Дискретная математика_БПМИ

Методические рекомендации по дисциплине
Б3.Б.1 Дискретная математика
по направлению 010400.62 Прикладная математика и информатика
Содержание дисциплины
1. Булевы функции. Функции алгебры логики. Выразимость булевых функций друг через
друга. Полные системы функций. Функционально замкнутые классы. Понятие
предполного класса. Предполные классы Поста. Теорема Поста. Релейно-контактные
схемы. Упрощение релейно-контактных схем. Схемы из функциональных элементов.
Построение двоичного сумматора. Представление о двоичном умножателе.
2. Минимизация булевых функций. Понятие ДНФ. Проблема минимизации булевых
функций. Упрощение ДНФ. Тупиковые ДНФ. Сокращенная ДНФ. Алгоритмы построения
сокращенной ДНФ.
3. Логика высказываний. Формулы исчисления высказываний. Связь с булевыми
функциями. Представление о логическом выводе. Правило резолюции. Метод резолюции
в ИВ.
4. Языки и автоматы. Понятие языка. Задание языка с помощью грамматики Хомского.
Контекстно-свободные грамматики. Язык Бэкуса-Наура. Регулярные грамматики.
Конечные автоматы. Минимизация конечных автоматов. Задача построения лексического
анализатора. Стековые автоматы и связь с КС-грамматиками. Анализатор арифметических
выражений.
5. Элементы теории графов. Понятие графов. Операции с графами. Степени вершин
графов. Способы задания графов. Маршруты, цепи, циклы. Эйлеровы графы.
Гамильтоновы графы. Двудольные графы. Расстояния в графах. Алгоритм нахождения
кратчайшего пути.
6. Логика предикатов. Формула исчисления предикатов. Модели и истинность формул
на модели. Эквивалентность формул. Приведение к пренексному виду и сколемовской
нормальной форме. Правило резолюции в ИП. Метод резолюции.
7. Теория алгоритмов. Понятие алгоритма. Формализация понятия алгоритма с помощью
машин Тьюринга. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча. Операторы
суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Нумерация машин Тьюринга.
Универсальная функция Клини и универсальная машина Тьюринга. Схема
конструирования универсальной машины Тьюринга. Связь между универсальной
машиной Тьюринга и архитектурой фон Неймана всех современных компьютеров.
Алгоритмически неразрешимые проблемы.
8. Элементы теории сложности. Полиномиальные и неполиномиальные алгоритмы.
Класс P. Недетерминированные машины Тьюринга. Класс NP. Понятие NP-полной задачи.
Обзор извесных NP-полных задач. Проблема P = NP. Представление о квантовых
вычислениях.
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Тема «Исследование на полноту данной системы булевых функций F»..
Каждую функцию из F исследуем на предмет принадлежности каждому из пяти
предполных классов Поста P0, P1, M,L,S. Результаты заносим в таблицу, стролбцы которой
помечены символами P0, P1, M, L, S, а строки соответствуют функциям из F. В каждой
ячейке ставим + или – в зависимости от того, лежит или нет соответствующая строке
функция из F в предполном классе, помечающему соответствующий столбец. Система F
полна тогда и только тогда, когда в каждом столбце будет хотя бы один знак “-”.
Тема «Исследование данной системы булевых функций F на полноту и
независимость»..
Составим такую же таблицу, как при решении задач предыдущей темы. Как выше, она
даст ответ на вопрос, является ли класс F полным. Если полнота установлена, то надо
проверить, образуют ли функции из F базис класса всех булевых функций, т.е. проверить,
что выкидывание любой из функций F дает неполную систему. Согласно теореме Поста
это означает, что после вычеркивания любой строки нашей таблицы всегда найдется
столбец, состоящий из одних знаков “+”.
Тема «Поиск минимальной ДНФ»..
Рассмотрим пример поиска минимальной ДНФ с помощью алгоритма Куайна. Будем
предполагать, что задана СДНФ некоторой функции алгебры логики. Пусть это
x′y′z′u′  xy′zu  xy′z′u′  x′y′z′u  x′yzu  xy′zu′  x′yz′u  x′y′zu
Этап 1. Многократно, пока это возможно, делаем такие шаги. В ДНФ находим пару
конъюнктов вида fx и f x′ после чего добавляем конъюнкт f. Это оставляет функцию без
изменения благодаря тождеству fx  f x′ = f. В нашем примере получим
x′y′z′u′  xy′zu  xy′z′u′  x′y′z′u  x′yzu  xy′zu′  x′yz′u  x′y′zu
 y′z′u′  x′y′z′  y′zu  xy′u′  x′y′u  x′yu  x′zu
 x′u
Этап 2. Используя тождество поглощения вычеркиваем из последней ДНФ лишние
коньюнкты. Получим
y′z′u′  x′y′z′  y′zu  xy′u′  x′u
Эту ДНФ составляют так называемые простые импликанты, из которых должна
состоять минимальная ДНФ.
Этап 3. Составляем таблицу
x′y′z′u′ xy′zu xy′z′u′ x′y′z′u x′yzu xy′zu′ x′yz′u x′y′zu
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
*
*
*
*
Строки таблицы соответствуют конъюнктам тупиковой ДНФ. Столбцы – конъюнктам
исходной СДНФ. Знаками “+” помечены случаи, когда конъюнкт столбца есть
расширение коньюнкта строки. Те столбцы, в которых имеется единственный знак “+”
помечены знаком “*”. Строки, в которых стоят эти уникальные в своих столбцах плюсы,
помечены знаком “√” Эти отметки стоят напротив импликант, составляющих ядро
минимальных ДНФ. Это означает, что они входят в любую минимальную ДНФ.
Этап 4. Находим такие столбцы таблицы, в которых ни один “+” не стоит в строке с
отметкой “√”. Такой столбец только один и в нем, естественно, не менее 2-х “+”.
Это значит, что вместе с ядром в минимальную ДНФ входит или первый конъюнкт y′z′u′
Или второй x′y′z′. Так как длины их одинаковы, то получаем два варианта минимальной
ДНФ
y′z′u′
x′y′z′
√ y′zu
√ xy′u′
√ x′u
y′z′u′  y′zu  xy′u′  x′u
x′y′z′  y′zu  xy′u′  x′u
Тема «Графы, их вершины, рёбра и дуги. Изоморфные графы».
№1. Подбирается экипаж космического корабля из 3-х человек: командира, инженера и
врача. Имеются 4 кандидата на должность командира к1, к2, к3, к4, 3 кандидата на
должность инженера и1, и2, и3 и 3 кандидата на должность врача в1, в2, в3. Известно,
что
 к1 психологически совместим с и1, и3, в2, в3;
к2  с и1, и2, в1, в2, в3;
 к3  с и1, и2, в1, в3;
к4  с и1, и2, и3, в2.
Кроме того, и1 психологически несовместим с в3, и2  с в1, и3  с в2.
Сколькими способами можно составить экипаж?
Решение:
Экипаж можно составить 10 способами (рис. 1.1):
 к1, и3, в3;к1, и1,в2;
 к2, и1, в1; к2, и2, в2; к2, и1, в2; к2, и2, в3;
 к3, и1, в1; к3, и2, в3;
 к4, и2, в2; к4, и1, в2.
к1
к2
к3
к4
и1
в1
и1
в1 и1
в1
и1
в1
и2
в2
и2
в2 и2
в2
и2
в2
и3
в3
и3
в3 и3
в3
и3
в3
Рис. 1.1
№2.Лист бумаги Плюшкин разрезает на три части. Некоторые из полученных листов он
также разрезает на три части. Несколько новых листочков он вновь разрезает на три более
мелких и т.д. сколько Плюшкин получает листочков бумаги, если разрезает к листов?
Решение:
Листы бумаги обозначим на рисунке кружками.
Кружки,
соответствующие
листам,
которые
разрезаются, закрасим целиком; остальные кружки
оставим незакрашенными (рис. 1.2).
Рисунок помогает увидеть, что при разрезании
одного листка на три части число листков
увеличивается на два. Если же разрезано к листов, то
образовалось (1  2  к ) листов.
№3. Утверждают, что в одной компании из пяти человек
каждый знаком с двумя и только с двумя другими.
Рис.1.
Возможна ли такая компания?
2
Решение:
Если двое знакомы, соединим соответствующие кружочки отрезком. Оказывается, что
такие ситуации не только возможны, но все их можно описать аналогичными схемами. Из
рассматриваемой компании нельзя выделить ни «четырехугольника»,ни «треугольник»,
поскольку тогда из оставшихся нельзя будет составить компанию, удовлетворяющую
условию, т.е. схема знакомства единственная.
Тема «Изоморфные графы».
№1. Доказать, что графы изоморфные (рис.
1.7).
Решение:
а) a: b, c, d;
b: a, d, e;
c: a, d;
Рис. 1.7.
d: c, a, b, e;
e: b, d;
Графы изоморфны (по определению), (рис.1.2).
№2. Нарисуйте диаграммы всех неизоморфных неориентированных графов
а) с 3 вершинами (их четыре);
б) с 4 вершинами (их 11).
Решение:
а) (рис.1.8)
Рис.1.8
№3. Доказать, что графы не являются изоморфными (рис. 1.9).
Решение:
В первом графе есть ребро, соединяющие две вершины степени 2.(рис. 1.9), а в другом
нет, следовательно, графы не является изоморфными.
Рис. 1.9.
Рис. 1.10.
№4. Исследовать графы на изоморфизм (рис. 1.10).
Решение:
Изоморфны (по определению)
№5. Исследовать графы на изоморфизм (рис. 1.11.).
Решение:
Два графа, изображённые на рис. 1.11., являются
изоморфными, так как в обоих графах вершина v1
соединена с вершиной v2; вершина v2  с v1, v3, v4, v5;
вершина v3  с v2 и v4; вершина v4  с v2, v3, v5; v5  с v2
и v4.
Рис. 1.11.
№6. Доказать, что все полные графы с n вершинами изоморфны.
Решение:
V1  V2  n
Каждая вершина в полном графе соединена с остальными (п -1), т. е. v V1
v V2  (v)  n  1
Из этого следует, что графы изоморфны по определению.
 (v )  n  1
№7. Сколько существует помеченных неориентированный графов (т.е. среди них могут
быть и изоморфные) с 5 вершинами и
а) 3 ребрами;
б) не более чем с 3 ребрами;
в) с произвольным количеством ребер;
г) 8 ребрами;
д) не менее чем с 8 ребрами;
е) хотя бы с одним ребром?
Решение:
n  (n  1)
, n  5    10
а)  
2
10! 8  9  10
С m  C103 

 120
3!7!
6
№8. Сколько существует помеченных орграфов (т.е. среди них могут быть и изоморфные)
с 4 вершинами и
а) 10 ребрами;
б) не менее чем с 10 ребрами;
в) с произвольным количеством ребер;
г) 2 ребрами;
д) не более чем с 2 ребрами;
е) хотя бы с одним ребром?
Решение:
а)   n  (n  1)
n  4    12
12!
C m  C122 
 66
2!10!
Тема «Операции над графами. »
№1. Нарисуйте граф, являющийся дополнением к графу:
а) изображенному на рис. 1.7, а; б) изображенному на рис. 1.7, б;
в) к полному графу с 8 вершинами.
Решение:
а) Смотри рис. 2.1:
Рис
2.1
№2. Какие из графов изображенных на рис. 2.2. являются подграфами?
Решение:
Для графа 2.2, а граф 2.2, б является
частью, но не является подграфом,
тогда как граф 2.2, в является для графа
2.2, а как частью, так и подграфом.
Рис 2.2
№3. Является ли граф 2.2,г дополнением к графу 2.2, б ?
Решение:
Граф 2.2, г является дополнением к графу 2.1, б.
№4. Граф F имеет 174 вершины. Скольким рёбрам инцидентна вершина в дополнении к
графу F, если в F она инцидентна:
а) 173 рёбрам?
б) 70 рёбрам?
Решение:
а) Она будет изолирована.
Рис. 2.3.
Тема «Эйлеровы и гамильтоновы графы. »
№1. Существует ли полный неориентированный граф с 5 вершинами, степени которых все
различны между собой, т.е. равны 0, 1, 2, 3, 4?
Решение:
Т. к.. полным графом называется граф без петель и кратных рёбер, каждая пара вершин
соединена ребром, то полного графа со степенями 0, 1, 2, 3, 4 не существует.
Рис. 3.1.
№2. Определить степени вершин
графов изображенных на рис. 3.1.:
а) на
рис. 3.1, б;
б) на рис. 3.1,а.
Решение:
а) Для графа, изображённого на рис. 3.1, б,
степени вершин следующие:
1(3)=3; 1(8)=2;
1(24)=1; 2(3)=1;
2(8)=2; 2(24)=3.
№3. Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый спортсмен должен
сыграть с каждым из остальных по одному разу). Показать, что в любой момент времени
найдутся двое, закончившие одинаковое число партий.
Решение:
Каждому шахматисту поставим в соответствие вершину графа, а каждой сыгранной
партии между двумя шахматистами - ребро, соединяющее вершины, соответствующие
этим игрокам. В результате мы получим неориентированный граф без петель и кратных
рёбер с девятью вершинами и некоторым неизвестным числом рёбер. Во всяком
неориентированном графе без петель и кратных рёбер с n вершинами, где n  2, всегда
найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.
№4. Нарисуйте неориентированный граф с 5 вершинами, у которого ровно 2
вершины имеют одинаковую степень.
Решение:
 (1)  1
1
2
 ( 2)  3
1
1
 (3)   (4)  2
 (5)  1
1
4
1
5
3
1
Рис. 3.2
 (1)   (3)  2
 ( 2)  1
 ( 4)  4
 (5)  1
1
1
1
4
1
1
5
1
1
3
2
1
Рис.
3.3
1
№5. Все вершины неориентированного графа F(V, E) (|V| = n, |E| = m) имеют
степень k или k+1. Доказать, что если F имеет nk вершин степени k и nk+1 вершин степени
k+1, то nk = (k+1)n  2m.
Решение:
  (V )  2  m - по лемме о рукопожатиях.
  (V )  n
k
 k  n k 1  (k  1)  2  m
n k 1  n  n k
n k  k  (n  n k )  (k  1)  2  m
nk  k  n  k  n  nk  k  nk  2  m
nk  n  k  n  2  m
n k  n  (k  1)  2  m
№6. В тренировочном турнире участвовало 12 команд, причём между каждыми
двумя командами было сыграно по 3 матча. Сколько всего было проведено матчей?
Решение:
По лемме (о рукопожатиях): Сумма степеней всех вершин графа  чётное число, равное
п
удвоенному числу рёбер.
  (V )  2  m . Надо найти m.
i 1
i
Каждая вершина имеет одинаковую степень = 3  (п  1) .
п  12
12
  (V )  2  m  12  3  (12  1)  2  m
i
i 1
18  11  m
m  198
Т. о. Получаем 198 матчей.
№7. Дети в летнем лагере, познакомившись, обменялись конвертами с адресами.
Доказать, что
а) всего было передано четное число конвертов;
б) число детей, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четно.
Решение:
Пусть дети A1 , A2 , A3 ,..., An -вершины графа, а ребра соединяют на рис.3.4 пары
вершин, изображающих ребят, обменявшихся конвертами(рис. 3.4):
А2
а) Степень каждой вершины A1 показывает число конвертов,
которые передал ребенок Ai своим знакомым. Общее число
А3
А1
переданных конвертов N равно сумме степеней всех вершин графа.
А4
N  степ. A1  степ. A2  ...  степ. An1  степ. An , но N  2  p , где p число ребер графа, то есть N - четное. Следовательно, было передано
А7
А5
четное число конвертов.
А6
Рис. 3.4
Тема «Способы задания псевдографов. »
1. Для псевдографов, изображённых на
рисунке 4.1, составить матрицы смежности,
матрицы
инцидентности,
списки
рёбер.
Определить степени всех вершин псевдографов:
а) для псевдографа, изображенного на
рисунке 4.1,а;
б) для псевдографа, изображенного на рисунке
Рис. 4.1
4.1,б.
Решение:
а) Рассмотрим рис.4.1. а)
Составим матрицу смежности:
С 22
1
2
3
4
5
6
7
1
0
2
0
0
0
0
0
2
2
0
2
1
0
0
0
3
0
2
0
0
0
0
0
4
0
1
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
1
0
6
0
0
0
0
1
1
1
7
0
0
0
0
0
1
0
Составим матрицу инцидентности:
B87
1
2
3
4
5
6
7
A
B
C
D
E
F
G
H
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
Степени вершин графа:  (1)  2;  (2)  5;  (3)  2;  (4)  1;  (5)  1;  (6)  4;  (7)  1 .
2. Для псевдографов, изображенных на рис. 4.2 (граф неориентированный),
составить:
а) матрицу инцидентности;
б) матрицу смежности;
в) список рёбер.
3. Без помощи диаграммы по известной матрице инцидентности
неориентированного псевдографа восстановить его список ребер и матрицу смежности.
а
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
б
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
в
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
Решение:
а) Список ребер:
R
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
1
1
2
2
2
3
4
II
3
5
5
3
5
2
3
5
Матрица смежности:
C
1
2
3
4
5
1
0
0
1
0
2
2
0
1
1
0
1
3
1
1
1
0
0
4
0
0
0
0
1
5
2
1
0
1
0
4. Без помощи диаграммы по известной матрице инцидентности ориентированного
псевдографа восстановить его список ребер и матрицу смежности.
а
1 0 0
2 0 0
1 1 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1
0
0
0
0
0
0
б
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 1 0 0 0
0 2 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 1 1
0
0
0
1
1
1
1
в
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 1
0
0
1
1
0
0
Решение:
а) Список ребер:
1 (1)  2
 2 (1)  3
 2 ( 2)  1
 2 (3)  0
 2 ( 4)  1
 2 (5)  2
 1 ( 2)  2
1 (3)  1
 1 ( 4)  0
1 (5)  2
7
Матрица смежности:
7
С
1
0
0
1
0
2
1
2
3
4
5
2
0
1
1
0
1
3
1
1
1
0
0
4
0
0
0
0
1
5
2
1
0
1
0
5. Без помощи диаграммы по известной матрице смежности неориентированного
псевдографа восстановить его матрицу инцидентности и определить степени всех вершин.
а
0
1
0
2
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
2
0
1
1
1
б
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
в
0
0
0
0
2
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Решение:
а) Степени всех вершин:
R72
I
II
A
B
C
D
E
F
G
1
1
1
2
3
4
4
2
4
4
3
5
4
5
0
2
0
1
0
3
0
1
1
0
3
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
0
0
Матрица инцидентности:
В75 1
2
3
4
5
A
1
1
0
0
0
B
1
0
0
1
0
C
1
0
0
1
0
D
0
1
1
0
0
E
0
0
1
0
1
F
0
0
0
1
0
G
0
0
0
1
1
6. Без помощи диаграммы по известной матрице смежности ориентированного
псевдографа восстановить его матрицу инцидентности и определить степени всех вершин.
а
б
в
0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 3
0 0 2 1 0
0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0
Решение:
Матрица инцидентности:
В
a
b
c
d
e
f
g
h
z
Степени вершин:
 1 (1)  3
 1 ( 2)  0
 1 (3)  1
 1 ( 4)  2
 1 (5)  3
9
Тема «Деревья и их свойства. »
1. Сколько ребер в деревьях:
а) с 6 и 12 вершинами;
б) с 7 и 15 вершинами.
1
-1
-1
-1
0
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
0
1
4
0
0
0
0
-1
2
0
1
0
5
0
0
1
0
0
0
0
-1
-1
 2 (1)  1
 2 ( 2)  1
 2 (3)  4
 2 ( 4)  2
 2 (5)  1
9
Решение:
а) Дерево с 6 вершинами, имеет (по теореме: дерево с т вершинами имеет (т  1) ребро)
6  1  5 ребер.
Дерево с 12 вершинами, имеет 12  1  11 ребер.
2. Доказать, что лес, состоящий из k деревьев и содержащий m вершин, имеет mk
ребер.
Решение:
Т.к. одно дерево с т вершинами имеет (т  1) ребро(по теореме),то лес, состоящий из k
деревьев и содержащий т вершин, имеет ( т  k ) ребер.
3. Сколько рёбер следует удалить из связного графа F, имеющего т рёбер и n
вершин, чтобы получить дерево, содержащее все вершины F?
Решение:
Всякое дерево с п вершина имеет (п  1) ребро, т.е. для получения дерева, содержащего
все вершины графа F, необходимо удалить т  (п  1) ребер.
4. Привести пример графа, из которого нельзя выделить дерево, содержащее все
вершины графа.
Решение:
Любой граф не являющийся связным.
5. Из дерева Т удалено не концевое ребро. В результате
образовался новый граф Т*. Доказать, что Т*  лес.
Решение:
Т.к. деревом называется всякий связный граф, не имеющий
циклов, то если из дерева Т удалить не концевое ребро, то
полученный новый граф Т* будет не связный. Т.е. граф Т*
является лесом по определению (лесом называется не связный
граф, представляющий объединение деревьев).
2
1
3
4
5
1
3
6
5
4
5
6
7
3
7
5
5
7
3
6 5
7
6
7
5
7
5
7
7
Пищ
а 7
2
0
1
3
Стар
т
4
Рис. 6.1
0
6. Проводится эксперимент, при котором
морскую свинку пускают в лабиринт (рис. 6.1).
Сколькими способами она может попасть к
пище, если она ни в один тупик не заходит более
одного раза, причем, попав в тупик,
возвращается на перекресток, с которого
свернула в этот тупик. Нарисуйте дерево
всевозможных маршрутов морской свинки к
пище.
Решение:
Морская свинка может попасть к пище восемью
способами. Всевозможные маршруты морской
свинки к пище (рис. 6.2):
Рис. 6.2
7. Задан граф, изображенный на рис. 6.3.
Какое наибольшее число ребер можно удалить, чтобы граф остался связным?
Решение:
Граф имеет 40 вершин и 66 ребер. Должно остаться
дерево, содержащее все вершины графа; оно будет
иметь 39 ребер. Удалить следует 27 ребер. Можно
удалить, например, три ряда «горизонтальных»
ребер.
Рис. 6.3
а
б
Рис. 6.4
в
5
6
8. Построить код Прюфера, предварительно пронумеровав вершины:
а) рис. 6.4 а;
б) рис. 6.4 б;
в) рис. 6.4 в.
Решение:
а) (2, 3, 2, 5)
1
См. рис. 6.5
5
6
2
1
5
7
8
6
Другие
случаи
решаются
4
3
3
аналогично.
Рис. 6.5
4
2
Рис. 6.6
9. С помощью алгоритма Прюфера восстановите по вектору дерево.
а) (3, 3, 7, 1, 1, 1);
в) (7, 11, 11, 6, 6, 6, 2, 2, 10, 1);
б) (1, 2, 2, 4, 9, 5, 5, 5);
г) (2, 3, 1, 4, 4, 4, 1, 2, 6, 6).
Решение:
а) (3, 3, 7, 1, 1, 1)
(**)
Данный вектор содержит 6 компонент, значит, дерево Т должно иметь 6+2=8 вершин.
Выпишем последовательность номеров этих вершин:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(*)
1. В (*) находим первое число, которое не содержится в (**) - 2. Получаем ребро
(3,2).
Зачёркиваем 3 в (**), 2 в (*); остаётся:
(3, 7, 1, 1, 1)
(**)
1, 4, 5, 6, 8
(*)
2. Первое число, в (*), которое не содержится в (**), - это 4. Получаем следующее
ребро (3,2). Зачёркиваем 3 в (**), 4 в (*); остаётся:
(7, 1, 1, 1)
(**)
1, 3, 5, 6, 8
(*)
3. Первое число, в (*), которое не содержится в (**), - это 3. Получаем следующее
ребро (7,3). Зачёркиваем 7 в (**), 3 в (*); остаётся:
(1, 1, 1)
(**)
1, 5, 6, 7, 8
(*)
Повторяя эту процедуру ещё 3 раза, получим рёбра (3,2), (3,2), (7,3), (1,5), (1,6),
(1,7). После этого в последовательности (*) останутся два числа - 1 и 8. Они определяют
последнее ребро (1,8). Т.к. все рёбра известны, восстанавливаем дерево Т, схема которого
приведена на рис. 6.6.
Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
Основная
1. Белов В. В. и др. Теория графов. – М.: Высш. Школа, 1976.
2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. – М.: Наука, 1974.
3. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Дискретная математика: Учебник. – М.:
ИНФРА – М; Новосибирск: НГТУ, 2005.
4. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: ИЛ, 1962.
5. Зыков А. А. Теория конечных графов. – Новосибирск: Наука, 1969.
6. Оре О. Теория графов. – М.: Наука,1968.
7. Кузнецов О. П., Адельсон – Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера.
– М.: Энергия, 1980.
8. Татт У. Теория графов: Пер. с англ. – М.: Мир,1988.
9. Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973.
10. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979.
11. Игошин В. И. Задачник практикум по математической логике. – М.: Просвещение,
1986.
Дополнительная
1. Оре. О. Графы и их применение. – М.: Мир, 1965.
2. Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.
3. Березина Л. Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. – М.:
Просвещение, 1979.
Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld.