Министерство образования Республики Беларусь Государственное учреждение образования “Республиканский институт высшей школы” УТВЕРЖДАЮ

Министерство образования Республики Беларусь
Государственное учреждение образования
“Республиканский институт высшей школы”
УТВЕРЖДАЮ
Первый заместитель Министра
образования Республики Беларусь
____________________ А.И. Жук
« 05 »
07
2006 г.
Регистрационный № ТД –G.096/тип.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебная программа
для высших учебных заведений по специальностям
1-31 03 03 Прикладная математика (по направлениям),
1- 31 03 04 Информатика,
1- 31 03 05 Актуарная математика,
1- 31 03 06 Экономическая кибернетика (по направлениям),
1- 98 01 01- 01 Компьютерная безопасность
(математические методы и программные системы)
СОГЛАСОВАНО
Председатель
Учебно-методического объединения вузов
Республики Беларусь
по естественнонаучному образованию
__________________ В.В.Самохвал
__________________ 2006
Начальник управления высшего и среднего
специального образования Министерства
образования Республики Беларусь
__________________ Ю.И. Миксюк
__________________ 2006
Первый проректор
Государственного учреждения образования
“Республиканский институт высшей школы”
__________________ В.И. Дынич
__________________ 2006
Эксперт
_________________ С.М. Артемьева
_________________ 2006
Минск
2006
Составители:
Г.А. Медведев, профессор кафедры теории вероятностей и математической
статистики Белорусского государственного университета, доктор физикоматематических наук, профессор;
Н.М. Зуев, доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики
Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических
наук, доцент;
П.М. Лаппо, доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики
Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических
наук, доцент;
Ю.С. Харин, зав. кафедрой математического моделирования и анализа данных
Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук,
профессор
Рецензенты:
Кафедра математического анализа Гомельского государственного университета
им. Ф.Скорины
А.В. Метельский, профессор кафедры высшей математики № 1 БНТУ, доктор
физико-математических наук, профессор
Рекомендована
к утверждению в качестве типовой:
Кафедрой теории вероятностей и математической статистики Белорусского
государственного университета
(протокол № 14 от 11 апреля 2006г.).
Научно-методическим советом Белорусского государственного университета
(протокол № 4 от 11 июня 2006г.).
Научно-методическим советом по прикладной математике и информатике
(протокол № 1 от 12 июня 2006г.).
Научно-методическим советом по специальности Компьютерная безопасность
(протокол № 1 от 12 июня 2006г.).
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь
по естественнонаучному образованию
(протокол № 15 от 15 июня 2006г.).
Ответственный за редакцию:
Н.М.Зуев
Ответственный за выпуск:
О.А.Кастрица
Пояснительная записка
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» знакомит
студентов с основными методами построения и анализа математических моделей
случайных явлений.
Основой для изучения курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
являются курсы «Математический анализ», «Геометрия и алгебра», «Вычислительные
методы алгебры», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ и
интегральные уравнения», «Уравнения в частных производных». Методы излагаемые в
курсе теории вероятностей и математической статистики используется в общих курсах
«Страховая математика», «Инвестиции и управление портфелем ценных бумаг»,
«Математические модели рисков страхования», «Теория оценивания финансовых
активов», «Моделирование финансового рынка», «Математическая теория финансовых
рисков», «Математические основы финансовой экономики», «Молекулярная и
статистическая физика», «Описательная статистика социально-экономических систем», а
также в ряде дисциплин специализаций.
Целью является изложение основных сведений о построении и анализе
математических моделей, учитывающих случайные факторы. Следует обратить особое
внимание на то, чтобы студенты хорошо усвоили фундаментальные понятия теории
вероятностей, а также овладели основными методами постановки и решения задач
математической статистики.
В соответствии со стандартом специальности учебная программа предусматривает
для изучения дисциплины 204 аудиторных часа, в том числе лекционных -102 часа,
практических – 78 часов и 24 часа контролируемой самостоятельной работы.
Введение
Предмет и методы дисциплины. Употребление вероятностных методов в науке.
Перспективы использования теории вероятностей и математической статистики в
различных областях народного хозяйства.
Теория вероятностей
Вероятностные методы. Случайные события и соотношения между ними. Понятие
о вероятности. Дискретные вероятностные модели. Вероятностное пространство.
Аксиоматика. Условные вероятности. Независимость событий.
Случайные величины. Случайные величины и распределения вероятностей.
Многомерные случайные величины. Условные функции распределения. Независимость.
Функциональные преобразования случайных величин.
Числовые характеристики случайных величин. Интегралы Лебега-Стилтьеса
Римана-Стилтьеса. Математическое ожидание и его свойства. Условные математические
ожидания. Числовые характеристики. Случайные величины. Количество информации.
Последовательность случайных величин. Виды сходимости случайных величин.
Соотношения между видами сходимости. Закон больших чисел и его частные случаи.
Усиленный закон больших чисел. Теорема Колмогорова.
Характеристические функции случайных величин. Характеристическая функция и
ее свойства. Теоремы Хелли о слабой сходимости. Теорема непрерывности для
характеристических функций.
Предельные теоремы. Центральная предельная теорема. Схема серий. Сходимость
к законам Гаусса и Пуассона.
Математическая статистика
Точечные оценки. Предмет математической статистики. Теория оценивания.
Неравенство Крамера-Рао. Неравенство информации. Достаточные статистики. Метод
максимального правдоподобия. Асимптотическая эффективность оценок максимального
правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Его оптимальность.
Интервальное оценивание. Теория доверительных интервалов.
Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Последовательный
анализ Вальда. Дисперсионный анализ. Критерии согласия.
Случайные процессы
Свойства случайных процессов. Способы задания случайного процесса.
Эквивалентные, тождественные и сепарабельные случайные процессы. Классификация
случайных процессов. Непрерывность траекторий случайного процесса.
Процессы с независимыми приращениями. Вид характеристической функции
процесса с независимыми приращениями. Винеровский процесс и его свойства.
Пуассоновский процесс и его свойства.
Цепи Маркова с непрерывным временем. Уравнение Колмогорова-Чепмена.
Коэффициент эргодичности и сходимость к стационарному распределению.
Ветвящиеся процессы с непрерывным временем. Дифференциальное уравнение для
производящей функции числа частиц. Эффекты вырождения и взрыва.
Диффузионные процессы. Дифференциальные уравнения Колмогорова для
переходных вероятностей.
Процессы с конечными моментами второго порядка. Свойства ковариационной
функции Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в среднем
квадратичном.
Стационарные в широком смысле случайные процессы. Теорема Бохнера.
Спектральное представление стационарных процессов. Спектральное представление
вещественных случайных процессов. Линейные преобразования случайных процессов.
Линейная фильтрация случайных процессов. Прогнозирование случайных процессов.
Эргодические теоремы.
Стохастический интеграл Ито. Определение и свойства интеграла Ито.
Статистические дифференциальные уравнения и метод последовательных приближений.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1986. – 431 с.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 447 с.
3. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980.
4. Харин Ю.С., Зуев Н.М. Теория вероятностей. Учебное пособие. – Мн.: БГУ, 2004.
Дополнительная
5. Карлин С. Основы теории случайных процессов. – М.: Мир, 1988.
6. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука,
1987. – 240 с.
7. Розанов Ю.А. Случайные процессы. – М.: Наука, 1979.
8. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.: Мир, 1969.
9. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов, т.1. – М.: Наука, 1971.