ПРАКТИКА №4

ПРАКТИКА №4
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
4.1. Найти предел lim
x 1
Решение.
Как видно,
x 2  1  ln x
.
ex  e
при
попытке непосредственного вычисления предела получается
0
неопределенность вида
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби
0
удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
1
f x   2 x  ;
g x   e x ;
x
По формуле (18.13):
1
2x 
f ( x)
x  2 1  3 .
lim

x
x 1 g ( x )
e
e
e
4.2. Найти предел lim
x 
  2arctgx
3
x
.
e 1
Решение.
f ( x)  
2
;
1 x2
3
g ( x)  e x 
3
;
x2


2x 2
2
2


lim 
 .
3
 (0  1)  1  (3) 3
x  
2
x
 (1  x )e (3) 
x
xe 2
4.3. Найти предел lim
.
x  x  e x
Решение.
x
1
x) ;
g ( x)  1  e x ;
2
x
x
x
x
1
1
x
1
f ( x)  e 2  e 2  e 2  e 2 (4  x) ;
g ( x)  e x ;
2
2
4
4
x
1 2
1
e (4  x)
(4  x)
4
lim  4

lim
x
x 
x 
ex
2
e
x
1 2
1
1
g ( x )  e ;
f ( x)  ;
lim
 0;
x
x 
2
4
2
2e
f ( x)  e 2 (1 
1
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов
вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может
быть использован и какой-либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
e x  e  x  2x
.
x 0
x  sin x
4.4.. Найти предел lim
Решение.
f ( x)  e x  e  x  2 ;
g ( x)  1  cos x ;
e x  ex  2 1  1  2 0
- опять получилась неопределенность. Применим правило


x 0
1  cos x
11
0
Лопиталя еще раз.
g ( x)  sin x ;
f ( x)  e x  e  x ;
lim
e x  ex 1 1 0

 - применяем правило Лопиталя еще раз.
x 0
sin x
0
0
x
x



g ( x)  cos x ;
f ( x)  e  e ;
lim
e x  ex 2
  2;
x 0
cos x
1
lim
Неопределенности вида 0 0 ; 1 ;  0 можно раскрыть с помощью логарифмирования.
Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида
g ( x)
y   f ( x) , f x   0 вблизи точки а при x  a . Для нахождения предела такой
функции достаточно найти предел функции ln y  g xln f x .
4.5. Найти предел lim x x .
x0
x 0
Решение.
Здесь y  x x , ln y  x ln x .
ln x правило 
1/ x

  lim x  0;
  lim
2
x 0
x 0
x 0 1
x

0
x 0
 Лопиталя x 0  1 / x
x 0
x 0
x 0
x 0
x
Следовательно lim ln y  ln lim y  0;  lim y  lim x x  1 .
lim ln y  lim x ln x  lim
Тогда
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
.
x 0
x 0
4.6. Найти пределы следующих функций:
а) lim
x 1
x3  3x 2  2
;
x3  4 x 2  3
e x  e x
;
x  0 ln 1  x 
б) lim
2
в) lim
x 
  2arctgx
e3 x  1
;
e3 x  3 x  1
;
x 1 sin 2  5 x 
г) lim
sin 3 x  3 xe x  3 x 2
.
x 1
x3
arctgx  sin x 
6
д) lim
4.7. Найти пределы следующих функций:
ln  x  a 
а) lim
ln  e x  e a 
б) lim
ln x
;
1  2 ln sin x
xa
x 0
;
tg  x / 2 
;
x 1 ln 1  x 
в) lim
ln  x  1
.
x 1 ctg   x 
г) lim
4.8. Найти пределы следующих функций:
а) lim  x  ctg  x   ;
x 0
б) lim  arcsin x  ctgx  ;
x 0
в) lim 1  cos x   ctgx .
x 0
4.9. Найти пределы следующих функций:
1 
 1

а) lim 
;
x 1 x  1
ln x 

 1

 ctg 2 x  .
б) lim  2
x 0 x  1


4.10. Найти пределы следующих функций:
3
а) lim   2 x 
x
cos x

;
2
б) lim  cos 2 x 
3 x2
x 0
;
в) lim  x  2 x  x ;
1
x 
 tgx 
г) lim 

x 0
 x 
1
x2
.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
4.11. Представить функцию f x  sin x в виде многочлена (n+1) степени относительно х.
Решение.
Получаем f x  sin x,
f 0  1


f  x   cos x  sin  x  , f 0  1
2

2 

f  x    sin x  sin  x 
, f 0  0
2 

3 

f  x    cos x  sin  x 
, f 0  1
2 

…………………………………………
n 
n 


n 
f n  x   sin  x 
, f 0  sin  x 

2 
2 


(n  1) 

 n 1
   sin    (n  1) 
f n 1 x   sin  x 
, f
2 
2 


Итого:
sin x  x 
R2 n ( x ) 
x3 x5
x 2 n 1

 ...  (1) n 1
 R2 n ( x )
3! 5!
(2n  1)!
f ( 2 n 1) ( ) 2 n 1
cos 
x

x 2 n 1
(2n  1)!
(2n  1)!
4.12. Представить функцию f  x   3 x в виде многочлена пятой степени относительно
двухчлена х-1.
4
4.13. Представить функцию
относительно х.
f  x  ax
 a  0
в виде многочлена третьей степени
4.14. Вычислим значение sin 20 0 .
Решение. Предварительно переведем угол 20 0 в радианы: 20 0 

.
9
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами
разложения:
1


2

3
5
1  
1  
      0,348889  0,007078  0,000043  0,341854
9 9 3!  9  5!  9 
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
sin 20 0  sin

3
4
5
0. 344
0. 346
0. 348
4.15. Вычислить с точностью до 103 :
а) cos 410 ;
б) 3 121 ;
в)
3
e;
г) 7 129 ;
д) sin 360 .
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
4.16. Найти асимптоты и построить график функции y 
Решение.
1) Вертикальные асимптоты: y  
х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты.
коэффициенты k и b :
x  0  0,
применяя
x 2  2x  1
.
x
y  
формулы
x  0  0 , следовательно,
(19.1.1.),
(19.1.2.),
вычисляем
5
x 2  2x  1
 2 1 
 lim 1   2   1
2
x 
x 
x
 x x 
 x 2  2x  1

 x 2  2x  1  x 2 
1
 2x  1 

  lim 
b  lim ( f ( x)  x)  lim 
 x   lim 
 lim  2    2

x 
x 
x
x
x

 x
 x x  x
k  lim
Теперь применим формулу (19.1.) и запишем уравнение вертикальной асимптоты.
Прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции и изобразим на нем наклонную асимптоту (рис.1):
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
Рисунок 1.
4.17. Исследовать функцию y 
x3
и построить ее график.
x2 1
Решение.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения
функции является область  ;1   1;1  1; .
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами
кривой.
Областью значений данной функции является интервал  ; .
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
3) Находим критические точки.
Найдем производную функции
3x 2 ( x 2  1)  2 x  x 3 3x 4  3x 2  2 x 4 x 4  3x 2
y 

 2
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
( x  1) 2
Критические точки: x  0 ; x   3 ; x  3 ; x  1 ; x  1.
Найдем вторую производную функции
(4 x 3  6 x)( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 )4 x( x 2  1)
y  

( x 2  1) 4

(4 x 3  6 x)( x 4  2 x 2  1)  ( x 4  3x 2 )( 4 x 3  4 x)

( x 2  1) 4

4 x 7  8 x 5  4 x 3  6 x 5  12 x 3  6 x  4 x 7  4 x 5  12 x 5  12 x 3

( x 2  1) 4

2 x 5  4 x 3  6 x 2 x( x 4  2 x 2  3) 2 x( x 2  3)( x 2  1) 2 x( x 2  3)



.
( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
( x 2  1) 3
6
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
y   0 , кривая выпуклая
  x   3,
 3  x  1 ,
1  x  0 ,
0  x  1,
y   0 , кривая выпуклая
y   0 , кривая вогнутая
y   0 , кривая выпуклая
1 x  3,
y   0 , кривая вогнутая
y   0 , кривая вогнутая
3  x   ,
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки
производной функции на промежутках.
y   0 , функция возрастает
  x   3,
 3  x  1 ,
1  x  0 ,
0  x  1,
y   0 , функция убывает
y   0 , функция убывает
y   0 , функция убывает
1 x  3,
y   0 , функция убывает
3  x   ,
y   0 , функция возрастает
Видно, что точка x   3 является точкой максимума, а точка x  3 является
3 3
3 3
и
.
2
2
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные
асимптоты.
x2
1
k  lim 2
 lim
 1;
x  x  1
x 
1
1 2
x
1
3
3
3
 x

 x  x  x
x
  lim 2
b  lim  2
 x   lim 
 lim x  0
2
x  x  1
x 
x  x  1
x 
1
x

1




1 2
x
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции (рис.2):
точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 
4
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
Рисунок 2.
7
4.18. Найти асимптоты кривой
4 x 3  3x
.
4x 2 1
4.19. Найти асимптоты кривой y  x 2  e x .
4.20. Найдите интервалы возрастания и убывания функции
3
1  x x 2  2 x  2 .
4.21. Исследовать на экстремум функцию y   x  5  e x .
4.22. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y  x 4  2 x3  3 на отрезке
3, 2 .
4.23. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой y  x  e x .
4.24.Найти точки перегиба кривой y   x  4   4 x  4 .
5
4.25. Исследовать функцию y 
x3  4
и построить ее график.
x2
4.26. Исследовать функцию y  sin 2  x  и построить ее график.
4.27. Исследовать функцию y 
ln x
и построить ее график.
x
ОТВЕТЫ
4.6.
3
а) ;
5
б) 2;
в)
2
;
3
г) 0,18;
д)18.
4.7.
а) 1;
8
б)
1
;
2
в)  ;
г) 0.
4.8.
1
а) ;

б)1;
в) 0.
4.9.
1
а)  ;
2
б)
2
.
3
4.10.
а) 1;
б) e 6 ;
в) 2;
1
г) e 3 .
4.15.
а) 0,754;
б) 4,946;
в) 1,395;
г) 2,002;
д) 0,587.
9