неравенстваx

Неравенства.
1.
Основные неравенства. Докажите, что:
а) для произвольных x и y выполняется x 2  y 2  2 xy ;
Неравенства.
1.
Основные неравенства. Докажите, что:
а) для произвольных x и y выполняется x 2  y 2  2 xy ;
б) для неотрицательных x и y выполняется x  y  2 xy ;
б) для неотрицательных x и y выполняется x  y  2 xy ;
в) для положительных x и y выполняется x  y  2 ;
в) для положительных x и y выполняется x  y  2 ;
y x
г) для положительных x и y выполняется 1  1  4 .
x y x y
y x
г) для положительных x и y выполняется 1  1  4 .
x y x y
2.
Для неотрицательных чисел a, b и c докажите
( a  b )( b  c )( c  a )  8 abc .
2.
Для неотрицательных чисел a, b и c докажите
( a  b )( b  c )( c  a )  8 abc .
3.
4.
Докажите неравенство: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx .
Для неотрицательных чисел a, b и c докажите
3.
4.
Докажите неравенство: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx .
Для неотрицательных чисел a, b и c докажите
ab  bc  ca  a bc  b ca  c ab .
5. Для любых a, b и c выполняется a 4  b 4  c 4  abc( a  b  c ).
6.
Докажите двойное неравенство:
x2  y2  z2 
7.

6.
(x y z)
 xy  yz  zx .
3
2
Докажите неравенство для отличных от нуля a, b, c:

ab  bc  ca  a bc  b ca  c ab .
5. Для любых a, b и c выполняется a 4  b 4  c 4  abc( a  b  c ).
x2  y2  z2 
7.

Сумма двух чисел a и b равна единице. Найдите:
а) наибольшее значение ab;
б) наименьшее значение a2+b2;
в) наименьшее значение a4+b4.
( x  y  z )2
 xy  yz  zx .
3
Докажите неравенство для отличных от нуля a, b, c:
a
b
c



 .







b c
c a
a b
a
b
c

 
 
 .





b c
c a
a b
8.
Докажите двойное неравенство:
8.
Сумма двух чисел a и b равна единице. Найдите:
а) наибольшее значение ab;
б) наименьшее значение a2+b2;
в) наименьшее значение a4+b4.
Неравенства-2
Неравенства-2
9. Пусть a, b - вещественные числа, что a+b≤1, a–b≤1. Доказать, что 2a≤1+a2–b2.
9. Пусть a, b - вещественные числа, что a+b≤1, a–b≤1. Доказать, что 2a≤1+a2–
10. Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их
суммы, то сумма больше 4.
11. Найти наименьшее значение выражения x + 1/4x при положительных значениях x.
12. Докажите, что при a, b, c > 0 верно неравенство
ab
/c + ac/b + bc/a ≥ a + b+ c.
1
𝑏+𝑐
13. Докажите для положительных значений переменных неравенство
1
𝑎+𝑐
1
9
+
+ 𝑎+𝑏 ≥ 2(𝑎+𝑏+𝑐)
14. Найдите наибольшее значение выражения ab + bc + ac + abc, если a + b + c =
12 (a, b и с – неотрицательные числа).
15. Доказать неравенство abc2 + bca2 + cab2 ≤ a4 + b4 + c4.
17.
a)
Пусть
a≤b
и
с≤в.
Докажите,
что
ad+bc≤ac+bd.
б) Пусть 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤. . . ≤ 𝑎𝑛 и 𝑏1 ≤ 𝑏2 ≤. . . ≤ 𝑏𝑛 , а 𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑛 – некоторая перестановка чисел 𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 . Докажите транснеравенство по индукции:
𝑎1 𝑏𝑛 + 𝑎2 𝑏𝑛−1 +. . . +𝑎𝑛 𝑏1 ≤ 𝑎1 𝑐1 + 𝑎2 𝑐2 +. . . +𝑎𝑛 𝑐𝑛 ≤ 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 +. . . +𝑎𝑛 𝑏𝑛 .
в) Решите задачи 7, 12, 15 с помощью транснеравенства
положительных
11. Найти наименьшее значение выражения x + 1/4x при положительных значениях x.
12. Докажите, что при a, b, c > 0 верно неравенство
ab
/c + ac/b + bc/a ≥ a + b+ c.
1
𝑏+𝑐
13. Докажите для положительных значений переменных неравенство
1
𝑎+𝑐
+
1
𝑎+𝑏
≥
9
2(𝑎+𝑏+𝑐)
+
14. Найдите наибольшее значение выражения ab + bc + ac + abc, если a + b
+ c = 12 (a, b и с – неотрицательные числа).
16. Произведение положительных чисел х, у и z равно 1. Докажите, что
(2 + х)(2 + у)(2 + z) ≥ 27.
Для
10. Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их
суммы, то сумма больше 4.
15. Доказать неравенство abc2 + bca2 + cab2 ≤ a4 + b4 + c4.
16. Произведение положительных чисел х, у и z равно 1. Докажите, что
18.
b2.
чисел
докажите
𝑥1
𝑥2
𝑥
+ 𝑥2 +. . . +
3
𝑥𝑛−1
𝑥𝑛
𝑥
+ 𝑥𝑛 ≥ 𝑛.
1
19. У каждого жителя Тьмутаракани есть свои тараканы, не у всех поровну. Два
таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ).
Что больше: среднее количество тараканов, которыми
владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?
20. В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что
по крайней мере 10% ящиков не пустые.
(2 + х)(2 + у)(2 + z) ≥ 27.
17.
a) Пусть a≤b и с≤в. Докажите, что ad+bc≤ac+bd.
б) Пусть 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤. . . ≤ 𝑎𝑛 и 𝑏1 ≤ 𝑏2 ≤. . . ≤ 𝑏𝑛 , а 𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑛 – некоторая перестановка чисел 𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 . Докажите транснеравенство по индукции:
𝑎1 𝑏𝑛 + 𝑎2 𝑏𝑛−1 +. . . +𝑎𝑛 𝑏1 ≤ 𝑎1 𝑐1 + 𝑎2 𝑐2 +. . . +𝑎𝑛 𝑐𝑛
≤ 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 +. . . +𝑎𝑛 𝑏𝑛 .
в) Решите задачи 7, 12, 15 с помощью транснеравенства
18.
Для положительных чисел докажите
𝑥1
𝑥2
𝑥
+ 𝑥2 +. . . +
19. У каждого жителя Тьмутаракани есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее
количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?
20. В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в
каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое
квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.
3
𝑥𝑛−1
𝑥𝑛
𝑥
+ 𝑥𝑛 ≥ 𝑛.
1
Неравенства – 3 –последняя
Неравенства – 3 –последняя
21. a) Сумма трёх положительных чисел равна шести. Докажите, что сумма
их квадратов не меньше 12. б) Сумма двух неотрицательных чисел равна
10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать
сумма их квадратов?
21. a) Сумма трёх положительных чисел равна шести. Докажите, что
сумма их квадратов не меньше 12. б) Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?
22. Докажите, что x4 + y4 + 8 ≥ 8xy при любых x и y.
22. Докажите, что x4 + y4 + 8 ≥ 8xy при любых x и y.
23. Докажите неравенство
(a+b+c+d)2≤4(a2+b2+c2+d2).
для
a,
b,
c,
d
>0
неравенство
24. Докажите, что для a, b, c >0 верно (a+b+c)(a2+b2+c2) ≥ 9abc.
25. 1 > x > y > 0. Докажите, что
𝑥−𝑦
1−𝑥𝑦
<1
28. У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем
– на другой, и берет средний вес. Не обманывает ли
он?
Докажите
𝑎+2𝑏+3𝑐+4𝑑 10
(
10
)
неравенство
𝑎𝑏 2 𝑐 3 𝑑 4 ≤
для a, b, c, d >0.
26. Докажите, что если a, b, c – натуральные числа,
𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏+𝑐
то 𝑎𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 ≥ (
3
)
24. Докажите, что для a, b, c >0 верно (a+b+c)(a2+b2+c2) ≥ 9abc.
25. 1 > x > y > 0. Докажите, что
27. Основания BC и AD трапеции ABCD равны a и b. Проведены четыре
прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые
внутри трапеции, и расположте найденные величины по возрастанию.
29.
23. Докажите неравенство для a, b, c, d >0 неравенство
(a+b+c+d)2≤4(a2+b2+c2+d2).
.
30. Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,01?
𝑥−𝑦
1−𝑥𝑦
<1
27. Основания BC и AD трапеции ABCD равны a и b. Проведены четыре
прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины
боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри
трапеции, и расположте найденные величины по возрастанию.
28. У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири.
Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем – на другой, и берет средний вес. Не обманывает ли он?
29.
Докажите
𝑎+2𝑏+3𝑐+4𝑑 10
(
10
)
неравенство
𝑎𝑏 2 𝑐 3 𝑑 4 ≤
для a, b, c, d >0.
26. Докажите, что если a, b, c – натуральные числа,
𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏+𝑐
то 𝑎𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 ≥ (
3
)
.
30. Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их
квадратов меньше 0,01?