6 класс, серия 1, кресты и флаги

6 класс, серия 1, кресты и флаги
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Каким образом необходимо разрезать данный
крест, чтобы из полученных кусков можно было
собрать квадрат с пустотой внутри него в виде
такого же по форме и размерам креста.
Дед звал внука к себе в деревню: "Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У
меня там растут груши и яблони, причём яблони
посажены так, что на расстоянии 10 метров от
каждой яблони растёт ровно две груши". — "Ну
и что тут интересного, — ответил внук. — У тебя, значит, яблонь вдвое меньше, чем груш". "А вот и не угадал, — улыбнулся дед. — Яблонь у меня в саду
вдвое больше, чем груш". Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду
у деда. Это была задача а).
б) Можно ли сделать так, чтобы яблонь было в
2013 раз больше, чем груш?
В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок).
Покажите на рисунке все точки, в которые можно
вбить гвоздь, так чтобы флажок закрывал дырку.
Из восьмизначного числа вычеркнули две средние
цифры и исходное число разделили на полученное. В частном оказалось натуральное число. Каким оно может быть?
Жители города Натуральный живут в домах с номерами от 1 до а) 29; б)24;
в)2000 (каждый житель — в своем доме с уникальным номером). Некоторые
из них дружат между собой. В журнале «National Geographic» написали, что у
двух жителей есть общий друг тогда и только тогда, когда номер дома одного из них делится на номер дома другого. Докажите, что журнал врёт.
За круглым столом сидят 30 девочек. У Маши есть 2013 конфет, а у остальных
девочек конфет нет. Любая девочка, имеющая хотя бы две конфеты, может
дать по одной конфете двум следующим за ней по часовой стрелке девочкам
или двум следующим за ней против часовой стрелки девочкам. Могут ли все
конфеты собраться у другой девочки?
Вася разрезал полоску, на которой было написано 44-значное число и получил кусочки, на которых оказались написаны все целые числа от 2001 до
2011. Докажите, что исходное число не было простым.
6 класс, серия 2, делимость и квадрируемая фигура
8.
За круглым столом сидят 29 учениц и учительница. У учительницы есть
2013 конфет, а у учениц конфет нет. Любая из сидящих за столом, имеющая хотя бы две конфеты, может дать по одной конфете двоим следующим за ней по часовой стрелке или двоим следующим за ней против часовой стрелки. Можно ли сделать так, что все конфеты окажутся у двоих: у
учительницы 2000 конфет, а у одной из учениц — 11?
9. Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
10. Имеется натуральное число. У него вычеркивают последнюю цифру и
прибавляют к получившемуся числу вычеркнутую цифру, умноженную на
5. Эту операцию повторяют несколько раз. В итоге получилось число 7.
Докажите, что исходное число тоже делилось на 7.
11.
x, y
- целые числа, такие, что 29x = 41y. Докажите, что
x  y 10.
12. Докажите, что, если число делится на 99, то сумма его цифр не меньше 18.
13. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.
14. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из чисел от 1 до 100
так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 26?
15. Что больше: сумма цифр всех четырехзначных чисел или сумма цифр
всех пятизначных чисел, кратных 9?
16. Можно ли разрезать фигуру на четыре
равные части так, чтобы из них можно
было сложить квадрат?
17. Докажите, что из 65 целых чисел либо найдутся 9 таких, что каждое из чисел этой девятки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним,
либо найдется девять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.
18. Числа 1, 2, …, 9 разбиты на три группы. Докажите, что произведение чисел
хотя бы в одной из групп а) меньше 72; б) не меньше 72.
г) Докажите, что [ca, cb] = c [a, b].
6 класс, серия 3, теория по делимости
Необходимые воспоминания: простые и составные числа, НОК и НОД и
почему они оба существуют..
Мы не как в школе… НОД (a, b) = (a, b), НОК (a, b) = [a, b]
(*) – не сдаем
19. Найдите, чему может быть равно а) (n, n+1); б) (n, n+6); в) (2n+3;
7n+6); г) (12n+1; 30n+2); д) (n2;n+1); е)((n+2)2; 3n).
20. (*)Все простое о НОДе
а) Докажите, что для любых двух натуральных чисел a и b наибольший
общий делитель (a, b) существует и единственен.
б) когда (a, b) = a?
в) докажите, что (a, b) делится на любой общий делитель a и b.
г) Докажите, что (ca, cb) = c (a, b).
𝑎
𝑏
д) Докажите, что числа (𝑎,𝑏) и (𝑎,𝑏) взаимно просты.
21. Дан прямоугольник 2013111. От него отрезают квадраты со стороной, совпадающей с меньшей стороной прямоугольника до тех пор, пока
это возможно, после чего повторяют ту же операцию с получившимся
меньшим прямоугольником. Это продолжается пока процесс не оборвется. Сколько квадратов и каких размеров получится в итоге?
22. а) Придумайте такие три числа, что любые два не взаимно просты, а в
совокупности все взаимно просты; б) Придумайте такие четыре числа,
что попарно они не были взаимно прост, а в совокупности все взаимно
просты. в) придумайте пять таких чисел, что если взять несколько их
(только не все сразу), то это множество не будет взаимно просто в совокупности, а все вместе – взаимно просты.
23. (*) Все простое о НОКе
а) Докажите, что для любых двух натуральных чисел a и b наименьшее
общее кратное [a, b] существует и единственно.
б) когда [a, b] = a?
в) докажите, что любое кратное a и b lделится на [a, b]
д) Докажите, что числа
[𝑎,𝑏]
𝑎
и
[𝑎,𝑏]
𝑏
взаимно просты.
24. В некоторый момент Таня измерила транспортиром угол между часовой и
минутной стрелками часов. Через полчаса она вновь измерила угол между
стрелками и получила тот же результат. Какой именно?
25. В однокруговом чемпионате по матбоям участвовали 16 команд из 16 разных школ. Каждый бой проходил в одной из школ-участниц. В газете написали,
что каждая команда сыграла во всех школах, кроме своей. Докажите, что журналисты ошиблись.
26. На доске 20132013 на каждой клетке одной из главных диагоналей
стоит по шашке. Два игрока, делая ходы по очереди, играют в следующую
игру. За один ход игрок сдвигает одну из шашек на одну клетку в фиксированном направлении (вниз). Если при этом шашка сходит с доски, игрок забирает её себе. Какое наибольшее количество шашек может гарантированно забрать себе первый игрок при правильной игре обоих, если
второй стремится помешать ему взять много шашек?
27. Найдите а) (210-1, 225-1); б) (2111-1, 22013-1)
28. Найдите (11…1, 11…1), если в записи первого числа 111 единиц, а в
записи второго – 2013 единиц.
28. Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность любых двух
из которых равна их НОДу.
29. В прямоугольнике с целыми сторонами m и n на клетчатой бумаге
проведена диагональ. Через какое число узлов она проходит? На сколько
частей эта диагональ делится линиями сетки?
30. У каждого жителя города Ижевск есть свои тараканы в голове, не у
всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в
частности, каждый таракан сам себе товарищ).
Что больше: среднее количество тараканов,
которыми владеет ижевчанин, или среднее
количество товарищей у таракана?
6 класс, серия 4, комби-тестик – от сложного к простому
1. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду
из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
2. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду
олимпиадников из 5 человек (по одному на каждый предмет, а на математику - двое) – математика, русский язык, литература и ОБЖ?
3. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду
олимпиадников из 8 человек (по двое на каждый предмет) – математика,
русский язык, литература и ОБЖ?
4. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)
5. В корзине лежат много яблок, много апельсинов, много грейпфрутов и кучакуча манго. Сколькими способами четыре девочки могут взять себе по одному фрукту?)
6. Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров, при этом нельзя, чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими
способами он сможет расположить
зверей?
7. Строится лестница, ведущая из т. А в
точку В, длина ее равна 4,5 м, а высота – 1,5 м. Высота каждой ступеньки
равна 30 см, а ширина – число, кратное 50 см. Сколькими способами можно
построить лестницу?
8. Сколько шестибуквенных слов можно составить из букв {р, о, к }, в которых
согласных больше, чем гласных?
9. Сколько семибуквенных слов можно составить из букв {у, р, о, к }, в которых
согласных больше, чем гласных?
10.Найдите количество шестизначных чисел, у которых последняя цифры больше остальных.
11.Найдите количество шестизначных чисел, у
меньше остальных.
которых последняя цифры
12.Сколькими способами можно представить число 18000 в виде произведения
двух натуральных сомножителей?
13.Сколькими способами можно разбить группу из 15 человек на три команды
по 5 человек для участия в карусели?
14.Сколькими способами можно выбрать из группы в 15 человек две команды
по 5 человек для проведения внутреннего матбоя?
15.Сколько существует перестановок цифр 1, …, 9 таких, что тройка стоит на четвертом месте и единица не стоит на первом месте?
16.Сколькими способами можно выложить в ряд 10 красных и 3 синих шара так,
чтобы 2 последних шара были одного цвета?
17.Сколькими способами можно разбить 12 человек на пары?
18.Трамвайный билет называется счастливым по-питерски, если сумма первых
трех цифр равна сумме последних трех цифр. Трамвайный билет называется
счастливым по-московски, если сумма его цифр, стоящих на четных местах,
равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Сколько существует билетов,
счастливых и по питерски и по московски, если для записи билета используются цифры от нуля до 9?
19.Из колоды в 36 карт вытаскивают случайным образом 5 карт. Подсчитайте количество наборов, в которых: количество дам равно количеству карт червовой масти, если никаких карт, кроме дам и червей, в наборе нет.
20.Из колоды в 36 карт вытаскивают случайным образом 5 карт. Подсчитайте
количество наборов, в которых как количество десяток, так и количество
черных карт больше половины.
6 класс, серия 5, делим шары на перегородки
31. При записи цифр четырехзначного числа в обратном порядке получается
другое четырехзначное число, произведение которого с исходным делится на
1000. Найдите все такие четырехзначные числа. Напомним, что четырехзначное
число не может начинаться с нуля.
32. Сколькими способами можно разложить а) 10 одинаковых орехов; б) 10 разных шаров по трем мешкам?
33. На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6 (с каждой цифрой — ровно
одна карточка). Двое по очереди берут по одной
карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих
карточек сможет составить натуральное число,
делящееся на 17. Кто выиграет при правильной
игре — начинающий или его противник?
34. В вершинах шестиугольника записаны числа,
а на каждой стороне — сумма чисел в ее концах.
Назовем округлением замену нецелого числа на одно из двух ближайших целых
(ближайшее большее или ближайшее меньшее), а целое пусть при округлении
не меняется. Докажите, что можно все 12 чисел округлить так, чтобы попрежнему на каждой стороне стояла сумма чисел в ее концах.
35. 6 ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно
разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров а) так, чтобы ни один ящик не
оказался пустым? б) если некоторые ящики могут оказаться пустыми)?
36. а) Из трех простых чисел одно равно среднему арифметическому двух других. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим числом не
меньше 12. б) 15 простых чисел образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что ее разность больше 30 000.
37. Найдите, чему равно а) [a,(a,b)]; б) (a,[a,b]); в) [a, b, c](ab, ac, bc); г) в) (a, b,
c)[ab, ac, bc].
38. Докажите равенства а) [1, 2, 3, …, 2n]= [n, n+1, n+2, n+3, …, 2n]; б) (a1, a2,…,an)
=(a1, (a2,…,an)); в) [a1, a2,…,an] =[a1, [a2,…,an]
39. Сколькими способами натуральное число n можно представить в виде суммы а) k натуральных слагаемых? б) k неотрицательных целых слагаемых?
(Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.)?
40. Докажите, что в трехзначном числе, делящемся на 37, всегда можно переставить
цифры
так,
чтобы
новое
число
делилось
на
37.
6 класс, серия 6, лунные НОДы и НОКи
41. В квадрате отметили 20 точек и соединили их
непересекающимися отрезками друг с другом и с
вершинами квадрата так, что квадрат разбился на
треугольник. Сколько получилось треугольников?
42. На карточках написаны числа: 1, 19, 199, … (Каждое число встречается только один раз). Можно ли
выбрать из них несколько карточек так, чтобы в записи суммы чисел на выбранных карточках, участвовала только цифра 2?
43. Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения
трех множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей, а)
считаются различными? б) считаются тождественными?
44. На Луне 10 городов и 10 платных дорог, соединяющих некоторые из них,
причем нет двух дорог, проезд по которым стоил бы одинаково. Стоимость проезда по пути, проходящему через несколько городов, определяется как цена
проезда по самой дорогостоящей дороге этого пути. А стоимость
поездки между двумя городами определяется как стоимость самого дешевого пути между ними. Жители Луны очень экономны. Докажите, что хотя бы одну дорогу можно закрыть, потому что по ней
никто не ездит
45. На Луне n городов, некоторые из которых соединены платными
дорогами так, что из любого города можно добраться до любого другого. Стоимость проезда – как в задаче 44. Докажите, что в прайс-листе лунного турагентства не более n–1 различных цен.
46. Числа от 1 до 101 выписаны в произвольном порядке. Докажите, что можно
вычеркнуть 90 из них так, чтобы оставшиеся 11 чисел шли в порядке возрастания.
47. Докажите, что количество делителей числа n не больше, чем 2√𝑛.
48. Решите уравнение [x2; y] + [x, y2] =2013.
49. Докажите, что при любом натуральном n число n(2n+1)(3n+1)…(2009n+1) делится на каждое простое число, меньшее 2009.
50. На доске написаны несколько натуральных чисел. За одну операцию вместо
двух чисел, не делящихся друг на друга, можно написать их НОД и НОК. Докажите, что а) эту операцию можно сделать лишь конечное число раз; б) итоговый
результат
не
зависит
от
порядка
действий.