля:
- Текущее компьютерное тестирование (Приложение 1.)
- Письменное домашнее задание
- Отчет по лабораторной работе
- Контрольная работа
- Вопросы для самоподготовки к тестированию (Приложение 2).
При изучении дисциплины «Квантовая химия» принята система
рейтинга, по которой все виды деятельности студента по дисциплине
оцениваются определенными баллами, которые затем переводятся в
итоговую оценку. Рейтинговая система оценки успеваемости студентов
Института химии по курсу «Квантовая химия» основана на комплексном
учете максимально возможных форм отчетности.
С одной стороны, известно, что результаты устных ответов студентов
обычно несколько завышены относительно уровня их «истинных» знаний,
а письменных ответов – несколько занижены. Поэтому разработанная нами
рейтинговая система включает оценки (в баллах) как за устные ответы на
семинарских занятиях и коллоквиумах, так и различные письменные
задания, такие как развернутые письменные ответы на отчетах, решение
типовых задач, тестовый контроль.
Курс «Квантовая химия» разбит на 5 блоков, изучение которого
заканчивается тестированием. Разработаны 5 тестов, каждый из которых
включает по 5-8 заданий различного характера по соответствующему
разделу лекций и оценивается определенной суммой баллов со своим
коэффициентом сложности. Часть тестов отрабатывается на компьютерах
(тесты 1, 4 и 5). Остальные выполняются в виде математического диктанта
(основные операторы квантовой механики) и самостоятельных работ
(тесты 2,3).. Для практических занятий ( Приложение 3) разработана
система оценок, учитывающая качество, сроки выполнения, оформления
работ. Определенной суммой баллов оценивается и посещение лекций.
Студенты, набравшие 85% от общей суммы баллов по всем формам
работы, освобождаются от зачета и им выставляется оценка «зачтено». Для
всех остальных предполагается зачет с учетом общей суммы баллов и
выставляется итоговая оценка. Контрольные вопросы приведены в
Приложении 2.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
«Квантовая химия»
а) основная литература:
1. Церельсон В.Г. Квантовая химия. Молекулы, молекулярные системы и твердые тела. Москва: изд-во «Бином», 2010.
2. Муштакова С.П., Бурмистрова Н.А., Горячева И.Ю., Капустина
Е.В., Монахова Ю.Б. «Основы квантовой механики и квантовой химии.
Методы расчета электронной структуры молекул». Саратов: изд-во
«Новый ветер», 2009.
б) дополнительная литература:
1. Муштакова С.П., Бурмистрова Н.А., Горячева И.Ю. Руководство к
практическим занятиям по курсу «Квантовая механика и квантовая химия»
Саратов: Изд-во Саратовского госуниверситета,2003.
в) программное обеспечение и Интернет ресурсы: поисковые
системы, электронные библиотеки, информационные сети, базы данных и
другие информационные ресурсы, программное обеспечение курса:
методы МОХ, ППП и Гиперхем.
Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Лекционный зал
Компьютерный класс с необходимым программным обеспечением (
МОХ, ППП, Гиперхем, Маткад).
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО
направления подготовки 240100 Химическая технология с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «Химическая технология» профиль подготовки «Химическая технология природных энергоносителей и углеродных материалов».
Автор
профессор Муштакова С.П.
Программа одобрена на заседании кафедры общей и неорганической
химии от
2011 года, протокол №
Подписи:
Зав.кафедрой
проф.,д.х.н.
С.П.Муштакова
Директор Института химии
проф.,д.х.н.
О.В.Федотова
Приложение 1. Тесты для компьютерного тестирования
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ И САМОПРОВЕРКИ
ТЕСТ 1.
ВАРИАНТ 1
1. Оператор х d dx переводит функцию sin x в функцию вида (прав 2)
1)  xcos x
2) xcos x
3)  xsin x 4) sin x 2
2. Среди приведенных, выберите пары операторов, коммутирующих
между собой
(1, 2, 3)
1)  y и  х
2)  х и Iˆ
3) х и  х

 
4) d dx  x и d dx  x

3. Из приведенных функций выбрать функцию (функции),
удовлетворяющие уравнению Lˆ   L , где Lˆ  d dx прав 4
1) ax
2) x
3) ax2
4) eax
4. Какое из приведенных равенств отражает свойство линейности
оператора L̂ ? (прав 2)
1) Lˆ f  Lf
2) Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1 Lˆ f1  c2 Lˆ f 2 3)  f1* x Lˆ f 2 x dx   f 2 x Lˆ* f1* x dx
4) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1
5. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
  1 ( x)  2 2 ( x) прав 5
1) 1
2) 12
3) 13
4) 15
5) 1 / 5 6) 1 / 3
7) 1 / 2
 сos
 sin 
6. Матрица имеет вид 
 sin  
 . Какой вид имеет транспонированная
cos 
к ней матрица? (прав 4)
 сos *
1) 
*
 sin 
 sin *  
  сos


2)
cos*  
  sin 
sin  
 сos
 3) 
 cos 
 sin 
 sin  
 сos
 4) 
cos 
  sin 
sin  

cos 
7. Функция   1   2   3   4  ...   n в L̂ представлении будет иметь вид
(прав 1 и 3)
1) c1  c2  c3  ...  cn  1 2) 1 1 ... 1
1

0
 ...

0

1
1 1
 

1 1
1
3)   4) 
...
... ...
 

1
1 1
 

... 1 

... 1 
5)
... ...

... 1 
0 ... 0 

1 ... 0 
... ... ...

0 ... 1 
8. Пусть А и В – две матрицы одинаковой размерности. Какие равенства из
приведенных для них выполняются? (прав 1. 3 4)
1) A + B = B + A
2) A  B = B  A
3) A  (B + C) = A  B + A  C
4) A  (B  C) = (A  B)  C
5) A  (B  C) = (B  C)  A
ВАРИАНТ 2
1. Оператор х d dx переводит функцию cos kx в функцию вида (прав 3)
1)  xcos x
2)  xsin x 3)  kxsin x 4) kxsin x 5)  kxcos x
2. Среди приведенных, выберите пары операторов, коммутирующих
между собой
(2, 3)
1) х и  х
2) y и  х
3)  y и  х
 a11 a12 
 и
 a21 a22 
4) 
 d11 d12 


 d 21 d 22 
3. Из приведенных функций выбрать функцию (функции),
2
удовлетворяющие уравнению Lˆ   L , где Lˆ  d 2
прав 1 и 5
dx
1) sin x
2) x
3) ax
4) ax2
5) cos x
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
  1 ( x)  3 2 ( x) прав 5
1) 1
2) 1
3) 13
4) 15
5) 1
6) 1 / 3
10
3
7) 14
5. Какое из приведенных равенств отражает свойство самосопряженности
оператора L̂ ? (прав3)
1) Lˆ f  Lf
2) Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1 Lˆ f1  c2 Lˆ f 2 3)  f1* x Lˆ f 2 x dx   f 2 x Lˆ* f1* x dx
4) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1
6. Функция   41  3 3   4   5 в L̂ представлении будет иметь вид (прав 1
и 3)
1) c1  4; c3  3; c4  1; c5  1; c2  c6  ...  cn  0
2) 4 3 1 1 0 ... 0
4
 
2
1
 
3)  1 
0
 
 ... 
 
0
4

0
0

4)  0
0

 ...

0
0
0
0
3
0
0
0
...
0
0
1
0
0
...
0
0
0
1
0
...
0
0 ... 0 

0 .. 0 
0 ... 0 

0 ... 0 
0 ... 0 
... ... ...

0 ... 0 
 3 2  4i 
 . Какой вид будет иметь комплексно6 
5
7. Дана матрица С 
сопряженная матрица? (прав 5)
 3*
 3 2  4i 
 2)  *
1) 
5
6


5
5
 3


 2  4i 6 
2  4i *  3)
*

6

 3 2  4i 


6 
5
*
5
 3
 3 2  4i 
 5) 
 6)
6 
 2  4i 6 
5
4) 
8. В каких случаях «высказывание»: транспонированная матрица не равна
исходной матрице верно? (правильно 4-7)
1) всегда
2) никогда
3) для вещественных матриц
4) для симметричных матриц
5) для диагональных матриц
6) для нулевых матриц
7) для единичных матриц
8) для треугольных матриц
Вариант 3
1. Оператор х d dx переводит функцию exp x в функцию вида (прав 4).
1) (1  x) exp x
2) (1  x) 2 exp x
3) x exp x 2 4) x exp x
5) x 2 exp x
2. Какие из указанных ниже операторов линейны (прав 1)
1)
2)  х +  y
3) e x
4) ехр   х

2

3. Из приведенных функций выбрать функцию (функции),
2
удовлетворяющие уравнению Lˆ   L , где Lˆ  d 2
прав 1 и 5
dx
1) sin x
2) x
3) ax
4) ax
2
5) cos x
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
  1 ( x)  3 2 ( x) прав 5
1) 1
2) 1
3) 13
4) 15
5) 1
6) 1 / 3
3
10
7) 14
5. Какое из приведенных равенств отражает свойство самосопряженности
оператора L̂ ? (прав3)
1) Lˆ f  Lf
2) Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1 Lˆ f1  c2 Lˆ f 2
4) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1
3)
 f x Lˆ f x dx   f x Lˆ f x dx
*
1
*
2
2
*
1
6. Функция   41   2   4 в L̂ представлении будет иметь вид (прав 1 и 3)
4

0
0
1) c1  4; c2  1; c4  1; c3  c5  c6  ...  cn  0 4) 
0
 ...

0

2) 4 1 1 0 ... 0
0
0
1
0
0
0
1
0
... ...
0
0
0 ... 0 

0 ... 0 
0 ... 0 
 3)
0 ... 0 
... ... ... 
0 ... 0 
4
 
1
1
 
0
 ... 
 
0
 
 3 2  4i 
 . Какой вид будет иметь транспонированная
6 
5
7. Дана матрица С 
комплексно-сопряженная матрица? (прав 6)
2  4i *  3)
*

 3*
 3 2  4i 
 2)  *
1) 
6 
5
5
5
 3


 2  4i 6 
6
8. Даны матрицы A

 3 2  4i 


6 
5
1 3

 , В
 2 4
5
 3
 3 2  4i 
 5) 
 6)
6 
 2  4i 6 
5
*
5 7

 и С
6 8
4) 
 3 2  4i 

.
6 
5
Найти А+В+С прав 1
 9 10  4i 

18 
15
1) 
 9 8  4i 

6 
5
2) 
 3 2  4i 

6 
5
3) 
Вариант 4
1. Оператор d dx переводит функцию x 5  3e x в функцию вида (прав 1).
6
x
1) 5 x 4  3e x
2) x 5  3e x
3) 5 x 4  3 хex 4) х 5  e 3
5) x 4  3 xe x
2. Какие из указанных ниже операторов линейны (1 и 4)
2
1) Aˆ f  3a 2 d f
dx 2
2) Aˆ f  f
3) Aˆ f  exp( f )

4) Âf 
 fdx

3. Из приведенных функций выбрать функцию (функции),
удовлетворяющие уравнению Lˆ   L , где Lˆ  * 2 прав все
1) ax
2) x
3) ax2
4) eax
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции   1 ( x)
прав 1
1) 1
2) 12
3) 13
4) 15
5) 1 / 5 6) 1 / 3
7) 1 / 2
5. Операторы коммутируют, если:
(5 и 3)
1) Lˆ f  Lf
2) Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1 Lˆ f1  c2 Lˆ f 2 3) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1
4)  f1* x Lˆ f 2 x dx   f 2 x Lˆ* f1* x dx 5) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1  0
6. Функцию   1  3 2  2 4 можно представить в матричной форме: (прав
6)
1
1 0 0  1 0 0 

 

3
1)  0 3 0  2)  3 0 0  3) 
 0 0 2  2 0 0  0

 
 2

0 0 0 1
 
0 0 0 0
4)
0 0 0 0
 
0 0 0   0
0 0 0 1
 
3 0 0 0
5)
0 0 0 0
 
0 0 2   0
3
0
0
0
1
 
0 2
3

0
0 0
6)   7)
0 0
2

0

0 0
 
 ... 
 
1
 
 3
0
 
 2
 
 3 2  4i 
 . Какой вид будет иметь транспонированная
6 
5
7. Дана матрица С 
матрица? (прав 4)
 3*
 3 2  4i 


1) 
 2)  5*
5
6



5
 3


 2  4i 6 
2  4i *  3)
*


6
 3 2  4i 


5
6


5
 3
 3 2  4i 
 5) 
 6)
2

4
i
6
5
6




*
4) 
8. Матрица единичного оператора Iˆ имеет вид (правильно 2)
1

0
1) 
0

 ...

0 ...

0 ...
0 ...

... ... ...
0
0
0
1

0
2) 
0

 ...

0 ...
1


0 ...
0
3)
0
1 ...


 ...
... ... ...

0
1
0
1 ...
1

 
0 ...
1
4)
 1  5) 1 1 1 ...
0 ...

 
 ... 
... ... ...
 
1
0
0
ВАРИАНТ 5
1. Оператор d dx x переводит функцию exp x в функцию вида (прав 1)
1) (1  x) exp x 2) exp x
3) exp x 2
4) x exp x
5) x 2 exp x
2. Среди приведенных найдите собственные функции оператора Lˆ  d dx
прав 4
1) ax
2) x
3) ax2
4) eax
5) cos x
3. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
прав 7
  21 ( x)  3 2 ( x)
1) 1
2) 12
3) 13
4) 15
5) 1 / 5 6) 1 / 3
7) 1 / 13
4. Операторы равны, если:
(4 и 7)
1) Lˆ f  Lf
2) Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1 Lˆ f1  c2 Lˆ f 2 3) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1 4) Lˆ1  Lˆ 2
5)  f1* x Lˆ f 2 x dx   f 2 x Lˆ* f1* x dx 6) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1  0 7) Lˆ1  Lˆ 2  0
3
5. Какой вид имеет функция F ( x)   Ci 1 ( x) в L̂ -представлении (прав 1)
i 1
 c1 
 
 c2 
c 
1)  3 
0
 ... 
 
0
 
 c1 
 
2)  c2 
c 
 3
3) с1 с2 с3 0 ... 0 4) с1 с2 с3 с4
 с1 
 
 с2 
... 5)  с 3 
 
 с4 
с 
 5
 3 2  4i 
 . Какой вид будет иметь транспонированная
6 
5
6. Дана матрица С 
матрица? (прав 4)
 3*
 3 2  4i 


1) 
 2)  5*
5
6



5
 3


 2  4i 6 
2  4i *  3)
*

6

 3 2  4i 


5
6


*
5
 3
 3 2  4i 
 5) 
 6)
2

4
i
6
5
6




4) 
7. Пусть А и В – две матрицы одинаковой размерности. Какие равенства из
приведенных для них выполняются? (прав 1. 3 4)
1) A + B = B + A
2) A  B = B  A
3) A  (B + C) = A  B + A  C
4) A  (B  C) = (A  B)  C
5) A  (B  C) = (B  C)  A
8. Дан самосопряженный оператор L̂ . Выразите матричные элементы L̂
через матричные элементы L̂ . (прав 1)
1) L kn  Lkn
2) L kn  Lnk 3) L kn  L*kn
4) L kn  L*nk
ВАРИАНТ 6
1. Дан оператор Вˆ  d dx . В какую функцию переводит оператор
B̂ 3 функцию sin x (прав 2)
1) cos x
2)  cos x
3) sin x
4)  sin x
2. Среди приведенных ниже операторов найти линейные (1 и 2)
1)  х
2) Iˆ
3) sin x
4)
3. Среди приведенных найдите собственные функции оператора Lˆ  d
прав 1 и 5
1) eax
2) x
4) ax2
3) ax
2
dx 2
5) cos x
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
  31 ( x)   2 ( x) прав 2
1) 1
2) 1
3) 13
4) 15
5) 1
6) 1 / 3
10
3
7) 14
5. Укажите условие ортогональности собственных функций оператора
(прав 1 и 2)
mn
*
1)  f m x  f n x dx  0
2)  f m x  f n x dx  0
3)
 f x Lˆ f x dx   f x Lˆ f x dx
4)  f x  dx  0
*
n
*
m
m
*
n
2
n
6. Функцию   31   2 можно представить в матричной форме: (прав 1 и 4)
3

1
1) 
0

 ...

0 ...  3
 
0 ...  0
2)
0 ...  0
 
... ... ...  ...
0
0
0
0 ...  3
 
0 ...  0
3)
0 ...  0
 
... ... ...  ...
0
1
0
3
 
0 ...

1
0 ...
4)  0  5)

 
0 ...

 ... 
... ... ...
 ... 
 
1
0
0
 3
 
1
2  i
 5
 . Какой вид будет иметь комплексно6 
 2  3i
7. Дана матрица С 
сопряженная матрица? (прав 5)
 5*
2  i
 5
 2) 
*
6 
 2  3i
 2  i 
 5*
2 i
 5
 6) 
5) 
*
6 
 2  3i
 2  3i 
1) 
8. Даны матрицы A
2  3i *  3)
*


6
2  i 
*
6*
1 3

 , В
 2 4
2 i
2  i
 5
 5

 4) 

6 
6 
 2  3i
 2  3i




5 7

 и С
6 8
 3 2  4i 

.
6 
5
Найти А+В+С прав 1
 9 10  4i 

18 
15
1) 
 9 8  4i 

6 
5
 3 2  4i 

6 
5
3) 
2) 
ВАРИАНТ 7
1. Дан оператор Вˆ  d dx . В какую функцию переводит оператор
B̂ 2 функцию sin x (прав 4)
1) cos x
2)  cos x
3) sin x
4)  sin x
2. Среди приведенных ниже операторов найти линейные (4 и 5)
n
1) ехр   х
2) cos x
3) e x
4)  n
5) Iˆ


2
x
3. Собственной функцией каких операторов является функция cos x прав
2,4
2
1) Lˆ  d dx
2) Lˆ  d 2
3) Lˆ    dx 4) Lˆ  * 2
dx
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
  21 ( x)  1 2 ( x) прав 5
1) 1
2) 12
3) 13
4) 15
5) 1 / 5 6) 1 / 3
7) 1 / 2
5. Укажите условие нормированности функции (прав 1, 5)
2
2
1)  f n x  dx  0
2)  f n x  dx  1 3)  f m* x  f n x dx  1
4)  f m x  f n x dx  0
5)
 f x  f x dx  1
*
m
m
6. Какой вид имеет оператор L̂ в собственном представлении (правильно 1
и 2)
1) Lkn  Ln kn
 L1

0
2) 
0

 ...

0
L2
0
...
0 ...
 Ln


0 ...
0
3)
0
L3 ...


 ...
... ...

0
Ln
0
0
0
Ln
...
...
... 
 L11


... 
 L21
4)
L
... 

 31

 ...
... 

L12
L22
L32
...
L13 ...

L23 ...
L33 ...

... ...
2  i
 5
 . Какой вид будет иметь комплексно6 
 2  3i
7. Дана матрица С 
сопряженная матрица? (прав 5)
 5*
2  i
 5
 2) 
*
6 
 2  3i
 2  i 
 5*
2 i
 5
 6) 
5) 
*
6 
 2  3i
 2  3i 
1) 
2  3i *  3)
*


6
2  i 
*
6*
2 i
2  i
 5
 5

 4) 

6 
6 
 2  3i
 2  3i




8. Дан самосопряженный оператор L̂ . Выразите матричные элементы L̂
через матричные элементы L̂ . (прав 1)
1) L kn  Lkn
2) L kn  Lnk 3) L kn  L*kn
4) L kn  L*nk
ВАРИАНТ 8
1. Дан оператор Вˆ  d dx . В какую функцию переводит оператор
B̂ 2 функцию cos x (прав 2)
1) cos x
2)  cos x
3) sin x
4)  sin x
2. Среди приведенных, выберите пары операторов, коммутирующих
между собой
(1, 2, 3)
1)  y и  х
2)  х и Iˆ 3) х и  х
4) d dx  x и d dx  x

 

3. Собственной функцией каких операторов является функция sin x прав
2,4
2
1) Lˆ  d dx
2) Lˆ  d 2
3) Lˆ    dx 4) Lˆ  * 2
dx
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
  21 ( x)  1 2 ( x) прав 5
1) 1
2) 12
3) 13
4) 15
5) 1 / 5 6) 1 / 3
7) 1 / 2
5. Укажите условие ортонормированности функции (прав 3)
1)  f m* x  f n x dx  1 2)  f m* x  f n x dx  0 3)  f m* x  f n x dx   mn *
1, m  n
0, m  n
* где  mn  
 с1 0 ...


6. Функция  в матричной форме имеет вид  с2 0 ... . Какой вид будет
 ... ... ...


*
иметь сопряженная функция  ? (прав 4)
 с1*
 с1* 0 ... 
 с1 с2 ...
 с1 0 ...







1)  с2* 0 ... 2)  0 0 ... 3)  с2 0 ... 4)  0

 ... ... ... 
 ... ... ...
 ... ... ...






 ...
с2* ... 

0 ... 

... ... 
7. Пусть А и В – две матрицы одинаковой размерности. Какие равенства из
приведенных для них выполняются? (прав 1. 3 4)
1) A + B = B + A
2) A  B = B  A
3) A  (B + C) = A  B + A  C
4) A  (B  C) = (A  B)  C
5) A  (B  C) = (B  C)  A
8. Дан самосопряженный оператор L̂ . Выразите матричные элементы L̂
через матричные элементы L̂ . (прав 1)
1) L kn  Lkn
2) L kn  Lnk 3) L kn  L*kn
4) L kn  L*nk
ВАРИАНТ 9
1. Найдите результат действия операторов Aˆ Bˆ на функцию f ( x)  x 4 , если

Aˆ    dx , а B  x (прав 3)
1) 5x 6
5
2) x 4
6
3) x 6
6
4) x 5
5
5) x 6
2. Среди приведенных, выберите пары операторов, коммутирующих
между собой
(2, 3)
1) х и  х
2) y и  х
3)  y и  х
 a11 a12 
 и
 a21 a22 
4) 
 d11 d12 


 d 21 d 22 
3. Среди приведенных функций выберите те, которые удовлетворяют
2
уравнению d f
1) cos аx
 а 2 f
dx 2
2) sin аx
(прав 1, 2, 3, 4)
3) e  аx
4) sin аx  cos аx
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
прав 7
  31 ( x)  22 ( x)
1) 1
2) 12
3) 13
4) 15
5) 1 / 5 6) 1 / 3
7) 1 / 13
5. Дан самосопряженный оператор L̂ . Выразите матричные элементы L̂
через матричные элементы L̂ . (прав 1)
1) L kn  Lkn
2) L kn  Lnk 3) L kn  L*kn
4) L kn  L*nk
 сos
 sin 
6. Матрица имеет вид 
 sin  
 . Какой вид имеет транспонированная
cos 
к ней матрица? (прав 4)
 сos *
1) 
 sin 
*
 sin *  
  сos
 2) 
*

cos  
  sin 
sin  
 сos
 3) 
 cos 
 sin 
 sin  
 сos
 4) 
cos 
  sin 
sin  

cos 
7. Дан самосопряженный оператор L̂ . Выразите матричные элементы L̂
через матричные элементы L̂ . (прав 1)
1) L kn  Lkn
2) L kn  Lnk 3) L kn  L*kn
4) L kn  L*nk
8. Какое из приведенных равенств отражает свойство линейности
оператора L̂ ? (прав 2)
1) Lˆ f  Lf
2) Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1 Lˆ f1  c2 Lˆ f 2 3)  f1* x Lˆ f 2 x dx   f 2 x Lˆ* f1* x dx
4) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1
Вариант 10

1. Найдите результат действия операторов Bˆ A на функцию f ( x)  x 4 , если

Aˆ    dx , а B  x (прав 2)
1) 5x 6
5
2) x 4
6
3) x 6
6
4) x 5
5
5) x 6
2. Какие из указанных ниже операторов линейны (прав 1)
1)
2)  х +  y
3) e x
4) ехр   х
2


3. Из приведенных функций выбрать функцию (функции),
удовлетворяющие уравнению Lˆ   L , где Lˆ  d dx прав 4
1) ax
2) x
3) ax2
4) eax
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции
  1 ( x)  3 2 ( x) прав 5
1) 1
2) 1
3) 13
4) 15
5) 1
6) 1 / 3
3
10
7) 14
5. Укажите условие ортогональности собственных функций оператора
mn
(прав 1 и 2)
 f x  f x dx  0 2)  f x  f x dx  0
 f x Lˆ f x dx   f x Lˆ f x dx
4)  f x  dx  0
*
m
1)
*
n
n
m
*
m
m
3)
n
*
n
2
n
 3 2  4i 
 . Какой вид будет иметь комплексно6 
5
6. Дана матрица С 
сопряженная матрица? (прав 5)
 3*
 3 2  4i 
 2)  *
1) 
6 
5
5
5
 3


 2  4i 6 
2  4i *  3)
*

6

 3 2  4i 


6 
5
*
5
 3
 3 2  4i 
 5) 
 6)
6 
 2  4i 6 
5
4) 
7. Пусть А и В – две матрицы одинаковой размерности. Какие равенства из
приведенных для них выполняются? (прав 1. 3 4)
1) A + B = B + A
2) A  B = B  A
3) A  (B + C) = A  B + A  C
4) A  (B  C) = (A  B)  C
5) A  (B  C) = (B  C)  A
8. Операторы коммутируют, если:
(5 и 3)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1) Lf  Lf
2) Lc1 f1  c2 f 2   c1 Lf1  c2 Lf 2 3) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1
4)  f1* x Lˆ f 2 x dx   f 2 x Lˆ* f1* x dx 5) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1  0
ВАРИАНТ 11
1. Оператор Aˆ    dx переводит функцию sin x в функцию вида (прав 2).
1) cos x
2)  cos x
3) sin x
4)  sin x
2. Какие из указанных ниже операторов линейны (1 и 4)
2
1) Aˆ f  3a 2 d f
dx 2
2) Aˆ f 
3) Aˆ f  exp( f )
f

4) Âf 
 fdx

3. Из приведенных функций выбрать функцию (функции),
2
удовлетворяющие уравнению Lˆ   L , где Lˆ  d 2
прав 1 и 5
dx
1) e
ax
2) x
3) ax
4) ax
2
5) sin kx
4. Определить, чему равен нормирующий множитель функции   1 ( x)
прав 1
1) 1
2) 12
3) 13
4) 15
5) 1 / 5
6) 1 / 3
7) 1 / 2
5. Какое из приведенных равенств отражает свойство самосопряженности
оператора L̂ ? (прав3)
1) Lˆ f  Lf
2) Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1 Lˆ f1  c2 Lˆ f 2 3)  f1* x Lˆ f 2 x dx   f 2 x Lˆ* f1* x dx
4) Lˆ1 Lˆ2  Lˆ2 Lˆ1
 3 2  4i 
 . Какой вид будет иметь транспонированная
6 
5
6. Дана матрица С 
комплексно-сопряженная матрица? (прав 6)
2  4i *  3)
*

 3*
 3 2  4i 
 2)  *
1) 
6 
5
5
5
 3


 2  4i 6 
6

 3 2  4i 


6 
5
5
 3
 3 2  4i 
 5) 
 6)
6 
 2  4i 6 
5
*
4) 
7. Дан самосопряженный оператор L̂ . Выразите матричные элементы L̂
через матричные элементы L̂ . (прав 1)

*
1) L kn  Lkn
2) L kn  Lnk 3) L kn  Lkn
4) L kn  L*nk
 
8. Даны матрицы A
1 3

 , В
 2 4
5 7

 и С
6 8
 3 2  4i 

.
6 
5
Найти А+В+С прав 1
 9 10  4i 

18 
15
1) 
 9 8  4i 

6 
5
2) 
 3 2  4i 

6 
5
3) 
ТЕСТ 3.
М-3(20)
1) Пусть какая-либо физическая величина в некотором состоянии может
принимать два значения Lk и Ln. Будут ли их вероятности одинаковы?
2) Может ли функция cos mx быть волновой функцией?
3) Найдите ожидаемое значение величины r, если волновая функция
системы имеет вид:
n = r n e -zr
4) Неопределенность в координате электрона  х  10-13 см,  = 10-27 г.
Найдите неопределенность в кинетической энергии электрона.
5) Докажите, что всегда имеет место следующее неравенство:
(L - L)2  0
M-3(19)
1) Могут ли коэффициенты разложения Сn зависеть от времени?
2) Возможно ли одновременно определить точные значения y и pz?
Найдите среднее значение величины у, если волновая функция системы
имеет вид:
n = Y n-1 e –ay
3) Докажите, что если оператор Â эрмитов, то ожидаемое значение
величины A вещественно.
4) Нужно ли наложить какие-либо ограничения на функцию exp (ik), (где
 - угол, определяющий положение точки на окружности), для того, чтобы
она могла быть волновой функцией?
5) С какой точностью могут быть определены мгновенные положения
молекулы бензола, движущейся при комнатной температуре (V =
(3RT/)1/2 )?
М3(2)
1) Дана функция вида n = eхр ( - r / a0 ). Может ли эта функция быть
волновой и в каком случае?
2) Чему равно среднее значение х в состоянии, описываемом волновой
функцией
 (х) = N x exp (-x2/2)
3) Вычислите относительные скорости электрона и протона, если каждый
обладает кинетической энергией 100 кДжмоль-1. Если неопределенность в
координате  х  10-13 см, чему будет равна неопределенность в импульсе?
4) Может ли величина Е – Ē иметь всегда один знак?
5) Если коммутатор Ĉ двух операторов Â и Ĵ равен нулю, значит ли это,
что величины Â и Ĵ в любом состоянии не дают разброса значений?
М3(3)
1) Отвечает ли функция вида xn exp ( -x2 ) требованиям, предъявляемым к
функциям состояния, и в какой области изменения переменных?
2) Найдите неопределенность импульса, учитывая заданную точность
определения положения электрона, движущегося со скоростью 2108 м/с (
х  0,1 нм).
3) Величина L дает разброс значений. Можно ли при этом поставить
вопрос: «Какую величину L имела до измерения?»
4) Пусть разложение  по собственным функциям оператора Ĉ имеет вид
 = (√3 / 2) 5 + ( ½ ) 7 . Какие значения в состоянии  могут появляться
при измерении С и с какими вероятностями?
5) Чему равно среднее значение х в состоянии, описываемом волновой
функцией
 (х) = N exp ( - аx)
М-3(4)
1) Могут ли одновременно давать точные значения при измерении
величины Z и px ? Найдите ожидаемое значение величины Z, если
волновая функция системы имеет вид Zn-1e-az
2) Найдите неопределенность импульса, учитывая заданную точность
определения положения человека массой 90 кг, движущегося со
скоростью 2 м/с ( х = 1 мм).
3) Является
ли функция
координата, волновой?
ехр (im),
где  - сферическая
4) Найдите ожидаемое значение величины r2, если функция имеет вид n =
rn e-Zr.
5) Пусть известна волновая функция , описывающая состояние частицы.
Как узнать теоретически, будет ли величина Е давать разброс значений?
М-3(5)
1) Координата протона определяется с точностью 0,1 мкм. Определить,
какой неопределенности кинетической энергии это соответствует.
2) Используя свойство эрмитовости оператора импульса, покажите, что
ожидаемое значение импульса в состоянии с вещественной функцией (
= *) равно нулю.
3) Дана функция вида  = ехр (ar). Является ли она волновой и в каком
случае?
4) Докажите, что средняя величина, определяемая по соотношению Релея,
вещественна.
5) Могут ли одновременно давать точные значения py и x? Найдите
ожидаемое значение величины х, если n = xn e-ax
М3(23)
1)
Может ли функция сos kx быть волновой функцией?
2)
Найдите ожидаемой значение величины r, если волновая функция
системы имеет вид
n = [ (2n! / (2z) n+1]-1/2 rn-1 e –zr
3) Электрон находится в атоме так, что его можно обнаружить в области,
линейные размеры которой составляют 10-10 м. Каков минимальный
разброс значений кинетической энергии электрона?
4) Будет ли функция хn exp (-x2) волновой и при каких условиях?
5) Запишите отношение Релея для любой величины, являющейся
собственным значением оператора. В каком представлении будет дано
отношение Релея?
М-3 (24)
1) Вычислите относительную скорость протона, если он обладает
кинетической энергией 100 кДж/моль. Если неопределенность в
координате  х  10-13 см, чему будет равна неопределенность в
кинетической энергии?
2) Чему равно среднее значение х в состоянии, описываемом волновой
функцией
 (х) = N exp ( - аx)
3) Какой вид имеет произведение операторов М2 и Мz в сферической
системе координат? Коммутируют ли эти операторы?
4) Будет ли функция  = cos m волновой и при каких условиях?
5) Могут ли одновременно давать точные значения при измерении
величины Z и px? Найдите ожидаемые значения величины Z, если волновая
функция системы имеет вид:
n = Zn-1 e-az.
M-3 (7)
1) Вычислите длину волны де Бройля для протона, летящего со скоростью
1 км/с. Чему равна неопределенность в импульсе протона?
2) Отвечает ли требованиям, предъявляемым к волновой функции и при
каких условиях функция sin x?
3) Почему кинетическая энергия может быть не равна нулю, хотя импульс
равен нулю?
4) Чему равно среднее значение кинетической энергии частицы,
описываемой волновой функцией
= exp (ikx)?
5) Правильно ли считать, что оператор полной энергии есть сумма
операторов кинетической и потенциальной энергии?
М-3 (8)
1) Найдите неопределенность кинетической энергии, учитывая заданную
точность определения положения человека массой 60 кг, движущегося со
скоростью 3 м/с ( х = 1 мм).
2) Вычислите среднее значение величины r-2, если волновая функция
системы имеет вид
n = [ (2n)! / (2z) n+1]-1/2 rn-1 e –zr
3) Отвечает ли требованиям, предъявляемым к функции состояния, и в
какой области изменения аргумента функция sin x  exp (-x2)?
4) Пусть известна волновая функция , описывающая состояние частицы.
Как узнать теоретически, будет ли величина Е давать разброс значений?
5) Возможен ли случай, когда полная энергия системы и кинетическая
энергия одновременно дают точные значения?
M-3 (11)
1) Определить неопределенность импульса частицы, если неопределенность координаты составляет 0,1 нм.
2) Может ли функция sin mx являться волновой функцией и при каких
условиях?
3) Вычислите среднее значение величины r2, если волновая функция
системы имеет вид
n = [ (2n)! / (2z) n+1]-1/2 rn-1 e –zr
4) Запишите выражение Ā в собственном представлении оператора Â.
5) Может ли при этом одна из величин , например L, не давать разброса
значений?
M-3 (9)
1) Какой вид имеют собственные функции оператора проекции импульса?
xЧему равно собственное значение этого оператора?
2) Вычислите среднее значение величины r-1, если волновая функция
системы имеет вид
n = [ (2n! / (2z) n+1]-1/2 rn-1 e –zr
3) Функция имеет вид arcsin x. Будет ли эта функция волновой и при каких
условиях?
4) Найдите ожидаемое значение импульса, если функция состояния имеет
вид ехр (-ах).
5) Вычислите длину волны де Бройля для электрона, летящего со скоростью 1000 км/с, что можно в этом случае сказать о положении электрона?
M-3 (21)
1) Вычислите длину волны де Бройля для протона, летящего со скоростью
1 км/с. Чему равна неопределенность в импульсе протона?
2) Отвечает ли требованиям, предъявляемым к волновой функции и при
каких условиях функция sin x?
3) Коммутируют ли операторы Тх и рх?
4) Чему равно ожидаемое значение импульса частицы, описываемой
волновой функцией
= exp (i рх x)?
5) Правильно ли считать, что оператор полной энергии есть сумма
операторов кинетической и потенциальной энергии?
М-3 (22)
1) Найдите неопределенность координаты тела массой 40 т, движущегося
со скоростью 8 км/с. ( V = 10 cм/с).
2) Вычислите ожидаемое значение импульса для частицы, описываемой
волновой функцией sin kx.
2
3) Является ли функция sin  собственной функцией оператора 
?
4) Функции 1 и 2 являются решением операторного уравнения вида
i


 H . Докажите, что линейная комбинация   c11  c2 2 тоже будет
t
решением приведенного операторного уравнения.
5) Возможен ли случай, когда полная энергия системы и кинетическая
энергия одновременно дают точные значения?
ТЕСТ 4
Вопрос 1
1) Найдите собственное значение оператора кинетической энергии (в
декартовых координатах) соответствующее функции exp(ikx) , где k –
целое число
1)
 2k 2
прав 1
2
2)
2 2
 k
2
3)
 2k 2
2
exp(ikx)
4)
2
2
5)
k2
2) Найдите собственное значение оператора кинетической энергии (в
сферических координатах), соответствующее функции exp(im ) , где m
– целое число прав 2
1) функция не является собственной для данного оператора
2)
 2m 2
m
5)
3)
2r 2 sin 2 
 2m 2
2r 2 sin 2 
exp(im )
4)
2
2
sin 2 
2 r 2
3) Найдите собственное значение оператора кинетической энергии (в
сферических координатах), соответствующее функции cos прав 4
1) функция не является собственной для данного оператора
2)
2
3)
2
2 r 2
4)
2
r 2
5)

2
2 r 2
4) Найдите собственное значение оператора кинетической энергии (в
декартовых координатах), соответствующее функции
exp( i p x x)

прав 3
2 p2
x
1)
p2
x
2
i2 p2
x
2) 
3)
2
p2
x
2
4)
p2 x2
x
2
5)
2  2
5) Найдите собственное значение оператора проекции момента импульса
(в сферических координатах), соответствующее функции exp(im ) , где
m – целое число прав 2
1) функция не является собственной для данного оператора
2) m
3)  m 4)  ix
5) mx
6) Найдите собственное значение оператора проекции импульса (в
декартовых коорданатах), соответствующее функции
exp( i p x x)

прав 4
1)
i p x
 x
2)
i p x
 x
3)
i p
 x
4)
p
x
5)
1 p
 x
7) Найдите собственное значение оператора импульса (в декартовых
коорданатах), соответствующее функции exp(kx) прав 2
1) ik exp(kx)
2)
ik
3)
k
4)
ikx
8) Найдите собственное значение оператора
5)
 ik
2
 , соответствующее
функции cos 
(прав 2)
1) функция не является собственной для данного оператора
 1
sin 2 
1
sin 2 
2)
3)
 cos 
4)
sin 2 
9) Найдите собственное значение оператора
1
 1
sin 
sin 2 
5)
2
 , соответствующее
функции exp(im )
(прав 3)
1) функция не является собственной для данного оператора
2
3)  m
 1
sin 2 
sin 2 
 expim
sin 2 
2)
4)
1
sin 2 
5)
Вопрос 2
1) Среди приведенных, выберите функцию (функции), для которых
собственные значения оператора импульса ( в декартовых координатах) не
будут давать разброса, где k – целое число (прав 4 и 5)
1)
kx
2)
x
3)
kx 2
4)
exp(ikx)
5)
exp i p x
 x
2) Среди приведенных, выберите функцию (функции), для которых
собственные значения оператора кинетической энергии ( в декартовых
координатах) не будут давать разброса,
где k – целое число (прав 1,3 и
5) , где k – целое число
1)
exp( i p x)
 x
2)
x
3)
cosikx
4)
kx 2
5)
sin x
a
3) Среди приведенных, выберите функцию (функции), для которых
собственные значения оператора проекции момента импульса (в
сферических координатах) не будут давать разброса, где m – целое число
(прав 1 и 5)
exp( i  )

exp(im )
1)
2)
sin im
3)
cos im
4)
m 2
5)
4) Среди приведенных, выберите функцию (функции), для которых
собственные значения оператора квадрата момента импульса (в
декартовых координатах) не будут давать разброса, где m – целое число
(прав 1 и 5)
1)
exp( i p x)
 x
2)
x
3)
cosimx
4)
mx 2
5)
exp(imх)
5) Среди приведенных, выберите функцию (функции), для которых
собственные значения оператора кинетической энергии (в декартовых
координатах) не будут давать разброса, где k – целое число (прав 1, 2, 3)
1)
exp(ikх)
2)
sin x
a
3)
C exp ikxC exp(ikx)
1
2
4)
kx 2
5) x
6) Среди приведенных, выберите функцию (функции), для которых
собственные значения оператора импульса (в декартовых координатах) не
будут давать разброса, где k – целое число (прав 4 и 5)
C exp(ikx)  C exp(ikx)
1
2
exp( i p x)
 x
1)
2)
x
3)
kx 2
4)
exp(ikx)
5)
Вопрос 3
1) Найдите ожидаемое значение кинетической энергии (в декартовых
координатах) частицы, состояние которой описывается функцией
exp( i p x x)

2 p2
x
1)
2
p2
x
2  2
прав 3
i2 p2
x
2) 
3)
2
p2
x
2
4)
p2 x2
x
2
5)
2) Найдите среднюю величину оператора кинетической энергии (в
декартовых координатах) частицы, движение которой описывается
функцией exp(ikx) , где k – целое число прав 1
1)
 2k 2
2
2)
2 2
 k
3)
2
 2k 2
2
exp(ikx)
4)
2
2
5)
k2
3) Найдите математическое ожидание оператора кинетической энергии (в
сферических координатах), соответствующее функции exp(im ) , где k
– целое число
1)
прав 2
2 2
0 2)  m
2r 2 sin 2 
2
2
4)  m
5) 
2 r 2
sin 2 
3)
 2m 2
2r 2 sin 2 
exp(im )
4) Найдите ожидаемое значение оператора кинетической энергии (в
декартовых координатах), соответствующее функции cos kx , где k –
целое число прав 4
1)
0
2)
2
3)
 2k 2
2
4)
2
2
5)

2
2
5) Найдите среднее значение оператора проекции импульса частицы (в
декартовых координатах), соответствующее функции exp(ikx) , где k –
целое число прав 1
1) k 2) ik 3) 0 4) ikx
5)  ik
6) Найдите ожидаемое значение оператора проекции момента импульса
частицы (в сферических координатах), соответствующее
функции exp(im ) , где m – целое число прав 2
1) 0
2) m
3)  m 4)  ix
5) mx
7) Найдите ожидаемое значение оператора проекции импульса (в
exp( i p x x)

декартовых координатах), соответствующее функции
прав 4
1)
i p x
 x
i p x
 x
2)
3)
i p
 x
p
4)
5)
x
1 p
 x
Вопрос 4
1) Из приведенных пар операторов выберите те, физические величины которых в общем случае одновременно точно измеримы
4и5
1) T̂ и
5)
Ĥ (Uˆ  0 )
ŝ 2 и ŝ
2)
p̂
x
и
x̂
3)
M̂
z
и
M̂
p̂
4)
y
y
и
p̂
z
z
2) Из приведенных пар операторов выберите те, которые могут иметь
общие собственные функции 1, 2, 4
1)
и
M̂ 2 и M̂ z
M̂
y
2)
ŝ 2 и ŝ
3)
z
T̂
и
x̂
p̂
4)
y
и
p̂
z
5)
M̂
z
3) Из приведенных пар операторов выберите те, физические величины которых в общем случае одновременно точно измеримы
4
1)
ŝ

p̂ и Ĥ
2)
T̂
и
x̂
3)
M̂
z
и
M̂
4)
y
p̂
y
и
p̂
z
5)
ŝ
y
и
z
4) Из приведенных пар операторов выберите те, которые могут иметь общие собственные функции 1, 2, 3
1)
M̂
M̂
y
z
и
ẑ
2)
2

и
T̂
3)
p̂
x
и
p̂
y
4) T̂ и
x̂
5)
M̂
z
и
5) Из приведенных пар операторов выберите те, физические величины которых в общем случае одновременно точно измеримы
2, 3, 4, 5
1) T̂ и Û
ŝ
p̂
2)
x
и
ŷ
3)
M̂
z
и
ẑ
M̂ 2
4)
и
M̂
5)
x
ŝ 2 и
x
6) Могут ли иметь одновременно точные значения следующие пары величин 1, 2, 3
M̂ 2
1)
M̂
x
и
и
M̂
z
2)
2
M̂ 2
и


p̂ и T̂
3)
4)
M̂
и
z
M̂
5)
y
ẑ
7) Из приведенных пар операторов выберите те, физические величины
которых в общем случае одновременно точно измеримы 2, 5
1)
M̂
и
z
M̂
y
2)
p̂
y
и
p̂
z
3)
ŝ
y
и
ŝ
z
4) T̂ и
x̂
5)
2

T̂
8) Могут ли иметь одновременно точные значения следующие пары
величин
прав 1,3,4
1) T̂ и
5)
M̂
Ĥ (Uˆ  0)
x
и
2)
M̂
z
и
M̂
y
3)
p̂
x
и
ŷ
2

4)
и
T̂
ẑ
Вопрос 5
1) Найдите вероятность того, что для частицы, в состоянии
  C exp( i  p x)  C exp( i  p x) получится импульс px
1
x
2
x
(прав 3)
1) 1
2)
1
2
3)
C2
2
4)
C
2
5)
C2
1
6)
C
1
2) Найдите вероятность того, что для частицы, движение которой
описывается нормированной функцией
и
  C exp( i p x)  C exp( i p x)
 x
1
2
p 2
кинетическая энергия T  x
1) 1
2)
1
3)
2
получится
 x
(прав 1)
2
C2
2
4)
C
2
5)
C2
1
6)
C
1
3) Найдите вероятность того, что в состоянии
  C exp(im  )  C exp(im  ) получится значение проекции
1
1
момента импульса
1) 1
2)
1
m1
, где m – целое число (прав 5)
3)
2
2
2
C2
2
4)
C
2
5)
C2
1
6)
C
1
4) Найдите вероятность того, что в состоянии
  C exp( i  p x)  C exp( i  p x) получится импульс p
x
1
x
2
x
(прав 5)
1) 1
2)
1
3)
2
C2
2
4)
C
2
5)
C2
1
6)
C
1
5) Нормировочный множитель собственных функций оператора
равен (прав 2)
1) 1
2)
1
3)
2
C
1
4)
2
5)
1
M̂
z
2
6) Найдите вероятность того, что в состоянии
  C exp(im  )  C exp(im  ) получится значение проекции
1
1
момента импульса
1) 1
2)
1
вариант/вопрос
1
2
3
4
5
6
7
8
9
m2 
3)
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2
, где m – целое число
C2
2
4)
2
1
3
4
6
2
5
2
6
3
C
2
5)
3
1
7
6
5
2
3
4
1
2
(прав 3)
C2
1
6)
4
1
2
3
4
5
6
7
8
1
C
1
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
ТЕСТ 5.
М-5 (1)
1) Для некоторого полиена n верхнего заполненного уровня равно 7.
Определить длину волны поглощения данного полиена.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы СО (0 = 2169,81 см-1).
3) Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной
яме шириной 10-10 м. Определить энергию основного состояния электрона.
4) Представьте вид оператора Гамильтона для атома гелия в атомных
единицах.
5) Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности
соседних энергетических уровней  Еn+1, n к энергии Еn частицы в случае n
= 4, n = ∞.
М-5 (2)
1) Для некоторого полиена n нижнего свободного уровня равно 9.
Определить длину волны поглощения данного полиена.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы О2 (0 = 1580,19 см-1).
3) Определите приближенное значение главного квантового числа шарика
пинг-понга массой 1,5 г, если он движется только вдоль стола длиной 2,5 м
со скоростью 50 км/ч.
4) Какими должны быть коэффициенты С1и С2 для того, чтобы функция 
(х) = С1 exp (ikx) + С2 exp (-ikx) описывала состояние с определенным
импульсом?
5) Запишите уравнение Шредингера для электрона в поле двух протонов.
М-5 (3)
1) Положение первой спектральной полосы полиена ν0 = 14067 см-1.
Используя FEMO, определите n верхнего заполненного уровня.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы N2 (0 = 2358.57 см-1).
3) Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной
яме шириной 10-10 м. Определить длину волны, испускаемой при переходе
из состояния с n = 3 в состояние с n = 2.
4) Совпадает ли функция  (х) = С1 exp (ikx) + С2 exp (-ikx) с собственной
функцией оператора импульса?
5) Вычислите среднее значение импульса частицы в одномерном «ящике».
М-5 (4)
1) Положение первой спектральной полосы полиена ν0 = 10316 см-1.
Используя FEMO, определите n верхнего заполненного уровня.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы HCl (0 = 299,95 см-1).
3) Электрон находится в потенциальном ящике шириной а = 0,5 нм.
Определить наименьшую разность  Е энергетических уровней электрона.
4) Найдите Еn и  (х,у) для частицы в двумерном потенциальном ящике.
5) Определите среднее значение импульса для осциллятора в состоянии 0
(х).
М-5 (5)
1) Положение первой спектральной полосы ν0 = 29940 см-1. Используя
FEMO, определите n нижнего свободного уровня. Сколько заполненных
уровней в такой молекуле?
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы HBr (0 = 2648.98 см-1).
3) Считая, что все нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном
ящике кубической формы с линейными размерами а = 10-14 м, оценить
нижний энергетический уровень нуклонов в ядре.
4) Представьте вид оператора Гамильтона для дейтерия в атомных
единицах.
5) Для частицы, движущейся в одномерной потенциальной яме,
определите среднее значение квадрата момента импульса.
М-5 (6)
1) Длина волны максимума поглощения полиена составляет 258 нм.
Определите число двойных связей в молекуле этого полиена.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы Br2 (0 = 2460.4 см-1).
3) Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной
яме шириной 10-10 м. Определить энергию состояния электрона с n = 3.
4) Почему кинетическая энергия может быть не равна нулю, хотя импульс
равен нулю?
5) Найдите квадрат момента импульса точки, находящейся в одномерной
потенциальной яме.
М-5 (7)
1) Используя метод FEMO, положение первой спектральной полосы в
молекуле С6Н5 (СН=СН)8 С6Н5 . (Каждая фенильная группа вносит в
сопряженную систему по 3 атома углерода и по 3 электрона).
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы Br2 (0 = 2460.4 см-1).
3) Определите приближенное значение главного квантового числа шарика
пинг-понга массо1 1,5 г, если он движется только вдоль стола длиной 2,5 м
со скоростью 50 км/ч.
4) Найдите среднее положение осциллятора в состоянии 1 (х).
5) Почему кинетическая энергия может быть не равна нулю, хотя импульс
равен нулю?
М-5 (8)
1) Найдите max поглощения молекулы С6Н5 (СН=СН)6 С6Н5 . (Каждая
фенильная группа вносит в сопряженную систему по 3 атома углерода и по
3 электрона).
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы HCl (0 = 299,95 см-1).
3) Представьте вид оператора Гамильтона для атома лития в атомных
единицах.
4) Найдите энергии первых двух уровней для электрона в потенциальной
одномерной яме а = 10-10 м.
5) Вычислите среднее значение импульса частицы в одномерном «ящике».
М-5 (9)
1) Положение первой спектральной полосы полиена ν0 = 17193 см-1.
Используя FEMO, определите n верхнего заполненного уровня.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы D2 (0 = 299,95 см-1).
3) Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности
соседних энергетических уровней  Еn+1, n к энергии Еn частицы в случае n
= 3, n = ∞.
4) Запишите уравнение Шредингера для электрона в поле двух протонов.
5) Можно ли утверждать, что величина энергии в общем случае складывается из суммы величин кинетической и потенциальной энергии?
М-5 (10)
1) Для некоторого полиена n верхнего заполненного уровня равно 12.
Определить длину волны поглощения данного полиена.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы HI (0 = 2309.5 см-1).
3) Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной
яме шириной 10-10 м. Определить энергию состояния электрона с n = 2.
4) Является ли функция Т = с1 р + с1 -р собственной функцией
оператора р? Найдите вероятность того, что в состоянии Т получится при
измерении импульс (-р).
5) Определите среднее значение импульса для осциллятора в состоянии 2
(х).
М-5 (11)
1) Используя FEMO, предскажите, какие уровни комбинируют в линейном
полиене с числом двойных связей, равным 12.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы NO (0 = 1904.0 см-1).
3) Считая, что все нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном
ящике кубической формы с линейными размерами а = 10-14 м, оценить
нижний энергетический уровень нуклонов в ядре.
4) Какими должны быть коэффициенты С1и С2 для того, чтобы функция 
(х) = С1 exp (ikx) + С2 exp (-ikx) описывала состояние с определенным
импульсом?
5) Определите среднее значение импульса для осциллятора в состоянии 1
(х).
М-5 (12)
1) Найдите энергию перехода в нижнее возбужденное состояние молекулы
С6Н5 (СН=СН)6 С6Н5 . (Каждая фенильная группа вносит в сопряженную
систему по 3 атома углерода и по 3 электрона).
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы H2 (0 = 4401,2 см-1).
3) Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности
соседних энергетических уровней  Еn+1, n к энергии Еn частицы в случае n
= 10, n = ∞.
4) Найдите Еn и  (х,у) для частицы в двумерном потенциальном ящике.
5) Можно ли утверждать, что величина энергии в общем случае складывается из суммы величин кинетической и потенциальной энергии?
М-5 (13)
1) Для некоторого полиена n верхнего заполненного уровня равно 5.
Определить положение первой спектральной полосы данного полиена.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы F2 (0 = 916,64 см-1).
3) Какова самая низкая кинетическая энергия электрона, движение
которого ограничено кубом с ребром 10-13 см?
4) Представьте вид оператора Гамильтона для атома гелия в атомных
единицах.
5) Для частицы, движущейся в одномерной потенциальной яме,
определите среднее значение квадрата момента импульса.
М-5 (14)
1) Для некоторого полиена n верхнего заполненного уровня равно 7.
Определить длину волны поглощения данного полиена.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы F2 (0 = 916,64 см-1).
3) Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной
яме шириной 10-10 м. Определить длину волны, испускаемой при переходе
из состояния с n = 2 в состояние с n = 1.
4) Найдите Еn и  (х,у) для частицы в двумерном потенциальном ящике.
5) Определите среднее значение импульса для осциллятора в состоянии 0
(х).
М-5 (15)
1) Для некоторого полиена n нижнего свободного уровня равно 9.
Определить длину волны поглощения данного полиена.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы СО (0 = 2169,81 см-1).
3) Электрон находится в потенциальном ящике шириной а = 0,5 нм.
Определить наименьшую разность  Е энергетических уровней электрона.
4) Найдите среднее положение осциллятора в состоянии n (х).
5) Является ли функция Т = с1 р + с1 -р собственной функцией
оператора р? Найдите вероятность того, что в состоянии Т получится при
измерении импульс (-р).
М-5 (16)
1) Положение первой спектральной полосы полиена ν0 = 14067 см-1.
Используя FEMO, определите n верхнего заполненного уровня.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы О2 (0 = 1580,19 см-1).
3) Считая, что все нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном
ящике кубической формы с линейными размерами а = 10-14 м, оценить
нижний энергетический уровень нуклонов в ядре.
4) Представьте вид оператора Гамильтона для атома водорода в атомных
единицах.
5) Можно ли утверждать, что величина энергии в общем случае
складывается из суммы величин кинетической и потенциальной энергии?
М-5 (17)
1) Положение первой спектральной полосы полиена ν0 = 10316 см-1.
Используя FEMO, определите n верхнего заполненного уровня.
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы N2 (0 = 2358.57 см-1).
3) Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной
яме шириной 10-10 м. Определить энергию состояния электрона с n = 4.
4) Найдите Еn и  (х,у) для частицы в двумерном потенциальном ящике.
5) Какими должны быть коэффициенты С1и С2 для того, чтобы функция 
(х) = С1 exp (ikx) + С2 exp (-ikx) описывала состояние с определенным
импульсом?
М-5 (18)
1) Положение первой спектральной полосы ν0 = 29940 см-1. Используя
FEMO, определите n нижнего свободного уровня. Сколько заполненных
уровней в такой молекуле?
2) Вычислите силовую постоянную и энергию нулевых колебаний для
молекулы HCl (0 = 299,95 см-1).
3) Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности
соседних энергетических уровней  Еn+1, n к энергии Еn частицы в случае n
= 6, n = ∞.
4) Запишите уравнение Шредингера для электрона в поле двух протонов.
5) Определите среднее значение импульса для осциллятора в состоянии 2
(х).
Приложение 2
Контрольные вопросы для зачета
1. Основные постулаты квантовой механики. Волновые функции и их
свойства.
2. Оператор Гамильтона и уравнение Шредингера для молекулярных
систем.
3. Энергетический спектр простейших систем: частицы в
прямоугольном потенциальном ящике, гармонического осциллятора и
жесткого ротатора. Электронные, колебательные и вращательные
состояния молекул.
4. Метод свободных электронов. Расчет спектров линейных
полиенов.
5. Волновые функции (орбитали) для атома водорода.
6. Вариационный принцип квантовой механики и вариационный
метод.
7. В чем заключается адиабатическое приближение? Электронное и
ядерное волновые уравнения.
8. В чем заключается метод Хартри-Фока для решения электронного
уравнения?
9. Что такое электронная конфигурация? Понятие корреляции
электронов. Конфигурационное взаимодействие.
10. Атомные и молекулярные орбитали. Что это такое?
11. Заряды на атомах и порядки связей. Качественная теория
реакционной способности молекул. Полярность химической связи и ее
характеристики.
12. Метод МЛКАО. Локализованные молекулярные орбитали.
Гибридные орбитали и гибридизация.
13. Что Вы знаете о современных полуэмпирических методах
квантовой химии?
14. Метод Хюккеля. Привести пример расчета этим методом какойлибо простой молекулярной системы (бутадиен, циклобутадиен,
метиленциклопропен и др.)
15. Одноэлектронное приближение в квантовой механике.
16. Неэмпирические
квантовохимические
методы.
Метод
самосогласованного поля.
17. π-Электронное приближение. Метод МО ЛКАО ССП и КВ
Паризера-Парра-Попла.
18. Приближенные атомные орбитали. Правила Слэтера. Понятие
атомного базиса.
Прикладные вопросы:
19. Найти волновые функции частицы в прямоугольном
потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками.
20. Написать оператор Гамильтона для какой-либо простой
двухатомной молекулы, например, LiН, НеН+, Li2, ВеН и т. п. Выписать
соответствующий определитель Слэтера.
Вопросы для самоподготовки
1.
Операторы в квантовой механике. Свойства операторов.
Область определения операторов.
2.
Операторные уравнения. Понятие «граничных» или «краевых»
условий. Собственные значения и собственные функции. Спектр
собственных значений.
3.
Свойства собственных значений и собственных функций
операторного уравнения.
4.
Понятие «вырождения». Вырожденные функции. Теорема о
вырожденных функциях.
5.
Свойство коммутивности операторов. Теоремы 5 и 6 квантовой
механики.
6.
Матрицы в квантовой механике. Виды и свойства матриц.
Функция в матричной форме.
7.
Матричное представление операторов. Понятие собственного
представления операторов. Единичный оператор.
8.
Операторное уравнение в матричной форме. Линейные
однородные уравнения. Основные принципы их решения.
9.
Свойства нормированности и ортогональности собственных
функций операторного уравнения. Их физический смысл.
10. Основные операторы квантовой механики (координатное
представление).
11. Оператор Гамильтона в квантовой механике.
12. Гамильтониан системы взаимодействующих частиц.
13. Понятие «вырождения». Вырожденные функции. Теорема о
вырожденных функциях.
14. Основные принципы квантовой механики.
15. Волновая функция и ее свойства.
16. Статистический смысл волновой функции. Её свойства.
«Орбиталь» в квантовой механике.
17. Второй принцип квантовой механики. Отношение Релея.
Особенности измерений в квантовой механике.
18. Соотношение неопределенности Гейзенберга. Понятие
«облака» частицы.
19. Принцип «причинности» в квантовой механике. Понятие
«полного набора» величин.
20. Уравнение Шрёдингера в матричной форме. Спектр
собственных значений. Понятие энергетического (Е) представления.
21. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний.
Функции и свойства стационарных состояний.
22. Модельные задачи в квантовой химии: частица в одномерной
потенциальной яме.
23. Одномерное движение свободной частицы. Расчет спектров
линейных полиенов.
24. Одномерный потенциальный барьер. Туннельный эффект.
Холодная эмиссия электронов. Возникновение контактной разности
потенциалов.
25. Трехмерная потенциальная яма. Решение уравнения
Шрёдингера.
26. Гармонический осциллятор. ИК спектры двухатомных
молекул.
27. Жесткий ротатор. Вращательная спектроскопия.
28. Частицы в центральном поле. Движение электрона в атоме
водорода.
29. Приближенные методы решения уравнения Шрёдингера для
многоэлектронных систем: вариационный метод.
30. Особенности расчета многоэлектронных систем. Основные
приближения и методы квантовой химии.
31. Вариационная теорема в квантовой механике.
32. Теория возмущений Релея-Шредингера.
33. Адиабатическое приближение в квантовой химии.
34. Одноэлектронное
приближение.
Уравнения
Хартри.
Корреляция электронов.
35. Принцип тождественности частиц. Антисимметричные и
симметричные волновые функции.
36. Детерминантная функция Слейтера. Принцип Паули.
37. Средняя энергия в одноэлектронном приближении.
38. Одноэлектронные интегралы в выражении для средней
энергии в одноэлектронном приближении.
39. Значение двухчастичной энергии в выражении для средней
энергии в одноэлектронном приближении.
40. Кулоновский,
обменный
интегралы
(однои
двухэлектронные). Интегралы перекрывания. Физический смысл
интегралов.
41. Уравнения Хартри-Фока. Эффективный гамильтониан в
методах Хатри и Хартри-Фока.
42. Уравнение Хартри-Фока для молекул с замкнутыми
оболочками. Методы ab initio в квантовой химии.
43. Энергия орбиталей в методе Хартри-Фока. Потенциал
ионизации. Правило Купманса.
44. Многоэлектронные волновые функции в одноэлектронном
приближении. МО ЛКАО. Вид атомных функций.
45. Приближение МО ЛКАО в квантовой химии. Уравнения
Рутана для молекул с замкнутыми оболочками.
46. Метод самосогласованного поля в уравнения Хартри-ФокаРутана.
47. Приближенные атомные орбитали в квантовой химии.
Правила Слейтера. Понятие атомного базиса и его виды.
Приложение 3.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
Квантовохимический расчет сопряженных органических молекул методом молекулярных орбиталей Хюккеля
Цель работы - проведение квантовохимического расчета по методу
МОХ и интерпретация полученных результатов.
Представлены две версии программы; выбор версии предопределяется задачей исследования.
Версия I
Данная версия программы позволяет провести квантовохимический
расчет молекул в основном и возбужденном состояниях.
1. Создание молекулы с помощью графической оболочки
Для расчета параметров
молекул методом
молекулярных
орбиталей
Хюккеля
необходимо создать исходный
файл
(*.dat),
содержащий информацию о
взаимном
расположении
атомов
в
пространстве. С
этой
целью
используют
программу RIS,
для вызова которой необходимо
щелкнуть
соответствующий ярлык на
рабочем столе.
На экране возникает поле
для построения
молекул, а справа набор атомов.
Выбор
типа
атомов осуществляется клавишами <Page Up> и <Page Down>.
Справа внизу на экране высвечиваются координаты курсора. Чтобы
отобразить химическую связь между атомами, необходимо одновременно
нажать комбинацию <Enter> и <Space>.
Положение атомов задается передвижением курсора с помощью
клавиш со стрелками. Для ввода атома необходимо нажать <Enter>. Для
удаления атома используют клавишу <Delete>.
При нажатии <F1> на экране отображаются функции различных
клавиш.
Чтобы сохранить молекулу, нажимают <F2> и вводят название
файла с расширением *.dat (например, benzene.dat) и нажимают клавишу
<Enter>. Затем можно ввести комментарий. Выход из программы
осуществляется <Esc>.
2. Квантовохимический расчет молекул методом МОХ
Для запуска программы MOLNEW необходимо двойным щелчком
мыши активизировать соответствующий ярлык на рабочем столе. В строке
меню выбрать опцию FILE, откроется окно, в котором перемещением
курсора (стрелки на клавиатуре) выбрать файл, созданный в программе
RIS, нажатием <Enter>.
В окне появится количество центров (n) и матричные элементы
данной молекулы. Отражаются значения диагональных элементов
гетероатомов и соседних с ними атомов углерода, значения
недиагональных элементов отличных от нуля. Для молекул, содержащих
гетероатомы, необходимо проверить значения диагональных элементов.
После матричных элементов (END HAMILT) показано расположение
атомов в декартовых координатах, количество поставляемых
электронов, тип атомов.
После нажатия <Esc> программа возвращается к исходной строке
меню. Курсором выберите RUN. В открытом окне программа предлагает
выбрать метод расчета (Простой метод Хюккеля). На экране появится
схематическое изображение молекулы, внизу строка меню:
ESC  return - позволяет выйти к исходному меню;
B  bond - позволяет увидеть связи в молекуле;
V  view - показывает нумерацию атомов: на экране появляются
номера, декартовы координаты и символы выделенных атомов (для
перехода к следующему атому необходимо повторить команду);
M  mark - позволяет выделить атом и определить расстояние
между ним и другими атомами молекулы;
N  next - позволяет увидеть молекулу в различных плоскостях;
R  rotate - позволяет вращать молекулу в плоскости;
A  axis - позволяет выбрать угол вращения.
После нажатия ESC появляется запрос: «Устраивает ли Вас геометрия?»
Если выбрать N (no), то на экране появятся элементы исходной матрицы,
которые следует исправить;
если  Y (yes), то на экране показаны общая энергия молекулы в единицах
 и составляющие дипольного момента по осям. Далее необходимо
подтвердить желание напечатать результаты (Y), что позволяет создать
временный файл, содержащий результаты расчетов.
На экране появляется таблица с элементами матрицы плотности. Для
просмотра матричных элементов используются клавиши со стрелками (↑,
→, ↓, ←). Строка T (i, j) показывает коэффициенты разложения сi для
молекулярной орбитали j . Строка Dme отражает следующее:
 для диагональных элементов значение электронной плотности
на данном атоме (для расчета заряда необходимо из количества
электронов, поставляемых данным атомом в систему, вычесть указанное
значение);
 для недиагональных элементов значение порядка связи, если
атомы ковалентно связаны. Если связь отсутствует, то данная величина не
имеет физического смысла.
После нажатия <Esc> появляется энергетическая диаграмма и
распределение электронов в основном состоянии.
Для расчета молекулы в возбужденном состоянии необходимо
отметить соответствующий электрон (курсором или клавишей <Space>) и
нажать <Enter>. Далее необходимо нажать комбинацию клавиш <Ctrl> и
<Enter>, после чего на экране появится значение энергии и составляющих
дипольного момента для возбужденного состояния. Следует вновь
подтвердить желание напечатать результаты (Y). На экране появится
таблица с элементами матрицы плотности для возбужденного состояния.
Если необходимо провести расчет нескольких возбужденных состояний,
процедуру повторяют.
Программа MOLNEW позволяет наглядно увидеть распределение
молекулярного электростатического потенциала (МЭСП) в молекулах,
содержащих гетероатомы.
После выхода из программы на экране возникает временный файл,
содержащий основные характеристики молекулы.
3. Интерпретация результатов квантовохимического расчета методом
МО Хюккеля
1. Изобразите общий вид молекулы с нумерацией атомов.
2. Приведите вид молекулярных орбиталей (разложение по атомным
орбиталям).
3. Постройте диаграмму энергетических уровней.
4. Рассчитайте энергетические характеристики молекулы (полную
энергию и энергию резонанса в основном и возбужденном состоянии,
энергию перехода в возбужденное состояние).
5. Постройте молекулярные диаграммы для основного и
возбужденного состояния (см. рис. 2).
6. Оцените влияние изменения длины цепи сопряжения и природы
гетероатома на энергетические и электронные характеристики молекулярной системы. Сделайте соответствующие выводы.
Версия II
Данная версия программы позволяет провести квантовохимический
расчет молекул только в основном состоянии.
1. Запуск программы APM
Для запуска программы SHM.exe необходимо двойным щелчком
мыши
активизировать
иконку
на
рабочем столе. После
запуска
программы на экране
появляется
её
основное окно.
Четыре
кнопки
главного
меню
неактивны, в строке статуса видно текущее время. Геометрию молекулы
можно вводить либо с клавиатуры (для этого необходимо нажать панель
в строке меню), либо из файла, куда её требуется заранее записать (для
извлечения файла с данными следует нажать панель ).
2. Ввод геометрии молекулы с клавиатуры (шаг 1 из 3)
В верхнем активном окне задается имя молекулы (например,
бутадиен, benzol), в нижнем –
количество
πцентров
(4
в
случае
бутадиена).
Количество π-центров должно быть числом в интервале [1,100], иначе на
дисплее появиться сообщение: «Количество центров задано неверно!».
Если все данные введены правильно, следует нажать панель
«Дальше», в противном случае – панель «Отказ».
3. Задание типов π-центров, их заселенности и координат (шаг 2 из 3).
В диалоговом окне появляется таблица, в первом столбце которой
задаются типы атомов. Для этого наводят курсор на соответствующую
ячейку, с клавиатуры вводят соответствующий символ элемента и
нажимают «Enter». Во
втором
столбце
таблицы указано число
электронов,
значения которых задано по
умолчанию.
Чтобы
выбрать
другое
число электронов
(варьируется от 0 до 2),
следует открыть
выпадающий список.
Если
в
задачу
исследования
входят
нахождение
величины
дипольного
момента
молекулы
и
построение распределения
молекулярного
электростатического потенциала, в третьем, четвертом и пятом столбцах
вводят координаты атома (рис. 2). В противном случае, значения
координат вводить не следует, нажимаем панель «Далее». Появляется
диалоговое окно с сообщением: «Заданы не все декартовы координаты!
Дипольный момент и МЭСП вычисляться не будут», нажимаем «ОК».
При выполнении данного этапа (шаг 2 из 3) возможно появление
следующих сообщений:
- «Не задан символ атома Х» (пользователь не задал символ одного
или более атомов);
- «Не задано к-во электронов, поставляемое атомом Х»
(пользователь не задал число электронов, поставляемое в пи-систему
атомом Х);
- «X- Y- Z- координата атома нечисловая» (пользователь
некорректно ввел соответствующую координату - наличие нечислового
символа в числе, неверный разделитель);
- «Совпадают координаты атомов Х и Y» (координаты двух или
более
атомов
совпадают, что
недопустимо).
4.
Задание
Гамильтониана
(шаг 3из 3). В столбцы
появившейся
таблицы
вводят
значения
матричных элементов:
наводят курсор
на
соответствующую
ячейку,
с
клавиатуры
вводят
соответствующий символ (х, 1 или 0) и нажимают «Enter». Переход от
одной ячейки к другой сопровождается изменением нумерации связи, что
отражается в нижнем диалоговом огне. Если атом Х не связан ни с одним
из других атомов молекулы, выдается сообщение: «Обнаружена
несвязность на атоме Х», при этом необходимо провести корректировку
данных.
Если гамильтониан задан верно, нажимают панель «Готово».
5. Сохранение данных, расчет и интерпретация данных.
Если все предыдущие этапы выполнены правильно, появляется
исходное диалоговое окно, в котором уже активированы 8 кнопок (или все
9 в случае расчета дипольного момента и МЭСП).
Для
сохранения
введенных
данных
необходимо
нажать
панель
,
выбрать
соответствующую
директорию
и
задать
имя
файла
(сохранение
производится обычными
средствами Windows). Нажатие панели
приводит к началу расчета заданной
конфигурации, по окончании которого открывается новое окно
содержащее следующую информацию:
- уровни энергии и их заселенность;
- общую энеpгию (в единицах бета);
- коэффициенты pазложения молекуляpных оpбиталей по атомным
(величины которых представлены с обратными знаками);
- матpицу плотности в атомном базисе: для диагональных элементов
значение электронной плотности на данном атоме (для расчета заряда
необходимо из количества электронов, поставляемых данным атомом в
систему, вычесть указанное значение); для недиагональных элементов
значение порядка связи, если атомы ковалентно связаны (величины
которых необходимо брать по модулю). Если связь отсутствует, то в
ячейке таблице нуль.
Для завершения работы в программе АРМ следует нажать кнопку
завершения на панели инструментов главного меню .
6. Интерпретация результатов квантовохимического расчета
методом МО Хюккеля проводится аналогично п.3 версии I.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
Расчет электронных спектров поглощения
методом Паризера-Парра-Попла
Цель работы - расчет спектральных характеристик сопряженных
органических молекул по методу ППП.
Для выполнения данной лабораторной работы можно использовать
одну из двух версий данной программы.
Версия I
1. Квантовохимический расчет методом ППП
Для запуска программы необходимо двойным щелчком мыши
активизировать иконку «РРР» на рабочем столе. В возникшем окне
перемещением курсора выбрать позицию «Корректировка геометрии»,
после чего добавить новый центр. Для этого необходимо выбрать атом
из предложенных (следить за количеством электронов) и ввести его
координаты (рис. 2). Чтобы перейти к вводу характеристик следующего
атома, необходимо нажать <>.
После того, как введены характеристики всех атомов нажатием
<Esc>, возвращаемся к предыдущему окну, выбираем позицию
«Параметры». После этого будет предложено либо инициализировать
параметры, заложенные в программе, либо провести их ручную
корректировку и выбрать формулы для расчета интегралов. Затем на
экране возникают параметры, которые будут использоваться при расчете.
Нажатием <Esc> возвращаемся к предыдущему окну, выбираем
позицию «Расчет» и способ диагонализации матриц.
На экране возникает число, показывающее разницу в энергии между
двумя последними процедурами самосогласования (итерациями). Расчет
необходимо продолжать, пока разница в энергии уменьшается, после этого
выбрать позицию «Расчет закончить». Затем выбрать количество верхних
занятых и нижних свободных молекулярных орбиталей, используемых в
конфигурационном взаимодействии.
Рис.2. Координаты атомов
После этого на экране возникают характеристики полос поглощения молекул:
длина волны в нанометрах и сила осциллятора соответствующих переходов.
2. Интерпретация результатов квантовохимического расчета методом ППП
1. Изобразите общий вид молекул
2. Определите значения параметров  (эВ),U (эВ),A0 и A1 для каждого атома.
3. Рассчитайте характеристики электронных спектров поглощения сопряженных органических молекул. Оцените влияние изменения длины цепи сопряжения и природы гетероатома на спектральные характеристики молекулярных
систем. Сделайте ответствующие выводы.
Версия II
Для
запуска
программы
РРР.exe
необходимо
двойным
щелчком
мыши
активизировать иконку на
рабочем столе. После
запуска программы на
экране появляется её
основное окно. Четыре
кнопки
под
главным
меню неактивны, в строке
статуса
видна
дата,
текущее
время
и
напоминание о том, что
данные не введены, нет и
результатов расчётов.
Геометрию молекулы можно вводить либо с клавиатуры, либо из файла,
куда её требуется заранее записать.
1. Ввод геометрии молекулы с клавиатуры
В пункте главного меню «Править» выбираем «Геометрию». Поскольку ни
одного атома (будем так для краткости называть π-центр) ещё не введено, активизируется только кнопка «Добавить атом». При её нажатии возникает диалоговая панель ввода атома.
В окошках указаны значения по умолчанию. Чтобы выбрать атом другого
типа, следует открыть выпадающий список; число точек перед атомом означает
число вносимых им в π-систему
электронов.
Декартовы
координаты,
вводятся
и
редактируются в белых
строках ввода. По окончании ввода
нажимается кнопка «OK»
или «Cancel» (при ошибке).
После
ввода
атома,
информация
о
нём
отображается в главном окне и активизируется кнопка «Удалить атом». Чтобы
активировать кнопку «Расчёт» нужно ввести не менее двух атомов (например,
этилен, муравьиный альдегид), число π-электронов должно быть чётным.
Чтобы удалить неправильно введённый атом, нужно с помощью мыши
поставить текстовый курсор в одну строку с ним и нажать «Удалить атом».
Редактирование осуществляется путём удаления и повторного ввода.
На рисунке показано положение после ввода молекулы бензола. Текстовый
курсор стоит в первой
строке,
следовательно,
по нажатию кнопки
«Удалить
атом»
удалится первый из
них.
Активирована
кнопка «Расчёт», но
сначала рекомендуется
записать информацию
на
диск,
о
чём
- 43 -
- 43 -
напоминает «Not saved» в строке статуса.
Сохранение производится обычными средствами Windows, через панель,
расширение файла “*.ppp” (активируется пункт меню «Сохранить»). В строке
статуса появляется слово “Saved” (сохранено). Кроме того, в пункте «Править»
активируется подпункт «Параметры».
3. Ввод геометрии молекулы из файла
Используются пункты меню «Файл» → «Открыть», выбираются файлы с
расширением “*.ppp”. Введённая геометрия молекулы выводится на экран, её
можно редактировать, удаляя и добавляя атомы.
4. Установка параметров расчёта
После того как введено минимально необходимое
для расчёта число атомов (два),
можно установить параметры расчёта путём выбора
пунктов меню «Править» → «параметры».
5. Расчёт
Нажмите кнопку «Расчёт». Результаты появятся на экране. В строке статуса
слово “Calculated” будет напоминать о том,
что расчёт произведён
и будет иметь силу, пока
данные о молекуле не
изменятся, а нажатием на
активировавшуюся
кнопку
«Результаты»
можно снова вывести
их на экран, если они
были затёрты, скажем,
при редактировании геометрии молекулы. Результаты включают длину волны (в нм) и силу
осциллятора (безразмерная величина). Рекомендуется провести расчёт с различными установками параметров (6 вариантов) и сравнить результаты.
Подпункт «Новый» пункта меню «Файл» удаляет данные о текущей
геометрии и позволяет начать ввод «с чистого листа». Подпункт «Выход»
позволяет закончить работу с программой.
1. Интерпретация результатов квантовохимического расчета методом
ППП проводится аналогично п.2 версии I.
- 44 -