Теория графов - Тюменская государственная академия мировой

Государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Тюменской области
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
2.5. Реализация образовательных программ
СМК – РОП - РУП - 2.5.40 - 2013
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
СОГЛАСОВАНО
Проректор по учебной работе
_______________ Т.А. Кольцова
"____" _______________ 2013 г.
УТВЕРЖДЕНО
Решением Учёного совета
(протокол № 2 от 25.09.2013 г.)
С. Д. ЗАХАРОВ
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Рабочая учебная программа
Направление подготовки
230700.62 «Прикладная информатика»
Профиль подготовки
Экономика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная, заочная
Тюмень
2013
ББК 22.176
Т33
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: ГАОУ
ВПО ТО «ТГАМЭУП». 2013. – 20 с.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория графов» разработана в
соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом
высшего профессионального образования и учебным планом, рекомендациями и
ПрООП ВПО по направлению 230700.62 «Прикладная информатика» профиль
«Экономика».
Рабочая учебная программа включает цели освоения дисциплины; место дисциплины в структуре ООП бакалавриата; компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины; структуру и содержание дисциплины; образовательные технологии; учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы студентов; оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины; учебно-методическое и
информационное обеспечение дисциплины; материально-техническое обеспечение дисциплины.
Одобрено на заседании кафедры математики и информатики (протокол № 12
от 24.05.2013 г.), печатается по решению Учебно-методического совета (протокол
№ 1 от 11.09. 2013 г.)
Рецензенты:
В. В. Сергеев, к.ф.-м.н., доцент кафедры математики и информатики
«ТГАМЭУП»;
Д. И. Иванов, к.ф-м.н, доцент кафедры алгебры и математической логики
ИМКН ТюмГУ.
Автор-составитель к.ф.-м.н. доцент С. Д. Захаров
© «ТГАМЭУП», 2013
© Захаров С.Д., 2013
2
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Теория графов» является получение студентами теоретических знаний, а также приобретение необходимых практических навыков по основам теории графов и ее применений на практике.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Теория графов» является одной из дисциплин базовой (обязательной)
части информационно-правового цикла.
Студент должен:
Знать:
 Математику, дискретную математику, теорию вероятностей и математическую статистику, теорию систем
Уметь:
 применять имеющиеся знания для визуализации графиков прохождения и сопровождения проектов
Студент должен быть готов к получению теоретических знаний, а также приобретению необходимых практических навыков по основам теории графов.
Полученные студентами знания способствуют усвоению всех курсов профессионального цикла.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины «Теория графов» формируются элементы следующих общекультурных и профессиональных компетенций:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
 использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и находить пути
их достижения в условиях формирования и развития информационного общества (ОК-1);
 логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, владеть навыками ведения дискуссии и полемики (ОК-2);
 самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремится к саморазвитию (ОК-5);
 работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-8);
 при решении профессиональных задач анализировать социально-экономичес-кие
проблемы и процессы с применением методов системного анализа и математического
моделирования (ПК-2);
 проводить оценку экономических затрат на проекты по информатизации и автоматизации решения прикладных задач (ПК-15);
 применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
 применять системный подход и математические методы в формализации решения
прикладных задач (ПК-21);
Знать:
 основы графического изображения информации при решении научно-исследовательских и практических задач;
 основные понятия и определениями теории графов;
 методологические основы формирования изучения графов и их свойств при исследовании и построении систем;
Уметь:
3
 применять имеющиеся знания для решения практических задач;
 применять новые технологии проектирования и анализа систем.
Владеть:
 основами применения теории графов при решении задач на ЭВМ;
 использованиием графов при программировании;
 новыми технологиями применения теории графов в теории игр, социологии, проектировании сетей и других прикладных задач.
4. Структура и содержание дисциплины «Теория графов»
очная форма обучения
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц или 180 часа, в т.ч.
лекции - 36 час, лабораторные - 36 час, самостоятельная работа - 108 час., в том числе
экзамен – 27 час. 6 семестр.
1-18
9
11
9
11
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
14
27
180
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
36
36
СРС
Всего
1
2-3
3-4
4-5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17-18
Практич.
занятия
ИТОГО
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
Виды учебной работы, Формы текущего конвключая СРС и трудотроля успеваемости
емкость (в часах)
(по неделям семестра)
Лекции
Тема 1. Введение
Тема 2. Графы
Тема 3. Блоки
Тема 4. Деревья
Тема 5. Связность
Тема 6. Разбиения
Тема 7. Обходы графов
Тема 8. Реберные графы
Тема 9. Факторизация
Тема 10. Покрытия
Тема 11. Планарность
Тема 12. Раскраски
Тема 13. Матрицы
Тема 14. Группы
Тема 15. Перечисления
Тема 16. Орграфы
Неделя семестра
Раздел
дисциплины
(темы)
Семестр
Структура дисциплины
очная форма обучения
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
27
108
Форма промежуточной аттестации (по
семестрам)
Опрос
Практическая работа
Контрольная работа
Опрос, тестирование
Опрос
Контрольная работа
Опрос
Практическая работа
Контрольная работа
Опрос, тестирование
Опрос
Контрольная работа
Опрос, тестирование
Опрос
Опрос, тестирование
Контрольная работа
Экзамен
Содержание дисциплины
Тема 1. Введение. Общая характеристика дисциплины. Цели, задачи и методы дисциплины. Связи с другими дисциплинами. Место дисциплины в профессиональной деятельности специалиста. Задача о кенигсбергских мостах. Электрические цепи. Гипотеза
четырех красок. Теория графов в двадцатом веке.
4
Тема 2. Графы. Типы графов. Маршруты и связность. Степени. Задача Рамсея. Экстремальные графы. Графы пересечений. Операции над графами.
Тема 3. Блоки. Точки сочленения, мосты и блоки. Графы блоков и графы точек сочленения.
Тема 4. Деревья. Описание деревьев. Центры и центроиды. Деревья блоков и точек сочленения. Независимые циклы и коциклы. Матроиды.
Тема 5. Связность. Связность и реберная связность. Графические варианты теоремы
Менгера.
Тема 6. Разбиения. Разбиения. Графические разбиения.
Тема 7. Обходы графов. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы.
Тема 8. Реберные графы. Некоторые свойства реберных графов. Характеризация реберных графов. Специальные реберные графы. Реберные графы и обходы. Тотальные
графы.
Тема 9. Факторизация. 1-факторизация. 2-факторизация. Древесность.
Тема 10. Покрытия. Покрытия и независимость. Критические вершины и ребра. Реберное ядро.
Тема 11. Планарность. Плоские и планарные графы. Внешнепланарные графы. Теорема
Понтрягина-Куратовского. Характеризации планарных графов. Род, толщина, крупность, число скрещиваний.
Тема 12. Раскраски. Хроматическое число. Теорема о пяти красках. Теорема о четырех
красках. Однозначно раскрашиваемые графы. Критические графы. Гомоморфизмы.
Хроматический многочлен.
Тема 13. Матрицы. Матрица смежностей. Матрица инцинденций. Матрица циклов. Дополнительные свойства матроидов.
Тема 14. Группы. Группа автоморфизмов графа. Операции на группах подстановок.
Графы с данной группой. Симметрические графы.
Тема 15. Перечисления. Помеченные графы. Теорема Пойа. Перечисление графов. Перечисление деревьев. Теорема перечисления степенной группы. Решенные и нерешенные задачи перечисления графов.
Тема 16. Орграфы. Орграфы и соединимость. Ориентированная двойственность и бесконтурные орграфы. Орграфы и матрицы. Турниры.
5. Образовательные технологии
Учебный процесс происходит с использованием разнообразных методов организации и осуществления учебно-познавательной деятельности (словесные, наглядные и
практические методы передачи информации, проблемные лекции и др.); стимулирования
и мотивации учебно-познавательной деятельности (дискуссии и др.); контроля и самоконтроля (индивидуального и фронтального, устного и письменного опроса, экзамена).
Широко (более 20% аудиторных занятий) используются активные и интерактивные
формы проведения занятий: метод проектов, мультимедийные ресурсы, тестирование.
5
Методическое обеспечение интерактивных форм проведения занятий находится в
составе учебно-методического комплекса дисциплины на кафедре.
Использование активных и интерактивных форм обучения
№
1
2
3
4
тема
форма
Тема 2. Графы
Тема 4. Деревья
Проблемная лекция
Проблемная лекция, электронное
тестирование
Тема 13. Матрицы
Взаимопроверка
самостоятельной
работы
Тема 16. Орграфы
Взаимопроверка
самостоятельной
работы, электронное тестирование
Итого часов аудиторных
Всего аудиторных часов по дисциплине
Процент использования активных и интерактивных форм
Всего от общего количества аудиторных часов
часы
лек.
практ.
4
2
4
2
4
6
36
17%
22%
10
36
28%
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов реализуется в разных видах. Она включает подготовку студентов к семинарским (практическим) занятиям. Для этого студент изучает
лекции преподавателя, основную, дополнительную литературу, Интернет-ресурсы, рекомендованные в разделе 8 «Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины». Самостоятельная работа предусматривает также решение во внеучебное время практических заданий, приведённых в разделе 7 «Оценочные средства для текущего
контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины». К
самостоятельной работе студента относится подготовка к зачёту. Вопросы к зачёту приведены также в разделе 7. Обязательным является решение студентом в течение семестра домашней расчётной работы.
Самостоятельная работа студентов предполагает изучение теоретического и практического материала по актуальным вопросам дисциплины и его обсуждение на практических и семинарских занятиях.
Графики СРС очной формы обучения
Разделы
Тема1.
Тема 2.
Тема 3
Тема 4
Тема 5
Содержание СРС
часы
Введение
Графы
Блоки
Деревья
Связность
5
5
5
5
5
6
Формы
контроля СРС
0-2
0-2 Устный опрос, практическая работа
0-2
1 контрольная точка
25
0-6
Тема 6
Разбиения
Тема 7.
Обходы графов
Тема 8
Реберные графы
Тема 9
Факторизация
Тема 10
Покрытия
Тема 11. Планарность
2 контрольная точка
Тема 12. Раскраски
Тема 13. Матрицы
Тема 14. Группы
Тема 15. Перечисления
Тема 16. Орграфы
3 контрольная точка
Итого баллов
Подготовка к экзамену
Итого часов
5
5
5
5
5
5
30
5
5
5
5
6
30
0-2
27
108
0-2
0-2
Устный опрос, практическая работа, контрольное тестирование
0-6
0-2 Устный опрос, тестирование
0-2
Устный опрос, самостоя0-2 тельная работа
0-6
экзамен
Методические указания по подготовке к устному опросу
Самостоятельная работа студентов включает подготовку к устному опросу на лабораторных занятиях. Для этого студент изучает лекции преподавателя, основную и дополнительную литературу, публикации, информацию из Интернет-ресурсов.
Тема и вопросы к лабораторным занятиям, вопросы для самоконтроля содержатся в рабочей учебной программе и доводятся до студентов заранее. Эффективность подготовки студентов к устному опросу зависит от качества ознакомления с рекомендованной литературой.
Для подготовки к устному опросу, блиц-опросу студенту необходимо ознакомиться с материалом, посвященным теме лабораторного занятия, в учебнике или другой рекомендованной
литературе, записях с лекционного занятия, обратить внимание на усвоение основных понятий дисциплины "Теория графов", выявить неясные вопросы и подобрать дополнительную
литературу для их освещения.
В среднем, подготовка к устному опросу по одному семинарскому занятию занимает от 1
до 3 часов в зависимости от сложности темы и особенностей организации студентом своей
самостоятельной работы.
Участие студента в устном опросе (правильный и полный ответ) оценивается в 1 балл.
Методические указания по подготовке к
выполнению самостоятельной контрольной работы
К самостоятельной работе студента относится выполнение контрольной работы. При
подготовке к выполнению контрольной работы необходимо пользоваться первоисточниками, учебниками, дополнительной литературой. Подготовка контрольной работы позволяет
углубить и закрепить знания по дисциплине, получить навыки проектно-исследовательской
деятельности, развить умение самостоятельного анализа практических ситуаций и их решения.
До выполнения контрольной работы студентам необходимо ознакомиться с программой дисциплины "Теория графов", относящимся к теме работы. С точки зрения содержания
контрольная работа должна отвечать следующим требованиям:
- контрольная работа должна быть выполнена самостоятельно, тождественные работы
не засчитываются;
- в работе должны быть реализованы все функции, перечисленные в задании, с помощью любого алгоритма.
7
В зависимости от качества подготовки студента к текущим аудиторным занятиям,
время на подготовку к контрольной работе варьируется от 2 до 4 часов.
Задания для контрольной работы содержатся в рабочей учебной программе. Оценивается контрольная работа от 0 до 2 баллов. Баллы учитываются в работе на семинарских занятиях
Методические указания по подготовке к выполнению практической работы
Практическая работа позволяет применить полученный объем знаний на практике.
В ходе подготовки к практической работе рекомендуется использовать данный УМК по
дисциплине. Практическая работа выполняется студентом во время лабораторных занятий.
Практическая работа предполагает дополнительное изучение теоретического и
практического материала.
Оценивается самостоятельная практическая работа от1 до 5 баллов. Балы учитываются в работе на лабораторных занятиях.
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Введение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Контрольные вопросы
Когда возникла теория графов как дисциплина?
Исторически первая задача по теории графов.
Теория графов и электрические цепи.
Теория графов в химии.
Игры на графах.
Раскраски карт.
Теория графов в психологии.
Теория графов и программирование.
Теория графов и физика.
Задачи и упражнения
1. Написать эссе на тему «История теории графов».
2. Написать эссе на тему «Личность, внесшая большой вклад в развитие теории графов».
3. Цепи Маркова.
4. Задача о кёнигсбергских мостах.
Тема 2. Графы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Контрольные вопросы
Типы графов.
Маршруты
Связность.
Степени вершин. Полустепени.
Задача Рамсея.
Экстремальные графы.
Графы пересечений.
8
8. Операции над графами.
Задачи и упражнения
1. Нарисовать все графы с 5 вершинами.
2. Восстановить
граф
G
по
его
подграфам
G1  K 4  x, G2  P3  K1, G3  K1,3 , G4  G5  K1,3  x
Gi  G  vi ,
где
3. Доказать, что в связном графе любые две длиннейшие простые цепи имеют общую
вершину.
4. Найти экстремальные графы, не содержащие K 4
5. Доказать или опровергнуть: если G1 ,G2 - регулярные графы, то таковы же графы
G1  G2 , G1  G2 , G1G2 .
6. Доказать или опровергнуть: если G1 ,G2 - двудольные графы, то таковы же графы
G1  G2 , G1  G2 , G1G2 .
G1 ,G2
7. Доказать
или
опровергнуть:
если
–
графы,
то
 
G1  G2  G1  G2 , G1  G2  G1  G2 , G1G2   G1 G2 .
Тема 3. Блоки
Контрольные вопросы
1. Точки сочленения,
2. Мосты и блоки.
3. Графы блоков
4. Графы точек сочленения.
Задачи и упражнения
1. Каково наибольшее число точек сочленения в графе с р вершинами?
2. Доказать, что кубический граф имеет точку сочленения тогда и только тогда, когда он
имеет мост.
3. Квадрат каждого нетривиального связного графа есть блок.
4. Пусть G – связный граф, имеющий по крайней мере три вершины. Следующие
утверждения эквивалентны:
a. В G нет мостов.
b. Любые две вершины графа G лежат на некотором общем цикле
c. Любая вершина и любое ребро графа G лежат на некотором общем цикле
d. Любые два ребра графа G лежат на некотором общем цикле
e. Для любой пары вершин и любого ребра графа G существует цепь, соединяющая эти
вершины и содержащая данное ребро
f. Для любой пары вершин и любого ребра графа G существует простая цепь, соединяющая эти вершины и не содержащая данное ребро
g. Для любых трех вершин графа G существует цепь, соединяющая любые две вершины
из них и не содержащая третью
Тема 4. Деревья
1.
2.
3.
4.
5.
Контрольные вопросы
Описание деревьев.
Центры и центроиды.
Деревья блоков и точек сочленения.
Независимые циклы и коциклы.
Матроиды.
9
Задачи и упражнения
1. Нарисуйте все деревья с 9 вершинами.
2. Каждое дерево – двудольный граф. Какие деревья являются полными двудольными
графами?
3. Следующие утверждения эквивалентны:
a. G – лес
b. Любое ребро графа G – мост
c. Любой блок графа G есть K 2
d. Любое непустое пересечение двух связных подграфов графа G связно
4. Пересечение простого цикла и коцикла содержит четное число ребер
5. В каждом связном графе имеется остов
Тема 5. Связность
Контрольные вопросы
Связность
Реберная связность.
Теорема Менгера.
Графические варианты теоремы Менгера.
Задачи и упражнения
1. Связность октаэдра K 2  C4 равна 4, связность квадрата многоугольника Cn , n  5
также равна 4.
2. Не существует трехсвязных графов с семью ребрами.
3. Построить граф с вершинами s и t, для которого функция связности равна (0,5), (1,3),
(2,2), (3,0).
4. Теорема Форда-Фалкерсона.
1.
2.
3.
4.
Тема 6. Разбиения
1.
2.
1.
a)
b)
c)
d)
2.
3.
Контрольные вопросы
Разбиения.
Графические разбиения.
Задачи и упражнения
Какие из следующих разбиений являются графическими?
(4,3,3,3,2,2,2,1)
(8,7,6,5,4,3,2,2,1)
(5,5,5,3,3,3,3,3)
(5,4,3,2,1,1,1,1,1,1,1,1)
Нарисовать все графы, имеющие разбиение (5,5,3,3,2,2).
Построить все регулярные графы с 6 вершинами.
Тема 7. Обходы графов
Контрольные вопросы
1. Эйлеровы графы.
2. Гамильтоновы графы.
Задачи и упражнения
1. Привести примеры эйлеровых графов.
2. Привести примеры гамильтоновых графов.
3. Задача об обходе шахматной доски ходом коня.
4. Если каждый блок связного графа эйлеров, то весь граф эйлеров и наоборот.
10
5. Доказать или опровергнуть: если граф содержит порожденный тэта-подграф, то он
негамильтонов.
6. Сколько остовных простых циклов имеется в полных двудольных графах K 3,3 и
K 4,4 ?
p2  3 p  6
, то G - гамильтонов.
2
8. Рассмотрим такие негамильтоновы графы G, что каждый граф G  v гамильтонов.
7. Если G есть (p,q)-граф, у которого p  3 и q 
Среди них существует единственный граф с 10 вершинами и нет графов с меньшим числом вершин.
1.
2.
3.
4.
5.
Тема 8. Реберные графы
Контрольные вопросы
Свойства реберных графов.
Характеризация реберных графов.
Специальные реберные графы.
Реберные графы и обходы.
Тотальные графы
Задачи и упражнения
1. При каких условиях ребра реберного графа можно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы каждая вершина принадлежала в точности двум из подграфов?
2. Найти условие, при котором связный граф имеет регулярный реберный граф.
3. Граф L(G) гамильтонов тогда и только тогда, когда граф G содержит замкнутую цепь,
имеющую по крайней мере одну вершину, инциндентную каждому ребру графа G.
Тема 9. Факторизация
Контрольные вопросы
1. 1-факторизация.
2. 2-факторизация.
3. Древесность.
Задачи и упражнения
1. Граф K 4 имеет единственную 1-факторизацию. Найти число 1- факторизаций графов
K 3,3 и K 6 .
2. Указать 1-факторизацию графа K 8 .
3. Число 1-факторов графа K 2 n равно
(2n)!
2 n n!
.
4. Представить граф K 9 в виде суммы четырех остовных простых циклов.
5. Является ли граф Петерсена гамильтоновым?
6. Привести минимальное разложение графа K 4,4 на остовные леса.
Тема 10. Покрытия
Контрольные вопросы
1. Покрытия и независимость.
2. Критические вершины и ребра.
3. Реберное ядро.
11
Задачи и упражнения
1. Доказать или опровергнуть: каждое вершинное покрытие графа содержит наименьшее вершинное покрытие.
2. Доказать или опровергнуть: каждое независимое множество ребер содержится в
наибольшем независимом множестве ребер.
3. Граф шахматного ферзя имеет 64 клетки шахматной доски в качестве множества
вершин и две его вершины смежны тогда и только тогда, когда клетка, соответствующая
одной врешине, достигается ферзем за один ход из клетки, соответствующей другой
вершине. Аналогично определяются графы ладьи, слона, коня, ладьи и короля. Вычислить  00 для этих графов.
4. Доказать или опровергнуть: каждый двусвязный реберно-критический граф гамильтонов.
5. Дерево Т равно своему реберному ядру тогда и только тогда, когда Т - дерево блоков
и точек сочленения.
Тема 11. Планарность
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Контрольные вопросы
Плоские и планарные графы.
Внешнепланарные графы.
Теорема Понтрягина-Куратовского.
Характеризации планарных графов.
Род.
Толщина.
Крупность.
Число скрещиваний.
Задачи и упражнения
1. Если  p1 , q1  -граф и  p2 , q2  -граф гомеоморфны, то p1  q2  p2  q1 .
2. Каждый плоский эйлеров граф содержит эйлерову цепь, не имеющую самопересечений.
3. Трехсвязный граф с p  6 вершинами планарен тогда и только тогда, когда в нем нет
подграфов, гомеоморфных графу K 3,3 .
4. Любой 4-связный планарный граф гамильтонов.
5. Любой 5-связный планарный граф имеет по крайней мере 12 вершин. Построить один
из них.
6. Не существует 6-связных планарных графов.
7. Доказать или опровергнуть: каждый связный непланарный граф стягивается к графу
K 5 или K 3,3 .
8. Найти род и число скрещиваний графа Петерсена.
9. Привести пример планарного графа с древесностью 3.
10. Уложить куб Q4 на поверхности тора.
Тема 12. Раскраски
1.
2.
3.
4.
5.
Контрольные вопросы
Хроматическое число.
Теорема о пяти красках.
Теорема о четырех красках.
Однозначно раскрашиваемые графы.
Критические графы.
12
6. Гомоморфизмы.
7. Хроматический многочлен.
Задачи и упражнения
1. Если длина длиннейшего нечетного простого цикла в графе G равна n, n3, то
 G   n  1.
2. Если вершины графа перенумерованы v1 , v2 ,...,v p так, что d1  d 2  ...  d p , то
 G   max min i, d i  1.
i
3. Хроматическое число конъюнкции двух графов не превышает хроматических чисел
этих графов.
4. Каждая внешнеплоская карта 3-раскрашиваема.
5. Каждая 4-связная плоская карта 4-раскрашиваема.
6. Найти хроматические классы графов K p , K m, n .
7. Для любого графа, допускающего укладку на торе, хроматическое число не превосходит 7.
8. Планарные графы с не более 41 вершиной 4-раскрашиваемы.
1.
2.
3.
4.
Тема 13. Матрицы
Контрольные вопросы
Матрица смежностей.
Матрица инцинденций.
Матрица циклов.
Дополнительные свойства матроидов.
Задачи и упражнения
1. Охарактеризовать матрицу смежностей двудольного графа.
2. Граф G двудольный тогда и только тогда, когда для любого нечетного числа n все
диагональные элементы матрицы A n равны 0.
3. Пусть G – связный граф, A – его матрица смежностей. Что можно сказать о матрице
A, если vi - точка сочленения?
4. Пусть G – связный граф, A – его матрица смежностей. Что можно сказать о матрице
A, если vi v j - мост?
5. Если c n (G ) - число простых n-циклов графа G, у которого A – матрица смежностей,
1
6
то c3 (G )  tr ( A3 ) .
6. Графический матроид М эйлеров тогда и только тогда, когда М – матроид простых
циклов эйлерова графа.
7. Эйлеров матроид не является графическим.
1.
2.
3.
4.
Тема 14. Группы
Контрольные вопросы
Группа автоморфизмов графа.
Операции на группах подстановок.
Графы с данной группой.
Симметрические графы.
13
Задачи и упражнения
1. Найти группы следующих графов
a. 3K 2
b. . K 2  C2
c. K m, n
d. K1,2 K 2 
e. K 4  C4
2. Если в графе G есть вершина, не принадлежащая простому циклу длиной 4, то G –
простой граф.
3. Построить 2 графа с 9 вершинами и 15 ребрами, у которых группой автоморфизмов
является циклическая группа порядка 3.
4. Построить связный граф с 11 вершинами, у которого группой автоморфизмов является циклическая группа порядка 6.
5. Построить граф с 14 вершинами, у которого группой автоморфизмов является циклическая группа порядка 7.
6. Группа (автоморфизмов) графа Петерсена идентична реберной группе графа K 5 .
7. Построить кубический граф, у которого группой автоморфизмов является циклическая группа порядка 3.
8. Единственный связный граф G, у которого группа автоморфизмов изоморфна группе
S n , - это
a. K n , если G имеет n вершин;
b. K1, n , если G имеет n+1 вершин;
c. K1  K1, n , если G имеет n+2 вершин.
Тема 15. Перечисления
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
a.
b.
c.
Контрольные вопросы
Помеченные графы.
Теорема Пойа.
Перечисление графов.
Перечисление деревьев.
Теорема перечисления степенной группы.
Решенные и нерешенные задачи перечисления графов.
Задачи и упражнения
Сколькими способами можно пометить графы
K3  K 2
K3  K 2
K1,2 K 2 
2. Число разбиений числа n на не более m слагаемых равно коэффициенту при x n в


разложении Z  S m ,
1 
.
1 x 
 2  и g ( x) . Проверить полученный результат по таблицам.
3. Вычислить Z S5
5
14
4. Найти перечисляющий ряд для графов, имеющих один простой цикл.
5. Найти числа помеченных деревьев с корнем; с висячим корнем.
6. Пусть g ( x, y ) 

 g p x  y p - производящая функция для графов, а
p 1
дящая функция для связных графов. Тогда g ( x, y )  exp
c( x, y) - произво-
 r cx r , y r .
 1
r 1
7. Определить число s p самодополнительных графов для p=8 и 9.
Тема 16. Орграфы
1.
2.
3.
4.
Контрольные вопросы
Орграфы и соединимость.
Ориентированная двойственность и бесконтурные орграфы.
Орграфы и матрицы.
Турниры.
Задачи и упражнения
1. Орграф называется строго слабым, если он слабый и не односторонний; строго односторонним, если он односторонний и не сильный. Пусть C0 – класс всех несвязных орграфов, C1 – класс всех строго слабых орграфов, C2 – класс всех строго односторонних
орграфов, C3 – класс всех сильных орграфов. Тогда максимум и минимум числа q дуг
среди всех орграфов с p вершинами, относящихся по соединимости к категории
C j , j  0,1,2,3 , можно найти в таблице
Категория Наименьшее число дуг Наибольшее число дуг
0
0
(p – 1)( p – 2)
1
(p – 1)
(p – 1)( p – 2)
2
(p – 1)
(p – 1)2
3
p
p(p – 1)2
2. Ни один строго слабый орграф не содержит вершину, удаление которой приводит к
сильному орграфу.
3. Орграф с данными последовательностями полустепеней исхода s1 , s2 ,..., s p , где




p  1  s1  s2  ...  s p и полустепеней захода t1 , t 2 ,...,t p , где t j  p  1 , существует
тогда и только тогда, когда  si   ti и для любого целого числа k  p имеет место
неравенство
k
k
p
i 1
i 1
i  k 1
 si   min k  1, ti    min k , ti .
4. Реберный орграф L(D) имеет множество всех дуг данного орграфа D в качестве множества вершин, и две его вершины х и у смежны тогда и только тогда, когда дуги х и у
порождают маршрут в орграфе D. Выразить число вершин и число дуг орграфа L(D) через соответствующие величины орграфа D.
5. Число эйлеровых путей орграфа D равно числу гамильтоновых контуров реберного
орграфа L(D).
6. Ориентацией графа называется приписывание ориентации каждому ребру. Граф имеет сильную связную ориентацию тогда и только тогда, когда он связен и не содержит
мостов.
15
7. Любая ориентация n-хроматического графа содержит простой путь длины n-1.
8. Набор всех полустепеней исхода si турнира удовлетворяет равенству
 si2    p  si 2 .
9. Группа изоморфна вершинной группе некоторого турнира тогда и только тогда, когда
она имеет нечетный порядок.
1.
0

1
A  0

0
1

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Граф задан своей матрицей смежности
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1

1 .
1

1
0 
Его геометрическое изображение
1)
2)
3)
4)
2)
Кратчайшим путем между вершинами S и T в графе является
1) S-A-B-T
2) S-B-T
3) S-A-C-T
4) S-A-C-B-T
3. Граф, заданный списком ребер M={(1,2), (1,4), (1,5), (1,6), (2,6), (2,4), (2,5), (3,4),
(3,5), (3,6), (4,5)}
16
a.
b.
c.
d.
4.
эйлеров, планарный
не эйлеров, планарный
эйлеров, не планарный
не эйлеров, не планарный
Максимальный поток в сети
a. 15
b. 14
c. 16
d. 13
5. Петлей называется:
a. Дуга, соединяющая три вершины
b. Дуга, соединяющая вершину саму с собой
c. Ребро, соединяющее две висячие вершины
d. Ребро, соединяющее вершину саму с собой
6. Что такое удаление дуги из графа?
a. Удаление всех вершин, инциндентных этой дуге, вместе с этой дугой
b. Удаление дуги, вершины остаются в графе
c. Удаление всех дуг, инциндетных данной дуге
d. Удаление всех дуг и вершин, инциндентных данной дуге
7. Что такое эксцентриситет вершины?
a. Расстояние от данной вершины до наиболее удаленной от нее
b. Расстояние от данной вершины до наиболее близкой от нее
c. Наибольшее расстояние между вершинами в графе
d. Наименьшее расстояние между вершинами в графе
8. Какую задачу решает алгоритм Форда-Беллмана?
a. Поиск кратчайшего остова
b. Задачу коммивояжера
c. Поиск кратчайшего маршрута от фиксированной вершины
d. Находит пропускную способность сети
9. Чему равно хроматическое число двудольного графа?
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
10. Что обозначается через K n ?
1) Цепь длиной n.
3) Полный граф на n вершинах.
2) Простой цикл длины n.
4) n-связный граф.
Вопросы к экзамену
1.
2.
3.
4.
Типы графов.
Маршруты и связность.
Степени.
Задача Рамсея.
17
5. Экстремальные графы.
6. Графы пересечений.
7. Операции над графами.
8. Точки сочленения, мосты и блоки.
9. Графы блоков и графы точек сочленения.
10. Описание деревьев.
11. Центры и центроиды.
12. Деревья блоков и точек сочленения.
13. Независимые циклы и коциклы.
14. Матроиды.
15. Связность и реберная связность.
16. Теорема Менгера.
17. Графические варианты теоремы Менгера.
18. Разбиения.
19. Графические разбиения.
20. Эйлеровы графы.
21. Гамильтоновы графы.
22. Характеризация реберных графов.
23. Реберные графы и обходы.
24. 1-факторизация.
25. 2-факторизация.
26. Древесность.
27. Покрытия и независимость.
28. Критические вершины и ребра.
29. Реберное ядро.
30. Плоские и планарные графы.
31. Теорема Понтрягина-Куратовского.
32. Характеризации планарных графов.
33. Род, толщина, крупность, число скрещиваний.
34. Хроматическое число.
35. Теорема о пяти красках.
36. Теорема о четырех красках.
37. Хроматический многочлен.
38. Матрица смежностей.
39. Матрица инцинденций.
40. Матрица циклов.
41. Группа автоморфизмов графа.
42. Операции на группах подстановок.
43. Графы с данной группой.
44. Симметрические графы.
45. Помеченные графы.
46. Перечисление графов.
47. Перечисление деревьев.
48. Теорема перечисления степенной группы.
49. Орграфы и соединимость.
50. Ориентированная двойственность и бесконтурные орграфы.
51. Орграфы и матрицы.
52. Турниры.
18
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
основная
1. Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика [
текст]:Учебник/Ю.А. Аляев, С.Ф. Тюрин.-М.: Финансы и статистика, 2006.-368 с.
2. Грешилов
А.А. Прикладные задачи математического программирования
[текст]:Учеб. пособие/А.А. Грешилов.-2-е изд., доп.М.:Логос,2006.-288 с.
3.
Захаров С. Д.Дискретная математика [текст]:Учеб.-метод. комплекс для студ.
спец. 080801 "Прикладная математика в экономике" оч. и заоч. форм обуч./Авт.-сост.
С.Д. Захаров.Тюмень: ТГИМЭУП,2007.-28 с.
4. Захаров С.Д.Теория графов [текст]:Учеб.-метод. комплекс для студ. спец. 080801
"ПИвЭ" оч. и заоч. форм обуч./Авт.- сост. С.Д. Захаров.-Тюмень:ТГИМЭУП, 2007.-20 с.
Игошин В.И.Математическая логика и теория алгоритмов:уч. пособие.-3-е изд., стер.М.: Академия, 2008.-448 с.
5. Новиков Ф.А. Дискретная математика для програмистов [текст: Учеб. пособие/Ф.А.
Новиков.-2-е изд.-СПб.:Питер,2007.-364 с -(Учебник для вузов)
дополнительная
5. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974.
6. Белов В.В. и др. Теория графов. М.: Высшая школа, 1976.
7. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. М.: Наука, 1992.
8. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. – М.: Физматлит,
2000.
9. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И.
Тышкевич. М.: Наука, 1990.
10. Оре О. Теория графов. М.: наука, 1980.
11. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.
12. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.: ИНФРА-М, Новосибирск, НГТУ, 2002.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Аудиторные занятия и СРС по дисциплине «Теория графов» проходят в аудиториях, в том числе, оборудованных мультимедийными средствами обучения, в компьютерных классах, обеспечивающих доступ к сетям типа Интернет.
Оглавление
1. Цели освоения дисциплины ................................................................................................... 3
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата ........................................................... 3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате ................................................. 3
освоения дисциплины ................................................................................................................. 3
4. Структура и содержание дисциплины «Теория графов» .................................................... 4
5. Образовательные технологии ................................................................................................ 5
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов ......................... 6
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, ............................................. 8
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины .............................................. 8
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ............................ 19
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ...................................................... 19
19
Сергей Дмитриевич Захаров
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Рабочая учебная программа
для студентов направления 230700.62 Прикладная информатика
профиля «Экономика»
очной и заочной форм обучения
(сохранена редакция автора-составителя)
Ответственный за выпуск к.ф-м.н., доцент С.Д. Захаров
Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman.
Тираж 5. Объем 1,16 у.-п.л.
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
625051, г. Тюмень, ул. 30 лет Победы, 102
Отпечатано в лаборатории множительной техники «ТГАМЭУП»
20