Теорема Дилуорсаx

Теорема Дилуорса
А) Назовем цепью множество попарно сравнимых
элементов, а антицепью – множество попарно несравнимых элементов. Диаметром назовем длину
максимальной антицепи. Докажите, что количество
цепей, на которое можно разбить частично упорядоченное множество, не меньше его диаметра.
Б) Минимальное количество цепей, на которое разбивается частично упорядоченное множество, равно
его диаметру.
Теорема Менгера. Пусть G – граф, а A и B - его несмежные вершины.
А) Если есть k путей, соединяющих A и B и не имеющих общих вершин, кроме
начала и конца, то при удалении любых k–1 вершин из графа вершины A и B остаются в одной компоненте связности.
Б) Если при удалении любых k–1 вершины из графа A и B остаются в одной компоненте связности, то есть k путей, соединяющих A и B и не имеющих общих вершин, кроме начала и конца.
1. В группе из нескольких человек некоторые люди знакомы друг с другом, а некоторые -нет. Каждый вечер один из них устраивает ужин для всех своих знакомых, на котором знакомит их друг с другом. После того, как каждый человек
устроил хотя бы один ужин, оказалось, что какие-то два человека еще не познакомились. Докажите, что на следующем ужине им тоже не удастся познакомиться.
2. В стране 192 города, из каждого города выходит по 10 дорог. а) Докажите, что
можно найти 18 городов, попарно не связанных дорогами. б) Докажите, что если
из любого города в этой стране можно попасть в любой другой, то можно найти
20 таких городов.
3. В графе любое ребро входит в нечетное число треугольников. Докажите, что
степени всех вершин в этом графе четны.
4. Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой
во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрестка и покрашена в
один из трех цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрестке сходятся
ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекресток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем
порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрестков кратна четырем.
5. В связном графе ровно k висячих вершин и нет вершин степени 2. Оказалось, что
любой путь между любыми двумя висячими вершинами содержит не меньше
пяти ребер. Докажите, что в этом графе есть остовное дерево с не менее чем k+1
висячей вершиной.
6. Назовем граф хорошим, если каждая его компонента связности является полным графом с не более, чем 2010 вершинами. Рассмотрим два хороших графа с
одним и тем же множеством вершин. Соединим две вершины, если они соединены хотя бы в одном из этих графов. Докажите, что вершины получившегося
графа можно покрасить в 2010 цветов так, чтобы концы любого ребра были разноцветными.
7. На некоторых клетках шахматной доски nn стоят ладьи. Оказалось, что все
клетки одного из цветов побиты (считается, что ладья бьёт клетку, на которой
стоит). Какое наибольшее количество клеток доски могут остаться непобитыми?
8. Известно, что каждая вершина графа с четным числом вершин имеет четную
степень. Докажите, что количество остовных деревьев в этом графе четно. (Остовное дерево – это подграф исходного графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.)
9. В стране 2000 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных замкнутых несамопересекающихся маршрутов нечетной длины. Докажите, что Оргкомитет
национальной математической олимпиады может разделить эти города на N+2
зоны так, чтобы никакие два города из одной зоны не были соединены дорогой.
10. Сколько существует функций f: R  R, удовлетворяющих неравенству
f(2x+sin x) ≤ x ≤ 2f(x)+sin f(x) при всех вещественных x?