Российская Экономическая Школа НОУ ВПО «РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА» (институт) программа учебной дисциплины ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ по направлению 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра автор программы: А.М. Райгородский , д.ф.-м.н., mraigor@yandex.ru Утверждена Cоветом Программы «___»_____________2012 г. Исполнительный директор: Е.В. Максимова___________________ Москва 2012 Российская Экономическая Школа Цели освоения и краткое описание дисциплины Данная дисциплина познакомит студентов с основами современной «Computer Science». Наука эта бурно развивается, и сейчас в ней есть масса разнообразных направлений, связанных с теорией графов, математической логикой и теорией алгоритмов, теорией кодирования и криптографией, теорией информации, теорией вероятностей и др. Разумеется, в одном семестровом курсе невозможно охватить такое многообразие сюжетов. Цель - дать почувствовать дух этой красивой и глубоко математизированной системы дисциплин. Изучение данной дисциплины будет интересно всем, кто увлекается комбинаторикой, теорией графов и алгоритмами, а также не боится слова «вероятность». Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ОК-12, ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-10, ПК-12, ПК-14, ПК-15 Структура и организация учебной дисциплины Название раздела Всего часов Аудиторные часы Лекции Семинары Самостоятельная работа 1 Основы комбинаторного анализа 36 4 4 28 2 36 6 6 24 3 Основы теории графов и гиперграфов. Основы теории вероятностей. 36 6 6 24 4 Случайные графы. 36 6 6 24 5 Числа Рамсея. 36 6 6 24 6 Алгоритмы. 36 4 4 28 32 32 152 ИТОГО 216 Система оценивания и требования к выставлению итоговой оценки Формы контроля знаний Тип контроля Форма контроля Параметры Текущий контроль Контрольные работы 2-3 письменные работы Вес в финальной оценке (%) 30 Российская Экономическая Школа Домашние работы Итоговый контроль Экзамен Выполнение объемных письменных домашних заданий Коллоквиум по теории 40 30 Критерии оценки знаний и навыков В каждом из домашних заданий будет много задач, и против каждой задачи будет указан балл, даваемый за ее решение. В случае, если студент получает за курс неудовлетворительную оценку, ему дается возможность повторно сдать коллоквиум. Пересдачи осуществляются в сроки, отведенные программой для осуществления пересдач по согласовании с преподавателем. Содержание дисциплины 1.ОСНОВЫ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА. Основные правила комбинаторики: правило сложения, правило умножения, принцип Дирихле. Размещения, перестановки и сочетания. Факториал. Формулы для чисел размещения и сочетания с повторениями и без повторений. Бином Ньютона, полиномиальная формула. Биномиальные и полиномиальные коэффициенты. Простейшие тождества (6 штук). Как следствие, треугольник Паскаля и формулы для сумм степеней натуральных чисел. Формула включения и исключения (б/д). Знакопеременные тождества (2 штуки). Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами: полное решение для соотношений второго порядка и теорема б/д о соотношениях произвольного порядка. Числа Фибоначчи и короткая формула для них. Степенные ряды и производящие функции. Теорема б/д о сходимости степенного ряда: отыскание радиуса сходимости, примеры, поясняющие формулу для радиуса, тонкости, связанные с граничными точками интервала сходимости (примеры). Производящая функция для чисел Фибоначчи. Отыскание сумм с биномиальными и полиномиальными коэффициентами. Задачи о максимальном количестве подмножеств конечного множества с запрещенными пересечениями. Трехэлементные подмножества с запрещенным пересечением 1: конструкция и верхняя оценка по индукции. Доказательство чуть более слабой верхней оценки с помощью линейной алгебры (независимость многочленов над полем). Пятиэлементные подмножества с запрещенным пересечением 2: верхняя и нижняя оценки. Общий случай: k-элементные подмножества с запрещенным пересечением l (теорема Франкла – Уилсона). Российская Экономическая Школа Оценки и асимптотики комбинаторных величин. 2.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ И ГИПЕРГРАФОВ. Определение графа, орграфа, мультиграфа, псевдографа и т.д. Примеры. Маршруты в графах (цепи, циклы и пр.). Связность графа, связные компоненты. Деревья. 4 эквивалентных определения. Формула Кэли для числа деревьев на n вершинах. Унициклические графы. Формула и асимптотика для числа унициклических графов на n вершинах. Эйлеровские цепи и циклы. Критерий эйлеровости графа. Планарность графа. Формула Эйлера, непланарность К_5 и К_3,3. Гомеоморфизм графов. Формулировка критерия Куратовского (б/д). Хроматическое число графа, клики и кликовое число графа, независимые множества вершин графа и его число независимости. Двудольные графы. Хроматическое, кликовое числа и число независимости для полного графа, цикла, дерева и др. примеры. Пример с тюрьмой. Проблема 4х красок и ее связь с хроматическим числом планарного графа. Оценка omega(G) < 5 для планарного графа. Нижние оценки хроматического числа: через кликовое число и через число независимости. Их неточность. Вопрос о соотношении между ними (ср. п. 2 из раздела 4). Хроматическое число плоскости. Рассуждение о конечных подграфах на плоскости (теорема Эрдеша – де Брёйна б/д). Оценки 4 (снизу) и 9 (сверху). Оценка 7 сверху. Проблема устранения зазора. Интерпретация задачи 18 из 1ого дз (про тройки) в терминах числа независимости. Хроматическое число пространства. Верхняя оценка величиной (2\sqrt{n})^n. Ее небольшое уточнение. Самая лучшая известная верхняя оценка Лармана – Роджерса (б/д). Нижняя оценка Лармана – Роджерса за счет результата задачи 18. История ее улучшений. Применение задачи из 2ого дз про асимптотику максимума и константа 1.207… Наилучшая известная нижняя оценка – константа 1.239… (б/д). 3.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Классическое определение вероятности: пример с игральной костью и общее определение. Свойства классической вероятности. Геометрические вероятности. Пример с задачей о встрече: аппроксимация через классическую вероятность и возникновение площадей (объемов). Общее определение и его отличие от классического: проблемы с измеримостью и пр. Российская Экономическая Школа Условная вероятность. Пояснение определения. Теорема умножения. Независимость с пояснением определения. Независимость в совокупности и ее связь с попарной независимостью. Формулы полной вероятности и Байеса с примерами. Схема испытаний Бернулли. Классическое определение вероятности как частный случай. Пример с непересекающимися множествами. Определение случайного графа. Случайные величины, примеры для случайного графа. Вероятности значений случайных величин и сложности с их подсчетом. Математическое ожидание случайной величины. Его матожиданием числа треугольников в случайном графе. линейность. Пример с Дисперсия. Неравенства Маркова и Чебышева 4.СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ. Число треугольников в случайном графе при p = o(1/n). Число треугольников в случайном графе при pn -> infinity. Число треугольников в случайном графе при p ~ c/n (б/д, но с пояснением). («Модели случайных графов».) Теорема о поведении числа независимости и кликового числа при р = ½. Следствие для оценки снизу хроматического числа (ср. п. 7 из раздела 2). («Модели случайных графов», Алон и Спенсер «Вероятностный метод».) Теорема о существовании графа со сколь угодно большими обхватом и хроматическим числом. («Модели случайных графов», Алон и Спенсер «Вероятностный метод».) Теорема о связности случайного графа при p=cln n/n, c>1. Теорема о связности случайного графа при p=cln n/n, c<1. Теорема о связности случайного графа при p=(ln n+c+o(1))/n (б/д). Комментарий при n = 2000. («Модели случайных графов».) Теорема о гигантской компоненте случайного графа (б/д). 5.ЧИСЛА РАМСЕЯ. Определение числа Рамсея. Числа R(3,3), R(5,5), R(1,s), R(2,s). Рекуррентная верхняя оценка для R(s,t). Ее следствия. Нижняя оценка для R(s,s). Ее сравнение с верхней оценкой. Алгоритмическая нижняя оценка для R(s,s). Ее сравнение с оценкой из п. 3. Российская Экономическая Школа 6.АЛГОРИТМЫ. Понятие об алгоритме и его сложности. Практический и теоретический аспекты. Примеры с графами и числами. Проверка числа на простоту. Реализация последовательностей чисел графами. Алгоритм. Алгоритм Дейкстры и проверка графа на двудольность Сложность задачи отыскания хроматического числа графа. Жадный алгоритм отыскания хроматического числа. Теорема о том, что для почти всякого графа жадный алгоритм сработает лишь в 2 – 3 раза хуже, чем полный перебор. Теорема Кучеры о слабости жадного алгоритма на некоторых последовательностях графов (б/д). Теорема Кривелевича – Ву (б/д). Соотношения между разными результатами. Понятие вершинного покрытия графа: величина beta(G) и ее связь с числом независимости. Определение гиперграфа и его вершинного покрытия. Три утверждения о вершинном покрытии гиперграфа с параметрами n, k, s. Жадный алгоритм отыскания вершинного покрытия гиперграфа и теорема о верхней оценке величины beta(H). Конструктивная нижняя оценка величины beta(H), говорящая о силе жадного алгоритма. Вероятностная оценка величины beta(H). Ее следствие (б/д). Проблема изоморфизма. Некоторые характеристики графов, которые полезны для проверки изоморфизма, но проблемы не решают. Некоторые частные случаи, когда проблема решена (б/д). Изоморфизм случайных графов. Методы обучения Процесс обучения будет состоять из лекционных и семинарских занятий. Большое внимание будет уделено решению практических задач с использованием изученной теории. Примеры заданий и вопросов для самостоятельной работы и промежуточного контроля Примерные задания для текущего контроля, проводимого в форме письменных работ: 1. В языке одного древнего племени было 6 гласных и 8 согласных, причем при составлении слов гласные и согласные непременно чередовались. Сколько слов из девяти букв могло быть в этом языке? Российская Экономическая Школа 2. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре должности, если имеется девять кандидатов на эти должности? 3. Перечислите все попарно неизоморфные (неориентированные) графы с шестью вершинами и четырьмя ребрами. 4. Чего больше: деревьев на 100 вершинах или унициклических графов на 98? Ответ нужно дать без использования калькулятора и тем более компьютера. 5. Каких графов на n вершинах больше: связных или несвязных? 6. Восстановите дерево по коду (3,5,6,2,4). 7. Приведите пример неправильной карты, которую нельзя покрасить в 4 цвета. 8. Бывают ли дистанционные графы на плоскости (вершины – точки, ребра – отрезки длины 1) с хроматическим числом 4, которые не содержат треугольников? Список основной и дополнительной литературы Основная литература Виленкин, Н.Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969. Райгородский, А.М. Вероятность и алгебра в комбинаторике. - М.: МЦНМО, 2ое издание, 2010. Райгородский, А.М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. - М.: МЦНМО, 2007. Райгородский, А.М. Модели случайных графов. - М.: МЦНМО, 2011. Райгородский, А.М. Хроматические числа. - М.: МЦНМО, 2003. Дополнительная литература Алон, Н. и Спенсер, Дж. Вероятностный метод. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. Гнеденко, Б.В., Курс теории вероятностей, Москва, Физматлит, 1961. Грэхем, Р., Кнут Д. и Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Мир, 2009. Зубков, А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. ---М.: Наука, 1989. Оре, О. Графы и их применение. - М: Наука, 1965. Райгородский, А.М. Системы общих представителей в комбинаторике и их приложения в геометрии. - М.: МЦНМО, 2009. Райгородский, А.М. Экстремальные задачи теории графов и интернет. Интеллект, Москва, 2012. Харари, Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973. Bollobas, B., Random Graphs. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, Second Edition, 2001.