Горбанева Л.В. Сила Архимеда. Решение задач

Горбанева Л.В.
Сила Архимеда. Решение задач
На поверхность твердого тела, погруженного в жидкость или газ,
действуют силы давления. Давление увеличивается с глубиной погружения,
поэтому силы давления, действующие на нижнюю часть тела и направленные
вверх, больше, чем силы, действующие на верхнюю его часть и направленные
вниз. Зависимость давления в жидкости или газе от глубины погружения тела
приводит к появлению выталкивающей силы (или иначе силы
Архимеда), действующей на любое тело, погруженное в
жидкость или газ. Величина Архимедовой силы определяется по
закону Архимеда. Закон назван в честь древнегреческого ученого
Архимеда, жившего в 3 веке до нашей эры.
Открытие основного закона гидростатики – крупнейшее
завоевание античной науки. Скорее всего, вы уже знаете легенду о том, как
Архимед открыл свой закон: «Вызвал его однажды сиракузский царь Гиерон и
говорит ....».
Закон Архимеда, впервые был упомянут им в трактате «О плавающих
телах». Архимед писал: «тела более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту
жидкость, будут опускаться пока не дойдут до самого низа, и в жидкости
станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему
погруженного тела».
Чтобы определить чему равна сила Архимеда
рассмотрим следующий пример (рис.1). Погрузим в
жидкость цилиндр высотой h и площадью основания S.
Давление на глубине h1 равно р1=ратм+ρgh1,
а на глубине h2 равно р2=ратм+ρgh2.
Силы давления, действующие на основание цилиндра,
равны
F1=р1S=(ратм+ρgh1)S
F2=р2S=(ратм+ρgh2)S.
Суммарная сила давления на боковую поверхность в силу симметрии
равна нулю.
Результирующая (равнодействующая) сила давления, действующая на
цилиндр: F=F2 – F1= (ратм+ρgh1)S – (ратм+ρgh2)S=ρg(h1–h2)S= ρgV.
Направлена равнодействующая этих сил вверх.
Таким образом, на тело, погруженное в жидкость или газ, действует
выталкивающая сила.
Обозначается обычно FАрх или Fв.
Приложена выталкивающая сила к телу, помещенному в жидкость (или
газ). На схематических рисунках показывается обязательно.
Еще одна формула для определения Архимедовой силы: FA=mжg=Pж.
Выталкивающая сила или сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости в
объеме, равном объему погруженного тела, но не силе тяжести.
Общеизвестен шуточный вопрос: что тяжелее – тонна дерева или тонна
железа? Не подумавши, обыкновенно отвечают, что тонна железа тяжелее,
вызывая дружный смех окружающих.
Шутники, вероятно, еще громче рассмеются, если им ответят, что тонна
дерева тяжелее, чем тонна железа. Такое утверждение кажется уж ни с чем не
сообразным, – и, однако, строго говоря, это ответ верный!
Дело в том, что закон Архимеда применим не только к жидкостям, но и к
газам. Каждое тело в воздухе «теряет» из своего веса столько, сколько весит
вытесненный телом объем воздуха.
Дерево и железо тоже, конечно, теряют в воздухе часть своего веса.
Чтобы получить истинные их веса, нужно потерю прибавить. Следовательно,
истинный вес дерева в нашем случае равен 1 тонне + вес воздуха в объеме
дерева; истинный вес железа равен 1 тонне + вес воздуха в объеме железа.
Но тонна дерева занимает гораздо больший объем, нежели тонна железа
(раз в 15), поэтому истинный вес тонны дерева больше истинного веса тонны
железа! Выражаясь точнее, мы должны были бы сказать: истинный вес того
дерева, которое в воздухе весит тонну, больше истинного веса того железа,
которое весит в воздухе также одну тонну.
Так как тонна железа занимает объем в 1/8 куб. м, а тонна дерева – около
2 куб. м, то разность в весе вытесняемого ими воздуха должна составлять около
2,5 кг. Вот насколько тонна дерева в действительности тяжелее тонны железа!
ИНТЕРЕСНО, что сила Архимеда равна нулю, когда погруженное в
жидкость тело плотно, всем основанием прижато ко дну. Если рассматривается
случай, когда тело лежит на дне водоема, то обратите внимание на условия его
прилегания ко дну: если вода подтекает под нижнее основание тела, то
выталкивающая сила рассчитывается по одной из приведенных формул. Если
же тело прилегает ко дну так плотно, что вода не подтекает под его нижнее
основание, то формулу выталкивающей силы лучше не применять –
необходимо рассмотреть все силы, действующие на это тело со стороны
жидкости и дна водоема и применить к ним уравнения статики или динамики.
Равнодействующая выталкивающей силы и силы тяжести называется
подъемной силой. Если плотность тела ρ больше плотности жидкости ρж, то
выталкивающая сила Fвыт меньше силы тяжести Fт: Fвыт < Fт или ρжgV< ρg
и тело тонет.
Если плотность тела равна плотности жидкости (ρж= ρ), то тело
находится в состоянии безразличного равновесия: Fвыт = Fт или ρжgV= ρgV.
Если же плотность тела меньше плотности жидкости, то выталкивающая
сила больше силы тяжести: Fвыт > Fт или ρжgV > ρgV. Тело всплывает. Для
того чтобы тело удержать под водой, должна действовать внешняя сила.
Тело может находиться в равновесии, если оно не полностью погружено в
жидкость. Условие равновесия выполняется при: Fвыт = Fт или ρжgV1= ρgV,
где V1 – объем погруженной в жидкость части тела. В задачах часто бывает
удобно применять следующее соотношение: пусть тело объемом V плавает в
жидкости погружаясь в нее на k-ую часть своего объема (то есть k =
Vпогр.
V
или
Vпогр.= kV).
Рассмотрим применение закона Архимеда к решению задач.
Пример 1. Вес однородного тела в воде в три раза меньше, чем в воздухе.
Чему равна плотность тела, если плотность воды ρв=103кг/м3?
Решение. Рассмотрим силы, действующие
на тело в воздухе и в воде.
В воздухе на тело действуют две силы
(рис.2 а): сила тяжести F=mg и сила реакции
опоры N (сила реакции опоры численно равна
весу тела N1= – P1). Выталкивающей силой в
воздухе можно пренебречь в виду того, что она
очень мала.
Запишем условие равновесия тела: N1=mg или P1=mg. Учитывая что
m=ρV, где V – объем тела. Запишем Р1=ρтVg.
В воде на тело действуют три силы (рис. 2 б): сила тяжести F=mg, сила
реакции опоры N2= – Р2 и выталкивающая сила Fв=ρвgV.
Условие равновесия тела в воде: N2+Fв =mg.
Тогда Fв=mg – N2=mg – P2. Учитывая, что P1=mg, можно записать:
Fв=Р1 – P2.
Согласно условию задачи P2=1/3Р1, а также учитывая то, что Р1=ρтVg,
1
2
2
3
3
получаем: Fв =P1 − P = P1 = ρТ Vg. Учитывая также что Fв=ρвgV, получим:
3
1
3
𝜌Т = 𝜌в . Тогда ρТ=1500кг/м3.
2
Пример 2. Каков наибольший вес куска железа, привязанного к
пробковому кубу с ребром 3 см, если оба тела, будучи погружены в воду, не
потонули в ней? (Весом нити пренебречь.)
Решение. Чтобы оба тела не потонули необходимо выполнение условие
плавания тела – сила тяжести должна быть уравновешена выталкивающей
силой: Fт=Fв.
Выталкивающая сила, действующая на кусок железа, привязанного к кубу
из пробки равна сумме выталкивающих сил для каждого тела: Fв=ρвg(Vж+Vп).
Сила тяжести FТ=ρпVпg + ρжVжg.
Тогда условие плавания тел можно записать: ρпVпg + ρжVжg=ρвg(Vж+Vп).
Произведя математические преобразования, получим объем куска железа:
𝑉ж =
𝜌в 𝑉в −𝜌п 𝑉п
𝜌ж −𝜌в
. Плотность пробки и железа – справочные величины. Плотность
железа ρж=7,8г/см3, плотность пробки ρп=0,24г/см3.
Подставив числовые данные, получим объем железа 1см3.
Зная
объем железа,
найдем его
вес:
Р=mg=ρжVжg или
Р=7800кг/м3·0,000001м3·9,8Н/кг=0,076Н.
Пример 3. Кусок льда, с вмерзшим в него телом, плавает в вертикальном
цилиндрическом сосуде с водой. После таяния льда уровень воды в сосуде
понизился на Δh = 3,5 мм. Определите массу тела вмерзшего в лед, если
площадь дна сосуда S = 100 см2. Плотности тела ρ = 8,0 г/см3.
Решение. Рассмотрим ситуацию, когда лед, с вмерзшим в него телом,
плавал в воде.
Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости в объеме, равном
объему погруженного тела.
Объем воды, которую выталкивает плавающее тело, равно V1 = Sh1.
Объем воды можно также найти из соотношения 𝑉 =
𝑚
𝜌
или 𝑉1 =
𝑚л +𝑚Т
𝜌в
.
Когда лед растает, а тело утонет, то объем вытесняемой воды будет равен
𝑚
𝑚
𝑉2 = 𝑆ℎ2 = л + Т
𝜌в
𝜌Т
Вычтем из первого уравнения второе 𝑉1 − 𝑉2 = ∆ℎ𝑆 =
Откуда, искомая масса тела 𝑚Т =
∆ℎ𝑆𝜌в 𝜌Т
𝜌Т −𝜌в
𝑚Т
𝜌в
−
𝑚Т
𝜌Т
.
Учитывая, что плотность воды ρв = 1,0 г/см3 рассчитаем искомую массу
mТ = 3,5·10−3·100·10−4·1000·8000/(8000 − 1000) = 0,04кг = 40г .
Масса тела, вмороженного в лед равна 40г.
Пример 4. В жидкость плотностью ρ1 опустили тело плотностью
ρ2 > ρ1. Определить, какая часть длины тела погружается в
жидкость.
Решение. Так как тело плавает в жидкости, то запишем условие
плавания тел: FТ=FА или mg=ρ1gVпогр.
Обозначив полную длину тела L, а глубину погружения h.
Тогда ρ2 g V = ρ1 g Vпогр. Считая V=SL – объем тела, Vпогр=Sh, запишем:
ρ2 g S L = ρ1 g S h или ρ2 L = ρ1 h.
Тогда
ℎ
𝐿
=
𝜌2
𝜌1
.
Пример 5. Груз массой m1 погружен в воду на глубину h1. На какую
глубину будут погружен в воду груз, если на него положить другой груз, после
чего суммарная масса станет m2?
Решение.
Запишем условие плавания тела
FТ = FА в первом и во втором случае:
m1 g = ρв g Vпогр = ρв g S h1
m2 g = ρв g Vпогр = ρв g S h2.
Разделим второе уравнение на первое:
𝑚2
𝑚1
=
ℎ2
ℎ1
. Тогда ℎ2 =
𝑚2 ℎ1
𝑚1
.
Пример 6. Груз из алюминия массой m = 500 г и плотностью 2700кг/м3,
прикрепленный к пружине жесткостью 100Н/м, погружен в воду. Пружина
прикреплена к дну. Определить абсолютную деформацию пружины.
Решение. Поскольку плотность алюминия больше плотности
воды, значит, груз тонет, и поэтому пружина будет сжата, а сила
упругости пружины направлена вверх.
Так как тело находится в покое, значит, все силы
компенсируют друг друга. Поэтому запишем условие равновесия:
FA+Fy=FТ, где FA = ρв g V – сила Архимеда, Fy= – kx, FТ=mg.
Тогда ρв g V + k x = m g.
Выразим из полученного уравнения неизвестную величину – абсолютную
деформацию пружины x:
𝑥=
𝑚𝑔−𝜌в 𝑔𝑉
𝑘
=
𝑚𝑔−𝜌в 𝑔
𝑘
𝑚
𝜌𝑎
.
Подставив числовые данные x=0,031м.
Примеры проявления закона Архимеда в природе.
Архимедова сила «используется» в природе. Плотность организмов,
живущих в воде, почти не отличается от плотности воды, поэтому прочные
скелеты им не нужны!
Рыбы регулируют глубину погружения, меняя среднюю плотность своего
тела. Для этого им необходимо лишь изменить объем плавательного пузыря,
сокращая или расслабляя мышцы.
У берегов Египта, водится удивительная рыба фагак. Приближение
опасности заставляет фагака быстро заглатывать воду. При этом в пищеводе
рыбы происходит бурное разложение продуктов питания с выделением
значительного количества газов. Газы заполняют не только действующую
полость пищевода, но и имеющийся при ней слепой вырост. В результате тело
фагака сильно раздувается, и, в соответствии с законом Архимеда, он быстро
всплывает на поверхность водоема. Здесь он плавает, повиснув вверх брюхом,
пока выделившиеся в его организме газы не улетучатся. После этого сила
тяжести опускает его на дно водоема, где он укрывается среди придонных
водорослей.
Чилим (водяной орех) после цветения дает под водой тяжелые плоды.
Эти плоды настолько тяжелы, что вполне могут увлечь на дно все растение.
Однако в это время у чилима, растущего в глубокой воде, на черешках листьев
возникают вздутия, придающие ему необходимую подъемную силу, и он не
тонет.
Архимедова сила и киты
В совершенстве приспособлено для
жизни в воде тело самого большого
животного на Земле – кита.
Наиболее
крупные
представители
отряда китообразных – голубые киты. Масса голубого кита достигает 130 тонн,
но он способен развивать в воде скорость до 20 узлов (37 км/ч). Кит,
выскакивая из воды, поднимается над ее поверхностью на несколько метров.
Многое в поведении морских животных можно объяснить на основании
законов физики.
Как плавает кит?
Тело плавает в воде, если действующая на него выталкивающая сила и
сила тяжести равны между собой. Давайте рассчитаем архимедову силу,
действующую на голубого кита, и сравним ее с силой тяжести. Архимедова
сила равна весу жидкости, вытесненной погруженным в нее телом.
Будем считать, что тело кита имеет форму цилиндра. После расчетов
легко убедиться, что архимедова сила, которая поддерживает в воде тело кита,
исчисляется миллионами ньютонов. Для вычисления силы тяжести,
действующей на кита, нужно коэффициент g=9,8Н/кг умножить на массу кита.
И здесь мы получаем величину, измеряемую миллионами ньютонов, значит,
архимедова сила удерживает тело кита в равновесии. Конечно, кит не сможет
находиться на суше. Громадная сила тяжести (свыше миллиона ньютонов)
прижмет животное к земле. Скелет кита не приспособлен к тому, чтобы
выдерживать эту тяжесть, даже дышать кит не сможет, так как для вдоха он
должен расширить легкие, т.е. приподнять мышцы, окружающие грудную
клетку, а в воздухе эти мышцы весят несколько десятков тысяч ньютонов.
Известный ученый – исследователь морских глубин Жак-Ив Кусто пишет:
«...на суше скелет кита не выдерживает веса мышц и жирового слоя, между тем
как в плотной водной среде он отлично служит киту».
Во время экспедиции Кусто и его товарищи пытались спасти попавшего
на мель китенка, масса которого была «всего» две тонны. Чтобы поднять его на
борт судна, пришлось применить специальный гамак, так как даже
новорожденный китенок мог «сломаться» под действием собственной силы
тяжести, если бы под ним не было равномерной опоры. Именно такую
равномерную опору создает телу в воде архимедова сила.
Как кит ныряет и всплывает?
Хвост кита имеет горизонтальные лопасти, он развивает мощность до 500
лошадиных сил (эта мощность только в два раза меньше мощности двигателя
самолета Ан-2).
Когда аквалангиста задевает корпусом плывущий кит, «впечатление
такое, словно толкнул мчащийся паровоз. Могучим движением хвоста кит
направляет свое тело в глубину океана – ныряет. Глубина погружения равна
нескольким десяткам метров, а у кашалотов даже до 1000-1200 м. На такой
глубине давление воды очень велико. Легкие кита под этим давлением воды
сжимаются до так называемого остаточного объема.
От сжатия легких объем тела кита уменьшается, а вместе с тем
уменьшается и выталкивающая сила, кит не всплывает, а держится на нужной
ему глубине. Когда кит движется из глубины к поверхности воды, архимедова
сила постепенно понемногу увеличивается (почему?). Вынырнув на
поверхность, кит вдыхает воздух, объем его тела увеличивается, увеличивается
и выталкивающая сила.
Сила тяжести уравновешивается такой выталкивающей силой, какая
действовала на кита, плавающего внутри воды. Но теперь для создания такой
же выталкивающей силы киту не нужно полностью погружаться в воду – ведь
его объем стал больше. А при вдыхании воздуха объем тела кита увеличивается
настолько, что ему уже не нужно полностью погружаться в воду, чтобы вес
вытесненной им воды равнялся силе тяжести, действующей на кита. (Из
журнала «Квант»).
Задачи для самостоятельного решения.
Ф.8.2.1. Над поверхностью воды находится 3см3 пробки плавающей в воде,
плотность которой 250кг/м3. Чему равен объём всей пробки?
Ф.8.2.2. При помощи пружины закрепленной на дне, пробковый шарик
удерживается под водой. На сколько растянута пружина, если шарик, на той же
пружине в воздухе растягивает её на 1см? ( Плотность пробки 250кг/м3)
Ф.8.2.3. Плавая в первой жидкости, куб погружается на 40мм, плавая во второй
жидкости он погружается на 60мм. На сколько погрузится данный куб, если он
будет плавать в жидкости, плотность которой равна средне арифметическому
плотностей этих жидкостей?
Ф.8.2.4. На сколько увеличится сила натяжения троса при подъеме из воды
плиты объемом 2 м.
Ф.8.2.5. Кусок железа весит в воде 10 Н. Определить его объем.
Ф.8.2.6. Будет ли плавать в воде полый кубик из стали толщиной 0,5 см, если
длина ребра его будет равна 20 см?
Ф.8.2.7. Какова должна быть площадь плоской льдины толщиной 40см, чтобы
удержать на речной воде груз массой m =100кг? Глубина погружения льдины
должна быть h1=38 см.
Ф.8.2.8. Однородный шарик массой 60 г лежит на дне пустого стакана. В стакан
наливают жидкость так, что объём погружённой в жидкость части шарика
оказывается в 6 раз меньше его общего объёма. Плотность жидкости в 3 раза
больше плотности материала шарика. Найдите силу давления шарика на дно
стакана.
Ф.8.2.9. Однородное тело плавает на поверхности керосина, причем объем
выступающей над поверхностью части составляет 8% всего объема тела. Какая
часть тела будет погружена при плавании в воде?
Ф.8.2.10. Кусок дерева плавает в воде, погрузившись на 3/4
своего объема. Какова плотность дерева?
Ф.8.2.11. Определить натяжение нити, связывающей два
шарика объемом 10м3, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись
в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего.
Ф.8.2.12. Пустотелый медный шар весит в воздухе Р1=17,8Н, а в воде Р2=14,2Н.
Определить объем полости Vпол, если плотность меди ρм=8900кг/м3.
Ф.8.2.13. Для стирки белья в квадратном душевом поддоне со стороной
а = 80 см и высотой бортика h = 20 см хозяйка использует частично
заполненный водой квадратный тазик с размером стороны b = a/2 = 40 см,
глубиной h и общей массой m = 5 кг, а для полоскания белья – круглый
цилиндрический тазик радиусом R = a/4 = 20 см и глубиной h. Каким может
быть уровень воды H в круглом тазике, если при ее выливании в поддон
квадратный тазик не всплывает? После выливания воды круглый тазик убирают
из поддона. Сливное отверстие поддона закрыто пробкой.
Ф.8.2.14. Деревянный кубик стоит внутри сосуда на подставках
(см. рис). Площадь полной поверхности кубика 294см3. Высота
подставок 2см. Сосуд медленно заполняют водой. При какой
высоте столба в сосуде давление кубика на подставки станет
равным нулю? Плотность дерева ρд=700кг/м3.
Ф.8.2.15. Плоская льдина плавает в воде, выступая над уровнем воды на 3см.
человек массой 70кг зашел на льдину. В результате высота выступающей над
водой части льдины уменьшилась в 3 раза. Найдите площадь льдины.
Ф.8.2.16. Кусок льда, внутри которого вморожен шарик из свинца, плавает в
цилиндрическом сосуде с водой. Площадь дна сосуда S. Какова масса шарика,
если после полного таяния льда уровень воды в сосуде понизился на h?
Ф.8.2.17. Шар объемом 10 м3 заполнен гелием плотность, которого 0,18 кг/ м3 ,
привязан к земле. Определить силу натяжения веревки, считая плотность
воздуха 1,29 кг/ м3, а масса оболочки шара m 0 =10 кг.