Задача 1. Камень брошен с высоты расстоянии s 42 h 210 см под углом м по горизонтали от места бросания. 45 к горизонту и падает на Землю на Найти начальную скорость 0 камня, время полета , максимальную высоту Hподъема над уровнем Земли, а также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на Землю. AНАЛИЗ. Из условия задачи известно направление вектора ДАНО: СИ 0 h 210 см h 2,1 м начальной скорости 45 s 42 м 0 ; ; H – ? R A ; RB – ? точкой. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то ускорение камня камня, который можно считать материальной a g , т. е. постоянно и направлено по вертикали вниз. Векторы начальной скорости и ускорения образуют некоторый угол, не равный ни нулю, ни . Следовательно, движение камня криволинейное. Так как представить как сумму a const , движение плоское, его можно описать двумя координатами и двух простых движений – равномерного по горизонтали (вектор g имеет вертикальное направление, и его проекция на горизонтальную ось координат равна нулю) и равноускоренного по вертикали. Записав уравнения движения в проекциях на координатные оси Х и Y с учетом начальных условий и подставив координаты точки падения, можно найти время полета и модуль начальной скорости. Максимальную высоту подъема найдем из условия, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в ноль. Зная законы изменения проекций скорости на координатные оси со временем, можно найти модуль и направление скорости для любого момента времени. Вектор ускорения постоянен и известен, следовательно, для любого момента времени можно определить нормальное ускорение (т. е. проекцию вектора a на ось n, перпендикулярную вектору скорости и направленную к центру кривизны траектории) и радиус кривизны. РЕШЕНИЕ. За начало отсчета примем поверхность Земли под точкой бросания. Ось Х направим горизонтально вдоль поверхности Земли вправо, ось Y – вертикально вверх (рис. 1). Уравнение движения в проекциях на координатные оси имеет вид: x 0 cost , (1) 2 y h 0 sin t gt 2 . Скорость тела по оси Y меняется по закону: y 0 sin gt . В момент времени t1 камень достигает верхней точки своей траектории (точкиА, в которой Рис. 1 составляющей скорости Следовательно, y 0 на y H ) и меняет направление Y – противоположное (летит вниз). при t= t1. Отсюда t1 0 sin g . (2) Подставив значение (2) в уравнение движения (1), получаем максимальную высоту подъема: H h 02 sin 2 g g02 sin 2 (2 g 2 ) h 02 sin 2 (2 g ) Проверим размерность: H м м 2 Найдем начальную скорость условия x s ; y 0 , получаем: 0 с2 м с2 1 . (3) м. и время полета . Подставив в уравнение движения (1.16) конечные s 0 cos ; 0 h 0 sin g 2 2 или s 0 cos ; 0 h s tg gs 2 202 cos2 Проверим 0 20 размерность: 0 , отсюда [0 ] м м с 2 м g . 2h s tg s cos 12 м с, подставив значение, получим: м/с. Время движения 2h s tg . g м Проверим размерность: Подставляя значения 0 м с 2 12 с , подставив значение, получим: 3 с. и в выражение (3), находим Н = 12 м. Для определения радиусов кривизны траектории в верхней точке (точка А) и в точке падения an . (точкаВ на рис. 1), найдем в этих точках величину нормального ускорения полное ускорение в любой точке траектории равно g Следует напомнить, что и направлено вертикально вниз. A Ax i Ay j , причем, 0 cos , поэтому A Ax i Рассмотрим точку А. Скорость Ay 0 , Ax установлено ранее, как было – вектор скорости направлен по оси Х, т. е. перпендикулярно к вектору ускорения (рис. 2). Проекция вектора ускорения на направление скорости равна тангенциальному ускорению и равна Рис. 2 a 0 , нулю: g an 2A R A . следовательно, Отсюда R A 2A g 02 cos 2 a g . Размерность очевидна. Подставив значение, получим: R A 20 м. Рассмотрим теперь точкуВ (рис. 3). Найдем вектор полной скорости в этой точке. Составляющие вектора B по осям координат равны: By 0 sin g , Bx 0 cos ; модуль скорости 2 2 B Bx By 02 cos2 0 sin g . Вектор скорости B составляет с 2 осью Y угол , причем tg Bx By 0 cos 0 sin g , sin Bx B 0 cos B . Рис. 3 Спроектируем вектор следует из рис.3, равно g на направление B скорости. Нормальное ускорение, как an g sin . Радиус кривизны в точкеВ равен RB B2 an = 02 cos 2 0 sin g g tg 2 1 2 B3 g0 cos 2 cos2 sin g2 0 0 g 0 cos Проверим размерность: RB м с2 32 м 2 с3 м , = 3 . подставив значение, получим: R B 63 м. ОТВЕТ: 0 20 м/с; 3 с; H 12 м ; R A 20 м; R B 63 м.