Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию

Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
Нечетко-множественный подход к актуарному
моделированию
Недосекин А.О., ст. консультант Сименс Бизнес Сервисез Россия, к.т.н.
Введение
В мировой практике накопилось огромное число актуарных моделей для оценки
пенсионных систем (обзоры этих моделей представлены в [1,2]). Однако есть
целый ряд вопросов, где разработанные модели не дают удовлетворительного
решения. Речь идет об оценке эффективности накопительных инвестиций на
фондовом рынке.
Проблема в том, что фондовый рынок – это объект исследования, обладающий
принципиально иным уровнем неопределенности, нежели источники поступлений
и реципиенты платежей в пенсионных системах, – различные когорты граждан, с
их показателями рождаемости, смертности и платежности. Если для
моделирования поступлений и платежей в пенсионной системе применимость
вероятностных схем никем не оспаривается, то, напротив, вся история мирового
фондового рынка свидетельствует, что классические приемы вероятностного
моделирования фондовых индексов неадекватны. Пасуя перед этой
неопределенностью, актуарии обычно переводят свои исследования в плоскость
сценарных подходов, либо просто фиксируя ставку процента на инвестиции, либо
генерируя сценарии фондового рынка на основе предустановленного
вероятностного закона.
Прорыв в теории актуарного оценивания накопительных пенсионных систем
состоится, когда появятся адекватные модели прогнозирования фондовых индексов
(хорошо известные модели классов ARCH/GARCH перестают работать, когда
система фондового рынка терпит парадигмальный, эпистемологический разрыв, и
предыстория динамики рыночных индексов становится непригодной для прогноза
будущего поведения индексов). В этой связи хочу вкратце коснуться собственной
модели прогнозирования фондовых индексов [3].
Модель позволяет выявить связь между динамикой макроэкономических факторов,
с одной стороны, и динамикой фондовых индексов, с дрругой стороны. В основе
модели лежит концепция рационального инвестиционного выбора, позволяющая
идентифицировать зоны рационального уровня различных факторов рынка и их
оптимальных взаимных пропорций. Предполагается, что возникающие на рынке
диспропорции подлежат коррекции в сторону восстановления нарушенных
рациональных пропорций, с обретением системой финансового рынка нового
положения равновесия в ходе перерегулирования.
На выходе модели мы получаем прогноз по индексам двух возможных типов:
1
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию


как
последовательность
действительных
случайных
величин,
распределенных по вероятностному закону с треугольно-нечеткими
параметрами доходности и риска;
как последовательность треугольных нечетких чисел, характеризующих
расчетный коридор доходности по индексу.
Здесь уместно прервать изложение и сделать некоторое отступление, сказав
несколько слов о нечетких числах и о том, как они могут описывать
неопределенность. Это сделает дальнейшее рассмотрение более понятным.
Когда мы сталкиваемся с потоком исходных данных, не обладающих свойством
статистической однородности, то мы не имеем научных оснований для того, чтобы
называть собранные данные статистикой. Где нет статистики, там нет и
классической статистической вероятности. Где особенно нет статистики – так это в
экономике, на фондовом рынке. Поэтому борьба с неопределенностью в
интерпретации рыночных исходных данных должна идти иными путями.
Одним из возможных таких путей является обоснование научной категории
квазистатистики [4]. Квазистатистика – эта выборка наблюдений из их
генеральной совокупности, которая считается недостаточной для идентификации
вероятностного закона распределения с точно определенными параметрами, но
признается достаточной для того, чтобы с той или иной субъективной степенью
достоверности обосновать закон наблюдений в вероятностной или любой иной
форме, причем параметры этого закона будут заданы по специальным правилам,
чтобы удовлетворить требуемой достоверности идентификации закона
наблюдений.
Тогда, если мы признаем за собранными данными свойство квазистатистики, тогда
мы можем попытаться идентифицировать закон наблюдений, параметры которого
будут обладать формой треугольных нечетких чисел. То есть, когда мы
высказываемся «х приблизительно равно а», мы пытаемся на основе
дополнительных соображений построить функцию принадлежности носителя х
нечеткому подмножеству «Приближенное равенство а». Простейший вид этой
функции – треугольный, с максимумом в точке (а,1).
Нечеткие числа могут сыграть важную роль в распознавании состояний
экономических объектов. Пусть, например, мы располагаем квазистатистикой
некоторого фактора (например, зафиксированной в фирме гистограммы) и хотим
установить принадлежность текущего уровня этого фактора состояниям «Очень
низкий, Низкий, Средний, Высокий, Очень Высокий». Сами состояния
сформулированы нечетко, поэтому эксперт будет затрудняться с точной
классификацией. Выразить свою неуверенность эксперт может, используя
формализмы трапециевидных нечетких чисел. Верхнее основание трапеции
выражает абсолютную уверенность эксперта в принадлежности уровня фактора
выбранному состоянию, нижнее основание – все возможные уровни фактора,
которые могут принадлежать выбранному состоянию (т.е. эксперт абсолютно
2
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
уверен в непринадлежности уровней за рамками нижнего основания трапеции
выбранному состоянию). Стягивают два основания трапеции боковые ребра,
которые выражают растущую неуверенность эксперта в классификации уровня
фактора, по мере перехода от верхнего основания трапеции к нижнему.
В прогнозировании рыночных тенденций удобно использовать такой формализм,
как треугольные нечеткие функции. Облать определения этих функций – ось
действительных чисел, область значений – поле треугольных нечетких чисел. Если
интерпретировать область определения треугольных функций как ось времени, то
прогноз рыночных тенденций может быть сформирован как нечеткая функция, с
границами оптимистичного, пессимистичного и наиболее ожидаемого прогнозов
как обычных функций.
Используя перечисленные формализмы теории нечетких множеств, удалось
построить методы оценки риска банкротства предприятия, оценки риска
инвестиций, методы оценки инвестиционной привлекательности ценных бумаг, а
также упомянутый уже метод прогнозирования фондовых индексов. Подробнее об
этом в [4,5].
Итак, вернемся к прогнозированию фондовых индексов. Мы можем получать
адекватные прогнозы только в нечеткой форме, одним из способов, что изложены
выше – как последовательность случайных чисел с нечетко-вероятностным
распределением (далее – вид А) или как последовательность нечетких чисел (далее
– вид B). Возникает резон и все остальные описания актуарной модели привести к
одному из предложенных видов. Это возможно сделать, прибегая к следующему
алгоритму:
1. Если исходная модель – это последовательность случайных величин с
классическими вероятностными распределениями, то это частный случай
вида А, когда треугольно-нечеткие параметры распределений становятся
четкими (обычными действительными числами).
2. От вида А к виду B можно перейти так. Пусть случайная величина имеет
распределение с треугольными параметрами r  (первый начальный момент
распределения) и   (корень квадратный из второго центрального момента
распределения). Точка после символа ( A  ) означает, что рассматривается
треугольное нечеткое число или нечеткая функция (последовательность). От
предложенного вида А к виду B можно перейти по формуле:
Rmin = rmin - max,
Rav = rav,
Rmax = rmax + max.
(1)
Здесь  - коэффициент Стьюдента (находится в рациональном диапазоне от 0.5 до
1.5). Тогда R  = {Rmin, Rav, Rmax} – треугольное нечеткое число, и переход от вида А
к виду В состоялся.
3
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
Заметим, что переходя от вида А к виду B, мы теряем определенную часть
информации, содержащуюся в распределениях, зато резко выигрываем в простоте
представления и решения задачи. Поэтому далее будем излагать задачу управления
инвестициями пенсионного фонда в простейшей постановке вида B.
Постановка задачи
Рассмотрим накопительную пенсионную систему, в которой инвестирование
пенсионных резеров осуществляется на фондовом рынке, при формировании
инвестиционного портфеля из N модельных классов (рис. 1).
Рис. 1. Накопительная пенсионная система.
Введем обозначения:








T – горизонт планирования – определенное количество лет;
t – текущее время прогноза (планирования) – номер года в горизонте
планирования от 1 до T;
A  (t) – поступления в пенсионную систему – нечеткая последовательность;
L (t) – платежи из пенсионной системы – нечеткая последовательность;
I  (t) – потоки инвестиций резервов пенсионной системы – нечеткая
последовательность;

R i (t) – расчетный коридор доходности по i-му виду активов, i = 1...N;
X(t) – принятое на начало планового года t долевое распределение
инвестиций
между
активами
–
последовательность
векторов
действительных чисел от 0 до 1 с суммой 1;
B (t) – поток доходов по итогам инвестиций прошлого года - нечеткая
последовательность;
4
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию


Z  (t) – резерв пенсионной системы на начало периода планирования –
нечеткая последовательность;
P (t) – план резервирования неснижаемого остатка по пенсионной системе на
начало периода планирования – последовательность действительных чисел.
Исходными данными в нашей задаче являются потоки поступлений и платежей
A  (t) и L (t). Они моделируются на основании принятых в фонде пенсионных

схем. Также, на основании прогноза, нам известны доходности активов R i (t).
Поток инвестиций I  (t) планируется по следующему правилу. Если планово
поступления превышают платежи, тогда некоторая доля от разницы между
поступлениями и платежами формирует поток инвестиций (мы ее не знаем, нам
предстоит ее определить в ходе решения задачи). Если разница отрицательна, то
возникает поток отрицательных инвестиций (отзыва средств с фондового рынка).
Накопленные нарастающим итогом инвестиции обращаются на рынке и приносят
доход, который можно исчислить по формуле:
t
N
j1
i 1
B (t  1)   I  (j) *  x i (t) * R i (t)

(2)
Таким образом, баланс резерва пенсионного фонда сводится по формуле:
Z  (t+1) = Z  (t) + A  (t) + B (t) - I  (t) - L (t).
(3)
Планы резервирования P (t) следует установить на основе специализированных
нормативов, исходя из необходимости обеспечения бесперебойной работы
пенсионных систем при существенных колебаниях потоков платежей и
поступлений (например, 10% от среднего планового уровня платежей предыдущего
года):
P(t+1) = 0.1*Aav(t).
(4)
Если выясняется, что план резервирования не выполнен, т.е. Z(t) < P(t), то считаем
это событие неблагоприятным. Риск такого события (поскольку резервы –
треугольные числа) можно оценить по формуле Недосекина-Воронова [4, 6]:
0, P(t)  Z min (t)


1 - α1
 ln(1 - α1 )), Z min (t)  P(t)  Z av (t)
 R  (1 
α1

Risk(t)  
1 - α1
1 - (1 - R)  (1 
 ln(1 - α1 )), Z av (t)  P(t)  Z max (t)
α1


1, P(t)  Z max (t)
(5)
где
5
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
 P(t)  Z min
, P(t)  Z max (t)

,
R   Z max  Z min

1, P(t)  Z max (t)

(6)
0, P(t)  Z min (t)

 P(t)  Z min (t)
, Z min (t)  P(t)  Z av (t)

 Z av (t)  Z min (t)
.
1, P(t)  Z av (t)
α1  
 Z max (t) - P(t)
, Z av (t)  P(t)  Z max (t)

Z
(t)

Z
(t)
max
av


0, P(t)  Z max (t)
(7)
Тогда задача оптимального управления инвестиционным портфелем фонда может
быть сформулирована следующим образом: определить последовательности
I  (t) и оптимальные распределения X(t), приводящие к выполнению условия
минимума целевой функции:
max (t) Risk(t)  min
(8)
Сформулированная таким образом задача управления (8) – это задача поиска
глобального минимума при естественных ограничениях вида:
0  X(t)  1,
N
 x (t )  1 , I
i 1
i

(t)  A  (t) - L (t).
(9)
Рассмотрим расчетный пример.
Расчетный пример
Пусть инвестирование активов фонда совершается в два класса фондовых
инструментов: акции и облигации. Также зафиксируем для простоты размер
инвестиционных отчислений, положив их на уровне разницы между
поступлениями и платежами.
Первоначально, до применения процедуры оптимизации, положим, что
инвестирование совершается только в акции. Параметры инвестиций, платежей и
поступлений, доходности фондовых инструментов, а также результаты расчетов
сведены в таблицу 1.
6
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
Таблица 1. Прогноз денежных потоков фонда
Видно, что возникают риски недостаточности пенсионных резервов (одновременно
замечаем, что последовательное наращивание неопределенности от года к году
сводится к тому, что интервалы, в которые попадают резервы, все расширяются).
Теперь применим процедуру безусловной оптимизации (8) с ограничениями (9),
получив оптимальное долевое распределение между акциями и облигациями по
каждому прогнозному году в горизонте инвестирования. Результат оптимизации
показан в таблице 2 (использовался инструмент Solver таблиц Excel). Видим, что
максимум возможного риска уменьшился с 9% до 4%.
7
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
Таблица 2. Прогноз денежных потоков фонда после оптимизации инвестиций
Таким образом, путем перехода от агрессивной стратегии инвестирования к
консервативной удалось существенно снизить риски недостаточности пенсионных
резервов в первые годы плана, сузив плановый интервал колебаний пенсионных
резервов практически вдвое. Однако эта стратегия на поздних сроках подлежит
коррекции - резервы сформированы на должном уровне, появляется возможность
рисковать, поэтому идет возврат к акциям.
Разумеется, оптимальное распределение изменится, как только изменятся
параметры потоков поступлений, инвестиций и платежей, и задачу оптимизации
придется решать заново.
8
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
Программное обеспечение
Компания Сименс Бизнес Сервисез Россия приступила к доработке созданной
ранее Системы оптимизации фондового портфеля блоком актуарных расчетов. При
этом расчеты формируются на основе двух информационных сущностей:
инвестиционного профайла фонда и блока прогнозов по фондовым индексам
России, США и Европы. Пока предполагается, что портфельное распределение
инвестиционной составляющей фонда формируется по сценарному принципу на
горизонте инвестирования до 50 лет. В последующем будет имплементирована
оптимизационная задача, как она изложена в этой работе.
Примерный вид интерфейса программы представлен на рис. 2.
Рис. 2. Интерфес системы портфельной оптимизации (актуарный расчет)
Заключение
Настоящее исследование показывает, что задача актуарного моделирования
пенсионных фондов тесно связана с задачей оптимизации инвестиционного
фондового портфеля, причем в динамической постановке. Видно, что манипулируя
9
Недосекин А.О. Нечетко-множественный подход к актуарному моделированию
инвестиционным портфелем (размером и долями), можно сгладить пики платежей
и тем самым снизить риски недостаточности пенсионных резервов.
Перечень использованных источников
1. Аркин В.И., Шоломицкий А.Г. Современное состояние пенсионных
актуарных исследований в России. - На сайте:
http://www.hse.ru/infopage/persona/sh/sholomitsky_a_g.htm.
2. Шоломицкий А.Г. Финансирование накопительных пенсий: актуарные
методы и динамические модели. - На сайте:
http://www.hse.ru/infopage/persona/sh/sholomitsky_a_g.htm.
3. Недосекин А.О. Прогнозирование фондовых индексов //Аудит и
финансовый анализ, № 4, 2002. – Также на сайте: http://sedok.narod.ru .
4. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых
инвестиций. – СПб, тип. Сезам, 2002. – Также на сайте: http://sedok.narod.ru.
5. Недосекин А.О. Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях. – СПб,
тип. Сезам, 2003. . – Также на сайте: http://sedok.narod.ru.
6. Недосекин А.О., Воронов К.И. Недосекин А.О., Воронов К.И. Новый
показатель оценки риска инвестиций. – На сайте:
http://www.aup.ru/articles/investment/4.htm .
10