М.В. Кучеров &quot

М.В. Кучеров
ОАО «Центральное конструкторское бюро автоматики»
644027, г. Омск, Космический проспект 24а
E-mail: ckba@omsknet.ru
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРОГ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА ПО
РЕЗУЛЬТАТАМ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Рассмотрена проблема обнаружения сигнала по результатам дискретного преобразования Фурье смеси сигнала
и нормального шума. Приведена методика отыскания порога, оптимального по критерию максимальной вероятности
обнаружения сигнала при данном отношении сигнал/шум. Получена зависимость величины оптимального порога и
вероятности отсутствия ошибок обнаружения от отношения сигнал/шум.
Пусть имеются дискретные комплексные отсчёты смеси гармонического сигнала
и нормального шума. Квантованость отсчётов по уровню не учитывается, шумы
квантования считаются частью нормального шума.
 2nk0 
N комплексных отсчётов смеси сигнала c(n)  Ac exp  j
 , n[0…N-1], и
N 

шума шn  Aш nexp  jш n с СКО равным ш подвергаются процедуре дискретного
Ac
преобразования Фурье (ДПФ). Отношение сигнал/шум q 
раз по амплитуде.
2 ш
Шумовая полоса равна половине частоты дискретизации.
Так как ДПФ линейно
N
 2nk  N
 2nk  N
 2nk 


Fcш k    cn   шn exp  j

c
n
exp
j
  шn  exp  j





N  n 0
N  n 0
N 



n 0
 Fc k   Fш k ,
то можно рассматривать ДПФ сигнала и шума по отдельности.
Рассмотрим ДПФ шума и определим МО и СКО его модуля.
N 1
 2nk  N 1
 2nk 
Fш k    шn exp  j
  Aш n  exp  jш n exp  j


N  n 0
N 


n 0
N 1
2nk 

  Aш n  exp  jш n   j
 Aш k exp ш k .
N 

n 0
Умножение на коэффициенты при вычислении ДПФ не изменяет закона
распределения фазы, оно по-прежнему остаётся равномерным. Суммирование также не
приводит к изменению закона распределения шума, следовательно, он остаётся
нормальным.
СКО действительной и мнимой составляющих ДПФ шума равно
 ДПФш   ReFш    ImFш    ш N .
В вышеприведённой формуле и везде далее при выводе статистических
характеристик отсчётов ДПФ будем опускать номер отсчёта k, записывая вместо Fс(k),
Fш(k) или Fс+ш(k) соответственно Fс, Fш и Fс+ш.
Модуль ДПФ шума Fш  Aш k  распределён по закону Релея с дисперсией


D   2 Fш   2 ш2 N 1   2 1,5 ,

где x    t x1e t dt - гамма-функция.
0
Выражение плотности вероятности модуля отсчётов ДПФ шума имеет вид
  x2 
x
 ,
pш x   exp 
D
 2D 
функция распределения модуля ДПФ шума
  x2 
 .
Pш x   1  exp 
 2D 
Величина МО модуля ДПФ шума равна
m1Fш    ш 2 N  1,5 .
Далее найдём МО модуля ДПФ сигнала. Пусть дискретная частота сигнала k0
целая, тогда при k=k0 модуль ДПФ сигнала m1{|Fc|}=NAc. При нецелом k0 максимум
модуля ДПФ наблюдается при k  k0  k , которое есть округлённое до ближайшего
целого k0. При этом |k|0,5. ДПФ сигнала в данной точке запишется как
N
 2nk0 
 2nk  N
 2nk 
Fc k    Ac exp  j
  Ac exp  j
 exp  j
.

N 
N  n 0
N 



n 0
Можно показать, что при |k|=0,5 МО модуля достигает минимального значения
2 NAc
m1 Fc  
. Т. е. величина модуля отсчёта ДПФ сигнала из-за нецелого k
 k 0,5
может стать меньше расчётной величины NAc в 2/ раз, т.е. почти на 4 дБ.
Найдём МО модуля ДПФ смеси сигнала и шума. В общем виде СКО и МО модуля
смеси сигнала и шума зависят как от СКО шума, так и от отношения сигнал/шум [1].
Воспользуемся приведёнными в [1] выражениями для МО и дисперсии модуля смеси
сигнала и шума
  1
a2 

,
m1 Fc  ш    ш
F

,
1
,

1 1
2  2
2 
m F 
где 1F1(,,x) – вырожденная гипергеометрическая функция; a  1 c - величина,
ш N
характеризующая отношение с/ш после ДПФ.
 a2 
 2 Fcш   2 ш2 1    m12 Fcш .
2

При a>3 можно полагать
2 NAc 2 Nq ш 2
m1 Fc  ш   m1 Fc  

,

 Fc  ш    ДПФш   ш N .

При больших значениях отношения с/ш закон распределения модуля можно
полагать нормальным. Предположение о нормальности распределения справедливо для
отношений сигнал/шум больших 3 раз по амплитуде [2]. Тогда выражение плотности
вероятности модуля ДПФ смеси сигнала и шума имеет вид
  x  m1Fcш 2 
1
,
pcш x  
exp 
 2 2 Fcш  
 Fcш  2


Функция распределения
 x  m1 Fc  ш 
,
Pc  ш  x   




F
c

ш


x
2
 t 
1
dt - интеграл вероятности.
где x  
exp 

2   2 
Случай |k|=0,5 рассмотрим отдельно как наихудший с точки зрения выделения
сигнала из шумов. При |k|=0,5 округление k0 как в большую, так и в меньшую сторону
даёт статистически эквивалентный результат, но практически за отсчёт сигнала
принимается отсчёт F(k) с наибольшим значением модуля. То есть
Fcш k   max Fcш k0  0,5, Fcш k0  0,5.
При этом функция распределения максимального отсчёта имеет вид
Pmax  x   Pc2ш  x  ,
а плотность вероятности
pmax x   2 Pc ш x  pc ш x  .
МО модуля ДПФ в этом случае находится как
  m1 Fcш  x 2 


  erfc  2 m1 Fcш  x  
x exp 
2



 2 Fcш  
2 Fcш 
1




m1 Fcш  
dx ,
(1)



2 0
 Fcш
где erfc x  

exp  t dt . Интеграл (1) находится численно.

2
2
x
Отношение сигнал/шум после ДПФ
m F  m1 Fш 
q ДПФ  1 cш
.
 Fш 
Выигрыш в отношении сигнал/шум, который даёт ДПФ, равен
q ДПФ
. Зависимость
q
увеличения отношения с/ш от q приведена на графике на рис.1.
Показаны кривые, соответствующие наилучшему (k=0) и наихудшему (k=0,5)
случаю. В последнем случае величина m1{|Fс+ш|} находится численными расчётами по
формуле (1).
Полагая, что приемлемым для работы порогового устройства является отношение
сигнал/шум не менее 14 дБ, видим, что для худшего случая отношение сигнал/шум
перед 128-точечным ДПФ должно быть не меньше -8 дБ.
Приведённые выше формулы справедливы и для случая импульсного сигнала со
скважностью Q. При этом отношение сигнал/шум следует полагать на 10log(Q) [дБ]
меньшим, чем для непрерывного сигнала с такой же амплитудой.
В случае импульсных сигналов необходимо учесть следующее. Спектр
импульсного сигнала имеет несколько составляющих, сгруппированных вокруг
основной (несущей) частоты. При этом чем меньше длительность импульса, тем слабее
уменьшается амплитуда этих составляющих при удалении от центральной частоты.
Поэтому вероятность превышения порога (обнаружения) возрастает, так как из-за
действия шумов обнаружение может произойти не по основной частоте, а по какойлибо из побочных составляющих.
28
27
 k=0
Увеличение с/ш, дБ
26
25
24
23
 k =0,5
22
21
20
19
-21
-16
-11
-6
-1
4
9
q, дБ
14
19
24
29
34
Рис.1 Увеличение отношения сигнал/шум при 128-точечном ДПФ
В случае нецелого значения основной частоты k0 при импульсном сигнале опятьтаки побочные составляющие спектра могут превышать основную, так как значения
этих частот могут быть более приближены к целым значениям.
Предположим, имеется обнаружитель сигнала, работающий по следующему
принципу. Комплексные отсчёты смеси сигнала и шума подвергаются процедуре ДПФ.
Сравнивая модуль каждого полученного в результате ДПФ отсчёта с некоторым
порогом, принимается решение о наличии или отсутствии сигнала в смеси.
Чувствительность такого ДПФ-обнаружителя может быть охарактеризована
вероятностью его безошибочной работы. Безошибочной работой обнаружителя
считается превышение порога x отсчётом |Fс+ш| при условии, что ни один из отсчётов
|Fш| данный порог не превышает.
При k=0 вероятность превышения порога х отсчётом |Fс+ш| описывается
функцией распределения 1-Pс+ш(x). Вероятность отсутствия превышения порога
отсчётами |Fш| описывается функцией распределения PшN-1(x).
Вероятность одновременного превышения порога сигналом и непревышения его
шумами описывается функцией распределения 1  Pcш  x   PшN 1  x  . Нас интересует
значение порога, при котором данная вероятность максимальна. Такой порог находится
решением уравнения

1  Pcш x PшN 1 x 
d
 0 , или 1  Pcш x  pшN 1 x   pcш x PшN 1 x   0 .
(2)
dx
Как было показано выше, функции Pс+ш(x) и pс+ш(x) имеют различный вид в
зависимости от соотношения частоты сигнала и частоты дискретизации.
Соответственно по разному выглядит и развёрнутая запись уравнения (2). Как и ранее,
запишем развёрнутый вид уравнения для наихудшего и наилучшего случаев.
При k=0 запись уравнения (2) в развёрнутом виде выглядит как
  x  m 2 
  x 2  Nx
  x2  
1
 xm






   0,
erfc 

exp


exp
1

exp

 2D  2D
 2 2 
2
D
2 
 2 






при k=0,5
 xm
2  erfc 

2
2
 2   exp   x  m    exp  x   1 

  
2
 
 2
 2
   2D  
  1
 x  m 
 1  1  erfc 
 
 2  
  2
2
(3)
(4)
 x N  2 
 0,

D

где    Fcш  , m  m1Fcш , D   2 Fш  - определённые ранее величины.
Возможна ещё более развёрнутая запись данных уравнений, в которой
неизвестным является величина порога, нормированная к ш. Данная запись,
получаемая путём подстановки всех величин и тривиальных преобразований, не
приводится из-за своей громоздкости.
Решением уравнения (2) является величина порога, при которой вероятность
обнаружения сигнала без ошибок максимальна. Зная этот порог, можно найти
вероятность безошибочного обнаружения сигнала, которая равна 1  Pcш  x   PшN 1  x 
для случая k=0 и 1  Pc2ш x  PшN 2 x  для случая k=0,5.
Результаты, приведённые ниже, получены численным решением уравнений (3) и
(4). Зависимость вероятности безошибочной работы обнаружителя при оптимальном
пороге от отношения сигнал/шум приведена на графике на рис. 2 (левая ось,
пунктирные кривые). Представлены наихудший (k=0,5) и наилучший (k=0) с точки
зрения соотношения частоты сигнала и частоты дискретизации случаи. На этом же
рисунке приведены нормированные значения оптимального порога (правая ось,
сплошные кривые) в зависимости от отношения сигнал/шум.
80
1
Вероятность
70
Порог
60
0,7
 k=0
0,55
50
| k| =0,5
 k=0
40
0,4
Нормированый порог
Вероятность отсутствия ошибок
0,85
| k |=0,5
0,25
30
0,1
20
-30
-25
-20
-15
q, дБ
-10
-5
0
Рис. 2 Зависимость вероятности отсутствия ошибок и нормированной величины
оптимального порога ДПФ-обнаружителя от отношения сигнал/шум
Видно, что при k=0,5 порог получается более низким. При этом повышается
вероятность ложных срабатываний по шумам, что приводит к снижению вероятности
безошибочной работы по сравнению со случаем k=0.
При отношении сигнал/шум, равном -22 дБ, вероятность отсутствия ошибок для
обоих случаев становится одинаковой и равной приблизительно 0,2 даже при
оптимально выбранном пороге, т.е. обнаружитель становится практически
неработоспособным. При дальнейшем уменьшении отношения с/ш вероятность
безошибочной работы с k=0,5 становится даже больше, чем с k=0. Это объясняется
тем, что с уменьшением q влияние сигнала становится незначительным с одной
стороны, а с другой стороны процедура выбора максимального из двух отсчётов
повышает вероятность «правильного срабатывания» из-за действия шумов.
Так как практически соотношение частот сигнала и дискретизации может быть
любым, то значение оптимального порога целесообразно выбирать как среднее между
наилучшим и наихудшим случаем. На графике видно, что при q>-7 дБ вероятность
безошибочной работы обнаружителя не менее 0,99, что согласуется с выводами,
сделанными на основании графиков на рис.1.
Итак,
полученные
уравнения
позволяют
найти
значение
порога,
максимизирующего вероятность безошибочной работы обнаружителя сигнала в
зависимости от отношения сигнал/шум. На основании данных уравнений может быть
найдена максимальная при данном отношении сигнал/шум вероятность безошибочной
работы обнаружителя, использующего процедуру ДПФ.
Так как полученные уравнения содержат специальные функции и табличные
интегралы, то не представляется возможным вывести аналитическое выражение для их
точных решений, поэтому уравнения необходимо решать численно. Исходными
данными для расчётов являются СКО шума ш, отношение сигнал/шум q и количество
отсчётов ДПФ N.
Литература
1. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. – М.: Радиои
связь, 1986. – 296 с. ил
2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. – М.: Радио и связь, 1982. – 624 с.
ил.