ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Мосягин В.Е.
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для аспирантов 09.06.01, Информатика и вычислительная техника
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2014
Мосягин В.Е. Теория случайных процессов. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для аспирантов 09.06.01, Информатика и вычислительная
техника, очная форма обучения. Тюмень, 201__, ___ стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями (ФГОС ВО) с учетом
рекомендаций и ОПОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Теория
случайных процессов [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено проректором по научной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф-м.н, доцент
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Мосягин В.Е., 2014.
Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Систематично изложить основы современной теории случайных процессов –
науки, изучающей семейства случайных величин и событий. Ознакомить студентов с
основными классами случайных процессов (гауссовские, марковские, стационарные, с
независимыми приращениями) и обеспечить усвоение основных разделов и методов
теории, а также привлечь их внимание к богатому многообразию приложений. Создать у
студентов достаточную теоретическую базу и сформировать практические навыки для
решения практических задач.
1.1.
1.2.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для успешного усвоения курса Случайных процессов студент обязан свободно
владеть всеми методами теории вероятностей, математической статистики,
математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, теорией
функций комплексного переменного, теорией меры и интеграла Лебега, методами
функционального анализа (гильбертовыми пространствами L2 ).
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
 готовность организовать работу исследовательского коллектива в области
профессиональной деятельности (ОПК-4);
 способность представлять полученные результаты научно-исследовательской
деятельности на высоком уровне и с учетом соблюдения авторских прав (ОПК-6);
 владение методами проведения патентных исследований, лицензирования и
защиты авторских прав при создании инновационных продуктов в области
профессиональной деятельности (ОПК-7);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать:













условия существования случайного процесса с заданными конечномерными
распределениями;
основные классы случайных процессов;
свойства траекторий, их непрерывность и дифференцируемость;
достаточные условия существования непрерывной модификации и
отсутствии разрывов второго рода;
свойства многомерных гауссовских процессов;
винеровские процессы, свойства их траекторий, принцип отражения, законы
повторного логарифма;
пуассоновские процессы, свойства траекторий, построение процесса по
последовательности независимых величин с экспоненциальным
распределением;
линейную теорию случайных процессов с конечными вторыми моментами;
конструкцию и свойства интегралов по случайной ортогональной мере
интеграл Ито;
спектральное представление стационарного случайного процесса,
спектральную плотность;
марковские процессы с дискретным и непрерывным временем;
процессы гибели и размножения;
элементы теории массового обслуживания;
Уметь:









Владеть:



устанавливать принадлежность случайного процесса к определенному классу;
находить числовые характеристики процесса (среднее значение,
ковариационную функцию);
проверять траектории процесса на наличие регулярной модификации;
исследовать случайные процессы в пространстве L2;
находить интеграл Ито;
осуществлять проверку процесса на стационарность и находить его
спектральную плотность;
классифицировать состояния цепи Маркова;
проверять цепь на эргодичность и находить ее стационарное распределение;
находить вероятность вырождения процесса гибели и размножения;
навыками решением типовых задач и правильной интерпретацией
полученного решения
навыками общения на профессиональном языке и способностью к адаптации
при общении со специалистами из других областей
навыками анализа реальных случайных процессов и описанием их в виде
математических моделей
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 2. Форма промежуточной аттестации - зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 академических часов, из них 50 часов,
выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 2.
1.1
1.2
2.1
3.1
3.2
3.3
Итого (часов):
из
них
в
интеракт. форме
Самостоятельная
работа*
4
Лабораторные
занятия*
3
Семинарские
(практические)
занятия*
2
Модуль 1
Основные понятия
теории случайных
процессов
Свойства траекторий.
Винеровский и
пуассоновсий
процессы
Всего
Модуль 2
Линейная теория
случайных процессов
с конечными вторыми
моментами
Всего
Модуль 3
Дискретные цепи
Маркова
Мартингалы
Марковские процессы
с
непрерывным
временем
Всего
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекции *
1
Тема
недели семестра
№
5
6
7
Итого
часов
по
теме
Из них в
интерак
тивной
форме, в
часах
8
9
Формы
контроля
10
К/р
2
5
7
2
2
5
9
4
2
10
16
4
2
20
26
2
4
2
20
26
2
2
2
5
9
2
5
10
7
14
20
50
30
72
4
К/р
Зачет
2
4
8
16
2
2
6
2
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
2
4
4. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Основные понятия теории случайных процессов
Определение случайного процесса. Траектория процесса. Стохастически эквивалентные
процессы. Сигма-алгебра цилиндрических множеств. Выборочное вероятностное
пространство. Неизмеримость множества непрерывных функций отностительно
цилиндрической сигма-алгебры. Сепарабельные процессы. Семейство конечномерных
распределений процесса. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях.
Ковариационная функция комплекснозначного случайного процесса. Основные типы
случайных процессов. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном
процессы. Процессы с непрерывными траекториями. Классы случайных процессов:
гауссовские, марковские, стационарные, с независимыми приращениями. Однородные
процессы с независимыми приращениями. Общий вид характеристической функции
стохастически непрерывного однородного процесса с независимыми приращениями.
1.2. Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы
Достаточные условия существования непрерывной модификации процесса; теорема
Колмогорова. Достаточные условия существования модификации процесса без разрывов
второго рода; теорема Клмогорова-Ченцова. Винеровский процесс; непрерывность его
траекторий с вероятностью 1. Недифференцируемость траектории винеровского процесса
в любой точке. Принцип отражения. Законы повторного логарифма. Распределение
функционалов: момента первого достижения заданного уровня, максимума траектории на
отрезке; первого момента достижения максимума (закон арксинуса). Пуассоновский
процесс; его стохастическая непрерывность. Представление пуассоновского процесса
посредством случайного вариационного ряда из равномерного распределения.
Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса. Совместное распределение
моментов скачков пуассоновского процесса. Сложный (обобщенный) пуассоновский
процесс. Простейший поток однородных событий и его связь с пуассоновским процессом.
Гауссовские распределения. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная
функция. Броуновский мост.
Модуль 2.
2.1 Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами
Гильбертово пространство L2 случайных функций с конечным вторым моментом.
Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в L2 траекторий процесса.
Необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и
интегрируемости. Непрерывность винеровского и пуассоновского процессов в L2.
Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2. Стационарные
процессы в узком и широком смысле, примеры. Теорема Бохнера–Хинчина для
стационарных процессов. Спектральная функция и спектральная плотность.
Интегрирование случайных процессов по ортогональной стохастической мере
(стохастический интеграл). Спектральное представление стационарных процессов.
Стохастический интеграл Ито. Стохастический дифференциал. Формула Ито.
Стохастические дифференциальные уравнения.
Модуль 3.
3.1 Дискретные цепи Маркова
Однородные цепи Маркова, примеры. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова–
Чепмена. Классификация состояний цепи Маркова. Случайные блуждания в Zn.
Неприводимая цепь Маркова. Эргодическая теорема. Стационарное распределение.
Система уравнений для вычисления стационарного распределения.
3.2Маргтингалы
Обобщение
понятия
условного
математического
ожидания,
его
свойства.
Мартингалы(субмартингалы, супермартингалы). Теорема Дуба об остановке. Задача о
разорении. Мартингальные неравенства.
3.3 Марковские процессы с непрерывным временем
Марковский однородный процесс с непрерывным временем и дискретным множеством
состояний, примеры. Марковость винеровских и пуассоновских процессов. Переходные
вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Интенсивность переходов.
Время пребывания процесса в данном состоянии. Непрерывность и дифференцируемость
переходных вероятностных функций. Системы прямых и обратных дифференциальных
уравнений Колмогорова. Решение систем уравнений Колмогорова для марковского
процесса с конечным множеством состояний. Система уравнений для нахождения
стационарного распределения. Процессы гибели и размножения; связь с теорией
массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических
систем.
5. Планы семинарских занятий.
1. Основные понятия теории случайных процессов
Определение случайного процесса. Траектория процесса. Стохастически эквивалентные
процессы. Семейство конечномерных распределений процесса. Ковариационная функция
случайного процесса. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном
процессы. Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, с
независимыми приращениями. Однородные процессы с независимыми приращениями.
2. Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы
Теоремы Колмогорова и Колмогорова-Ченцова о существовании регулярных
модификаций процесса. Винеровский процесс, принцип отражения. Ковариационная
функция винеровского процесса. Пуассоновский процесс, свойства траекторий, его
стохастическая непрерывность и ковариационная функция. Гауссовские процессы.
Среднее значение и ковариационная функция. Броуновский мост.
3. Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами
Гильбертово пространство L2 случайных функций с конечным вторым моментом.
Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в L2 траекторий процесса.
Необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и
интегрируемости. Стационарные процессы в узком и широком смысле. Спектральная
функция и спектральная плотность. Интегрирование случайных процессов по
ортогональной стохастической мере (стохастический интеграл). Спектральное
представление стационарных процессов. Стохастический интеграл Ито. Стохастический
дифференциал. Формула Ито.
4. Дискретные цепи Маркова
Однородные цепи Маркова, примеры. Переходные вероятности.
Классификация
состояний цепи Маркова. Необходимые и достаточные условия возвратности. Теорема
солидарности. Эргодические классы состояний. Стационарное распределение. Система
уравнений для вычисления стационарного распределения.
5. Мартингалы
Условное математическое ожидание. Его свойства. Проверка мартингальности
последовательности случайных величин.
6. Марковские процессы с непрерывным временем
Переходные вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Стохастическая
непрерывность. Интенсивности переходов. Время пребывания процесса в данном
состоянии. Системы прямых и обратных дифференциальных уравнения Колмогорова.
Решение систем уравнений Колмогорова для марковского процесса с конечным
множеством состояний. Стационарное распределение и система уравнений для его
отыскания. Процессы гибели и размножения.
6. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
По учебному плану образовательной программы нет лабораторных работ
7. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
аспирантов.
Таблица 4 .
№
Модули и темы
1.1
Основные
понятия
теории
случайных
процессов
Свойства
траекторий.
Винеровский
и
пуассоновсий процессы
Виды СРС
Неделя
семестра
Объем часов
Модуль 1
1.2
Работа
лекционным
материалом
с
5
Работа
лекционным
материалом
с
5
Всего
Модуль 2
2.1
10
Линейная
теория
случайных процессов с
конечными
вторыми
моментами
Работа
лекционным
материалом,
работа
литературой
с
с
Всего
Модуль 3
3.1
3.2
3.3
Дискретные
Маркова
20
цепи
Мартингалы
Марковские процессы с
непрерывным временем
Всего
Итого
20
Работа
лекционным
материалом,
работа
литературой
Работа
лекционным
материалом,
работа
литературой
Работа
лекционным
материалом,
работа
литературой
с
5
с
с
5
с
с
10
с
20
50
8. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
1. Пусть ( t )  at   , t  0 , где случайная величина   N(0,1) , a  const . Найти
конечномерные распределения процесса ( t ) .
2. Найти ковариационные функции винеровского и пуассоновского процессов.
3. Пусть ( t )  2t   , t  0 , где   K(0,1) . Вычислить вероятность того, что процесс
( t )  0 хотя бы для одного t  (0,1 / 2] .
4. Пусть ,  - случайные величины, причем P(  0)  0 , P(  0)  P(  0) . Найти
вероятность того, что траектории процесса ( t )    t(  t ) , t  0 возрастают.
5. Пусть ( W1(t ), W2 (t )) , t  0 – векторный процесс, составленный из независимых
винеровских процессов. Доказать, что с вероятностью единица этот процесс
выйдет из круга произвольного радиуса R с центром в (0,0).
6. Пусть ( t ), t  0 - процесс с независимыми приращениями. Доказать, что функция
f ( t )  D( t ) возрастает.
7. Пусть X(t) = e–t W(e2t), tR, где W – винеровский процесс, константа >0.
Доказать, что X – стационарный гауссовский процесс и найти его спектральную
плотность.
8. На вероятностном пространстве Ω, Α, Ρ , где Ω  0, 1,
Α   -алгебра
борелевских множеств и
и
 - мера Лебега, заданы случайные величины   
1

 1, если 0    3


1 2
()   1, если    ; 
3 3

2
 2, если
  1

3
Найти E ( /  ).
9. Пусть независимые случайные величины 1,  2 ,..., n имеют пуассоновское
2
2
распределение с параметром  , Sn  (1   )  ...  (n   ) . Доказать, что
последовательность Xn  Sn  n , n  1,2,... образует мартингал.
10. Независимые случайные величины 1,  2 ,..., n имеют одно и тоже дискретное
распределение: P(1  1)  p , P(1  x)  1  p . При каком значении x
последовательность Xn 
n
 k
будет мартингалом.
1
11. Пусть Xn – последовательность, состоящая из независимых случайных величин со
средним 0 и дисперсией 2.Найти спектральную плотность процесса Xn = (1/4)Xn-1
+(1/2)Xn-3+n, nZ, где величины n, nZ, независимы и одинаково распределены с
математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
12. Решить стохастическое дифференциальное уравнение dXt=aX(t)dt +bX(t)dWt, где
Wt, t0 – винеровский процесс, a,b – константы, а X(0)=X0.
9. Образовательные технологии.
1. При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
2.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также
экономике, физике, программированию.
3.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
4.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
10.1 Основная литература:
1. Кельберт М.Я. Вероятность и статистика в примерах и задачах: перевод с
английского/ Марк Яковлевич Кельберт; М. Я. Кельберт, Ю. М. Сухов. - Москва:
МЦНМО. Т. 2: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов
и их приложения. - 2010. - 560 с.: ил.; 22 см. - Библиогр.: с. 554-555.
2. Раенко, Е. А.. Теория случайных процессов [Электронный ресурс] : учебное
пособие / Е. А. Раенко, Д. А. Ваулин: учебное пособие/ Е. А. Раенко, Д. А. Ваулин ;
Горно-Алтайский гос. ун-т. - Горно-Алтайск: Горно-Алтайский гос. ун-т, 2014. - 70
с.. - Библиогр.: с. 69. - Загл. из текста. - Режим доступа :
http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/645140/
3. Хрущева, И. В. Основы математической статистики и теории случайных
процессов: учеб. пособие/ И. В. Хрущева, В. И. Щербаков, Д. С. Леванова. - СанктПетербург: Лань, 2009. - 336 с.
10.2 Дополнительная литература:
1. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М., “Эдиториал УРСС”, 2004.
3. Коршунов Д.А., Фосс С.Г., Эйсымонт И.М. Сборник задач и упражнений по теории
вероятностей и случайным процессам. – СПб.: «Лань», 2004.
10.3 Интернет-ресурсы:
1.
Лекции по теории случайных процессов - http://kyrator.com.ua/index.php
2.
Материалы по теории случайных процессов -http://student48.ru/materials.php
3.
Случайные процессы – http://scask.ru/book_brts.php
11. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
Нет необходимости
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
В организации
учебного процесса необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.)
13. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного усвоения Модуля 1 требуется повторить следующие разделы курса
Теории вероятностей: независимость случайных величин, нормальное и пуассоновское
распределения, характеристические функции.
Для успешного усвоения Модуля 2 обучающим необходимы сведения из курса
Функционального анализа, в частности, знание таких разделов как: нормированные
пространства, пространство Банаха, гильбертовы пространства.
Первый раздел Модуля 3 – Дискретные цепи Маркова - предполагает у
обучающего знание курса матричной алгебры. Раздел 3 обобщает раздел 3.1. на
непрерывное время. Раздел Мартингалы предполагает знание условных распределений и
условных математических ожиданий.