010400_pmi_algebraigeometriya

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ
Директор БИ СГУ
доцент А.В.Шатилова
___________________________
"__" __________________20__ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Алгебра и геометрия
Направление подготовки
010400 Прикладная математика и информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Балашов 2011
Содержание
1.
Цели освоения учебной дисциплины
3
2.
3.
Место учебной дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения модуля «Алгебра и геометрия»
Структура и содержание модуля «Алгебра и геометрия»
Образовательные технологии
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины
3
3
4.
5.
6.
7.
8.
2
4
7
7
15
17
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения модуля «Алгебра и геометрия» являются: овладение
основными фактами, идеями и методами дисциплины и ее приложений.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к математическому и естественно-научному циклу
(Б2.Б 2) и изучается 1 и 2 семестрах. Она относится к дисциплинам,
обеспечивающим фундамент высшего математического образования и
профессионального образования бакалавра по направлению «Прикладная
математика и информатика».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения модуля «Алгебра и геометрия»
Процесс изучения модуля «Алгебра и геометрия» направлен на
формирование следующих профессиональных компетенций:
 Способностью демонстрации общенаучных базовых знаний
естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов теории, связанных с прикладной математикой
и информатикой (ПК-1);
 Способностью приобретать новые научные и профессиональные
знания, используя современные образовательные и информационные
технологии (ПК-2).
В результате освоения модуля обучающийся должен:
знать:
– основные понятия линейной алгебры и аналитической геометрии;
– основные свойства и теоремы линейной алгебры и аналитической
геометрии;
– основные методы линейной алгебры и аналитической геометрии.
уметь:
– решать типовые математические задачи, с использованием основных
понятий модуля;
– применять теоретические сведения к решению задач практического и
профессионального характера.
владеть:
– навыками применения современного математического инструментария
для решения прикладных задач;
– математическими методами решения типовых организационноуправленческих задач.
3
4. Структура и содержание модуля «Алгебра и геометрия»
Общая трудоемкость модуля составляет 10 зачетных единиц, 360 часов.
Сокращения: Л – лекции, ПЗ – практические занятия, СРС —
самостоятельная работа студента, КР – контрольная работа, СР –
самостоятельная работа.
№
п/п
1
Раздел дисциплины
С
е
м
ес
т
р
Не Виды учебной работы,
дел
включая
я
самостоятельную
сем
работу студентов и
ест
трудоемкость (в
ра
часах)
1
118
Аналитическая
2
геометрии
на
плоскости и в
пространстве.
Линейная алгебра
24
36
Линейная алгебра
Л
54
ПЗ/ИФ СРС
54/18
30
40
60/24
86
94
114/42
116
3
4
5
6
Итого
Формы текущего контроля
успеваемости
Формы промежуточной
аттестации)
Работа на практических
занятиях,
выполнение
домашних заданий, КР
№ 1, КР № 2,
экзамен
Работа на практических
занятиях,
выполнение
домашних
заданий,
КР.№ 3, КР № 4, СР № 1
И 2, итоговый тест.
Дифференцированный
зачет
Содержание разделов дисциплины
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ
Понятие множества и подмножества. Основные операции над
множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение) и их
свойства. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения и их
специальные виды. Отношение эквивалентности. Понятие перестановки.
Свойства.
Высказывания. Предикаты. Логические операции: отрицание,
дизъюнкция,
конъюнкция,
импликация,
эквиваленция.
Квантор
существования и квантор всеобщности. Необходимые и достаточные
условия. Обратная и противоположные теоремы.
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами (сложение,
умножение на число, произведение). Обратная матрица. Ранг матрицы,
теорема о ранге матрицы. Элементарные преобразования матриц.
4
Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Способы
вычисления определителей.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия. Методы решения систем линейных уравнений:
метод обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса. Критерий
совместности. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений.
Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система
решений.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Понятие группы, кольца, поля (обзор).
АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Понятие делимости во множестве целых чисел, свойства. Деление с
остатком. НОД и НОК чисел и способы их вычисления. Основная теорема
арифметики. Простые числа. Метод математической индукции.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Понятие комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая
запись. Действия над комплексными числами в алгебраической и
тригонометрической форме.
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛЕМ С ЧИСЕЛ
Степень многочлена. Деление многочлена на двучлен х-а и корни
многочлена. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий
делитель. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное. Неприводимые
над полем многочлены. Разложение многочлена по степеням двучлена х-а.
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Понятие арифметического n–мерного векторного пространства.
Линейная зависимость. Теоремы о линейной зависимости. Базис и ранг
системы векторов.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛСКОСТИ И В
ПРОСТРАНСТВЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Направленные отрезки. Эквиполентные направленные отрезки. Векторы.
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Линейная
зависимость векторов. Координаты вектора. Ортонормированный базис.
Скалярное произведение векторов. Векторные подпространства.
5
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная
система координат. Деление отрезка в данном отношении. Ориентация
плоскости. Ориентация пространства. Ориентированный угол. Площадь
ориентированного треугольника. Полярная система координат. Векторное
произведение векторов, алгебраические свойства. Выражение векторного
произведения через координаты перемножаемых векторов. Геометрический
смысл векторного произведения векторов. Смешанное произведение
векторов, свойства. Геометрический смысл смешанного произведения
векторов.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Способы задания прямой на плоскости, виды уравнений. Общее уравнение
прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Ах+Ву+С. Расстояние от
точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых. Пучки прямых. Угол
между двумя прямыми.
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Эллипс, вывод канонического уравнения, свойства. Гипербола, вывод
канонического уравнения, свойств. Парабола, вывод канонического
уравнения, свойства. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных
координатах. Общее уравнение линии второго порядка, приведение его к
каноническому виду. Классификация линий второго порядка.
ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Способы задания плоскости в пространстве, виды уравнений. Общее
уравнение плоскости. Условие перпендикулярности вектора и плоскости.
Особенности расположения плоскости по отношению к системе координат в
зависимости от вида общего уравнения. Расстояние от точки до плоскости.
Угол между плоскостями. Геометрический смысл знака многочлена
Ах+Ву+Сz+D. Взаимное расположение плоскостей. Пучки плоскостей.
Прямая в пространстве, способы задания прямой, виды уравнений. Взаимное
расположение прямых. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и
плоскостью.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Понятие поверхности второго порядка. Метод сечений. Цилиндрические
поверхности второго порядка, их виды, уравнения. Конические поверхности
второго порядка, их виды, уравнения. Конические сечения. Понятие
поверхности вращения. Эллипсоид вращения, эллипсоид, свойства,
уравнения. Однополостный гиперболоид вращения, однополостный
гиперболоид, свойства, уравнения. Двуполостный гиперболоид вращения,
двуполостный гиперболоид, свойства, уравнения. Эллиптический параболоид
вращения,
эллиптический
параболоид,
свойства,
уравнения.
Гиперболический параболоид, свойства, уравнение.
6
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Понятие линейного пространства. Базис и размерность пространств.
Векторы на плоскости. Линейный оператор и его матрица. Подобные
матрицы. Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора.
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНТСВА
Понятие евклидова пространства. Проекция вектора на пространство.
Билинейные функции. Квадратичные формы. Применение квадратичных форм в
теории кривых второго порядка. Линейные операторы в евклидовом
пространстве.
5. Образовательные технологии
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают
как лекционную форму изложения материала, так и использование
различных активных форм обучения. Удельный вес занятий, проводимых в
интерактивных формах, должен составлять не менее 20% аудиторных
занятий. В процессе чтения лекций рекомендуется использовать
мультимедийное оборудование. Информационные и интерактивные
технологии уместны при обсуждении проблемных и неоднозначных
вопросов, требующих выработки решения в ситуации неопределенности и
аргументированного изложения своих взглядов, профессиональной позиции.
В целом содержание курса отличает практическая направленность и
максимальная приближенность к актуальным запросам практической
деятельности.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации
используется рейтинговая система оценки знаний.
Система текущего контроля включает:
1. Контроль посещения и работы на практических занятиях;
2. Контроль выполнения студентами заданий для самостоятельной
работы;
3. Контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
письменной итоговой контрольной работы.
Работа на практических занятиях оценивается преподавателем (по
пятибалльной шкале) по итогам подготовки и выполнения студентами
практических заданий, активности работы в группе и самостоятельной
работе. Пропуск практических занятий предполагает отработку по
пропущенным темам. Неотработанный (до начала экзаменационной сессии)
пропуск более 50% практических занятий по курсу является основанием для
недопуска к экзамену по курсу.
7
Контрольные работы проводятся после изучения основных тем и
предназначены для оценки знаний, умений и навыков, приобретенных в
процессе теоретических и практических занятий курса.
Текущий контроль успеваемости включает в себя оценку активности на
занятиях, самостоятельную работу, контрольные работы, промежуточные
тесты, коллоквиумы и т.д.
Обязательно учитывается посещаемость студентами различных видов
учебных занятий, что значительно улучшает её.
К самостоятельной работе студентов относится: детальная проработка
лекций, учебной литературы, самостоятельное доказательство указанных
преподавателем теорем, выполнение домашних заданий, выполнение
контрольных работ, тестов, самостоятельных работ.
СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1 СЕМЕСТР
Контрольная работа № 1
Матрицы и определители
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Вычислитель определители:
3 4
5
2 4
7
0 .
а)
; б) 2
6 5
7  2  12
2. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения
элементов а12 и а31.
Вычислить определитель:
а) разложив его по элементам 4-ой строки;
б) по элементам 1-ого столбца;
в) предварительно получив нули в 4-ой строке.
1 1 2 0
3 6 2 5 .
1 0 6
4
2 3 5 1
3. Даны две матрицы А и В.
Найти: а) АВ; б) ВА; в) А-1; г) А А-1; д) А-1 А.
 2 1  3
 2 1  2


A  8  7  6 и B  3  5 4 .
 3 4
1 2
1 
2 


Контрольная работа № 2
Методы решения систем линейных уравнений
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности
решить ее:
а) по формулам Крамера:
8
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
2 x  y  3 z  7
3 x  2 y  4 z  8
1) 2 x  3 y  z  1 ; 2) 2 x  4 y  5 z  11 .
3 x  2 y  z  6
 x  2 y  z  1
2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:
 x  y  z  0
5 x  3 y  4 z  0
а) 2 x  3 y  4 z  0 ; б) 3x  2 y  z  0 .
4 x  11 y  10 z  0
8 x  y  3z  0
1.
2.
3.
4.
Самостоятельная работа № 1
«Различные способы задания прямой на плоскости»
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1,у1) парал
лельно вектору р ( р1 , р 2 ) , в каноническом виде.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2,1) и В(10,3).
Найти координаты направляющего вектора прямой 2х-5у+1=0.
Записать уравнение этой прямой в отрезках, отсекаемых на осях
координат.
Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;3) параллельно

вектору а (1;2) , в параметрическом виде.
Самостоятельная работа № 2
«Линии второго порядка»
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Составить каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет
3
, а
3
большая полуось 3.
2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если гипербола проходит
через точки М1(4;0) и М2 (4 17 ;4).
3. Привести уравнение линии 9 х 2  4 y 2  36  0 к каноническому виду и
определить элементы, определяющие данную линию.
Контрольная работа № 3
" Элементы векторной алгебры на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости. Линии второго порядка»"
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ
ВАРИАНТ




1. Найти скалярное произведение a и 2b  3a , если a 1,2, b 0,1 .




2. При каком значении  векторы a  3b и b  a ортогональны, если


a 1,2 , b 0,1?
3. Для прямой АВ составить общее уравнение, уравнение прямой в отрезках,
уравнение прямой с угловым коэффициентом, если А(-2, 1) и В (6, -2).
9
4. Составить уравнение медианы, высоты, проведенных из вершины А,
треугольника АВС, а также средней линии ЕД параллельной основанию ВС.
Вычислить длину найденной высоты. А(3,2), В(-2, 5), С (6, -2).
5. Привести уравнение кривой x 2  4 y 2  2 x  56 y  181  0 к каноническому
виду, определить вид кривой, начертить ее в данной системе координат.
Найти координаты фокусов и вершин.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
"Метод координат в пространстве. Различные способы задания прямой
и плоскости. Поверхности второго порядка"
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 : A1 3, 1, 4 , A2  1, 6, 1 ,
A3  1, 1, 6  , A4 0, 4,  1 . Найти:
а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A3 ;
в) площадь грани A2 A3 A1 ;
г) объем пирамиды A1 A2 A3 A4 ;
д) уравнение прямой A3 A2 ;
е) уравнение плоскости A2 A3 A1 ;
ж) угол между ребром A1 A4 и гранью A2 A3 A1 ;
з) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A2 A3 A1 ;
и) длину высоты, опущенной из вершины A4 на грань A2 A3 A1 .
2. Определить взаимное расположение прямых:
 x  2 y  3z  4  0, x  y  z  1  0,
и

y  3z  0.
x

2
y

z

1

0
,


ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ
ВАРИАНТ




  
1. Если даны векторы а 2, 0,  1, b 4, 2, 3, c 0,  1, 3 , то вектор d  2a  3b  c
имеет координаты:
1. (-8, -5, -8); 2. (-8, 5, 10); 3. (–8, -7, -8); 4. (-8, 7, 10).
2. В параллелограмме ABCD, O – точка пересечения диагоналей, а точки
E, F, G, K – середины соответствующих сторон АВ, ВС, CD и AD. Найти вектор равный АК  ОС  GC :
1. EK ; 2. EG ; 3. DA ; 4. GE .
3. При каком значении k точка А(-2, k-2) принадлежит прямой, заданной
уравнением x-3y+5=0.
1. –3; 2. –1; 3. 3; 4. 1.
4. Укажите пару коллинеарных векторов
1. (-1, 3, 5) и (2, -3, 4); 2. (-1, 3, 5) и (2, -6, -10);
3. (0, -2, 5) и (1, 0, 1/5); 4. (1, -1, 2) и (2, 0, -1).
10
5. Уравнение прямой, проходящей через точку А (-2, 3), параллельно
прямой, заданной уравнением 2х-у+5=0 имеет вид:
1. 2х-у+7=0; 2. х+2у-4=0; 3. 2х-у-7=0; 4. 2х-у+1=0.
6. Найдите косинус угла между прямыми, заданными уравнениями
 х  1  2t ,
 y  1  3t.
у=2х+3 и 
1.
2
3 2
2
2 2
; 2.
; 3. 
; 4. 
.
5
2
4
2
7. Выяснить взаимное расположение прямых, заданных уравнениями
у=2х+5 и –4х+2у+3=0:
1. пересекаются;
2. совпадают;
3. параллельны;
4. скрещиваются.
8. Среди приведённых уравнений, укажите уравнение задающее эллипс:
х2 у2
х2 у2
х2 у2
х2 у2

 0 ; 3.

 1 ; 4.
1.    1 ; 2.

 1.
5
4
5
4
5
4
5
4
9. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей длины полуосей 12 и 6
имеет вид:
1.
х2
у2
х2 у2
х2
у2
х2
у2

 1 ; 2.

 1 ; 4. 

 1.

 1 ; 3.
144 36
144 36
144 36
36 9
10. Напишите уравнение высоты треугольника АВС, проведенной из
вершины А, если А(2, -3), В(-6, 2), С(4, 0):
1. х+5у+13=0; 2. х+у+1=0; 3. 5х-у-13=0; 4. х-у-5=0.
11. Ранг матрицы

1

 2
 4
 5

2
1
1
4

 8

 3
0 
2 
равен:
1. 4; 2. 3; 3. 2; 4. 1.
 2  4
  1 0
12. Дано А  
 ; В  

3 0 
 2 3
Найти 2 А  В .
 3  4
 3  4
 5 6
 5  8
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 

4
3
4

1

3
4
4

3








 2 3
 :
1
0


13. Вычислите АВ, если А= 1  2 и В= 
1 4
 ; 2. 0 3 ; 3. 45 ; 4. 0 1 .
5
6


1. 
14. Найти х из уравнения
2 3 х
4
5
2
1. 6; 2.5; 3. 1; 4. 0.
15. Решением матричного уравнения АХ=В будет матрица Х, вычисляемая следующим образом:
1. В 1 А ; 2. А1 В ; 3. АВ 1 ; 4. ВА 1 .
11
16. Сколько решений имеет данная система уравнений
 х  5 у  z  3,

2 x  4 y  3z  2,
3x  y  3z  7.

1. Одно; 2. Два; 3. Не имеет решений; 4. Бесконечно много решений.
17. При каком значении k система линейных однородных уравнений
имеет бесконечно много решений?
18. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(2, 2, 2), В(1, 3,
3), С(3, 4,2):
1.
3 2
6
; 2.
; 3.
2
2
14
; 4. 3.
2



19.
Установить компланарны ли векторы а 1,  1, 2, b 3, 5, 0, c 5, 3, 4 ?
1. Да; 2. Нет; 3. Векторы коллинеарны; 4. Векторы ортогональны.
20. Составить уравнение плоскости проходящей через три точки А(1, 0, 0), В(0, 0, 5), С(0, -2, 0):
1. –10х+5у-2z+10=0; 2. 10х-5у-2z-10=0;
3. 10х+5у-2z+10=0; 4. 10х+5у-2z-10=0.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО МОДУЛЮ
1 СЕМЕСТР
1.
Понятие множества, подмножества. Операции над множествами
(объединение, пересечение, разность, дополнение).
2.
Свойства операций над множествами. Диаграмма Эйлера-Венна.
3.
Прямое произведение множеств. Свойства.
4.
Понятие бинарного отношения. Граф. Специальные виды бинарных
отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность). Примеры.
5.
Отношение эквивалентности. Классы разбиения.
6.
Высказывания.
Операции
над
высказываниями:
отрицание,
дизъюнкция, конъюнкция, импликация.
7.
Матрица. Действия над матрицами (сложение и умножение).
8.
Элементарные преобразования над матрицами и приведение их к ступенчатой форме.
9.
Определитель. Вычисление определителя второго и третьего порядка.
10. Свойства определителей.
11. Разложение определителя по строке или столбцу.
12. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.
13. Обратная матрица. Способы вычисления обратной матрицы (2 способа). Свойства обратных матриц.
14. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
15. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
16. Критерий совместности общей системы линейных уравнений.
17. Метод Гаусса.
12
18. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система
решений.
19.
Понятие деления на цело и деления с остатком. Свойства делимости
1-5. Теорема о делении с остатком.
20.
Наибольший общий делитель НОД. Алгоритм Евклида. Теорема о линейном выражении НОД.
21.
Наименьшее общее кратное НОК. Простые и взаимно простые числа.
Теорема Евклида о бесконечности простых чисел.
22.
Теорема о выяснении простых чисел. Основная теорема арифметики и
ее применение к вычислению НОД и НОК.
23.
Метод математической индукции.
24.
Группы и подгруппы. Примеры.
25.
Кольца. Поле. Примеры.
26. Построение поля комплексных чисел. Понятие мнимой единицы.
Определение комплексного числа.
27. Комплексные числа. Действия над комплексными числами, заданными
в алгебраической форме (сложение, умножение).
28. Сопряженные комплексные числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (вычитание и деление).
29. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение и возведение в
степень).
30. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме (деление и извлечение
корней).
31. Степень многочлена. Действия над многочленами.
32. Делимость многочленов. Теорема о делении многочлена с остатком.
33. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.
34. Корни многочлена. Разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами.
35. Арифметические – n-мерные векторы и действия над ними. Арифметическое n–мерное векторное пространство.
36. Линейная зависимость: определение, свойства.
37. Базис и ранг системы векторов.
2 СЕМЕСТР
38. Направленный отрезок. Вектор. Коллинеарные и компланарные векторы. Теорема об откладывании вектора от точки.
39. Действия над векторами: сложение, вычитание.
40. Умножение вектора на число. Необходимое и достаточное условие
коллинеарности векторов.
41. Базис. Ортонормированный базис. Теорема о раскладывании вектора
по системе векторов..
42. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве (определения, координаты точки, координаты вектора, ортонормированный репер,
длина вектора).
13
43. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.
44. Координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении λ.
Расстояние между точками. Модуль вектора.
45. Скалярное произведение векторов. Свойства. Вычисление угла между
векторами.
46. Прямая на плоскости. Направляющий вектор. Уравнение прямой проходящей через две точки. Уравнение прямой в «отрезках».
47. Уравнение прямой, заданное точкой и направляющим вектором. Параметрическое уравнение прямой.
48. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
49. Общее уравнение прямой. Нормаль. Уравнение прямой, заданной точкой и проходящий перпендикулярно данному вектору. Угол между прямыми
и расстояние от точки до прямой на плоскости.
50. Векторное произведение векторов: определение, свойства, выражение
векторного произведения через координаты перемножаемых векторов, применение к решению задач.
51. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление, применение к решению задач.
52. Способы задания плоскости, виды уравнений.
53. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Взаимное
расположение двух плоскостей.
54. Способы задания прямой в пространстве, виды уравнений.
55. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямой и
плоскости. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой
и плоскостью.
56. Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго порядка. Уравнение окружности.
57. Уравнение эллипса. Свойства.
58. Уравнение гиперболы. Свойства.
59. Определение поверхности второго порядка. Классификация поверхностей.
60. Линейные пространства над произвольным полем.
61. Линейные подпространства: сумма, пересечение. Линейное аффинное
многообразие.
62. Евклидово и унарное пространство. Ортогональные системы векторов.
63. Матрица линейного оператора. Линейное пространство линейных операторов.
64. Умножение линейных операторов, обратный оператор.
65. Собственные значения и собственный вектор линейного оператора.
66. Инвариантные подпространства и треугольная форма матрицы линейного оператора.
67. Корневые подпространства и жорданова форма линейного оператора.
68. Линейный оператор в евклидовом (унарном) пространстве.
14
69. Сопряженный оператор. Нормальный, унарный и самосопряженный
операторы.
70. Квадратный корень из оператора.
71. Квадратичные формы и линейные пространства.
72. Приведение квадратичной формы к каноническому виду и закон инерции.
73. Квадратичные формы в евклидовом пространстве.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля
«Алгебра и геометрия»
а) основная литература
1. Баврин, II.И. Высшая математика [Электронный ресурс] : учеб. для студ.
высш. учеб. заведений / II.И. Баврин, В.Л. Матросов. – Электрон. дан. –М. :
Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.– 400с. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/55869/. – Загл. с экрана.
2. Фурлетова, О. А. Аналитическая геометрия : практические занятия
[Электронный ресурс] : учеб.-метод. пособие для студентов математ. и
физ.-мат. специальностей пед. вузов, Ч. II/ О. А. Фурлетова, Е. Ю. Павлова;
Балашов. ин-т (филиал) ГОУ ВПО "Саратов. гос. ун-т им Н. Г.
Чернышевского". – Электрон. дан. -Балашов: Изд-во "Николаев", 2009. -56
с. – Режим доступа: http://www.bfsgu.ru/elbibl/direction/mposobia/m6/izd.doc.
– Загл. с экрана.
3. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Электронный ресурс] 3-е изд.,испр. / Беклемишева Л.А., Беклемишев Д.В., Петрович А.Ю. и др. - Санкт-Петербург: "Лань", 2008.. - 496 c - Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=178&pl1_id=76. – Загл. с
экрана.
4. Фурлетова, О.А. Аналитическая геометрия. Ч. 2: учеб. методич. пособие
для студентов математич. и физ.-математич. специальностей пед. высш.
учеб. заведений / О.А. Фурлетова, Е.Ю. Павлова. – Балашов: Николаев,
2009. – 56 с.
б) дополнительная литература:
1. Аналитическая геометрия. Практические занятия. Часть 1: Учебнометодическое пособие/ Сост. Ю.И. Михайлов, О.А. Задкова, Е.Ю. Павлова, Н.А. Синельникова. – Балашов: Изд-во «Николаев», 2003. – 92 с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учеб. пособие для студентов
физ.-мат. фак. пед. ин-тов./ Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. — М.: Просвещение, 1986. — 336 с.
3. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов
физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I./ Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. —М.:
Просвещение, 1973. — 256 с.
15
4. Базылев, В.Т. Геометрия. Ч. 1. Учеб. пособие для студентов I курса физ.мат. фак-тов пед. ин-тов/ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая. —
М.: Просвещение, 1974. —351 с.
5. Беклемишев, Д.П. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. /
Д.П. Беклемишев. – М.: , 2000. –
6. Варпаховский, Ф.А. Алгебра. / Ф.А. Варпаховский, А.С. Солодовников.М.: Просвещение,1974. – 160 с.
7. Варпаховский, Ф.А. Задачник-практикум по алгебра. Ч. 1./ Ф.А. Варпаховский, А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 1982. – 80 с.
8. Дадаян, А.А. Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры /
учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ. спец. / А.А. Дадаян, Е.С. Маслова. – Мн.: Выш. школа, 1981. – 224 с.
9. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия. Учебник для студентов физических специальностей ун-тов / В.А. Ильин, Э Г. Позняк. – М.: Наука, 1068.
– 232 с.
10. Киркинский, А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное
пособие / А.С. Киркинский. – М.: Академический Проект, 2000. – 256 с.
11. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Учеб. пособие/ Под ред. Н.В. Ефимова. — М.: Наука, Глав. ред. физ-мат. лит-ры,
1980. — 240 с.
12. Милованов, М.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 1. Учеб. пособие
для мат. спец. ун-тов и пед. ин-тов. / М.В. Милованов, Р.И. Тышкевич,
А.С. Феденко. – Мн.: Выш. шк., 1984. – 302 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Источники из электронной библиотеки БИСГУ.
www.exponenta.ru
Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.
Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
www.math.ru/lib
Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии брошюр, сборников.
В библиотеке представлены не только книги по математике, но и по физике и
истории науки.
www.mccme.ru/free-books
Свободно распространяемые книги издательства МЦНМО.
htth//window.edu.ru
Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства
образования и науки РФ.
16
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Стандартно оборудованная лекционная аудитория для проведения
интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска, компьютер,
обычная доска, пластиковая доска;
Изучение данной дисциплины должно обеспечиваться доступом
каждого студента к информационным ресурсам – институтскому
библиотечному фонду и сетевым ресурсам Интернет.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и примерной ООП ВПО по направлению подготовки
«Биотехнические системы и технологии» по профилю «Прикладная
математика и информатика».
Автор: доцент кафедры математики, кандидат педагогических наук, доцент
Фурлетова О.А.
Программа одобрена на заседании кафедры математики
от ___________года, протокол № _________________.
Подписи:
Автор программы _________________к. пед. н. доцент
Фурлетова О.А.
Зав. кафедрой математики _____________ к.ф.-м.н., доцент Ляшко М.А.
Декан факультета математики,
экономики и информатики ______________ к.пед.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где разрабатывалась программа)
Декан факультета математики,
экономики и информатики ______________ к.пед.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где реализуется программа)
17