Гидростатическое давление

ЛЕКЦИЯ 3 (Зт 2015)
ГИДРОДИНАМИКА
План
1.3 Давление. Гидростатическое давление. Закон Паскаля.
2.3 Течение идеальной жидкости. Число Рейнольдса.
3.3 Уравнение неразрывности струи.
4.3 Уравнение Бернулли и следствия из него.
5.3 Течение вязкой жидкости. Формула Ньютона. Коэффициент внутреннего
трения.
6.3 Движение вязкой жидкости по трубам. Закон Пуазейля.
7.3 Движение тела в жидкости (газе).
1.
Механическое давление (или просто давление) - скалярная физическая
величина, численно равная силе, действующей перпендикулярно
поверхности единичной площади:
F
S
р
(1.3)
Основной единицей давления в СИ является
Н
 Па .
м2
Внесистемными единицами измерения давления являются:
1 мм рт. ст. = 133 Па;
1атм  9,8  10 4 Па  10 5 Па .
Рисунок 1.3 Жидкость в сосуде
Жидкость, находящаяся в сосуде, оказывает на него давление.
Гидростатическое давление - давление, обусловленное весом
жидкости.
Определим давление, создаваемое жидкостью на дно сосуда. По
m g
F
, где F  m  g – вес жидкости. Тогда р 
.
S
S
Массу жидкости можно найти по формуле m    V , где V – объём жидкости в
сосуде. Как видно из рисунка 1.3 объем жидкости равен V  S  h . Учитывая
определению давление р 
сказанное для давления можно получить:
m g  S h g

S
S
р    g h
р
(2.3)
Таким образом, давление жидкости зависит только от высоты её столба
и от рода жидкости и не зависит от площади поверхности, на которую
действует жидкость.
1
Изменение гидростатического
давления при увеличении столба
жидкости
Изменение гидростатического
давления при увеличении плотности
жидкости.
Рисунок 2.3 Изменение гидростатического давления
Вышесказанное поясняет, так называемый парадокс гидростатики:
гидростатическое давление и сила, действующая на дно сосуда, не
зависит от формы сосуда.
Рисунок 3.3 – Парадокс: гидростатическое давление и сила, действующая на дно сосуда,
не зависит от формы сосуда
Закон Паскаля: внешнее давление, оказываемое на жидкость (или газ),
распространяется во все стороны без изменения.
Рисунок 4.3 Проявление закона Паскаля.
2
2.
Течение - движение жидкости, поток - совокупность частиц
движущейся жидкости.
Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока.
Линия тока - линия, касательные к которой в любой точке совпадают
по направлению с вектором скорости жидкости в данных точках
пространства.
А
А
В
В
Рисунок 5.3 Линии тока жидкости
Линии тока проводят так, чтобы густота их, характеризуемая
отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через
которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения
жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по
картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных
точках пространства, то есть можно определить состояние движения
жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в
нее какие – либо заметные взвешенные частицы.
Различают два режима течения жидкостей: ламинарное (слоистое) и
турбулентное (вихревое).
Ламинарное течение – упорядоченное движение жидкости, при
котором траектории соседних частиц мало отличаются друг от друга. В
случае ламинарного течения каждый слой потока перемещается, не
перемешиваясь с другими слоями.
Турбулентное течение – движение жидкости, при котором ее частицы
совершают неустановившиеся неупорядоченные движения по сложным
траекториям. При турбулентном течении происходит образование вихрей и
перемешивание различных слоев жидкостей или газов.
Ламинарное течение
Турбулентное течение
Рисунок 6.3 Виды течения жидкости
3
Турбулентное течение возникает в результате потери устойчивости
ламинарного течения при достаточно больших скоростях движения.
Опытным путем было установлено, что важнейшей характеристикой
течения является безразмерная величина, называемая числом Рейнольдса:
Re 
   d
,

(3.1)
где  - плотность жидкости,  - средняя (по сечению трубы) скорость
потока, d - диаметр круглой трубы,  - коэффициент вязкости (коэффициент
внутреннего трения).
При достаточно малых значениях Re наблюдается ламинарное течение.
При Re Re крит (критическое значение) ламинарное течение переходит в
турбулентное.
3.
Рассмотрим какую – либо трубу разного сечения, по которой течет
жидкость. Выберем два ее сечения S1 и S2 , перпендикулярные направлению
скорости.
1
2
S1
S2
Рисунок 7.3 Течение жидкости в трубке тока разного сечения
При стационарном течении объем жидкости, протекающий за единицу
времени через любое поперечное сечение трубки тока, есть величина
постоянная, если жидкость несжимаема (ρ-const): V1  V2
Зная, что V  S  l и l    t , получим   S1 1  t    S2 2  t или
(3.2)
S1 1  S 2  2  const .
Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой
жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная.
Уравнение (3.2) называется уравнением неразрывности струи.
 2 S1
- скорость течения жидкости вдоль трубки тока обратно

1 S 2
пропорциональна площади ее поперечного сечения. Площадь
пропорциональна квадрату диаметра трубы ( S 
 d
сечения
2
), поэтому если диаметр
трубки в первом сечении в 2 раза меньше, чем во втором сечении, то
скорость потока в первом сечении будет в 4 раза больше, чем во втором.
Кровеносная система человека и животных – это сложная замкнутая
система эластичных трубок различного диаметра. В нее входят: аорта,
4
4
артерии, артериолы, капилляры, венулы, вены. Скорость кровотока в разных
сосудах различна.
Рисунок 8.3 Кровеносная система человека
Таблица 1. Диаметр сосудов и скорость течения крови по кровеносной
системе
Сосуды
Диаметр, мм
Скорость,  м/с
Аорта
20
0,3-0,5
Артерии
10-5
0,2-0,5
Артериолы
0,1-0,5
0,01-0,2
Капилляры
0,5-0,01
0,0001-0,0005
Венулы
0,1-0,2
0,001-0,01
Вены
10-30
0,1-0,2
Как видно из таблицы, кровь движется быстро в артериях, несколько
медленнее – в венах и совсем медленно – в капиллярах. На первый взгляд
кажется, что приведенные значения противоречат уравнению неразрывности
– в тонких капиллярах скорость кровотока меньше, чем в артериях.
5
Дело в том, что в таблице приведен диаметр одного сосуда, но ведь по
мере разветвления сосудов площадь каждого из них уменьшается, а
суммарная площадь разветвления возрастает.
Кровеносная система построена таким образом, что одна крупная
артерия (аорта) разветвляется на большое число артерий средней величины,
которые в свою очередь ветвятся на тысячи мелких артерий (так называемых
артериол), распадающихся затем на множество капилляров. Каждая из
ветвей, отходящих от аорты, уже самой аорты, но этих ветвей так много, что
суммарное поперечное сечение их больше сечения аорты, а поэтому скорость
течения крови в них соответственно ниже. По приблизительной оценке,
общая площадь поперечного сечения всех капилляров тела примерно в 800
раз больше площади сечения аорты.
Таким образом, в капиллярах скорость течения крови наименьшая. Это
имеет значение для жизнедеятельности человека и животных.
Ткани получают кислород вследствие его диффузии в капиллярах из
эритроцитов в ткани. Процесс диффузии протекает во времени, и если бы
эритроциты двигались быстро, они не успевали бы отдать кислород тканям.
4.
Рассмотрим трубу разного сечения, по которой слева на право течет
жидкость. Пусть течение стационарное. Выделим в ней сечения S1 и S2 .
Рисунок 9.3 Течение жидкости в трубе разного сечения на разной высоте
Пусть в месте сечения S1 скорость течения 1 , давление p1 и высота, на
которой это сечение расположено, h1 . Аналогично, в месте сечения S2
скорость течения  2 , давление p2 и высота сечения h2 . За малый промежуток
времени t жидкость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S1 и S 2  .
Уравнение Бернулли:
  12
2
   g  h1  p1 
   22
2
   g  h2  p 2 .
(3.3)
Величина p в этом уравнении называется статическим давлением.
Причина статического давления, как и в случае неподвижной жидкости,
является сжатие жидкости. Статическое давление проявляется в напоре на
6
стенку трубы, по которой течет жидкость и в напоре на поверхность
обтекаемого ею тела.
Величина р    g  h называется гидростатическим давлением, которое
обусловлено весом жидкости.
Величина
  2
2
называется
динамическим
давлением,
которое
обусловлено скоростью течения жидкости. Чтобы обнаружить это давление,
надо затормозить жидкость, и тогда оно, как и статическое давление,
проявится в виде напора.
Отметим, что:
1) статическое давление имеет смысл работы сил давления по перемещению
единицы объема внутри жидкости;
2) гидростатическое давление имеет смысл потенциальной энергии единицы
объема жидкости;
3) динамическое давление имеет смысл кинетической энергии единицы
объема движущейся жидкости;
Рассмотрим следствия из уравнения Бернулли.
1) Рассмотрим течение жидкости по горизонтальной трубе, то есть h1  h2 .
Уравнение Бернулли в данном случае будет иметь вид
  12
2
 p1 
  22
2
 p2 .
То есть в той части трубы, где жидкость течет быстрее, статическое давление
меньше. Используя уравнение неразрывности струи получим, что при
течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения,
статическое давление больше в более широких местах, то есть там, где
скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы
ряд манометров.
А
В
Рисунок 10.3 Статическое давление жидкости, текущей в трубе различного диаметра
В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в
манометрической трубке В, прикрепленной в узкой части трубы, уровень
жидкости ниже, чем в манометрической трубке А, прикрепленной в широкой
части.
Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого
давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или
жидкость. Это используется в ингаляторах и пульверизаторах.
2) Истечение жидкости из отверстия сосуда. Условно покажем линии тока
при истечении жидкости из небольшого отверстия широкого сосуда.
7
S1
h
S2
Рисунок 11.3 Истечение жидкости из отверстия у дна сосуда
Из рисунка видно, что S1  S 2 . Следовательно, по уравнению
неразрывности струи 1  2 . Приближенно считаем 1  0 , p1  p2 атмосферное давление на уровнях 1 и 2. Тогда уравнение Бернулли для
данного
   22
2
случая
примет
вид
  g  h1 
   22
2
   g  h2
или
   g  h2    g  h1    g  (h2  h1 ) .
После преобразования получим формулу Торричелли :
(3.5)
 2  2  g  h .
3) Рассмотрим вспаханное поле, которое можно представить как систему
чередующихся борозд и валов. Пусть ветер дует перпендикулярно к
направлению борозд.
Рисунок 12.3 Движение воздуха над вспаханным полем
При этом приземной слой представляет собой трубку тока переменного
сечения, ограниченную снизу поверхностью земли, а сверху – ближайшей
горизонтальной поверхностью, образованной невозмущенными линиями
тока. Из уравнения неразрывности струи и уравнения Бернулли следует, что
давление воздуха над бороздами больше, чем над валами, поскольку 1  2 .
Поэтому в поверхностном слое почвы возникает движение почвенного
воздуха, которое направлено от оснований борозд к вершинам валов. В
результате этого обеспечивается аэрация (газообмен между почвой и
атмосферой). Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а
приземный воздух – углекислотой, создавая тем самым благоприятные
условия для развития растений. При сильном ветре скорость воздуха в почве
становится настолько интенсивной, что может вызвать размельчение
8
почвенных частиц. Таким образом, создается мелкокомковая структура
почвы.
5.
При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг
на друга с силами, касательными к слоям. Внутреннее трение (или вязкость)
– свойство реальных жидкостей или газов, благодаря которому
выравнивается скорость движения различных слоев.
Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми
пластинками, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со
скоростью в . Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3
и т.д.
Слой, «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна
(нижняя пластинка) слои жидкости имеют все большие скорости
1   2  3  ... , максимальная скорость в будет у слоя, который «прилип» к
верхней пластинке.
При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно
других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к
поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны
слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует
ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой,
движущийся быстрее, действует тормозящая сила. Например, третий слой
стремиться ускорить движение второго, но сам испытывает торможение с его
стороны, а ускоряется четвертым слоем.
в
3
2
1
2
1
Рисунок 13.3 Скорости слоев жидкости при ламинарном течении
d

Градиент скорости - векторная физическая величина
или
,
dx
x
направленная перпендикулярно вектору скорости и показывающая
изменение скорости на единице расстояния между слоями.
Основной единицей градиента скорости в СИ является с-1.
Сила внутреннего трения, возникающая при относительном
перемещении слоев жидкости, определяется формулой Ньютона:
Fтр   
d
S ,
dx
где S – площадь соприкасающихся слоев жидкости,
9
(3.6)
η – коэффициент внутреннего трения или динамической вязкости  
Fтр
d
S
dx
численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади
соприкасающихся слоев при градиенте скорости, равном единице.
Единицей измерения коэффициента динамической вязкости в СИ
является Па с .
Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной,
тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от
температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов
различен (для жидкостей η с увеличением температуры уменьшается, у газов,
наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов
внутреннего трения.
6.
Из соображений симметрии ясно, что в трубе частицы текущей
жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей
скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий
к трубе слой будет неподвижен.
Выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr .
Рисунок 15.3 Цилиндрический слой жидкости в трубе радиусом r и толщиной dr
Рисунок 16.3 Цилиндрический слой жидкости
Скорость течения данного слоя жидкости равна:
p
(3.7)
 R 2  r 2  .
4  l 
Площадь сечения выбранного слоя равна dS  2    r  dr . Так как слой

тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью  .
10
В
единицу
времени
слой
dV
p
   dS 
 R 2  r 2  2    r  dr
dt
4  l 

переносит

.
Из
объем
жидкости,
полученного
интегрированием
находим
объем
жидкости,
горизонтальную трубу в единицу времени:
равный
уравнения
протекший
через
p
  R 4  р
2
2
.
V (1 cее )   
 R  r  r  dr 
2  l  0
8   l
R


Объем жидкости, протекшей через горизонтальную трубу
произвольный промежуток времени определяется по закону Пуазейля:
V 
  R 4  р
 t ,
8   l
за
(3.8)
где р – падение давления на концах трубы, t – время протекания
жидкости через трубу.
Как видно из (3.8), при заданных внешних условиях объем жидкости,
протекающей по трубе, пропорционален 4 степени ее радиуса. Это очень
сильная зависимость. Если по какой-то причине радиус трубы уменьшается,
то для поддержания прежнего потока необходимо значительное увеличение
разности давлений. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов
уменьшится в 2 раза, то разницу давлений нужно увеличить в 16 раз. При
этом сердце будет работать с перегрузкой.
В организме путем изменения радиуса сосудов (сужение или
расширение) за счет изменения объемной скорости кровотока регулируется
кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей средой.
По формуле Пуазейля можно экспериментально определить вязкость
любой жидкости, сопоставляя расходы стандартной и исследуемой жидкости
за равные промежутки времени через трубы одинакового сечения.
Из-за различия скоростей в движущейся вязкой жидкости у стен и в
середине трубы, давление в ней падает в направлении течения, изменяясь по
линейному закону. В этом можно убедиться, проделав в трубе, по которой течет стационарно жидкость, отверстия и вставив в них трубки (рис. 3.8).
Рисунок 14.3 Различие скоростей в движущейся вязкой жидкости
Причем:
1) в трубе постоянного сечения давление падает пропорционально длине;
2) в трубе с переменным сечением давление падает «быстрее» в узкой части
трубы.
В сосудистой системе человека и животного значительное падение
давления (до 70%) приходится на мелкие сосуды.
11
7.3
Эксперимент показывает, что тело в потоке испытывает давление в
направлении движения жидкости. Процессы, обуславливающие появление
этого давления, происходят в слое жидкости, непосредственно
примыкающем к поверхности тела. Данный слой называется пограничным. В
пределах пограничного слоя скорость жидкости меняется от нуля на
поверхности тела до скорости невозмущенного потока.
Величина пограничного слоя зависит от скорости потока, свойств
жидкости и формы тела. Ориентировочно его толщина может быть оценена
по формуле:
l
 
,
(9.3)
Re
где l – характерный размер тела, Re – число Рейнольдса.
Сопротивление трения возникает при ламинарном обтекании тела
вязкой жидкостью. При этом результирующая сил давления на тело со
стороны жидкости равна нулю, так как картина симметрична.
В случае обтекания шара Стоксом была установлена сила вязкости при
его ламинарном обтекании:
Fc  6       r ,
(10.3)
где  - скорость движения шара относительно жидкости, r – радиус шара.
При увеличении скорости тела (потока) наступает момент, когда
картина обтекания тела резко меняется. За телом появляются вихри, которые
отрываются от тела, образуя вихревую дорожку.
Рисунок 17.3 Картина обтекания при увеличении скорости тела (потока)
При симметричной форме тела позади него обычно образуется два
вихря с равными по модулю и противоположными по направлению
моментами импульса. Образовавшиеся вихри нарушают симметрию в
распределении давления жидкости. Если в невозмущенном потоке давление
p0, то в области, занятой вихрями (за телом) оно меньше p 0, а перед телом
больше p0. В результате разность давлений вдоль потока создает силу
сопротивления давления или силу лобового сопротивления:
12
Поток
Диск
Полусферы
Сфера
Тела удобообтекаемой формы
Рисунок 18.3 Тела различной формы с одинаковым сечением.
Наименьшее значение коэффициента лобового сопротивления имеет
тело удобообтекаемой формы, наибольшее – диск. Основное влияние на
величину лобового сопротивления оказывает форма не передней
относительно потока части тела, а задней части тела, за которой образуются
вихри.
13