Предложение 1

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/
Допущена к защите
2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление
стр.
Введение
3
§1. О правиле Крамера
4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел
9
§3. Матричный вывод формулы Кардано
17
Литература
21
3
Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц
в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических
уравнений малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения
любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю
определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом
основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь
попутно
доказана
теорема
о
среднем
арифметическом
и
среднем
геометрическом трех положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических
уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он
опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки
Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным
работам, и могут быть допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА
/В.Н.Шокуев/
3
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы
линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ –
состоит в следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система n линейных
уравнений с неизвестными x 1 ,..., x n
a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1n x n  b1 , 
a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b 2 ,

...................................

a n1 x 1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  b n 
(1)
Определитель которой отличен от нуля:
a 11a 12 ...a 1n
a 21a 22 ...a 2 n
d
 0.
............
(2)
a n1a n 2 ...a nn
Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
AX  B
где
(3)
A - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
3
 a 11a 12 ...a 11 


 a a ...a 
A   21 22 2 n ,
............


a
a
...
a
 n1 n 2 nn 
(4)
 x1 
 
x 
X   2  - столбец (Матрица-столбец) неизвестных
...
 
xn 
 b1 
 
b 
B   2  - столбец свободных членов системы (1)
...
 
 bn 
Так как
det A  d  0 , то матрица A
обратная матрица
невырожденная и для нее существует
A 1 . Умножив равенство (3) на A 1 (слева), получим
(единственное) решение системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и
x1 ,..., x n - ее решение)
X  A 1B ,
где обратная матрица
A 1 имеет вид:
 A11A 21...A n1 


A
A
A


A 1  d 1   12 22... n 2 ,
................


 A1n A 2 n...A nn 
3
( A ij -алгебраическое дополнение элемента
a ij
в определителе
d)
Другой известный способ можно назвать методом алгебраических
дополнений. Его использование предполагает владение понятием
алгебраического дополнения
A ij
как и в матричном способе, теоремой о
разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об
аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об
определителе произведения матриц.
Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим
случай
n  3 . Очевидно, что при n  3 выполняются следующие
матричные равенства (если задана система (1)):
 a 11a 12 a 13  x 1 0 0   b1a 12 a 13 


 

 a 21a 22 a 23  x 2 1 0    b 2 a 22 a 23 ,
 a a a  x 0 1   b a a 
 31 32 33  3
  3 32 33 
 a 11a 12 a 13  1 x 1 0   a 11 b1a 13 


 

 a 21a 22 a 23  0 x 2 0    a 21 b 2 a 23 ,
 a a a  0 x 1   a b a 
 31 32 33 
  31 3 33 
3
 a 11a 12 a 13  1 0 x 1   a 11a 12 b1 


 

a
a
a
0
1
x

a
a
b
 21 22 23 
 21 22 2 .
2 
 a a a  0 0 x   a a b 
 31 32 33 
 31 31 3 
3
Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители
правых частей соответственно через
d1 , d 2 , d 3 , получим формулы Крамера:
3
d  x1  d1 , d  x 2  d 2 , d  x 3  d 3 , ( d  0 )
xk 
dk
, k  1,2,3 (Правило Крамера)
d
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка
n ничего по
существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица
Xk
определителем
xk
получается из единичной матрицы заменой
с
k -го столбца
столбцом неизвестных:
 1 0 0...0 x 1 0...0 


0
1
0
...
0
x
0
...
0


2
 0 0 1...0 x 0...0 
3

X k  .......................... .


 0 0 0...0 x k 0...0 
 .......................... 
 0 0 0...0 x 0...1


n
Теперь из
(5)
n равенств
AX k  D k , k  1, n ,
где
Dk -
матрица, получающаяся заменой
k-
го столбца матрицы
A
столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:
d  x k  d k , откуда ввиду d  0 имеем
3
Xk 
(здесь
dk
получается из
dk
d
, k  1, n .
d , как и D k
из
A ).
Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1)
состоит в следующем (по-прежнему
числа
x1 ,..., x n
1 k  n
d  0 ): пусть система (1) совместна и
(после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при
имеем, используя два линейных свойства определителя:
Xk 
xk  d dk
 , k  1,2,...n.
d
d
Можно начать и с определителя
членов в
k -м
dk ,
в котором вместо свободных
столбце подставлены их выражения согласно (1); используя
соответствующие свойства определителя, получим:
d k  d  x k ( d  0 ),
откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по
формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение
системы), производится одним из известных способов.
3
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:
 a b c


c a b
b c a


- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее
определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем
некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
a b c
D c a b.
b c a
Прибавив первые две строки к третьей, получим:
a
b
c
D
c
a
b
.
abc abc abc
Вынесем общий множитель
a  b  c из последней строки:
a b c
D  a  b  c  c a b .
1 1 1
Так как
3
a b c
1
2
2
2
c a b  a 2  bc  c 2  ab  b 2  ac  a  b   b  c   c  a 
2
1 1 1

,
то
D

1
a  b  c a  b2  b  c2  c  a 2
2
.
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
D  a 3  b 3  c 3  3abc.
Следовательно, выполняется тождество
a 3  b 3  c 3  3abc 


1
a  b  c a  b2  b  c2  c  a 2 . (1)
2
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
x y z
  2
y z x
не имеет решений в натуральных числах
Доказательство: Если
(2)
x, y, z.
u, v, w - вещественные положительные числа, не
все равные между собой, то
uvw

  uvw.
3


3
Пусть
(3)
u, v, w - не все равные между собой положительные числа. Тогда
существуют положительные числа
такие, что
a , b и c , не все равные между собой,
u  a 3 , v  b 3 , w  c 3 . К этим числам применим тождество (1).
Так как не все числа
a , b, c между собой равны, то последний сомножитель
правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,
3
a 3  b 3  c 3  3abc ,
3
 a 3  b3  c3 

  a 3 b 3c 3 .
3


Так как
(4)
a 3  u , b 3  v, c 3  w , то неравенство (4) дает неравенство (3).
(Неравенство (3) можно переписать в виде
uvw 3
 uvw ; получим
3
известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не
равных между собой чисел больше их среднего геометрического).
Пусть
x, y и z - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2).
Представляются две возможности: либо числа
x y z
, ,
y z x
все равны между
собой, либо не все эти числа равны друг другу.
В первом случае все они должны быть равны 1, так как она
положительные и
x y z
   1, и мы имели бы:
y z x
x y z
   3  2 - противоречие.
y z x
Значит, не все три числа
x y z
, ,
y z x
равны между собой; поэтому в силу
неравенства (3) имеем
3
 1  x y z 
x y z



   1,


3 y z x 
y
z x

 
откуда
3
x y z
   3.
y z x
Таким образом, доказано что уравнение
x y z
  2
y z x
не имеет решений в натуральных числах
x, y, z .
Предложение 2. Уравнение
x y z
  3
y z x
разрешимо в натуральных числах
x, y, z .
Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три
числа
x y z
, ,
y z x
между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства
Предложения (1), выполняется неравенство
x y z
  3
y z x
- противоречие. Таким образом, должно быть
x y z
  , и из нашего
y z x
уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что
x  y  z.
Поэтому получаем
x y z
   111  3.
y z x
3
Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много
решений в натуральных числах
x, y, z .
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является
суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух
циклических матриц (второго порядка)
 a b i  c d i   ac  bd ad  bc  i 


  
,
b
a
d
c


ad

bc
i
ac

bd

 i  i  
где
i   1 - мнимая единица. Переходя к определителям, получим
равенство
a
2
 b 2 c 2  d 2   ac  bd   ad  bc
2
2
.
(5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное
также является суммой двух квадратов.
Доказательство: Пусть число
a 2  b 2 делится на простое число r
вида
p2  q2 :
a 2  b 2  p 2  q 2  t .
Требуется доказать, что частное
t имеет вид t  x 2  y 2 .
Предположим, что задача уже решена, т.е.
a 2  b 2  p 2  q 2 x 2  y 2 ,
(6)
3
и с помощью анализа попробуем найти искомые числа
x и y.
Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения
матричных равенств.
 a b i   p q i  x y i 

  


 b i a   q i p  y i x 
и
 a b i   q p i  x y i 

  

;
b
a
p
q
y
x
 i   i  i 
перемножив правые части этих равенств, получим:
 a b i   px  qy py  qx  i 

  
,
 b i a   py  qx  i px  qy 
 a b i   qx  py qy  px  i 

  
;
b
a


qy

px
i
qx

py

 i  
отсюда имеем:
px  qy  a 
,
qx  py  b
qx  py  a 
,
px  qy  b
3
a q


b p
pa  qb 
x1 

p  q p2  q2 

q p

p a

q b pb  qa 
y1 
 2
p  q p  q2 


q p
(7)
qa  pb 
p 2  q 2 
,
qb  pa 

y2  2
2
p  q 
(8)
x2 
pa  qbqa  pa   qb2  pa 2  b 2 p 2  q 2  p 2 a 2  b 2 .
Так как
r  p 2  q 2 - простое число и r
показывает, что
Пусть
a
2
pa  qb
или
qb  pa
делит
(9)
a 2  b 2 , то равенство (9)
делится на r .
r pa  qb . Тогда из тождества
 b 2 q 2  p 2   qa  pb  pa  qb
2
верного в силу (5) следует, что на
поскольку r - простое,
2
,
r делится и число qa  pb , а
2
r qa  pb , так что в силу (7) y1 - целое число. Таким
образом, в рассматриваемом случае имеем:
3
2
2






pa

qb
pb

qa
2
2
2
2 
   2
 ,
a  b  p  q   2
2
2
 p  q   p  q  


и Предложение 4 доказано.
Если же
r qb  pa , т.е. в силу (8) y 2 - целое, то, рассуждая как и выше,
можем написать:
a
2
 b 2 p 2  q 2   pa  qb  qa  pb
2
отсюда следует, что
a
p
;
r qa  pb , т.е. x 2 - целое. В этом случае
b
2
 q2
2
2
2
   qa  pb 
  p  q 
2
2
2
 qb  pa 

  2
2
p q 
2
.
3
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано
для корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение
ax 3  bx 2  cx  d  0, a  0 .
Если
(1)
 - его корень, то a 3  b 2  c  d  0 , поэтому
b
c
d
3   2     0 ,
a
d
a
т.е.

есть корень уравнения, получающегося
из (1) делением всех коэффициентов т правой части на
,
и обратно.
Поэтому (1) эквивалентно уравнению.
b
c
d
x3  x2  x   0 .
a
a
a
(2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом,
равным 1, т.е. уравнения вида
x 3  ax 2  bx  c  0 ,
(3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить
подстановку
x  y
a
,
3
(4)
получим:
3
3
2
a
a
a



 y    a  y    b y    c 
3
3
3



a
a2 a3
a
a2
a
2
 y  3y   3y    ay  a  2 y   a   by  b  c 
3
9 27
3
9
3
3
2
 a 2 2a 2
  a 3 a 3 ab 
 y   
 b  y       c   0 , т.е.
9 9 3
33
 

3
p
q
y 3  py  q  0 ,
где
p
и
q
(5)
определяются по заданным коэффициентам
a , b, c уравнения (3).
Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться
решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через
x неизвестное, мы
видим, что решение любого кубического уравнения вида
x 3  px  q  0 ,
(6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем
теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в
силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего
порядка имеет место тождество
x  a  b x  ea  e 2 b x  e 2 a  eb  x 3  3abx  a 3  b 3 ,
где
(7)
1
3
i - один из корней третьей степени
a , b, x - любые числа, e   
2 2
из единицы, так что
1  e  e 3  0 ).
e3  1
(проверка тождества опирается на равенство
Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с
уравнением
x 3  3abx  a 3  b 3  0 ,
(8)
3
т.е. положим
 3ab  p 
,
3
3
a  b  q
где
aи b
пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему
a 3  b3  q 
3

p

a 3  b3 
27 
которая показывает (в силу теоремы Виета), что
a3
и
b3
являются корнями
квадратного уравнения
p3
y  qy   0,
27
2
т.е.
q
q2 q3
q
q2 q3
3
a  
 , b  
 ,
2
4 27
2
4 27
3
и поэтому
2
3
2
3
q
q
q
q
q
q
a3 
 , b3 

2
4 27
2
4 27
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором
(9)
aиb
определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7)
равносильно уравнению
x  a  b x  ea  e 2 b x  e 2 a  eb  0,
и теперь получаем:
3
x1  a  b, x 2  ea  e 2 b, x 3  e 2 a  eb,
где
aиb
(10)
определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические
корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать с
учетом равенства
ab 

; если одна пара значений a
3
и
b
выбрана
указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10).
Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения
неизвестного
x определяются из равенства
x  a  b,
т.е.
2
3
2
3
q
q
q
q
q
q
x3  

3  
 .
2
4 27
2
4 27
(11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
3
ЛИТЕРАТУРА
1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и
исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М.,
1967 г.
5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую
теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.
3