Д.ф.-м.н., проф. Блохин А.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры, 2013/14 уч.год 1. Организационно-методический раздел. 1. Название курса: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений с одной стороны является общематематической дисциплиной, а с другой стороны выступает как продолжение и дополнение к курсу математического анализа. 2. Цели и задачи курса. Дисциплина ”Обыкновенные дифференциальные уравнения” является основой для дальнейшего изучения таких разделов математики, как уравнения математической физики, функциональный анализ, вычислительная математика. С другой стороны, хорошие знания по этому курсу необходимы студентам, изучающим курсы теоретической механики, механики сплошной среды и т.д. 3. Требования к уровню освоения содержания курса. По окончанию изучения указанной дисциплины студент должен без труда уметь находить решения простейших обыкновенных дифференциальных уравнений. 4. Формы контроля. Для контроля усвоения дисциплины предусмотрен зачет (после 3-го семестра) и экзамен (после 4-го семестра). В течении каждого семестра выполняются контрольные работы (не реже 1-го раза в месяц), принимаются коллоквиумы (1-2 коллоквиума в семестр). 2. Содержание дисциплины. 1. Новизна курса: в целенаправленном использовании понятия матричной экспоненты при изложении материала курса. 2. Распределение часов. Лекции: 68 часов. Консультации: 27 часов. Прием экзаменов: 48 часов. Семинары: 68 часов. Зачеты: 4 часа (на группу). Проверка контрольных: 48 часов. 3. Содержание отдельных разделов и тем. 2.3.1 Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами. Единственность и существование решений у однородных уравнений. Пространство решений системы с постоянными коэффициентами и одного уравнения произвольного порядка. Фундаментальная система решений и определитель ее матрицы. Фундаментальная матрица и матричная экспонента. Вычисление матричной экспоненты для некоторых специальных матриц. Каноническое представление матричной экспоненты. Фундаментальные системы решений одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. 2.3.2 Система неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Теорема о непрерывной зависимости решений от параметра. 2.3.3 Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. Априорная оценка решений. Существование и единственность решения задачи Коши. Основные свойства решений. Уравнение произвольного порядка с переменными коэффициентами. 2.3.4 Существование и единственность решений не обязательно линейных систем дифференциальных уравнений с достаточно гладкими правыми частями. Лемма Адамара. Обсуждение утверждений локальной теоремы существования. Достаточные условия для существования решений в целом. 2.3.5 Непрерывная дифференцируемая зависимость решений от параметра. Примеры на теорему о дифференцируемости решений по параметру. 2.3.6 Определение устойчивости и асимптотической устойчивости. Устойчивость и неустойчивость нулевого решения линейной системы в зависимости от расположения собственных значений. Матричное уравнение Ляпунова. Функции Ляпунова. Критерии устойчивости и неустойчивости. 2.3.7 Первые интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Представление общего решения линейного однородного уравнения с частными производными. Квазилинейные уравнения с частными производными. Уравнение ГамильтонаЯкоби. Условие интегрируемости уравнений u xi Ai ( x u ) , i 1 n 2.3.8 Краевые задачи для линейных систем уравнений первого порядка. Матрица Грина. Собственные значения. Ограниченные решения линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами. Краевые условия, удовлетворяющие условию Лопатинского. Линейное уравнение 2-го порядка. 2.4 Перечень примерных задач, позволяющих контролировать степень усвоения материала курса. 1. Докажите неравенства Куранта min ( A) y 1 ( Ay y ) max ( A) y 2 Здесь A( A ) - эрмитова матрица, min ( A) , max ( A) - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы A. 2. Найдите такие вектора y , на которых достигаются равенства в левом и правом неравенствах Куранта min ( A) y 2 ( Ay y ) max ( A) y 2 3. Докажите неравенство A A E где A max( A Ay y ) - операторная норма матрицы A, y1 A E n a ij i j 1 2 - евклидова норма матрицы A (aij ) . 4. Докажите неравенство Am A m где m 0 - целое число. 5. Докажите неравенство Ay A y Здесь A - квадратная матрица порядка N . 6. Докажите, что A 0 A 0N . Здесь A - квадратная матрица порядка N , 0 N - нулевая матрица порядка N . 7. Построить векторный ряд для решения системы y Ay где 0 1 A 1 0 y00 y20 y(0) y9 8. Построить векторный ряд для решения системы y Ay где 2 2 0 y10 A 0 2 2 y (0) y0 y40 0 0 2 y 30 9. Доказать равномерную сходимость рядов t tk y0 Ay0 M k y0 1 k и mk 1 k 0 Ay0 A y0 (k 1) где y0 - постоянный вектор, A - матрица порядка N с постоянными коэффициентами, t T . 10. Пусть 1 0 5 1 A B 0 2 0 0 Покажите, что etA etAetB 11. Докажите неравенство треугольника A B A B где A , B - квадратные матрицы порядка N . 12. Покажите, что et ( A B ) etA ntB AB BA 13. Пусть n l k 0 k 0 P( A) pk Ak Q( A) qk Ak где pi , i 0 k , q j , j 0 l - некоторые постоянные. Покажите, что et ( P Q ) etP etQ 14. Докажите, что для любой матрицы A (aij ) aij A 15. Доказать, что произведение двух верхних треугольных матриц будет снова верхней треугольной матрицей. Вывести отсюда утверждение, что etA , где A - верхняя треугольная матрица, будет тоже верхней треугольной матрицей. 16. Показать, что решение Задача Коши для матричного уравнения X (t ) X (t ) B X (0) C дается формулой X (t ) Ce Bt 17. Пусть (см. Теорему Шура) A U U Доказать, что A Здесь - верхняя треугольная матрица. 18. Показать, что решение матричного уравнения X (t ) AX (t ) X (t ) B X (0) C дается формулой X (t ) e At Ce Bt 19. Покажите, что если уравнение с вещественными коэффициентами x ( N ) p1 x ( N 8) pN 1 x pN x 0 имеет некратные корни 1 2 N , среди которых есть пара комплексно сопряженных t ( j j 1 j ) , то в фундаментальной системе решений можно комплексные экспоненты e j , e j заменить на вещественные решения et cos( t ) et sin( t ) ( j i ) t 20. Постройте для уравнения с вещественными коэффициентами и комплексными корнями вещественную фундаментальную систему, в случае, если среди корней есть кратные. 21. Покажите, что для уравнения с вещественными коэффициентами совокупность частных решений t 1t t k1 1 1t 1t x1 (t ) e x2 (t ) e … xk1 (t ) e 1 (k1 1) t 2t t k2 1 2t xk1 1 (t ) e xk1 2 (t ) e … xk1 k2 (t ) e … 1 (k2 1) 2t t kP 1 Pt xN (t ) e (k P 1) p где 1 является корнем кратности k1 и т.д. ( ki N ) образует фундаментальную i 1 систему решений. 22. Докажите, что матричная экспонента etA непрерывно зависит от матрицы A . 23. Пусть дана система y A(t ) y с непрерывными коэффициентами на отрезке [0 T ] . Известно, что на отрезке [0 T ] max( A A ) 0 . Предполагая, что на отрезке [0 T ] существуют решение задачи y A(t ) y y (0) b 0 t T доказать, что y (t ) b при0 t T 24. Даны матричные уравнения X A(t ) X X (0) I и Y YA(t ) Y (0) I Показать, что Y (t ) X 1 (t ) 25. Известно, что любое решение Задачи Коши t R1 y By y(0) y0 таково, что y (t ) 2 y0 2 . Показать, что это справедливо тогда и только тогда, когда B B ( B -постоянная матрица). 26. Система Y ( s) Y ( s) A( s) 0 s t Y (t ) I называется сопряженной по отношению к системе X (t ) A(t ) X (t ) t 0 X (0) I Показать, что Y (s) X (t ) X 1 ( s) 27. Показать, что решение матричного уравнения d X AX XB X (0) C dt дается равенством X etACetB 28. Пусть дано уравнение y f (t y ) где 2t приy t 2 2y f (t y ) приt 2 y t 2 t 2t приy t 2 Убедитесь, что эта функция непрерывная (в том числе при y t 0 ). Докажите, что задача Коши y f (t y ) y (0) 0 имеет бесконечно много решений. Почему? 29. Пусть дано уравнение y f (t y ) , где дляt 0 y 0 2t для0 t 1 y 0 f (t y ) 4y для0 t 1 0 y t 2 2t t для0 t 1 t 2 y 2t На множестве 0 t 1 , y функция f (t y ) непрерывна и ограничена постоянной: f (t y ) 2 (докажите). Докажите, что задача Коши y f (t y ) y (0) 0 не имеет решения. Почему? 30. Задача Коши 1 y y 3 y(0) 0 t 0 3 имеет решение y (t ) ( 23t ) 2 . Докажите, что решение этой задачи Коши не единственно. 31. Убедитесь, что для задачи 3 y1 (0) y10 y1 y2 y1 y2 y1 y23 y2 (0) y20 все решения стремятся к нулю при t 32. Рассмотрим задачу Коши y f ( x y) y( x0 ) y0 Докажите, что если функция f непрерывно дифференцируема, то x y ( x x0 y0 ) f ( x0 y0 ) exp f y (t y (t ))dt x x0 0 x y ( x x0 y0 ) exp f y (t y (t ))dt x y0 0 33. Докажите, что любая фундаментальная матрица Y (t ) системы y A(t ) y может быть получена из любой другой Y (t ) умножением справа на некоторую невырожденную матрицу B . 34. Докажите, что если LY (a) det BY (b) 0 detY (a) то задача y A(t ) y Ly (a) 0 Ry (b) 0 имеет только нулевое решение. 35. Для уравнения y Q( x) y 0 доказать, что колеблющееся решение не может иметь точки накопления нулей. Иными словами, все нули решения уравнения y Q( x) y 0 суть изолированные точки. 36. Пусть задано уравнение y Q( x) y 0 где коэффициент Q( x) 0 при x [a b] . Тогда все решения уравнения не колеблющиеся на отрезке [ a b] 37. Для системы y1 sin( y1 y2 ) y2 cos( y1 y2 ) найти точки равновесия и исследовать их устойчивость. 38. Найти решение следующей задачи: u u 0 t 0 x R1 t x u (t x) t 0 10 x R1 39. Найти решение следующей задачи: u u 0 t R1 x R1 6 t x u (t x) x 6t 10 t R1 40. Найти решение следующей задачи: u u 0 t 0 x R1 x (t 1) x t u (t x) t 0 x x R1 41. Найти время существования гладкого решения задачи: u u 0 t 0 x R1 u t x u (t x) t 0 x 3 x R1 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины. литературы. Список основной и дополнительной 1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961. 2. Годунов С. К. Матричная экспонента, матрица Грина и условие Лопатинского. Новосибирск: НГУ, 1983. 3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука 1970. 4. Годунов С. К. Квадратичные функции Ляпунова. Новосибирск: НГУ, 1982. 5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука 1973. 6. Годунов С. К и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Новосибирск: НГУ, 1986. 7. Блохин А. М. Равномерная ограниченность матричной экспоненты. Методические указания к курсу "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Новосибирск: НГУ, 1986. 8. Блохин А. М. Элементы теории гиперболических систем и уравнений. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1995. Изучение не предусматривает использование нормативно-правовых актов. Проф., д.ф.-м.н. А. М. Блохин