Решение неравенств второй степени с одной переменной

Урок на тему «Решение неравенств второй степени с одной переменной»
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать тему «Решение
неравенств второй степени с одной переменной».
Цели урока:
1) Образовательная: закрепление умения решать неравенства вида ах² + bх + с > 0 и ах²
+ bх + с < 0 на основе свойств квадратичной функции у = ах² + bх + с, используя графики
квадратичных функций;
2) Воспитательная: обеспечение каждому учащемуся ситуации успеха, активизация
взаимодействия между учащимися;
3) Развивающая: развитие умений обобщать изучаемый материал, делать выводы,
работать в группах.
Оборудование: кодопозитивы, плакат теста с ответами, карточки с текстом, копирка.
Тип урока: комбинированный.
Ход урока
I. Организационный момент
(Сообщение темы и целей урока.)
П. Тест с взаимопроверкой
(Выполняется под копирку.)
По графику квадратичной функции у = ах² + bх + с укажите ее свойства.
(Учащиеся должны указать свойства в правых 4 колонках таблицы.)
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Графики
у>0
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Рис.5
Рис.6
Рис.7
 ;1  2;
 ;
Нет
Нет
 2;2
 ;3  3;
 ;3  0;
Свойства
Знак D Знак а
>0
>0
<0
>0
<0
<0
=0
<0
>0
<0
=0
>0
>0
>0
у<0
 1;2
Нет
 ;
 ;1   1;
 ;2  2;
Нет
 3;0
Ш. Повторение алгоритма решения неравенств второй степени с одной переменной
1. Найдите дискриминант и выясните, имеет ли квадратный трехчлен корни:
1) если D > 0, то имеется два различных корня, две точки пересечения с осью Ох;
2) если D = 0, т.е. один корень, одна общая точка с осью Ох;
3) если D < 0 , то корней нет, нет точек пересечения с осью Ох.
2. Отметьте найденные корни на оси Ох и через отмеченные точки схематически
проведите параболу:
1) если а > 0, то ветви параболы направлены вверх;
2) если а < 0, то ветви параболы направлены вниз;
3) если корней нет, то при а > 0 парабола находится в верхней полуплоскости (выше оси
Ох), при а < 0 - в нижней полуплоскости (ниже оси Ох).
3. Найдите на оси Ох промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси
Ох (если ах² + bх + с > 0) или ниже оси Ох (если ах ² + bх + с < 0).
IV. Практическая часть
Задание 1. Решите неравенство.
(Выполняется у доски.)
а)  5 х 2  11х  6  0
Решение: Функция у  5 х 2  11х  6 квадратичная, графиком является парабола, ветви
которой направлены вниз, так как а = -5, а < 0. Решаем уравнение
 5 х 2  11х  6  0
D  b 2  4ac  121  4  5  6  1, D  0 ,
имеется два различных корня
 11  1
 11  1 12
1
x1 
 1 ; x1 

1 .
 10
 10
10
5
Ответ: из рисунка видим, что у > 0 при х  (1; 1,2).
б) 4 х 2  12 х  9  0
Решение: Функция y  4 х 2  12 х  9 квадратичная, графиком является парабола, ветви
которой направлены вверх, так как а = 4, а > 0. Решаем уравнение
4 х 2  12 х  9  0
D  144  4  4  9  0
поэтому имеется один корень x  1,5
Ответ: из рисунка видно, что у > 0 при х   ;1,5  1,5; .
в) 25 х 2  30 х  9  0
Решение: Функция у  25х 2  30 х  9 квадратичная, графиком является парабола, ветви
которой направлены вверх, так как а = 25, а > 0. Решаем уравнение 25 х 2  30 х  9  0
D  900 - 4  25  9  0
3
один корень x  
5
Ответ: из рисунка видим, что у неравенства у < 0 решений нет.
Задание 2. Найдите множество решений неравенства.
(Работа проводится в группах с взаимопроверкой по кодопозитиву. Группы обмениваются
тетрадями и проверяют решение друг у друга).
а) 9 х 2  х  9  3x 2  18 x  6
Решение:
9 x 2  3x 2  x  18 x  9  6  0
6 x 2  19 x  15  0
y  6 x 2  19 x  15 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой
направлены вверх, так как а = 6, а > 0. Решаем уравнение
6 x 2  19 x  15  0
D  361  4  6 15  1
1
2
D  0 ,значит, имеется два различных корня: x1  1 , x 2  1 .
2
3
1  2


Ответ: из рисунка видно, что при х    ;1   1 ; , у  0 .
2  3


2
б) 2 х  8 х  111  3x - 52 x  6 .
Ответ: у < 0 при любых х.
Задание 3. Докажите, что при любом значении х верно неравенство 4 x 2  12 x  9  0 .
(Работа проводится в группах. Тот, кто первым сообразил, как выполнить задание, решает
его на обратной стороне доски.)
Доказательство. Функция у = 4х² + 12х + 9 квадратичная, ее графиком является парабола,
ветви которой направлены вверх, так как а = 4 > 0. Находим дискриминант:
D  144  4  4  9  0
3
следовательно, имеется один только корень x   .
2
Из рисунка видим, что у  0 при х   ; , что и требовалось доказать.
Задание 4. Найдите область определения функции у  12 х  3х 2 .
(Один из учеников решает и одновременно комментирует решение с места. Остальные
учащиеся решают в тетрадях.)
Ответ: 0;4.
V. Подведение итогов урока
(Обсуждение метода решения неравенств П степени с одной переменной, выяснение всех
непонятных моментов.)
Домашнее задание (творческое)
1. Составьте кроссворд по теме «Квадратичная функция». Красочно оформите его на
отдельных листах.
2. Решите любые пять примеров из раздела учебника «упражнения для повторения».