

(Класс 11, модуль XI, урок 3)
Урок 3. Графики периодических функций
План урока




3.1. Особенности графика периодической функции
3.2. Пример построения графика периодической функции
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
изучить особенности построения графиков периодических функций и
рассмотреть примеры построения конкретных графиков.
3.1. Особенности графика периодической функции
Пусть функция f ( x) обладает основным периодом T  0 Тогда достаточно
построить ее график на отрезке от 0 до T Благодаря тождествам
f ( x  T )  f ( x) и f ( x  T )  f ( x)
точки графика, абсциссы которых отличаются на число, кратное T  имеют
одинаковые ординаты. Поэтому весь график функции можно получить,
передвигая построенную на отрезке [0 T ] часть графика влево и вправо
вдоль оси Ox на расстояние T  2T  3T и так далее.
Напомним, что указанное свойство уже использовалось при построении
графика функции sin x и других основных тригонометрических функций.
Вопрос. На рисунке 1. изображена часть графика функции y  cos 2 x . Как
изобразить весь график этой функции?
3.2. Пример построения графика периодической функции
Установив, что некоторая функция f ( x) является периодической, далее при
построении графика этой функции можно поступать следующим образом:
1) выбираем на числовой прямой отрезок, длина которого равна периоду
функции (не обязательно основному периоду);
2) на этом отрезке выделяем точки, входящие в область определения;
3) на получившемся множестве с использованием известных приемов и с
учетом найденных особенностей строим часть графика;
4) передвигая построенную часть графика влево и вправо вдоль оси Ox на
расстояние, кратное периоду, изображаем весь график.
Пример 1. Построить график функции f ( x)  sin x 
Решение. Функция определена на множестве D таких значений x для
sin x  0 Заметим, что если x0  D то тогда sin x0  0
sin( x0  2 )  sin x0  0 sin( x0  2 )  sin x0  0 Следовательно, T  2
является периодом данной функции. Выберем отрезок [   ] числовой
прямой длиной 2  Для   x  0 значение sin x отрицательно, а поэтому
f ( x ) не определена. Оставшиеся значения x из отрезка [   ] входят в
область определения функции f ( x )
Далее, так как на отрезке 0 2  функция sin x возрастает, то f ( x) на этом
которых
отрезке также возрастает; на отрезке 2   функция sin x убывает, а
поэтому функция f ( x) убывает на отрезке  2  
С помощью вычислительных средств составим таблицу значений:
x
sin x

0
0
0

8
0,62

4
0,84
3
8
0,96

2
1
5
8
0,96
3
4
0,84
7
8
0,62

0
По таблице на координатной плоскости отметим точки с координатами
( x sin x ) и проведем плавную линию (рисунок 2). Передвигая
построенную часть графика влево и вправо вдоль оси Ox на расстояния
2 n , где n  N  изобразим весь график функции y  sin x (рисунок 3).
Вопрос. Почему начальную часть графика функции y  sin x можно
строить на полуинтервале (   ]
Мини-исследование
В качестве исследования предлагается решить две задачи.
Задача 1. Известно, что график функции f ( x) симметричен относительно
прямых x  a и x  b , причем a  b . Доказать, что эта функция
периодическая.
Задача 2. Известно, что график функции f ( x) симметричен относительно
точек A(m;0) и B(n;0) , причем m  n . Доказать, что эта функция
периодическая.
Проверь себя. Графики периодических функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
График какой функции симметричен относительно оси ординат?
 1. sin x  cos x
 2. sin x  sin 3x
 3. sin x  (1  cos x)
 4. 1  sin x
(Правильный вариант: 2)
График какой функции симметричен относительно начала координат?
 1. sin x  cos x
 2. cos x  cos3x
 3. sin x  (1  cos x)
 4. 2  sin x
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
Какое из указанных множеств может быть областью определения некоторой
периодической функции?
 1. (0; )
 2. (;1) (1; )
 3. Множество всех действительных чисел, которые не являются целыми.
 4.  1;1
(Правильный вариант: 3,)
Какое из перечисленных свойств может выполняться для периодической
функции?
 1. График имеет наклонную асимптоту y  kx  b при x   , где k  0 .
 2. График имеет наклонную асимптоту y  kx  b при x   , где k  0 .
 3. График пересекает ось абсцисс только в одной точке.
 4. Множество значений функции не ограничено.
(Правильный вариант: 4)
Проверь себя. Графики периодических функций
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Относительно каких из перечисленных прямых симметричен график
функции cos x ?
 1. x  0

 2. x 
2
 3. x  
3
 4. x 
2
(Правильные варианты 1, 3)
Относительно каких из перечисленных прямых симметричен график
функции sin x ?
 1. x  0

 2. x 
2
 3. x  
3
2
(Правильные варианты 2, 4)
 4. x 
Относительно каких из перечисленных точек симметричен график функции
tgx ?
 1. (0;0)

 2. ( ; 0)
2
 3. ( ; 0)
3
 4. ( ; 0)
2
(Правильные варианты 1, 2, 3, 4)
Относительно каких из перечисленных точек симметричен график функции
cos x ?
 1. (0;0)

 2. ( ; 0)
2
 3. ( ; 0)
3
 4. ( ; 0)
2
(Правильные варианты 2, 4)
Домашнее задание
1. Постройте графики функций:
а) y  sin 2 x ;
б) y  sin 2 x ;
в) y  cos 2 x ;
г) y  cos 2 x .
2. Постройте график функции y  sin  x  . Выясните, будет ли эта функция
периодической.
3. Какой основной период имеет функция y  tgx  ?
4. Постройте график функции y  tg  x  . Будет ли эта функция
периодической?
5. Изобразите график функции:
a) y  sin1 x ;
б) y  sin 2 x ;
в) y  sin 4 x  cos 4 x ;
г) y  2sin x  1 ;
д) y   cos x .
6. В каких точках график функции y  sin 1x пересекает ось Ox
7. Изобразите график функции y  sin 1x 
Словарь терминов
f (x ) , определенная на
Периодическая функция. Функция
множестве D, называется периодической, если существует число
T  0 такое, что при всех действительных x  D числа x  T и x  T
принадлежат D, и выполняется равенство f ( x  T )  f ( x) .
Период функции. Число T  0 из определения периодической
функции называется ее периодом.
Основной период. Наименьший положительный период периодической
функции.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. –
Рисунок 2. Рисунок 3. -
11-12_1.CDR
11-12_2.CDR
11-12_3.CDR