Вопросы для самоконтроля - Армавирский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Армавирская государственная педагогическая академия»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по дисциплине
Б З.Р «Математика»
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Начальное образование (ZВП Нач2-1)
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр педагогического образования
Форма обучения заочная
Составитель: доц. Фоменко Е.И.
Армавир, 2013
Литература
Основная литература
1. Виленкин Н.Я. и др. “Математика” - М. Просвещение, 1978 г.
2. Лаврова Н.Н., Стойлова П.П. “Задачник-практикум по математике” - М. Просвещение,
1985 г.
3. Стойлова Л.П. “Математика”, М. Изд. Центр «Академия», 1997 г.
4. Стойлова Н.П., Виленкин Н.Я. “Математика”, М. Просвещение, 1990 г.
5. Стойлова Н.П., Пышкало А.М. “Основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1988 г.
6. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть1. Армавир, 2000
7. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 2. Армавир, 2000
8. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть3. Армавир, 2004
9. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 4. Армавир, 2000
10. Фоменко Е.И. Основные вопросы математики: учебно- методическое пособие по
математике для студентов социально – педагогического факультета отделения
педагогики и методики начального образования педагогических вузов/ Е.И. Фоменко.Армавир: Редакционно – издательский центр АГПУ, 2009.-260с.
Дополнительная литература
11.Архипов Б.М. и др. “Математика” - Минск, 1976 г.
12.Кессельман В.С. Занимательная математика. М.: АСТ: Астрель,2008.
13.Колягин Ю.М., Луканкин Г.М. “Основные понятия современного школьного курса
математики”. - М. Просвещение, 1974 г.
14.Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И.
Адян, Н.С. Бахвалов и др.- М.: Сов. Энциклопедия, 1988.
15.Новая иллюстративная энциклопедия. Кн.4 Ве-Ге.- М.: Большая российская
энциклопедия, 2000.
16.Пышкало А.М. “Теоретические основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1974 г.
17.Столяр А.А., Лельчук М.П. “Математика” - Минск, 1975 г.
Интернет-ресурсы:
1. 1. Образовательная система «Школа 2100» –http://www.school2100.ru
2. Российский общеобразовательный портал - http://www.school.edu.ru
3. Электронная библиотека. Грамотей. http://www.gramotey.com
5. Научная библиотека МГУ http://www.nbmgu.ru/ruslibraries
6. Российская государственная библиотека http://www.rsl.ru/
7. Электронная библиотека диссертаций РГБ http://www.diss.rsl.ru
ЗАДАНИЯ К ЛЕТНЕЙ СЕССИИ
1) Выполните задания:
Тема: Понятие натурального числа и нуля. Отношения “равно”, “меньше”,
“больше” на множестве ц.н. чисел и их свойства.
 Сравните понятия целого неотрицательного числа и натурального.
 Найдите особенность в определении суммы целых неотрицательных чисел.
 Выделите отличительные и сходные признаки: а) отношений порядка, б) в
обосновании выбора действия сложения для различных типов задач.
Выполните задания:
1.Каким образом определяется в начальном курсе математики понятие: а) натурального
числа; б) нуля.
2.Какие два числа можно сложить, чтобы получить в сумме число 3? Запишите все
возможные случаи и, используя определение суммы целых неотрицательных чисел
докажите это.
3.Используя первое определение отношения “меньше” докажите, что для любых
натуральных чисел a, b, c справедливо утверждение: “Если ab, то a+cb+c.”
4.Приведите примеры двух заданий из учебников математики для начальных классов, в
которых отношения “меньше”, “больше” и “равно” рассматриваются с теоретико –
множественных позиций.
Указание: используйте учебник математики для 1 класса.
5. Обоснуйте выбор действия: а) 59; б) 138; в) 5=5.
6. Как возникли понятия натурального числа и нуля.
Вопросы для самоконтроля.
1. Какие множества называются равномощными? Привести примеры.
2. Чем является целое неотрицательное число с теоретико – множественной точки зрения?
3. Чем является натуральное число с теоретико – множественной точки зрения?
4. Какие целые неотрицательные числа называются равными?
5. Объясните теоретико – множественный смысл отношения “равно” на примере.
6. Сформулируйте основные свойства отношения “равно”.
7. Дайте определения отношению “меньше” (3 определения). Привести примеры.
8. Дайтеопределениеотношению “больше ”.
9. Что называется суммой целых неотрицательных чисел?
10.
Сколько типов задач, решаемые сложением и какие встречаются в начальном курсе
математики. Приведите примеры.
Тема: Определение суммы ц.н. чисел, ее существование и единственность. Законы
сложения: коммутативный, ассоциативный.
Выполните задания:
1. Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а) Несколько девочек участвовали в танце. Три из них были в белых юбочках и три — в
синих. Сколько девочек участвовало в танце?
б) Пете осталось полить 2 грядки, а Мише 3 грядки. Сколько грядок осталось полить
мальчикам?
в) У Коли было 5 марок, а у Феди — на 3 марки больше. Сколько марок было у Феди?
г) Юра нашел 16 грибов, а Витя на 6 грибов меньше, чем Юра. Сколько всего грибов
нашли мальчики?
д)Садовнику надо подрезать 16 тополей и 11 лип. Он подрезал 23 дерева. Сколько
деревьев осталось подрезать садовнику?
е)Для ремонта дома сначала привезли 18 бревен, а потом еще 15. После этого осталось
привезти 9 бревен. Сколько всего бревен пойдет на ремонт дома?
2. Докажите свойства ассоциативности сложения.
3. Докажите свойства монотонности сложения.
4. Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
(законы) сложения были при этом использованы:
(357+249)+51; 2999+4453+3432+11+247; 234+427+356+573;
(3345+2199)+1045.
Вопросы для самоконтроля.
1. Докажите ассоциативный закон сложения целых неотрицательных чисел.
2. Докажите коммутативный закон сложения целых неотрицательных чисел.
3. Докажите аддитивное свойство сложения целых неотрицательных чисел. Приведите
пример применения этого свойства.
4. Сформулируйте свойство монотонности сложения целых неотрицательных чисел и
докажите его.
5. Сколько типов задач (какие), решаемые действием сложения, встречаются в начальной
школе? Приведите примеры. Дайте теоретико – множественное истолкование действия
сложения в этих задачах.
Тема:Определение разности, ее существование и единственность. Связь вычитания
со сложением. Вычитание числа из суммы и суммы из числа
 Найдите особенность в определении разности целых неотрицательных чисел.
 Выделите отличительные и сходные признаки в обосновании выбора действия
вычитания для различных типов задач.
Выполните задания:
1.Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а) На тарелке лежало 5 яблок. Их было на 3 меньше, чем груш.Сколько груш лежало на
тарелке?
б) У Саши было 10 книг. Две книги он подарил товарищам. Сколько книг осталось у
Саши?
в) На верхней полке 9 книг, а на нижней 5. На сколько книг больше на верхней полке,
чем на нижней?
г) На верхней полке 9 книг, их на 5 больше, чем на нижней.Сколько книг на нижней
полке?
д) На уборке картофеля занято 10 картофелекопалок, а грузовых машин – на 2 больше. На
сколько грузовых машин больше, чем картофелекопалок было на уборке?
е)Ваня собрал 8 стаканов малины, а его сестра – на 2 стакана меньше. Сколько стаканов
малины собрали дети?
ж)В хозяйстве 20 тракторов. 9 из них отправили на одно поле, 9 — на другое, а остальные
были в ремонте. Сколько тракторов было в ремонте?
з)Дом ремонтировали 12 мужчин и 8 женщин. 5 человек из них перевели на другую
работу. Сколько человек осталось ремонтировать дом? Реши разными способами.
и)В начале учебного года в классе было 20 учеников. В течение года 4 ученика выбыли,
так как переехали в другие районы. За это время поступили 2 новых ученика. Сколько
учеников осталось в школе к концу года?
2. Докажите свойство вычитания числа из суммы.
3. Докажите свойство вычитания суммы из числа.
4. Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
вычитания были при этом использованы:
(357+249)-157; 2999-(343+1199); (234+427)-134; (3345-2199)-1045.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется разностью двух целых неотрицательных чисел?
2. Сформулируйте правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Объясните их
теоретико – множественный смысл.
3. Сколько типов задач (какие), решаемые действием вычитания, встречаются в
начальной школе? Приведите примеры. Дайте теоретико – множественное
истолкование действия вычитания в этих задачах.
Тема: Определение произведения ц.н. чисел через декартово произведение множеств,
его существование и единственность. Определение произведения через
сумму. Операция умножения и ее основные свойства.
 Сравните определения произведения целых неотрицательных чисел.
 Выделите особенность в обосновании выбора действия умножения.
Выполните задания:
1.Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а)Сколько кроликов разместили октябрята в 6 клетках, если в каждую поместили по 2
кролика?
б) На верхней полке 4 книги, это в 3 раза меньше, чем на нижней. Сколько книг на
нижней полке?
в) Золушка торопилась на бал и за вечер перебрала 3 мешка крупы по 10
килограмм в каждом мешке. Сколько всего килограмм крупы успела перебрать
Золушка?
г)В старшей группе детского сада 5 динозавриков, а абракадабриков в 3 раза больше.
Сколько абракадабриков в детском саду?
д)Винни-Пух сочинил 4 пыхтелки. Это в 5 раз меньше, чем он сочинил шумелок. Сколько
шумелок сочинил Винни-Пух?
2.Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
(законы) умножения были при этом использованы:
1)689 17; 2) (805+23)4; 3) 254712; 4)211 49; 5) 7895-5078; 6) 250838.
3. Докажите свойство ассоциативности умножения.
4. Докажите свойство дистрибутивности умножения относительно вычитания.
5. Докажите свойство монотонности умножения.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется произведением целых неотрицательных чисел а и в? (два
определения).
2. Какие числа называются сомножителями? Какая операция называется
умножением?
3. Как вы понимаете, что произведение целых неотрицательных чисел существует и
притом единственное?
4. Запишите коммутативный и ассоциативный законы умножения целых
неотрицательных чисел и дайте их истолкование с теоретико-множественной
позиции.
5. 5.Запишите дистрибутивный закон умножения относительно сложения
(вычитания). Какие преобразования выражений возможны на его основе? В каком
виде используется этот закон в начальном обучении математике?
6. Сформулируйте свойства монотонности для умножения целых неотрицательных
чисел.
Тема: Определение частного ц.н.числа и натурального через разбиение множества на
классы. Условия существования и единственности частного. Теоретико –
множественный смысл правил деления суммы и произведения на число
1. Найдите особенность в определении частного целых неотрицательных чисел.
1. Найдите отличительные и сходные черты в определении частного целых
неотрицательных чисел.
2. Выделите особенность в раскрытии теоретико – множественной основы правил
деления суммы и произведения на число.
3. Выделите отличительные и сходные признаки в обосновании выбора действия
деления для различных типов задач.
Выполните задания:
1. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи деления. Дайте
теоретико-множественное истолкование получившихся равенств.
а) Мама раздала 12 яблок, по 4 яблока каждому из детей. Сколько детей получили яблоки?
б) В коробке лежало 8 цветных карандашей, их в 2 раза больше, чем простых. Сколько
простых карандашей лежало в коробке?
Примечание: обратите внимание на тип задачи.
в)В трех коробках 18 карандашей. Сколько карандашей одной коробке?
г) В одной коробке было 12 карандашей, их в 3 раза больше, чем в другой. Сколько
карандашей во второй коробке?
д)Злая колдунья, превратилась в Белоснежку и испекла для 7 гномов 14 пирожков с
мухоморами. Но гномы её узнали, и есть пирожки не стали. Сколько пирожков съел бы
каждый гном, если бы не узнали колдунью?
е) Добрый мальчик Петя пришёл в плохом настроении в школу и стал раздавать синяки.
Всего он раздал 12 синяков 3 своим товарищам поровну. По сколько синяков получил
каждый из товарищей Пети?
ж)Чтобы найти пиратский клад нужно пройти от старого дуба 15 шагов на север. А потом
на запад в 5 раз меньше. Сколько шагов нужно пройти на запад,
з)Голодный Вася может съесть сразу 15 батонов это в 3 раза больше, чем он может съесть,
когда сыт. Сколько батонов может съесть сытый Вася?
и)Добрые мальчики Вовочка и Петечка вежливо разговаривали с собакой. За что, она
укусила Вовочку 6 раз, а Петечку 3 раза. Во сколько раз больше досталось укусов
Вовочке?
к)Такса Феня украла 10 сосисок, а кошка Мусьена – 5 сосисок. Во сколько раз меньше
досталось сосисок кошке Мусьене?
2. Объясните смысл предложения: а) 10 больше 5 в 2 раза; б) 2 меньше 8 в 4 раза.
3. Обоснуйте различные способы решения нижеприведенной задачи. Дайте теоретико –
множественное истолкование полученному равенству: Работница уложила в 5 коробок
20 желтых и 30зеленых бокалов. Сколько бокалов было уложено в каждую коробку,
если количество бокалов в каждой коробке одинаковое?
4.Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
деления были при этом использованы:
1) 840: 24; 2) (805+25): 5; 3) (32 42):8.
5. Докажите свойство деления произведения на число и объясните его теоретико
множественный смысл.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется частным целого неотрицательного числа и натурального? (2
определения). Привести примеры.
2. Как называется действие, при помощи которого находят частное а и в? Как называется
число а? Как называется число в?
3. Дайте определение частного, в котором осуществляется связь умножения и деления.
4. Сформулируйте необходимое условие существования частного натуральных чисел.
Является ли оно достаточным?
5. Сформулируйте правило деления суммы на число и дайте его теоретико –
множественное истолкование. Приведите два примера использования этого правила в
начальном курсе математики.
6. Сформулируйте правило деления произведения на число и дайте его теоретикомножественное истолкование. Привести примеры использования этого правила в
начальном курсе математики.
7. Сформулируйте свойства деления и приведите примеры на их применение.
Тема: Сложение и умножение целых неотрицательных чисел. Таблицы сложения и
умножения. Законы сложения и умножения: выполнимость и однозначность,
ассоциативность и коммутативность, дистрибутивность умножения
относительно сложения.
1.. Выделите особенность в определении сложения, умножения.
3.Сравните понятия суммы и сложения целых неотрицательных чисел.
4. Сравните понятия произведения и умножения целых неотрицательных чисел.
Выполните задания:
1. Используя определение сложения, найдите, что
а) 9+5;
б) 5+6;
в) 2+7;
г) 4+9.
2. Используя определение умножения, найдите, что
а) 95;
б) 56;
в) 27;
г) 49.
3. Вычислите рациональным способом. Укажите законы, на основании которых, были
выполнены тождественные преобразования:
а) 84973+1142+13027+4858; б) 45225 в)937852542
в) 5376424225
г) 25673+2562295156;
д)2345+(1272+4655);
е) 1734+5617-9013.
4. Какие из данных высказываний истинны?
а) Существует такое целое неотрицательное число b, что верно равенство
(9+b)+14+11=9+(b+14)+11.
б) Каково бы ни было целое неотрицательное число b, что верно равенство
(9+b)+14+11=9+(b+14)+11.
в) Существуют такие целые неотрицательные числа а,b,с,k, что верны равенства
(а+b)+с+k=а+(b+с)+k; а+b+(с+k)=(а+b)+(с+k).
г)Каковы бы ни были целые неотрицательные числа а,b,с,k истинны равенства
(а+b)+с+k=а+(b+с)+k; а+b+(с+k)=(а+b)+(с+k).
4. Найдите число при делении, которого на 15421 получается неполное частное 246 и
остаток 6723.
5. По делимому а и остатку r найдите неполное частное q и делитель b, если: а) а=148,
r=37;
б) а=497, r=16.
6.Доказать теорему существования и единственности умножения целых неотрицательных
чисел. (Указание: доказательство аналогичное доказательству существования и
единственности сложения целых неотрицательных чисел).
7. Доказать свойство коммутативности умножения целых неотрицательных чисел.
(Указание: доказательство аналогичное свойству коммутативности сложения целых
неотрицательных чисел, которая состоит из двух частей). Приведите примеры его
использования в начальном курсе математики.
8. Доказать свойство мультипликативности умножения целых неотрицательных чисел.
9. Доказать свойство монотонности умножения целых неотрицательных чисел.
10. Доказать свойство правой дистрибутивности умножения относительно сложения
целых неотрицательных чисел.
11. Найдите значения выражения рациональным способом; свои
действия обоснуйте:
а)(7-63):7;
в) (15-18):(5-6);
б)(3-4-5):15;
г) (12-21): 14.
12. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:
а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
б)882:18 =(900 -18): 18 =900:18 -18:18 =50-1 =49;
в) 480:32 = 480:(8-4) =480:8:4 = 60:4 = 15;
г) (560-32): 16 = 560-(32:16) = 560-2 = 1120.
13. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
способом частное; выбранный способ обоснуйте:
а) 495:15;
в) 455:7;
д) 275:55;
б)425:85;
г) 225:9;
е) 455:65.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется сложением целых неотрицательных чисел?
2. С помощью, каких аксиом и определений можно доказать, что сложение целых
неотрицательных чисел существует и притом единственно?
3. Сформулируйте и докажите ассоциативный закон сложения для целых
неотрицательных чисел.
4. Сформулируйте и докажите коммутативный закон сложения для целых
неотрицательных чисел.
5. Сформулируйте и докажите закон сокращения для сложения. Приведите примеры
использования этого закона.
6. Сформулируйте и докажите закон монотонности для сложения.
7. Что называется умножением целых неотрицательных чисел?
8. Запишите левый (правый) дистрибутивный закон умножения относительно сложения и
докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе?
9. Почему возникла необходимость в рассмотрении левого и правого дистрибутивных
законов? Рассматриваютлиэтизаконы в школьномкурсематематики?
10. Докажите ассоциативный закон умножения целых неотрицательных чисел. Какие
преобразования выражений возможны на его основе?
Тема: Свойства множества целых неотрицательных чисел. Порядковые и
количественные натуральные числа
1. Выделите особенность в определении натурального числа.
3. Сравните понятие натурального числа в различных теориях.
Выполните задания:
1. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество:
а) {1,2,3,4};
в) {2,3,4,5};
б) {1,3,5,7};
г) {1,2,4,5}?
2. Докажите, что множествоВконечное, если:
а) В- множество букв в слове «параллелограмм»;
б) В- множество учащихся в классе;
в) В- множество букв в учебнике математики.
3.Прочитайте записи: n(А) = 5; n(А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих
указанное число элементов. Что значит сосчитать элементы конечного множества?
Сформулируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов
и которые вытекают из определения счета элементов конечного множества.
4. Разделите с остатком:
а) 37 на 5;
б) 83 на 4;
в) 12 на 15.
3. Какие остатки могут получаться при делении чисел на 4? Какой
вид имеют числа, при делении которых на 4 в остатке получается:
а)1; б)3?
4. Известно, что при делении х на уполучили неполное частное z и остаток 17. Известно
также, что одно из чисел х, уи zравно 13. Какое?
5. На сколько классов разбивается множество N при помощи отношения:
а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»;
б) «иметь один и тот же остаток при делении на 7»?
Почему возможно такое разбиение? Назовите по одному представителю из каждого
класса разбиения множества N в случае б).
7. Одно число на 62 больше другого. При делении одного из них на
другое с остатком в частном получается 5 и в остатке 6. Найдите эти
числа.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение отношения “меньше” для целых неотрицательных чисел (через
сложение). Почему оно является отношением порядка, а отношение “непосредственно
следовать за ” – нет?
2. Какими свойствами обладает множество целых неотрицательных чисел?
3. Докажите, что множество целых неотрицательных чисел бесконечно и счетно (имеет
наименьший элемент, дискретно).
4. Какое множество называется отрезком натурального ряда? Привести пример.
5. Сформулируйте свойства отрезков натурального ряда.
6. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте условия,
которые должны соблюдать учащиеся, ведя счет предметов.
7. Какой отрезок называется суммой данных отрезков?
8. Какой отрезок называется разностью данных отрезков?
9. Какими свойствами обладают действия над отрезками?
10. В чем заключается смысл сложения и вычитания, являющихся значениями величин?
11. В чем заключается смысл умножения и деления, являющихся значениями величин?
Тема: Натуральное число как мера длины отрезка. Арифметические действия над
числами, рассматриваемыми как меры длин отрезков.
1. Выделите особенность в определении арифметических действий.
3. Сравните понятия деления и умножения натуральных чисел.
4. Сравните понятия сложения и вычитания натуральных чисел.
Выполните задания:
Нижеприведенные задачи решите различными способами. Для каждой задачи
приведите графическую иллюстрацию и объясните выбор действия при решении:
1. В овощной магазин привезли 5 т 180 кг картофеля. Из магазина в одну палатку
отправили 1 т 400 кг картофеля, а в другую - 40 кг. Сколько картофеля оставили в
магазине?
2. Утром в кассе было 5000 р. Днем выдали 4786 р., а приняли -3905 р. Сколько денег
стало в кассе?
3. Масса бочки с медом 58 кг. Масса пустой бочки 8 кг. Сколько килограммов меда в
этой бочке?
4. Стакан чая стоит 3 р. Сколько стоят 4 стакана чая?
5. Ширина реки 18 м, а ширина ручья 2 м. Во сколько раз река шире ручья?
6. В понедельник со склада вывезли 54 т угля, во вторник — на 8 т больше, чем в
понедельник, а в среду вывезли на 25 т меньше, чем во вторник. Сколько тонн угля
вывезли со склада за эти 3дня?
7. Длина доски 15 м. От нееотрезали 6 м, а оставшийся кусок распилили на 3 равные
части. Найдите длину каждой части.
8. Веревку разрезали на две части так, что первая часть оказалась в 4 раза больше
второй. Чему равна длина веревки, если первая часть на 18 м длиннее второй?
9. Мальчик хотел купить 9 карандашей, но на их покупку у негоне хватило 6 к., тогда он
купил 7 карандашей и у него осталось 2 к. Сколько стоит один карандаш?
10. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли
два пешехода. Через 2 ч расстояние между ними стало 16 км. Найдите скорость
первого пешехода, если скорость второго 5 км в час.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем заключается смысл сложения и вычитания, являющихся значениями
величин?
2. В чем заключается смысл умножения и деления, являющихся значениями величин?
3. Как осуществляется обоснование выбора арифметических действий при решении
задач с величинами.
2)Решите примерные задания зачета.
1. Используя определение, покажите что: 93=3, 2+6=8, 5-1=4. 24=8.
2. Используя теоретико-множественную теорию, обоснуйте выбор действий при
решении следуюших задач:
а) Девочка принесла водном пакете 5 яблок, а в другом- 4.0на раздала их поровну 3
малышам. По сколько яблок она дала каждому малышу?
б) У Миша было 3 шарика, а у Коля-В 2 раза больше, чем Миша. У Тани на 2 шарика
меньше, чем у Коли. Сколько всего шариков было у детей?
3. Вычислите рациональным способом значение выражения, применяя законы сложения и
умножения:
а) 109 + 56 + 91 + 44 + 76; б) (8431)125.
4. Объясните решение примеров:
5.
а) 234= (20+3)4= 20  4 + 3 4=80+12=92;б)36+7=36+(4+3)=(36+4)+3 =43
6. Используя теорию величин, обоснуйте выбор действий при решении
следующей задачи:
В куске было 32 м ткани. От него отрезали сначала 6 м, а затем еще 8 м ткани. Сколько
метров ткани осталось в куске?
ЗАДАНИЯ К ЛЕТНЕЙ СЕССИИ
1) Выполните задания:
Тема: Отношение делимости на множестве N0 . Свойства отношения делимости.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.
1 Выделите особенность в определении отношения делимости на множестве N0.
3. Выделите отличительные и сходные черты признаков делимости:
а) на 2,5,10; б) на 3 и 9.
4. В чем заключается особенность признаков делимости на составное число?
Выполните задания:
1. Докажите, что n(n+1) делится на 2.
2. Докажите, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится
на 37.
3. Напишите наименьшее трехзначное число, кратное 3 так, чтобы первая цифра была 7.
4. Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 9, так чтобы первая цифра его была 3
и все цифры были различными.
5. Какие из чисел 804, 75, 144, 150 кратны а) 2; б) 3; в) 5; г) 9?
6. Какие остатки могут быть получены при делении а на 3? Каков вид чисел которые на 3
не делятся?
7. А – множество целых неотрицательных чисел вида 3а, В – множество целых
неотрицательных чисел вида 3а+1, С – множество целых неотрицательных чисел вида
3а+2. Можно ли утверждать, что АВС=Z0?
8. Из множества целых неотрицательных чисел выделили подмножество чисел, кратных
7. Разбейте каким-либо образом на классы подмножество чисел, не кратных 7. Сколько
классов разбиения множества Z0 получилось?
9. Известно, что а не кратно n и в не кратно n. Верно ли, что:
а) а+в не кратно n; б) ав не кратно n?
11.Не производя вычислений установите, делится ли значение выражения на 3, 4, 5, 8, 9,
10 (8, 18, 45 для умножения):
а) 180+144; б) 720+308; в) 103+370; г) 535-413; д) 1215-1307;
ж) 753227.
12.Докажите, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел при
делении на 4 дает остаток 1.
13.Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
Указание: (а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в3.
14.Докажите, что при любом nN число n6-n2 делится на 60.
15.Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его
цифр делится на 7, то и число делится на 7.
16. Докажите, что: а) n(n+1) делится на 2; б) n3+5n делится на 6.
17.Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось число делящееся: а) на 5:
483*, 34*0, 5*31; б) на 9: 179*, 54*7, 5*24;
в) на 3: 24*, 1*6, 22;
г) на 4: 257*4, 3*2, 4355*.
18.Докажите, что при любом натуральном n истинны утверждения
(n5-n) 5.
Вопросы и задания для самоконтроля:
1.Когда целое натуральное число а делится на натуральное число в? Как называется а и
как называется в?
2.Для каких пар чисел верны оба отношения ав и ва?
3. Какими свойствами обладает отношение делимости? Докажите свойства 1-10.
4.Сформулировать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.
5.Что такое НОД чисел? Как вычислить?
6.Что такое НОК чисел? Как вычислить?
7.Сформулировать и доказать свойства НОД и НОК.
8.Сформулировать и доказать обобщенный признак делимости на составное число.
9.Что называется разложением числа на простые множители?
10.Сформулировать и доказать основную теорему арифметики.
11.Какое разложение называется каноническим?
12.Какой процесс называется алгоритмом Евклида?
13.Опишите алгоритм Евклида.
Тема:Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Общее кратное и общий
делитель.
Выполните задания:
1. Объясните, почему число 19 является простым, а число 12 – составным.
2. Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?
3. Установите, являются ли числа 353, 357, 359 простыми.
4. При каких значениях с значения выражения 11с являются простыми числами?
5. Методом решета Эратосфена найдите все простые числа, меньшие чем 300.
6. Напишите 7 идущих подряд составных чисел.
7. Назовите 6 чисел, кратных числу 36 и 6 чисел, кратных числу 24. Укажите среди них
общие кратные.
8. Выпишите все делители каждого из чисел 36 и 24 и укажите их общие делители.
9. Разложите на простые множители числа: 136, 291, 2025, 1001, 111.
10.
Не пользуясь таблицей простых чисел, определите просты ли числа:
а) 167; б) 253; в) 463; г) 571.
11.
Найдите а и в если известно, что: а) а : в=11:13; б) ав=294;
в) ав=375; г) а : в=17:14; д) а : в=7: в; е) ав=1470.
12. Разложите числа 144, 1760, 1430, 84700 на простые множители.
13. Сколько существует натуральных чисел, меньших 500 и не делящихся ни на 2, ни на
3, ни на 5?
Вопросы для самоконтроля:
1. Какоечислоназываетсяпростым?
2. Какое число называется составным?
3. Какой существует способ распознания чисел?
4. На какие классы разбивается множество целых натуральных чисел?
5. Сформулировать и доказать свойства простых чисел.
6. Сформулировать и доказать теорему Евклида.
7. Какое число называется общим кратным?
8. Какое число называется общим делителем?
Тема: НОД и НОК и их свойства. Признаки делимости на составное число. Основная
теорема арифметики. Алгоритмы нахождения НОД и НОК. Алгоритм
Евклида.
1. Выделите особенность в признаке делимости на составное число.
3. Выделите отличительные и сходные черты НОД и НОК.
Выполните задания:
1. Найти НОД и НОК чисел: а) 160 и 240; б) 500 и 255; в) 120, 80 и 280.
2. НОД двух чисел, одно из которых 60, равен 15. НОК этих же чисел равно 450. Найдите
другое число.
3. Докажите что числа 432 и 385 взаимно простые.
4. Найдите а и в, если известно, что: а) НОД(а, в)=5, НОК(а, в)=165; б) НОД(а, в)=7,
ав=294; в) НОД(а, в)=17, ав=375; г) а : в=7:8 и НОК(а, в)=224.
5. Найдите с помощью алгоритма Евклида НОД чисел: а) 160 и 240; б) 500 и 255; в) 120,
80 и 280.
6. Докажите, что: а) НОД(6025, 1728)=1; б) НОД(816, 323)=17;
в) НОД(2956,
13302)=1478.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое НОД чисел? Как вычислить?
2. Что такое НОК чисел? Как вычислить?
3. Сформулировать и доказать свойства НОД и НОК.
4. Сформулировать и доказать обобщенный признак делимости на составное число.
5. Что называется разложением числа на простые множители?
6. Сформулировать и доказать основную теорему арифметики.
7. Какое разложение называется каноническим?
8. Какой процесс называется алгоритмом Евклида?
9. Опишите алгоритм Евклида.
Тема:Целые числа (отрицательные целые числа). Свойства множества целых чисел
и их геометрическаяинтерпритация.
Выполните задания:
1. Найти числа противоположные данным: а) 5; б) –3; в) 78; г) 0; д) –104.
2. Найти значение выражения при а=-1; в=-1 а-в--а2+-в2
-а-в--а
3. Верно, ли что если к отрицательному числу прибавить его квадрат, то получится
положительное число? Приведите примеры.
4. Записать выражение без знака модуля: а) х-2; б) х+2;
в) х2-х; г) х+2-х.
5. Покажите на числовой прямой множество решений уравнений или неравенств: а)
х=2; б) -х=2; в) х5; г) х5;
д) х2.
6. При каких значениях х верно равенство: а) х=х; б) –х=-х в) –х=х.
7. Где на координатной прямой расположены числа х, если:
а) х2; б) х3;
в) 2х3? Назовите несколько таких чисел и изобразите их на координатной
прямой.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое множество называется множеством целых чисел?
2. Какие целые числа называются отрицательными?
3. Как возникли отрицательные числа?
4. Какие числа называются противоположными?
5. Какое число противоположно числу 0?
6. Что такое модуль?
7. Какова геометрическая интерпритация модуля числа?
8. Какова геометрическая интерпритация целых чисел?
9. Сформулируйте свойства множества целых чисел.
Тема:Понятие обыкновенной дроби как результата измерения длины отрезка.
Равносильные дроби. Основное свойство дроби. Свойства отношения
равносильности дробей. Понятие положительного рационального числа.
Несократимая запись рационального числа
Выполните задания:
1. Покажите, как в процессе измерения длины отрезка может быть получена дробь?
а) 7 б) 13 в) 2
3
4
5
2. Назовите три дроби: равные а) 5
б) 11
6
3
3. Сократите дроби 275 и
45469
980
41033
4. Приведите дроби 17, 13, 17 к общему знаменателю.
24 136 208
1. Верны ли следующие высказывания:
а) Дробь 3 является записью некоторого рационального числа.
6
б) 17 положительное рациональное число.
5
2. Докажите, что при любом натуральном значении а следующие дроби несократимы:
а) 2а+1 б) 2а+3а+7+а2
а
5а
7. Дробьа несократима. Будет ли сократима дробь а___
в+ав
Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое дробь?
2. Какие дроби называются равными?
3. Какая дробь называется несократимой?
4. Сформулируйте свойство дроби (основное).
5. Что такое положительное рациональное число?
6. Сформулируйте теорему верную для любого положительного рационального числа?
7. Какие числа называются дробными?
Тема:Арифметические действия над положительными рациональными числами и их
свойства. Отношение порядка.
Выполните задания:
1. Сложите дроби, предварительно сократив их, если это возможно:
15 17 39
11
3
2
4
4 10

 ; 2) 3  5  ; 3) 1  5  .
1)
120 68 78
12
15 19
40
5 30
2. Вычислите наиболее рациональным способом, применяя законы сложения:
2
5
1
3
4
1
6
5
15
22
32
7 2
 1  3  4 ; 2) 2  3  5  2  3 ; 3) 5  3  1  1  .
1)
15 13
5
26
9
14
14
9
24
33
48
24 3
3. Найдите разность:
59
37
2
1
1) 10  8 ; 2) 105  3 .
63
45
17
13
5
7
5
4.Сумму чисел 24
и 22 уменьшите на 7 . Сколькими способами это можно сделать?
24
15
6
79
67
5.Какое из чисел ближе к 1:
или
?
97
85
3
3
1 17
1 3 7
2
6.Выполните действие: а) (20  19 )  (17  17)  (2  ); б) 2  (   ).
4
4
2 24
2 5 10 15
1 2
6
3
3
1
1 1
1
1
1
1
: 12 ; г) (4  5 ) : 6 ; д) 4 : (11  5 ) ;е) (12  4 ) : (7  4 ) ;
2 3
57
19
4
4
3 4
2
6
2
6
7
1
7
1 8
7.Найдите значение выражения: а) 2  1  (2  (1  ));
15 12
90
2 45
7
5 11
б) (24  3 )  (21  ).
36
12 18
3
2
1
4
8. Решить уравнения: 5  (1  ((  х)  2)  2 .
7
5
2
7
3
7
3
1
1
1
5
14
(2  (1  ( х  )))  3
 5; 1  (2  ((  х)  1))  2
18
27
9
34
15
5
12
4
3
2
1
1
5  ( х  20)  8 ; (10  х) : 1  9 )
5
7
3
4
в) 8
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое число называют суммой положительных рациональных чисел?
2. Каким свойством обладает сложение положительных рациональных чисел? Доказать
эти свойства.
3. Что значит число а больше числа в вQ+?
4. Какое число называется разностью положительных рациональных чисел?
5. Докажите теорему о существовании и единственности разности.
6. Какая дробь называется правильной (неправильной, смешанным числом)?
Тема:Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними. Понятие
процента.
В чем сходство и различие операций над арифметическими действиями десятичных
и натуральных чисел? (Выделите отличительные черты).
Выполните задания:
195
записать в виде
260
десятичной. Разложив знаменатель этой дроби на простые множители, он получил, что
195
260=225 13, и сделал вывод, что дробь
можно записать в виде десятичной дроби.
260
Учитель оценил ответ учащегося как неправильный. Почему?
21 192 15 13
,
2. Какие из дробей
,
,
можно записать в виде десятичной?
28 375 24 20
500
6
2 3
12
3. Даны записи чисел: 0,40;
; 0,4;
; 5;
; ; 0,6;
. Сколько различных
100
3
3 5
12
чисел написано? Сколько среди этих чисел дробных?
4. Вычислите рациональным способом:
6,75 2  0,125  67,5
(81,624 : 4,8  4,505) 2  125  0,75
а)
;
б)
((0,44 2 : 0,88  3,53) 2  2,75 2 ) : 0,52
5,9 2  (1,03  1,89726 : 0,618) 2
5. Какой смысл имеют предложения:
1) Членские взносы члена профсоюза составляют 1 % его заработной платы.
2) Производительность труда возросла на 7 %.
3) Цена на радиоаппаратуру снизилась на 18 %.
6. Запишите следующие десятичные дроби в виде несократимых обыкновенных дробей:
0,125; 0,625; 0,1375; 0,2454.
1. Учащемуся было предложено установить, можно ли дробь
7.
Найти: а) 0,8 % от 60,5 м;
б) 2,5 % от 84,8 т.
2
1
% ее? в) 133 % ее?
8
3
9. Колхоз отвел под кукурузу три участка. Второй участок на 20 % больше первого, а
третий – на 20 % меньше второго. На сколько процентов второй участок больше
третьего?
Вопросы для самоконтроля:
1. Какиедроби называются десятичными?
2. Сформулируйте и докажите теорему о преобразовании обыкновенных дробей в
десятичные.
3. Сформулируйте свойства десятичных дробей.
4. Как сложить (вычесть) две десятичные дроби?
5. Как найти произведение (частное) двух десятичных дробей?
6. Какую часть числа называют процентом?
8.
Какую часть единицы составляют: а) 2,5 % ее?
б) 66
ТЕМА:Числовое выражение: определение, значение. Числовые равенства и
неравенства: определения, свойства, состав. Выражения с переменной.
Тождественные преобразования выражений. Тождество.
1. Сравните понятия, свойства числовых- равенств и неравенств.
2. Сравните понятия числового выражения и выражения с переменной
Выполните задания:
1. Прочитайте выражения:
1
3
а) 17 +15 ; б) 35,6-30,42; в) 6,8:17;
4
7
2
1
г) 15  16 ; д) 138:3+12,7; е) 1,5-(26,4:30); ж) 22(11,7+123,3);
5
4
1
3
д) ( 15  12 ) : 2.
3
4
2. Запишите в виде выражения:
а) сумма ста восьми и семидесяти пяти;
б) разность двадцати четырех и семи;
в) произведение двухсот сорока трех и пятнадцати;
г) частного пятисот сорока и шестидесяти.
3. Приведите примеры для учащихся 1-3 классов: а) числовых выражений; б)
числовых выражений, не имеющих смысла. Имеют ли значение приведенных вами
выражений: 1) вмножествеZ; 2) в множестве R?
4. Найдите значение числового выражения:
-2
5 3
3 16
(   )
(0,75) 2  (0,25) 2
8 16 32 17
; б)
а)
.
2
2
1
60
(0,3)  0,6  0,7  (0,7)
(5 : 1,6  3 : 2,5) 
2
69
5. Среди следующих записей укажите; а) числовые выражения; б) числовые равенства;
в)числовые неравенства:
1) 42:5; 2)32; 3)27; 4)7 16  3 ; 5) 12 ; 6)27-4= 20+3; 7) 13- 5<7, 7).-5< 2.
6. Установите , какие из следующих числовых равенств и неравенств истинны:
а)102 + 112 + 122 = 132 + 142;
б) 33 + 43 + 53 = 63;
1 2
1
1
 ) : (3)  6 : (6 );
14 7
13
3
г) 1,0905: 0,025 - 6,843,07 + 2,38 : 100 < 4,8 : (0,04 0,006).
7. Известно, что х> у - истинное неравенство. Будут ли истинны следующие
х у
неравенства: 2х > 2у; 2)   ; 3) 2х-7< 2у - 7; 4) - 2х-7 <-2у-7 ?
2 2
8. Как трактуются в начальном курсе - математики понятия числового равенства и
числового неравенства, если учащимся предлагается задание:
а) запиши два верных равенства и два верных неравенства, используя
выражения: 93: 30-6; 39; 30 – 3;
б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными:
4+23=18; 31-10-3 =24; 54-12+8= 34;
в) Поставь знаки действия так, чтобы получились верные равенства: 3 * 6 *
2=9;9*3* 6=18.
9. Какие из ниже приведенных записей являются выражениями с переменными:
в)(
а) 8+0,36; б) 21-(4+у); в) х+2у = 7; г) 32 : у +3-5у?
10. Установите, какова область определения выражений, если рассматривать их на
множестве действительных чисел: а) (3-у): 64; б) 64: (3-у); в) (5+х): (х-12).
11. Выясните, являются ли выражения 3(4-х) и 12-3х тождественно равными на
множестве: а) {1,2,3,4}; б) действительные числа.
12. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующего выражения:
5 (1-2х) +10х= 5-10х+10х=5.
13. Упростите выражение путем тождественных преобразований:
а) 6(2аb-3)+ 2a(6b-5); б) (12a-16b)-4(10a-4b).
14. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных
чисел: а) 3p+5m=5m+3p; б) 3p-5m=5m-3p;
в) 3p5m=5m3p;
г) 3p:5m=5m:3p.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое выражение называется числовым?
2. Какое число называется значением числового выражения?
3. Какие выражения не имеют смысла?
4. Каков порядок действия при вычислении значений числового выражения?
5. Какое равенство называют числовым?
6. Назовите свойства числовых равенств. Докажите их.
7. Какое неравенство называют числовым?
8. Какие неравенства называют одинакового противоположного смысла?
9. Назовите свойства числовых неравенств. Докажитеих.
10. Какие выражения называются выражениями с переменными?
11. Какие числа называются значениями переменной?
12. Что такое область определения выражения?
13. Какие выражения называются тождественно равными?
14. Что такое тождество?
15. Что такое тождественное преобразование выражений?
16. Какие выражения называются тождественно равными?
17. Что такое тождество?
18. Что называется тождественнымпреобразованием выражения?
ТЕМА: Уравнения и неравенства с одной переменной: определение, свойства
равносильных неравнств и их решение. Уравнение: с двумя переменными,
линии, окружности. Система (совокупность) уравнений: способы решений.
Системы и совокупности неравенств с одной переменной.
1. Сравните понятия: уравнение и неравенство.
2. Сравните понятия:
а) Уравнение с одной переменной и уравнения с двумя переменными.
б) Системы и совокупности уравнений.
3. Сравните понятия системы и совокупности неравенств.
Выполните задания:
1. Объясните решение следующих уравнений и неравенств, используя теоремы о
равносильности(множество их решений изобразите на числовой прямой для
6
9
12 х 2  15
неравенств): а)
;


1  2х 2х  1
4х2  1
3х 2  4 х  15
1 х
5  5х
10
50
2
 2

б) 1 
4
; в) 1 
; г)
 0.
2
3
х3 х  х6 х2
(7  2 х ) 2
2. Решите задачу и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их решения:
а) Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же
расстояние по течению, затратив на весь путь 14 ч. Определите собственную
скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч;
б) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В
середине пути он был задержан на 10 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч,
прибыл в пункт В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину
пути.
3. Докажите равносильность следующих пар уравнений с двумя неизвестными:
а) х2+у2+6х=8у-4
и х2+у2+6х-8у+4=0;
б) х+у=5х-2у-2у+1
и (х2+у2+1) (х+у)=(х2+у2+1) (5х-2у+1);
3 3
в) х -у +6х+8=9х+5х+9 и х3-у3+х=9х+1.
4. Напишите уравнение окружности с центром А (а;в) и радиусом R, если:
а) а=-4, в=0, R=10.
б) а=0, в=0, R=6.
5. Найдите на окружности х2+у2-3х-4у-4=0 точки, абсцисса которых равна 4.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется уравнением с двумя переменными?
2. Какая пара чисел называется решением уравнения с двумя переменными?
3. Что называется множеством решений уравнения с двумя переменными?
4. Что такое график уравнения?
5. Какие уравнения называются равносильными?
6. Сформулировать и доказать свойства (теоремы) равносильных уравнений с двумя
переменными.
7. Какое уравнение называется уравнением окружности?
8. Запишите уравнение окружности.
9. Что называется системой уравнений?
10. Что значит решить систему уравнений?
11. Какие способы решений систем уравнений вы знаете?
12. Что является геометрическим решением системы уравнений?
13. Что называется совокупностью уравнений?
14. Что называется решением совокупности уравнений?
15. Какое множество называется множеством решений системы (совокупности)
уравнений?
16. Что называется системой (совокупностью) неравенств?
17. Что значит решить систему (совокупность) неравенств?
18. Какие способы решения систем (совокупностей) неравенств вы знаете?
Тема:Функция: способы задания, свойства, график, виды функции
1. Выявите различные способы задания функций.
2. Выделите отличительные и схожие признаки функций: а) линейной и прямой
пропорциональности; б) прямой и обратной пропорциональности.
Выполните задание:
1. Приведите примеры трех упражнений из учебников математики начальных классов,
выполнении которых может быть осуществлена пропедевтика понятия функции.
2. Запишите выражение линейной функции, если заданы к и значение у1 этой функции
2
в точке х1: а) к=2 х1=-3 у1=4; б) к= х1=4 у1=2. Постройте графики этих
3
функций.
5
3. Постройте графики функции: а) у=
, хХ=-2;-1;0;1;2
х3
б) у=2х+7, х-2;5)
4. Графики на рис. 1 разбиты на классы: а,в,в,е,г,д. Какие свойства
соответствующих функций положены в основу этой классификации?
У
уу
Х
а)
хх
б)
уу
У
Х
г)
в)
хх
д)
е)
5.Постройте график функции: а) у=-3х; б) у=4х+1; в) у=
6.Постройте графики функций: а) у=
6
.
х
5
; б) у=-2 х +3.
х
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое соответствие называется функцией?
2. Какая функция называется числовой?
3. Какое множество называется областью определения (множеством значения)?
4. Что такое аргумент (значение функции)?
5. Какие способы задания функции вы знаете?
6. Какими свойствами обладает функция?
7. Какая функция называется линейной (прямой или обратной пропорциональности)?
8. Назовите свойства линейной (прямой или обратной пропорциональности) функции?
9. Какое множество называется графиком функции?
10. Постройте график линейной (прямой или обратной пропорциональности) функции.
11. Что такое угловой коэффициент? Как его вычислить?